Capitulo 4. DECISIONES BAJO RIESGO TEORIA DE JUEGOS

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1 Capitulo 4. DECISIONES BAJO RIESGO TEORIA DE JUEGOS INTRODUCCIÓN En el mundo real, tanto en las relaciones económicas como en las políticas o sociales, son muy frecuentes las situaciones en las que, al igual que en los juegos, su resultado depende de la conjunción de decisiones de diferentes agentes o jugadores. La técnica para el análisis de estas situaciones es llamada Teoría de juegos la cual es sin duda un modelo para empresas ganadoras o exitosas en un ambiente competitivo: Por ejemplo, existen muchos factores importantes a considerar cuando se hace una oferta importante, entre los cuales están: Establecer y mantener una posición de preferencia como oferente, desarrollar una relación de preferencia por parte de los clientes, de lo que se oferta en sí mismo, y del precio. Es una fascinante aplicación de la matemática pura y la psicología pura, e incorpora series de modelos capaces de simplificar problemas complejos de competencia o interacción incierta entre dos o más agentes. OBJETIVOS.-Conocer en qué consiste la Teoría de Juegos. 2.- Desarrollar destreza para la toma de decisiones. 3.- Poder elegir la mejor estrategia mediante un proceso matemático. 4.- Saber elegir la mejor decisión de acuerdo a sus intereses. 5.- Reconocer y desarrollar los diferentes métodos de la Teoría de Juegos 65

2 Lección 6. CONCEPTOS Fuente: La teoría de juegos es una Teoría matemática, que estudia las características generales de las situaciones competitivas y hace parte de la teoría general de decisiones como mecanismo para el manejo de las estrategias. En la teoría de Juegos un oponente se designa como jugador, cada jugador tiene un numero de elecciones llamadas estrategias. Los resultados a pagar de un juego se resumen como funciones de las diferentes estrategias para cada jugador, en donde la ganancia de un jugador es igual a la pérdida del otro. Se debe tener en cuenta siempre las siguientes definiciones elementales como son: Juego: es la situación de conflicto en la que dos o más adversarios intentan alcanzar un objetivo seleccionando cursos de acción de entre todos los que sean permitidos por las reglas. Reglas: posibles cursos de acción que pueden ser elegidos y deben ser conocidas por todos los jugadores. Resultados: asociados a cada posible combinación de elecciones, estos son definidos por adelantado y conocidos por todos los jugadores. Movida: elección de un curso de acción en particular de entre un conjunto de alternativas posibles. Partida: secuencias de movidas que se suceden en un juego desde el principio hasta el final; Debe tenerse una secuencia por cada jugador. Estrategia de un jugador: Es la regla de decisión predeterminada que permite a un jugador elegir cada una de las movidas que conforman a una partida, ante el análisis de todas las posibles elecciones de los competidores. Estrategia pura: es aquella en la cual cada una de las movidas hechas por un jugador a lo largo de una partida corresponde a una única opción o curso de acción particular. Estrategia mixta: es aquella en la cual no siempre se opta por el mismo curso de acción a lo largo de una partida. Valor del juego: Es el resultado de jugar una partida, cada jugador con su estrategia. Indica cual es el beneficio o perjuicio que recibe cada jugador. Solución del juego: es el conjunto de estrategias óptimas para cada jugador y valor del juego resultante de la aplicación de esas estrategias. IDEAS FUNDAMENTALES - Una característica básica en muchas de las situaciones de conflicto y 66

3 competencia es que el resultado final, depende de la combinación de estrategias seleccionadas por los adversarios. - La Teoría de juegos estudia las características generales de las situaciones competitivas de una manera formal y abstracta. - Da una importancia especial a los procesos de toma de decisiones de los adversarios. - Se llaman juegos con suma cero por que un jugador gana lo que el otro pierde, de manera que la suma de sus ganancias netas es cero. Este juego consiste en que los dos jugadores muestran al mismo tiempo uno o dos dados. Si el número de dados coincide con el jugador que apuesta a pares (jugador ) gana la apuesta ($) al jugador que va por impares (jugador 2). Si el número no coincide el jugador paga ($) al jugador 2. Un juego de dos personas se caracteriza por:. Las estrategias del jugador 2. Las estrategias del jugador 2 3. La matriz de pagos METODOS DE SOLUCIÓN Existen 4 métodos para la solución de Teoría de juegos: - Dominadas - Punto de silla y suma cero - mixtas - Grafico Lección 7. Método de estrategias Dominadas. Fuente: 67

4 Este método consiste en eliminar una serie de estrategias inferiores hasta que quede una sola para elegir. Específicamente se puede eliminar una estrategia cuando está dominado por otra, es decir, si existe otra estrategia que siempre es al menos tan buena como esta, sin importar lo que hace el oponente. Se debe tener en cuenta que el jugador que se ubica en la casilla es el que prima en las decisiones, podríamos decir que este somos nosotros y que el otro es nuestro oponente. Además es clave decir que son las estrategias que más se buscan en las contiendas políticas. La mejor forma de entender estos métodos es por medio de un ejemplo como el de a continuación. EJEMPLO 9: Jugador El jugador elimina la estrategia 3 (dominada) ya que ésta representa menos ganancias: Jugador Jugador El jugador 2 elimina la estrategia 3 (dominante) ya que con ésta obtendrá mayores pérdidas Jugador El jugador elimina la estrategia 2 (dominada): Jugador estrategias Jugador Jugador Jugador

5 El jugador 2 elimina la estrategia 2: 2 Jugador 6 0 Jugador2 Jugador Entonces sabemos que el jugador recibe un pago de 6 por parte del jugador 2. - El pago para el jugador, cuando ambos jugadores juegan de manera óptima recibe el nombre de Valor de Juego. Lección 8. Método suma cero y Punto de Silla. Fuente: El método de punto silla se utiliza cuando no se puede aplicar el método de estrategias dominadas. Esto se debe a que no hay un dominio específico entre una estrategia y otra, Además debemos emplear para su solución los criterios de decisión estudiadas en los capítulos anteriores. El método consiste en que el jugador debe elegir las estrategias de menor valor y entre ellas escoger la estrategia de mayor valor a ganar (Maximin), mientras que el jugador 2 debe elegir las estrategias de mayor valor y entre ellas escoger la estrategia de menor valor a pagar (Minimax). Cuando el Maximin es igual al Minimax tanto en el valor como en signo se dice que hay punto silla. Esa posición corresponde a la intersección de la columna y la fila (Punto Silla). El Punto Silla es el valor del juego. Cuando estos valores no coinciden no existe Punto Silla y se puede concluir que el juego no es justo o la solución es inestable - Si el juego tiene un valor de cero (0) o suma cero, se denomina Juego Justo, y si es diferente de cero (0) se denomina Juego Injusto. 69

6 EJEMPLO 0. jugador Jugador El Jugador elige el valor mínimo de cada fila y el jugador 2 elige el valor máximo de cada columna. Jugador jugador Punto silla máximin mínimax Grafica 0. Juego de estrategias dominadas. El Jugador elige el valor mayor entre los valores mínimos (Maximin). El elige el valor mínimo entre los valores mayores (Minimax). El punto de silla es igual a (0) (valor del juego), en este caso el juego es justo. Lección 9. Método de estrategias Mixtas: Fuente: Este método se emplea cuando un juego no se puede resolver por los métodos anteriores ( dominadas y Punto Silla) utilizamos el método de estrategias mixtas, que consiste en combinar las estrategias dominadas con el procedimiento de Solución gráfica. 70

7 Con este método se le asigna a cada estrategia una probabilidad. EJEMPLO. Jugador jugador El jugador elimina la estrategia 3 (dominada) Jugador jugador jugador jugador 2 Y Y Y Determinando cual estrategia se debe eliminar se continua el proceso con el método grafico, el cual se explicará a continuación. O se puede desarrollar por el método de punto de silla. Lección 20. Método Grafico Fuente: 7

8 Para desarrollar este método, el cual se emplea también en las estrategias mixtas tomamos la matriz de pagos del ejemplo y la convertimos en un sistema de ecuaciones lineales donde X hacen referencia al jugador y las Y hacen referencia al jugador 2; Así: Jugador. X + X2 = X = - X2. Y + Y2 + Y3 = Para qué Y se tengan en función de X! y X2, se tiene en cuenta los valores de la matriz de pagos así: Y = 0X + 5X2 Y = 5X2 Y2 = -2X + 4X2 Y2 = -2 (-X2)+ 4X2 = X2 + 4X2 Y2 = -2+6X2 Y3 = 2X - 3X2 Y3 = 2(-X2) - 3X2 = 2-2X2-3X2 Y3 = 2-5X2 Con los valores anteriores se obtienen tres líneas rectas que debemos ubicar en el plano cartesiano, a continuación tenemos los puntos de corte respectivos con los ejes: Y = 5x2 X = 0 Y = 0 X = Y = 5 Y 2 = -2+6X2 x = 0 Y = -2 x = Y = 4 Y 3 = 2-5x2 x = 0 Y = 2 X = Y = -3 72

9 Grafica. solución metodo grafico Solución óptima El punto de corte nos determina la solución óptima del juego. Que para este método se tiene aproximadamente 0,4 para X2; y por lo tanto 0,6 para X. Para mejor análisis se puede desarrollar también por cualquiera de los métodos algebraicos así: IGUALACION Y2 = Y3-2+6X2 = 2-5X2 6X2+5X2 = 2+2 X2 = 4 X2 = 4/ = 0.36*00 X2 = 36% Y X= 64% Jugador (64%, 36%,0) El vértice o corte de las dos rectas que optimizan el juego es: Y2= V = -2 +6X2 = (4/) = / = 2/ Teniendo en cuenta las dos rectas que forman parte del punto maximin y con respecto ha Y son: -2Y2 +2Y3 = 2/ 4Y2-3Y3 = 2/ 73

10 No se tiene en cuenta a Y debido a que no forma parte de la solución mínima: -2Y2 +2Y3 = 2/ * 2 4Y2-3Y3 = 2/ -4Y2 +4Y3 = 4/ 4Y2-3Y3 = 2/ Y3 = 6/ = 0,5454*00 Y3 = 54,54% y Y2 = 45,46% (0, 45.46%,54.54%) Solución: Observando los valores de los porcentajes de las estrategias encontradas para los dos jugadores podemos realizar el análisis de la siguiente manera: El jugador le gana al jugador 2 en el primer turno por un valor del 64%, en el segundo turno le gana el jugador 2 al jugador por un porcentaje del 45.46, lo que da hasta el momento un empate entre los dos jugadores, sin embargo en el tercer y último juego el jugador 2 le gana al jugador con un 54.54%, lo que da como resultado final, que el juego sea injusto, y tenga un valor de juego igual a 2/. EJEMPLO 2: LA CAMPAÑA POLÍTICA: EJEMPLO DE PROTOTIPO Dos políticos contienden entre sí por la presidencia de la república de Colombia. En este momento ellos están haciendo sus planes de campaña para los dos últimos días antes de las elecciones; se espera que dichos días sean cruciales por ser tan próximos al final. Por esto, ambos quieren emplearlos para hacer campañas en dos ciudades importantes. Cali y Medellín para evitar pérdidas de tiempo, están planeando viajar en la noche y para un día completo en cada ciudad o dos días en solo una de las ciudades. Como deben hacer los arreglos necesarios por adelantado, ninguno de los dos sabrá lo que su oponente tiene planeado hasta después de concretar sus propios planes. Cada político tiene un Jefe de Campaña en cada ciudad para asesorarlo en cuanto al impacto que tendrá (en términos de votos ganados o perdidos). Las distintas combinaciones posibles de los días dedicados a cada ciudad por ellos o por sus oponentes. Ellos quieren emplear esta información para escoger su mejor estrategia para estos dos días. SOLUCIÓN 74

11 FORMULACION: Los 2 jugadores, las estrategias de cada Jugador y la matriz de pagos. ESTRATEGIA : Pasar por un día en cada ciudad. ESTRATEGIA 2: Pasar ambos días en Cali. ESTRATEGIA 3: Pasar ambos días en Medellín. MATRIZ DE PAGOS Cantidad neta de votos ganados por el POLITICO (en unidades de 000 votos) Cantidad neta de votos ganados por el POLITICO 2 (en unidades de 000 votos) Político Político Político Político METODO DE SOLUCIÓN: Para desarrollar este ejemplo se pueden emplear cualquiera de los criterios de decisión estudiados en la lección 5. En este ejemplo se empleará el criterio maximax para el político y maximin para el político 2 Político 2 Maximax Político Maximin Al tomar estos criterios el juego no es equilibrado y tiene un ganancia en la estrategia 2 para el político con un valor de 5, al cual se le debe sumar 0 del pago correspondiente del político 2 o sea que el valor del juego es de 5 para el político con la estrategia 2 pasar ambos días en Cali, con respecto a la pérdida del político 2 de 0, al tomar la estrategia de pasar un día en cada ciudad. EJEMPLO 3: En este juego se desarrollarán las estrategias dominadas para dos jugadores de la siguiente manera; Ambos jugadores deberán elegir su estrategia 75

12 jugador Para el jugador : La estrategia 3 está dominada por la estrategia ya que tiene pagos más altos (>0, 2>, 4>-) Independiente de lo que haga el jugador 2. Jugador Para el jugador 2 La estrategia 3 está dominada Por la estrategia ( <4 y <5, La estrategia 3 está dominada Por la estrategia 2 (2<4,0,<5), Para el jugador La estrategia 2 está dominada por la estrategia (=, 2>0) 2 2 Para el jugador 2 La estrategia 2 está dominada por la estrategia (<2) Se obtiene como valor del juego la estrategia para ambos jugadores donde el jugador obtiene un pago de del jugador 2. Es un juego equilibrado pero no justo. EJEMPLO 3. Para la siguiente matriz de pagos, determine la estrategia optima para cada jugador eliminado sucesivamente las estrategias dominadas (indique el orden en que se eliminaron) jugador

13 SOLUCIÓN jugador Para el jugador la estrategia 3 es dominada por la estrategia. jugador Para el jugador 2 la estrategia 3 es dominada por la estrategia. estrategias Jugador Jugador Para el jugador la estrategia 2 es dominada por la estrategia. 2 Jugador 2 3 Para el jugador 2 la estrategia 2 es dominada por la estrategia. El ejemplo nos entrega un valor del juego de 2 donde el jugador recibe un pago de 2 por parte del jugador 2; Este es un ejemplo de Juego Injusto. EJEMPLO 4. Encuentre el Maximin, Mínimax el punto silla que tiene la siguiente matriz de pagos. 77

14 jugador SOLUCIÓN El jugador elige el valor mínimo de cada fila y el jugador 2 elige el valor máximo de cada columna: Mínimos jugador Máximos El Jugador elige el valor mayor entre los valores mínimos (Maximin). El Jugador 2 elige el valor mínimo entre los valores mayores (Mínimax) jugador El valor del juego es -. Juego injusto. Punto silla 3-2 minimax maximin 78

15 TALLER:. Utilice el procedimiento gráfico para determinar el Valor del Juego y la estrategia mixta óptima para cada jugador. jugador Para la siguiente matriz de pagos, determine la estrategia optima para cada jugador eliminando sucesivamente las estrategias dominadas (Indique el orden en que se eliminaron). jugador Encuentre el Punto Silla del juego que tiene la siguiente Matriz de Pagos. jugador Utilice el procedimiento gráfico para determinar el valor del juego y la estrategia mixta óptima para cada jugador según el criterio de mínimax. jugador

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