Figura 1. Formación de la imagen en un espejo plano.

Transcripción

1 TEMA 9: ÓPTICA GEOMÉTRICA. 9. Itroducció. La logitud de oda de la luz visible suele ser muy pequeña e comparació co los objetos /agujeros reales de la vida cotidiaa que se alla e su camio, por lo que e geeral los efectos de la difracció o so observables. Es por ello que el modelo de rayos de luz de la óptica geométrica, que aplicamos e este tema es correcto. La tecología óptica a teido y tiee repercusioes muy importates e la ciecia, al permitiros explorar domiios iaccesibles a uestros ojos, tato e la astroomía (telescopios) y la física e geeral, como e la biología modera co el microscopio. 9.. Sistemas ópticos co superficies plaas El espejo plao E la figura se represeta esquemáticamete u espejo plao, u rayo icidete procedete del objeto O, que se refleja sobre el espejo y es detectado por u observador, cuya apreciació es la image O. Figura. Formació de la image e u espejo plao. O O' Se defie como image el cojuto de putos cotiguos dode se origia o parece origiarse los rayos reflejados, cuado éstos se prologa e líea recta. La image que se forma es virtual (o es real porque igú rayo pasa por ella o proviee realmete de ella) y es simétrica al objeto respecto al plao del espejo. Podemos resaltar tres propiedades: i) Si el espejo se traslada ua distacia t, la image se traslada t. ii) Si el espejo gira α, la image gira α e el mismo setido. iii) Si el rayo icidete gira α, el reflejado gira α. Los espejos plaos realiza ua iversió e profudidad, trasformado u sistema de referecia dextrorsum e otro siistrorsum (figuras 34.3 y 34.4).

2 Figura Iversió e profudidad por u espejo plao. E cosecuecia, se ivierte la dereca-izquierda e la image. Figura Iversió de u sistema de referecia por u espejo. El objeto cumple ρ ρ ρ ρ ρ ρ = =. i j k, mietras la image i j k 9... La lámia plaoparalela. Está costituida por dos dioptrios plaos y paralelos etre sí. = d t = Figura. Lámia plaoparalela, costituida por dos dioptrios plaos. El rayo emerge paralelo al icidete pero desplazado ua distacia t. El rayo a la salida es paralelo al icidete si los ídices extremos so iguales (e la figura la lámia está sumergida e aire). El valor del desplazamieto t vale (ejercicio) ( ε ε' ) si t= d cos ε' siε = siε ' y si el águlo de icidecia ε es pequeño, de forma que podemos desarrollar e serie las fucioes seo y coseo reteiedo térmios sólo asta primer orde (esto es lo que se deomia aproximació paraxial e isistiremos e ella más adelate), la expresió se simplifica a: t = d ( ε ε ' ) = d ε Se deomia dioptrio la separació de dos superficies co características ópticas (ídice de refracció ) distitas. Véase la próxima secció.

3 E cuato al desplazamieto del rayo e la direcció axial, s, puede demostrarse (problema) que e aproximació paraxial vale s = d El prisma óptico Es ua asociació de superficies plaas trasparetes que forma ua águlo α de refrigecia. (Figura 3) Figura 3. El prisma óptico. Para estudiar la refracció e el prisma ecesitamos u criterio de sigos para los águlos. Criterio de sigos: Cuado el águlo se mida co respecto a la ormal a la superficie, lo tomaremos positivo si va e setido orario (egativo e caso cotrario) y cuado se mida co respecto a cualquier otra líea, lo tomaremos positivo si va e setido atiorario. Los águlos de icidecia y refracció se mide respecto a la ormal, la desviació δ se mide desde el rayo emergete al icidete y el águlo de refrigecia α se mide desde la cara e la que icide la luz a aquella por la que emerge. Puede demostrase (problema) que: δ = ε ε α = ε' ε ' α y además sabemos que: si ε = si ε' si ε = si ε' Co todas las ecuacioes es posible obteer ua relació del tipo: 3

4 δ = δ ( ε, α, ) que proporcioa la desviació e fució del prisma empleado (esto es, de α y ) y del águlo de icidecia. Esta fució preseta u míimo: Figura 4.Dadas las características del prisma óptico e aire (, α), el águlo de desviació δ depede del icidete ε, apareciedo u valor míimo. es decir, existe u valor del águlo de icidecia para el cual la desviació producida por el prisma es míima (Figura 4). Es fácil ver que esto ocurrirá cuado los águlos ε y ε sea iguales e valor absoluto. Para ello basta teer e cueta que la trayectoria de la luz es reversible, es decir, para ua trayectoria dada, si el rayo icide por la cara de salida tal y como sale cuado icide por la cara de etrada, la trayectoria es la misma. La úica forma de que la desviació sea míima tato cuado se icide por ua cara como cuado se icide por la otra, es que la trayectoria sea simétrica, es decir, que ε y ε sea iguales e valor absoluto. Es fácil demostrar (problema) que e este caso de desviació míima se verifica que: δ si m + α α = si 9.. Sistema óptico. Objeto e image Sistema óptico Defiicioes: Se deomia sistema óptico a cualquier cojuto de superficies reflectates y /o refractates. Cuado sólo ay superficies reflectates se llama sistema catóptrico, dióptrico cuado sólo ay superficies refractates y catadióptrico cuado ay de ambos tipos. U grupo particularmete importate de los sistemas ópticos so los sistemas cetrados, que so aquellos e los que los cetros de curvatura se ecuetra todos sobre u mismo eje, que recibe el ombre de eje óptico. Detro de los sistemas cetrados podemos distiguir etre sistemas e los que las superficies so de revolució y aquellos que o los so. Los sistemas más importates, e cuato a que so los más comues, so los Razóese esta afirmació a la luz del pricipio de Fermat. Se volverá sobre éste cocepto más tarde. 4

5 sistemas de revolució e que las superficies so esféricas, si bie ay sistemas muy importates que o so de revolució (e.g. las letes oftálmicas esfero-tóricas que se utiliza para corregir el astigmatismo o so superficies de revolució) Objeto e image Si todos los rayos de luz proveietes de u puto emisor se cruza (real o virtualmete) tras reflejarse o refractarse e las superficies ópticas del sistema, el puto e que los rayos se cruza se deomia image. Los objetos, al igual que las imágees, puede ser reales o virtuales. Veamos ejemplos de image real e image virtual de u objeto real (e los gráficos de la figura 5, las dos superficies represeta las caras de etrada y salida del sistema óptico). Figura 5. La figura superior represeta ua image real O Del objeto O, tambié real, pues los rayos físicamete pasa por ambos. E la figura iferior los rayos o procede físicamete del puto O (so sus prologacioes), por lo que la image es virtual. A su vez, ua image virtual puede ser objeto de u segudo sistema óptico situado a la dereca del primero, e cuyo caso podemos ablar de objeto virtual. Nótese que los objetos virtuales a de ser, lógicamete, objetos lumiosos. ( Poga el lector u ejemplo) Sistema óptico perfecto. Defiició: U sistema óptico es perfecto si cumple las codicioes: Ha de cumplir que la image de u puto sea u puto, es decir, a de verificar que todos los rayos que proviee de u puto O se cruza e u úico puto O. Además, el sistema óptico a de represetar todo el espacio objeto estableciedo ua correspodecia omográfica completa que sea ua semejaza para dos figuras cojugadas cualesquiera (esto es, image la ua de la otra). Estos sistemas so idealizacioes y o existe e la realidad. 5

6 A lo más que se puede aspirar es a diseñar u sistema óptico que sea perfecto para ua pareja de putos dada. A este sistema se le deomia estigmático. Pero, e geeral, los sistemas reales so imperfectos, es decir, preseta aberracioes. Desde u puto de vista teórico, o obstate, comprobaremos e el siguiete apartado que las superficies esféricas so perfectas siempre y cuado adoptemos la aproximació paraxial, esto es, supogamos que todos los rayos ópticos forme águlos muy pequeños respecto al eje óptico. E este límite de águlos pequeños podemos desarrollar e serie de Taylor las fucioes agulares α α si α = α ! 5! 4 α α cos α = ! 4! y quedaros úicamete co el primer térmio del desarrollo e serie. Como se a mecioado, e este límite de aproximació la superficie esférica es perfecta. Para u tratamieto aalítico de las aberracioes, se tiee e cueta térmios de orde superior del desarrollo e serie (óptica de 3 er orde, óptica de 5º orde, etc.). Aquí adoptaremos la aproximació paraxial Aumetos. Para caracterizar la relació etre objeto e image se itroduce los aumetos lateral, agular y axial: y' β' ; aumeto lateral. y φ' γ' ; aumeto agular. φ z' α' ; aumeto axial. z dode y (y) es el tamaño lateral de la image (del objeto), φ (φ) es el águlo subtedido por la image (el objeto) y z ( z) es la profudidad (tamaño axial) de la image (del objeto) Espejos. E la figura 6 se represeta esquemáticamete u espejo cócavo. Relació de cojugació: Vamos a allar la relació de cojugació (es decir, la relació etre la posició del objeto y la de la image) para u espejo esférico. Cosideremos e primer lugar el espejo cócavo de la 3 5 6

7 figura aterior y aalicemos el rayo que partiedo de P pasa por P. Sumado los águlos iteros del triágulo de vértices PAC teemos que: ( π β) = π β = α + θ α + θ +, Figura 6. Espejo esférico (cócavo). P es el puto image de P. C es el cetro de la esfera. s es la distacia del objeto, s la de la image y r del radio. y a partir del triágulo de vértices PAP teemos que: co lo que: ( π γ) = π γ = α + θ α + θ +, β = α + γ. Por otra parte es claro a partir de la figura que tg ( α ) = ; tg() β = ; tg() γ = s r Co las dos ecuacioes ateriores obteemos ua relació etre s y s. Nótese que, e esa relació, para u valor dado de s la distacia s depede del valor de, es decir, o todos los rayos que sale (o pasa) por el puto P pasa tras la reflexió por P. Cosideremos aora que el valor de es pequeño. E este caso todos los águlos so pequeños y podemos aplicar la aproximació paraxial que ya cometamos ateriormete. E este caso: tg s r y sustituyedo e β = α + γ se tiee que: ( α ) α ; tg() β β ; tg() γ γ + = Espejos esféricos: relació de cojugació s r que es ua relació etre s y s que es idepediete de. Es decir, detro de la aproximació paraxial, el espejo esférico se comporta como u sistema óptico perfecto. Añadamos que esto es así tambié para putos P situados fuera del eje óptico siempre y cuado la distacia al mismo sea pequeña. 7

8 Para deducir la relació aterior, todas las distacias se a tomado positivas. Qué ocurre si el espejo o es cócavo sio covexo? (Figura 7) Figura 7. Espejo esférico covexo. El radio de curvatura cambia su direcció respecto del cócavo. U razoamieto aálogo al aterior (tomado de uevo todas las distacias positivas) os llevaría a la ecuació + = s r que difiere de la aterior e sigos. Para coseguir que la forma de la ecuació o depeda de dóde está situado el objeto o de si el espejo es cócavo o covexo coviee adoptar u criterio de sigos. Nótese que etre el segudo y el primer caso lo que o a cambiado es la posició del objeto (que es real y está situado ates del espejo) y lo que a cambiado es la posició de la image (que e el primer caso es real y e el segudo caso es virtual) y la posició del cetro del espejo. Así, si e segudo caso cosideramos que r y s so egativas, la ecuació es la misma e ambos casos. Así pues adoptaremos el siguiete criterio de sigos (supoemos que la luz icide por la izda): distacia objeto (s): positiva si el objeto es real (situado a la izquierda del espejo) y egativa si es virtual (situado a la dereca del espejo). distacia image (s ): positiva si la image es real (situada a la izquierda del espejo) y egativa si es virtual (situada a la dereca del espejo). radio del espejo (r): positivo si es cócavo y egativo si es covexo. Aora ya teemos ua ecuació uiversal para el espejo: + = = Ecuació de los espejos esféricos s r f 8

9 Defiició de foco: Nótese que cuado s, s =r/ (es decir, todos los rayos que etra paralelos al eje, pasa por u puto equidistate etre el vértice del espejo y su cetro). Tambié se verifica que para, s=r/ (todos los rayos que etra por el puto equidistate etre el vértice del espejo y su cetro, sale reflejados paralelos al eje). Ese puto recibe el ombre de foco del espejo, y lo represetamos por F (figura 8). La distacia f a la que se alla el foco F es: f=r/. Por otra parte, si s=r, etoces s =r, es decir, si u rayo pasa por el cetro del espejo, etoces vuelve a pasar por él tras reflejarse e el espejo. Represetacioes gráficas: Estos dos ecos os ayuda a ecotrar imágees de forma gráfica (ver figura 8): dado u puto objeto, para ecotrar gráficamete su image sólo emos de trazar dos rayos que partiedo del objeto pase, uo por el foco y otro por el cetro del espejo. Tras reflejarse estos rayos sale paralelo al eje el primero y por el cetro el segudo. Dode se cruza se forma la image del puto objeto. Por ejemplo, Figura 8. O es la image de O, y se obtiee gráficamete por medio del rayo paralelo, que reflejado a de pasar (él o su prologació por el foco) y el rayo radial, que se refleja sobre sí mismo E este caso tato el foco F como la image O, so virtuales. (Hacer tambié los casos de objeto virtual co espejo covexo y de objeto real y objeto virtual co espejo cócavo). Aberració esférica: Qué ocurre cuado los rayos o so todos paraxiales? Aparece la aberració esférica: e este caso el foco image ya o es u úico puto. Es decir, los rayos que etra e el espejo paralelos al eje del sistema o pasa todos por F sio que sólo lo ace aquellos que so paraxiales. Los rayos que icide e el espejo pasa por u puto distito de F al reflejarse, tal y como idica la figura 9. El resultado es que o teemos u úico puto image, sio ua maca image. E la figura 9 se represeta cómo los rayos paraxiales se refleja pasado todos por el mismo puto (el foco) pero los rayos que icide más alejados del eje o sale todos por el mismo puto, de eco sale por u puto que está etre el foco y el espejo. Esto es la aberració esférica, que tambié aparece e dioptrios y letes (que estudiaremos después). 9

10 Figura 9. Aberració esférica, para rayos que o cumple la propiedad de ser paraxiales El dioptrio esférico. Cosideremos aora que la superficie esférica es refractate e lugar de reflectate. Hablamos e este caso de dioptrio esférico. Relació de cojugació: El trazado de rayos es aora el de la figura 0: Figura 0. Dioptrio esférico, costituido por ua superficie esférica, ídice de refracció. Los águlos θ y θ está relacioados por la ley de Sell: si θ = 'si θ' Por otra parte, del triágulo ACP resulta que: y del triágulo PAC resulta que: Fialmete teemos que: β = γ + θ', θ = α + β. tg α = ; tg β = ; tgγ = s r Combiado las ecuacioes ateriores obteemos la relació de cojugació (s e fució de s ). Pero al igual que cuado aalizábamos el espejo, esta relació depede de, es decir, o todos los rayos que pasa por P pasa tambié por P. Si embargo si os limitamos a la zoa paraxial, desaparece la depedecia e. E este caso podemos tomar las siguietes aproximacioes: 0

11 tgα α ; tgβ β ; tgγ γ s r θ ' θ' Sustituyedo estas relacioes e β = γ + θ' y θ = α + β se obtiee: ' + = s r Para que la forma de la relació de cojugació o depeda de la posició de objeto e image o del cetro de curvatura del dioptrio, es ecesario adoptar u criterio de sigos. El criterio que adoptamos es el siguiete (ótese que es distito al utilizado e reflexió): distacia objeto (s): positiva si el objeto es real (situado a la izda del dioptrio) y egativa si es virtual (situado a la dca del dioptrio) distacia image (s ): positiva si la image es real (situada a la dca del dioptrio) y egativa si es virtual (situada a la izda del dioptrio) radio del dioptrio (r): positivo si es covexo y egativo si es cócavo Podemos tambié ecotrar la relació etre objeto e image a partir de las distacias axiales. Es fácil de demostrar que el aumeto lateral vale: y' β ' = = y ' s E efecto: Figura. Cálculo del aumeto lateral e u dioptrio mediate semejaza de triágulos. e aproximació paraxial teemos que ε = y s ; ε' = y' ; ε = ' ε' de lo que se deduce la expresió del aumeto lateral. El sigo meos idica la iversió de la image. Focos del dioptrio: Podemos ecotrar la posició de los focos del dioptrio esférico. Nótese que el dioptrio tiee dos focos, y o uo sólo como el espejo.

12 El foco objeto (F) es el puto objeto para el que su image se ecuetra e el ifiito, i.e.: = sf f = r ' El foco image (F ) es aquel e el que se ecuetra la image de u objeto situado e el ifiito, i.e.: ' s = F' f' = r ' Teiedo e cueta esta expresió, podemos escribir la relació de cojugació para el dioptrio esférico de la forma: s ' + = o de la forma: ' + = s f Señalemos fialmete que la relació obteida para el dioptrio esférico es válida, e particular, para el dioptrio plao (e esta caso el radio es ifiito y por tato las distacias focal objeto, f, y focal image, f, so ifiitas tambié). E este caso particular, la relació de cojugació es: s=-s ' f' Relació de cojugació del dioptrio plao Letes delgadas. Ua lete es la combiació de dos dioptrios esféricos. Ua lete delgada es aquella e la que el espesor (separació etre los dioptrios) es despreciable (esto es, muco meor que los radios de curvatura. Vamos a allar la relació de cojugació de la lete delgada. Figura. Lete delgada, costituida por dos dioptrios, el primero covexo y el segudo cócavo. Supogamos que la distacia del objeto al primer dioptrio es mayor que la distacia focal objeto de este (véase la figura ). E este caso, el primer

13 dioptrio formará ua image real del objeto, a la que llamaremos P. Podemos calcular la posició e que estaría esa image + = = s s ' f' s ' f' s Aora bie, esa image o llega a formarse porque al salir del primer dioptrio, los rayos se ecuetra co el segudo dioptrio. Podemos eteder que P es u objeto virtual para el segudo dioptrio y aplicado la relació de cojugació para éste, allar la posició de la image fial, P. Aora pasamos a medir desde la posició del segudo dioptrio (que es la seguda cara de la lete) pero como estamos supoiedo que la lete es delgada, podemos despreciar la separació etre dioptrios. Así, la distacia objeto s coicide co la distacia image s sólo que cambiada de sigo, porque aora P es u objeto virtual.(figura 3). Figura 3. Objeto virtual e P para el segudo dioptrio. La image fial es P. La ecuació de cojugació para el segudo dioptrio es: + = = s s ' f' s ' f' s que teiedo e cueta que s = s se covierte e: = s ' f' + = s ' f' + f' s Fialmete idetificamos s =s y s =s, co lo que teemos la relació de cojugació: + = + s f' f' ecuació que podemos escribir e la forma: 3

14 s + = dode se a itroducido la distacia focal image de la lete: = + = f' f' f' r r Para escribir esta última ecuació se a teido e cueta que: f' = r f ' = r f ' Así pues, vemos que la relació de cojugació para la lete delgada tiee exactamete la misma forma que para u dioptrio esférico (y se aplica el mismo criterio de sigos). Además emos obteido u valor para la distacia focal image de la lete. A la iversa de la distacia focal image se la deomia potecia de la lete y se mide e dioptrías cuado la distacia focal está expresada e metros. Dado que el foco image es el lugar e que se corta los rayos que icide paralelamete al eje óptico sobre la lete, ua distacia focal image corta idica u gra poder refractor de la lete (potecia grade) y viceversa. A las letes que tiee potecia positiva (es decir foco image real) se las llama covergetes, y divergetes a las de potecia egativa (foco image virtual). Al igual que emos obteido la distacia focal image, podemos obteer la distacia focal objeto, f, que recordemos es la distacia a la que se ecuetra la posició objeto cuya image está e el ifiito. E uestro caso (lete delgada) se verifica, obviamete que f=f. Método gráfico: La relació de cojugació que emos deducido (y que se deomia ecuació de Gauss) permite determiar aalíticamete la posició de la image dadas la posició del objeto y la potecia de la lete. Pero tambié, como e el caso de los espejos, podemos utilizar u método gráfico. Para ello basta co utilizar dos rayos: uo que pase por el foco objeto (que sabemos que sale paralelo al eje) y otro que etre paralelo al eje (que sabemos que sale por el foco image). Veamos alguos ejemplos. i) lete covergete co objeto ates del foco objeto. La image es real e ivertida. (figura 4). ii) lete covergete co objeto O etre el foco objeto F y la lete. La image es virtual y dereca.( Figura 5). iii) lete divergete co objeto situado ates del foco (figura 34.33). 4

15 Se recomieda acer todos los casos posibles: objetos reales y virtuales y letes covergetes y divergetes. Figura 4. Image real e ivertida de u objeto a distacia superior a la focal e ua lete delgada covergete. Figura 5. Image virtual y dereca de u objeto O situado etre el foco objeto F y la lete covergete. Figura Diagrama de rayos para ua lete divergete. El rayo paralelo se desvía alejádose del eje como si procediera del foco objeto F. El rayo dirigido al foco image F, emerge paralelo al eje. Lecturas recomedadas. Letes múltiples. P. Tipler, págia 30. 5