1. Un sistema lineal de dos ecuaciones con cuatro incógnitas puede ser compatible e indeterminado? Razonar la respuesta con algún ejemplo.

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1 Matemáticas Selectividad Sistemas de Ecuaciones 1. Un sistema lineal de dos ecuaciones con cuatro incógnitas puede ser compatible e indeterminado? Razonar la respuesta con algún ejemplo. (Prueba previa selectividad 1994) 2. En un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas la matriz del sistema tiene un menor de orden 2 distinto de cero, todos sus menores de orden 3 son nulos y la matriz ampliada tiene un menor de orden 3 distinto de cero. Hallar de manera razonada el determinante de la matriz ampliada. Cuál es el rango de ambas matrices? Tiene solución el sistema? (Prueba previa selectividad 1994) 3. Sean S y S dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen solución única. Si ambos sistemas tienen la misma solución y si también tienen la misma matriz de términos independientes, analicese si, entonces, ambos sistemas han de tener igual la matriz de coeficientes. (Si la respuesta es afirmativa, justifiquese; en caso contrario, dese un contraejemplo que lo confirme) (Prueba previa selectividad 1994) 4. Una fábrica de electrodomésticos tiene un producción semanal fija de 42 unidades. La fábrica abastece a 3 establecimientos que demandan toda la producción. En una determinada semana, el primer establecimiento solicitó tantas unidades como el segundo y el tercero juntos, mientras que el segundo establecimiento pidió un 20% más que la suma de la mitad de lo pedido por el primero más la tercera parte de lo pedido por el tercero. Cuales fueron las cantidades solicitadas por los tres establecimientos? 5. Resolver la siguiente ecuación: x y z = Dado el sistema de ecuaciones lineales ax + y + z = 1 x + ay + z = b x + y + az = 1

2 a) discutir el sistema en función de a y b b) resolver el sistema para a = b = -2

3 7. Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de soluciones del sistema x + y + z = a - 1 2x + y + az = a x + ay + z = 1 y resolverlo cuando sea compatible determinado. 8. Se va a confeccionar una dieta con tres clases de alimentos: A, B y C. El alimento A tiene 10 calorías por cada 100 gramos, el B tiene 30 calorías por cada 100 gr. y el C 40 calorias por cada 100 gr. 1º) Si la dieta consta de G gramos de alimento por día, está restringida a exactamente 800 calorías y la cantidad de alimento A ingerida debe ser doble en peso que la de C, hallar en función de G las cantidades que deben ingerirse de cada uno de los alimentos. 2º) Hallar los valores entre los que está comprendido G para que las condiciones exigidas a la dieta se puedan cumplir. (Selectividad Septiembre 1994) 9. La tabla adjunta muestra el número de unidades/gramo de vitaminas A, B y C que posee por unidad de peso cada uno de los productos P, Q, R y S. a) Analícese si se pueden elaborar dietas en las que entren A B C todos los productos y que contengan 20 unidades de vitamina P A, 25 de vitamina B y 6 de vitamina C cuantas hay? Q b) En función de la cantidad del producto Q que entra en la dieta, R obtener las cantidades de los otros productos Entre que S valores habría de estar la cantidad de producto Q? (Prueba previa selectividad 1995) 10.Cierta empresa periodística tiene 650 millones de entradas al año entre ventas, publicidad y subvenciones. Si aumenta el 50% la publicidad, esto le ocasiona un incremento del 10% en las ventas y una cierta disminución de la subvención, con lo cual las entradas disminuyen en 45 millones. A fin de mantenerse en los 650 millones de entradas, el director piensa tomar una de las dos decisiones siguientes: - Reducir la publicidad inicial al 30 %, con lo cual disminuiría la subvención en un 10% y las ventas se mantendrían. - Reducir la publicidad inicial en un 40%, con lo cual las ventas se mantendrían y la subvención aumentaría en un 20%. Cuál de las decisiones es la correcta? Justifiquese cada una de las afirmaciones que se hagan?

4 (Selectividad Junio 1995) 11.Un especulador adquiere 3 objetos de arte por un precio total de 20 monedas de oro. Vendiéndolos, espera obtener de ellos unas ganancias del 20%, del 50% y del 25%, respectivamente., con lo que su beneficio total sería de 6 monedas de oro. Pero consigue mas (cosa que hoy no llama la atención), pues con la venta obtiene de ellos ganancias del 80%, del 90% y del 85% respectivamente, lo que arroja un beneficio total de 17 monedas de oro, cuanto le costó cada objeto? (Selectividad Septiembre 1995)

5 12.a) Demostrar la condición necesaria y suficiente del teorema de Rouché para que el siguiente sistema sea compatible b) Dado el sistema a11 a12 a13... a1 n x1 c1 a21 a22 a23... a2n x 2 c =... a a a... a x c m1 m2 m3 mn n n 2x + y z = 1 x 2y + 2z = m 3x y + mz = 4 hallar razonadamente los valores del parámetro m para los cuales el sistema es compatible (Prueba previa selectividad 1996) 13.Considerese el siguiente sistema de ecuaciones lineales ( en él a,b y c son datos; las incógnitas son x,y,z): ay + bx = c cx + ay = b bz + cy = a Si a, b y c son no nulos, el sistema tiene solución única. Hallar dicha solución. (Selectividad Junio 1996) 14.Discutir, según los valores de m, el sistema de ecuaciones lineales: 3x 2y+ z = m 5x 8y+ 9z = 3 2x+ y 3z = 1 Selectividad Septiembre Se considera un sistema S de m ecuaciones lineales con n incógnitas, que es compatible determinado. Sea S el sistema que resulta de prescindir en S de la última ecuación. Contesta de forma razonada. a) Puede ser incompatible el sistema S? b) Es compatible el sistema S? c) Ha de ser compatible indeterminado el sistema S? Selectividad Septiembre

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