Cómo utilizar este documento

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3 Cómo utilizar este documento 1. Navegando a través del documento. La pantalla aparece dividida en cuatro zonas (frames). La de la izquierda muestra el Indice. Pinchando sobre caulquiera de sus apartados irás directamente a la sección elegida que aparecerá en el frame principal (este que estás leyendo). En la parte superior se encuentra un frame con botones para ir hacia adelante, atrás o arriba. Si pulsas sobre la palabra Expandir que se encuentra a la derecha ocultarás el índice, dejando más espacio al frame principal. Podrás recuperar el índice pulsando el botón correspondiente. Finalmente, el frame de la parte inferior mostrará las notas a pie de página. Cuando en el texto principal aparezca una de estas notas no tienes más que pinchar sobre ella para leer su contenido en el frame inferior. 2. Figuras. El documento contiene bastantes figuras. A menudo es necesario referirse a una figura que se encuentra lejos de la zona de texto que se está leyendo en ese momento. En estos casos se hace referencia a ella en el texto con un botón así. Pinchando sobre él obtendrás una nueva ventana con la figura correspondiente, sin perder el texto que se está leyendo (seguirá mostrado en el frame principal). Esta ventana se cerrará automáticamente en cuanto pulses con el ratón en cualquier lugar de la pantalla. De esta forma pudes ver las figuras en el momento necesario sin que se te llene la pantalla de ventanas y sin perder de vista lo que estás leyendo. Haz una prueba pinchando en el botón anterior. 3. Zonas Interactivas. Señalizadas con una el curso contiene páginas interactivas que facilitan considerablemente el estudio de los distintos conceptos. Cada una de estas zonas cuenta con sus propias instrucciones de utilización. 4. Material necesario. El curso contiene numerosos EJEMPLOS repartidos por sus capítulos e indicados en color rojo. Muchos de ellos necesitan datos del Almanaque Náutico de diferentes años. Se han incluido figuras con las páginas necesarias de esta publicación. Puedes bajarte esas figuras e imprimirlas, o puedes tomar los datos de la pantalla. En cualquier caso, el Almanaque Náutico es la publicación básica para la práctica de la Navegación Astronómica, de forma que debes adquirirlo si esta es tu afición. Otro material necesario será: Lápiz, goma, transportador, regla, compás de dibujo, papel cuadriculado (o papel milimetrado) y calculadora con funciones trigonométricas básicas. Eres el/la lector/a CiberSta L. Mederos. Ultima actualización: 9 de Enero de 2006.

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5 Cerrar Contenido Contenido Introducción Trigonometría Trigonometría plana. Trigonometría esférica. Esfera Celeste Esfera Celeste: Líneas y puntos principales. Líneas respecto a un astro. Coordenadas celestes de los astros Coordenadas horizontales o azimutales. Coordenadas horarias. Movimiento propio de los astros. Movimiento aparente del Sol. Eclíptica. Zodiaco. Coordenadas uranográficas ecuatoriales. Relación entre las distintas coordenadas que se miden en el Ecuador. Órbita que describe la Tierra alrededor del Sol. Zonas. Climas. Estaciones. Triángulo de posición Triángulo de posición: Sus elementos. Resolución analítica del triángulo de posición. Conocida la latitud del observador y el horario y declinación del astro, hallar su altura y azimut. Conocida la latitud del observador y la altura y azimut del astro, hallar su horario y declinación y reconocer el astro. Caso particular: Astro en el meridiano del observador. Medida del tiempo. Almanaque Náutico. Sextante La medida del tiempo. El Almanaque Náutico. Cálculo del horario en Greenwich y la declinación del Sol, la Luna, Aries y los planetas en un instante de TU dado. Cálculo del horario en Greenwich y la declinación de las estrellas en un instante de TU dado. Cálculo de la hora de paso de los astros por el meridiano de un lugar. Cálculo de la hora de salida y puesta del Sol y la Luna. Crepúsculos. El sextante. Correcciones a aplicar a las alturas observadas. Correcciones a aplicar a la altura observada de un astro. Tablas de correcciones de alturas del Almanaque Náutico. Cómo efectuar correctamente la medición de la altura con el sextante. Rectas de altura y navegación astronómica Círculo de alturas iguales. Recta de altura. Cartas Mercátor en blanco. Cómo fabricarse una carta. Un ejemplo práctico. Situación por rectas de altura. Rectas de altura no simultáneas. Bisectriz de altura. Situación por bisectrices de altura. Cálculo de la situación mediante observaciones del Sol. Caso particular: Situación por altura meridiana del Sol. Caso particular: Latitud por altura de la Polar. Apéndice I. La Luna Movimientos propios de la Luna. Periodo sidéreo. Fases de la Luna. Periodo sinódico. Edad de la Luna. Apéndice II. Estrellas Magnitud estelar. Constelaciones. Apéndice III. Cartas Mercátor. Cálculos de estima Cartas Mercátor. Cálculos de estima. Apéndice IV. Cinemática Apéndice V. Coeficiente pagel Cerrar InLive! 1 visitantes

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7 Introducción La Navegación Astronómica es un arte que, lamentablemente, se está perdiendo a manos de las técnicas modernas de Navegación Electrónica. Las cartas electrónicas, el plotter, el piloto automático conectado al GPS que es capaz de pilotar el barco entre dos puntos cualquiera sin intervención humana, etc. han conseguido que un sextante parezca un instrumento antediluviano y, lo que es peor, es bastante más caro que un GPS! Para agravar aún más las cosas, practicar la Navegación Astronómica con garantías requiere estudiar (aunque no demasiado) para sólo conseguir con ella corregir nuestra situación de estima. Por el contrario, un GPS que aprendemos a manejar en media hora nos dirá, con una precisión digna de cirujano, nuestra situación en cualquier momento (y muchas más cosas) con solo apretar un botón. Para qué, entonces, molestarse en aprender Navegación Astronómica?. Pues están todas esas razones que aducen los libros serios sobre esta materia: Como seguridad adicional porque te puede sacar de un apuro si te falla el GPS, porque, con un poco de habilidad y conocimientos, puedes utilizarla incluso en situaciones tan desesperadas como la de supervivencia en una balsa salvavidadas, porque es la asignatura más difícil para obtener el título de Capitán de Yate, etc., etc. Sin embargo, yo prefiero otra razón. Al menos, es la que me ha empujado a dedicarle últimamente cierto tiempo (bastante) a este tema y me ha animado a escribir estas notas: La Navegación Astronómica es, sobre todo, divertida. No esperes encontrar aquí recetas rápidas del estilo cómo hacerlo sin saber lo que hago. Mi todavía modesta experiencia en este campo es, sin embargo, suficiente para poder afirmar que esa manera de aprender esta materia (y, en mi opinión, cualquier otra) no conduce a nada positivo: Unos pocos meses después de finalizado el curso, el flamante Capitán de Yate no recuerda cuál es el tipeo necesario para resolver el problema de determinar su latitud por la altura meridiana del Sol. Yo prefiero ir mucho más despacio y aprender el por qué de cada cosa. Al fin y al cabo, puesto que se trata de una diversión, mejor cuanto más dure, no?. Así que ya sabes: Si esperas aprender a utilizar un sextante en una tarde dedicada a leer estas páginas, mejor cómprate un GPS. Es mucho más fácil y más barato, pero también es infinitamente aburrido. No quiero terminar esta especie de prólogo sin dedicar este modesto trabajo a mis chicas, Maicu y Sara, que han sabido entender y han fomentado mi pasión por la Navegación. Y también al otro chico de la casa, Toky, que tiene una pasión por los tubos del riego comparable a la mía por la Navegación. Y es que cuando a uno le entra la pasión... Aviso legal: Este trabajo es propiedad del autor. Ninguna parte de él puede ser reproducida sin su previa autorización por escrito. Luis Mederos Capitán de Yate Doctor en Física

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9 Trigonometría Subsecciones Trigonometría plana. Trigonometría esférica.

10 Trigonometría plana Los ángulos se miden sobre una circunferencia de radio R (cuyo valor se toma muchas veces igual a 1 para simplificar) centrada en el origen de coordenadas. Sobre el eje horizontal, o eje de las abscisas, mediremos la coordenada X y sobre el eje vertical, o eje de las ordenadas, mediremos la coordenada Y. X es positiva cuando está a la derecha del origen y negativa cuando lo está a la izquierda. La coordenada Y es positiva cuando está hacia arriba del origen y es negativa cuando lo está hacia abajo. Un ángulo comienza a medirse siempre en el eje X positivo y se cuenta en sentido contrario a las agujas del reloj: Definición de las funciones trigonométricas básicas. Las funciones trigonométricas básicas de un ángulo son tres: El seno, el coseno y la tangente y se representan por sin, cos y tg, respectivamente. Se definen como los siguientes números: sin = cos = tg = = Fíjate en la figura que la forma geométrica que define las funciones trigonométricas de un ángulo es un triángulo rectángulo. R es la hipotenusa del triángulo mientras que y es el cateto opuesto al ángulo en cuestión y x es el cateto contiguo. Por tanto, conocido un ángulo (que no sea el recto) y uno cualquiera de los lados de un triángulo rectángulo podemos obtener todos los demás sin más que despejar en las ecuaciones anteriores. Esta es la base de todos los cálculos de estima en navegación cuando se sigue un rumbo loxodrómico; es decir, un rumbo constante sobre una carta Mercátor (las habituales). Existen más funciones trigonométricas que se obtienen como inversas de las básicas. Como aparecen en los libros de navegación astronómica vamos a citarlas aquí. Son: cosecante, secante y cotangente y son las inversas del seno, el coseno y la tangente, respectivamente. Es decir:

11 cosec = = sec = = cotg = =

12 Trigonometría esférica Un triángulo esférico es la parte de la superficie de una esfera limitada por tres círculos máximos que se cortan entre si. Los lados del triángulo son, por tanto, arcos (trozos) de círculo máximo y, como tales, los mediremos en grados, igual que medimos en grados la diferencia de longitud entre dos puntos de la Tierra que es el arco de Ecuador (un círculo máximo) comprendido entre los meridianos de ambos lugares. Evidentemente, también mediremos en grados los ángulos del triángulo esférico (al igual que hacíamos en la trigonometría plana): Triángulo esférico. Nótese que todos los puntos del triángulo están, por tanto, a la misma distancia del centro de la esfera (igual al radio). Esto nos permite obtener la medida en distancia (en millas en nuestro caso) correspondiente a cada lado pues, como sabemos, el arco sustentado por un determinado ángulo es igual al producto del ángulo (en radianes) por el radio. Recuerda que 180 o = radianes. Como en navegación la esfera en cuestión es nuestro Planeta, el radio del que estamos hablando es el de la Tierra. La conversión de un lado a distancia es entonces mucho más sencilla pues para eso hemos definido la milla náutica: Multiplicamos los grados por 60 con lo que hemos obtenido minutos de grado sobre un círculo máximo que, como sabemos, son millas náuticas. En cualquier triángulo esférico se cumple que cualquiera de los lados o de los ángulos es menor o igual que 180 o pues, de lo contrario, los círculos máximos no se cortarían formando un triángulo. Siguiendo la costumbre, representaremos con letras minúsculas a los lados y con la misma letra pero mayúscula al correspondiente ángulo opuesto:

13 Nomenclatura. Aunque son muchos los teoremas de la trigonometría esférica, sólo dos de ellos son necesarios para resolver todos los problemas de navegación astronómica: 1. Ley de los cosenos: Podemos expresar el coseno de un lado en función de los otros dos lados y el ángulo opuesto: cosa = cosb cosc + sinb sinc cosa. y similares expresiones utilizando los otros lados y ángulos. 2. Ley de las cotangentes: La cotangente de un lado por el seno de otro es igual al coseno de este último lado por el coseno del ángulo comprendido más el seno de éste último ángulo por la cotangente del ángulo opuesto al primer lado. Por ejemplo, cotga sinb = cosb cosc + sinc cotga, y similares expresiones utilizando los otros lados y ángulos. EJEMPLO 1: Supongamos que en el triángulo esférico de la figura se tiene: A = 35 o, b = 50 o, c = 62 o. Queremos saber los valores del resto de lados y ángulos a, B y C. Empecemos por calcular a. Puesto que conocemos los otros dos lados del triángulo y también el ángulo opuesto A, es evidente que lo mejor es utilizar la ley de los cosenos: cosa = cos62 cos50 + sin62 sin50 cos35 cosa = a = o = 31 o 8.9' Conocidos los tres lados podemos calcular los dos ángulos que nos faltan utilizando la misma ley de los cosenos o, también, la de las cotangentes. El resultado es, evidentemente, el mismo. Por ejemplo, para el ángulo C, utilizando la ley de las cotangentes: cotg62 sin50 = cos50 cos35 + sin35 cotgc cotgc =

14 cotgc = tgc = - = C = o Ahora ATENCIÓN: No tiene sentido un ángulo negativo en este contexto. Qué es lo que está mal entonces?. Pues nada: la ley de la cotangente nos ha dado un resultado negativo para cotgc y, por tanto, para tgc. Pero fíjate en la figura : Las coordenadas x e y de un ángulo a y las del ángulo a o son iguales y cambiadas de signo. El cambio de signo no importa pues al dividir ambas para obtener la tangente o la cotangente los signos menos desaparecen. O sea, que se cumple siempre que: tga = tg(a o ) y, tambi n, cotga = cotg(a o ) Sin embargo, el seno y el coseno de ambos ángulos son iguales en valor pero de signo contrario. Puedes ayudarte de esta para terminar de verlo, eligiendo un ángulo cualquiera y ese mismo ángulo más 180 o. Fíjate en el valor de las funciones trigonométricas de esos dos ángulos. Por tanto, cuando como resultado de hallar un arcotangente o un arcocotangente obtengamos un ángulo negativo, lo único que hemos de hacer es sumarle 180 o. Así, la respuesta correcta para el ángulo C es: Si hubiésemos utilizado la ley de los cosenos: funciones trigonométricas de los ángulos a y a o. C = o o = o cos62 = cos cos50 + sin sin50 cosc cosc = cosc = C = o que, por supuesto, da el mismo resultado. Dejo para el lector el cálculo del ángulo B a la vez que le recomiendo que lo obtenga mediante las dos vías de forma que adquiera práctica en ambas. Téngase en cuenta que en los problemas prácticos de navegación astronómica no será en general posible utilizar ambas rutas. Por el contrario, dependiendo de los datos disponibles, será necesario utilizar una u otra, así que es necesario tener suficiente práctica con ambas. EJEMPLO 2: Ahora un ejemplo relacionado con la navegación, para ir haciendo boca. Normalmente navegamos siguiendo un rumbo dado que mantenemos fijo. Sin embargo, esta manera de navegar, que se llama loxodrómica, no es la óptima para navegar entre dos puntos distantes, pues sobre una esfera la distancia mínima entre dos puntos es el arco de círculo máximo que pasa por esos dos puntos y no el rumbo directo. Navegar siguiendo el círculo máximo que une el punto de partida y el de llegada se llama navegación ortodrómica. Los cálculos necesarios para realizar una navegación ortodrómica son una aplicación directa de las leyes de la trigonometría esférica, como es evidente observando la figura.

15 La distancia navegada para ir desde A hasta B según la ortodrómica es D 0, el ángulo opuesto al lado D 0 es la diferencia de longitud L entre el punto de salida y el de destino y los otros dos lados del triángulo esféricos son los complementarios de las latitudes inicial y final. El rumbo ortodrómico R 0 y la distancia navegada D 0 se obtienen resolviendo el triángulo esférico utilizando las dos leyes que acabamos de estudiar. Veamos un caso práctico: Supongamos que nuestro yate se encuentra en l = 28 o 9'N, L = 15 o 25'W y deseamos ir a un lugar situado en l = 42 o 21'N, L = 71 o 03'W. Queremos saber el rumbo ortodrómico que debemos seguir inicialmente y la distancia ortodrómica entre los dos puntos. L = - 71 o 03' - (- 15 o 25') = - 55 o 38' = o W ATENCIÓN: Longitudes W son negativas y longitudes E son positivas. Este es el convenido de signos seguido por el Almanaque Náutico así que será el que sigamos aquí. l = 42 o 21' - 28 o 9' = 14 o 12' = 14.2 o N Convenio de signos habitual para las latitudes: Positivas si son N y negativas si son S. 90 o - l A = o 90 o - l B = o Navegación ortodrómica. Aplicamos la ley de las cotangentes empezando con el lado 90 o - l B : cotg(47.65) sin(61.85) = cos(61.85) cos( ) + sin( ) cotgr 0 cotg(r 0 ) = R 0 = N56.9 o W Nótese que la resolución del triángulo esférico nos dice que el ángulo R 0 es de 56.9 o. Hemos de fijarnos en que l es norte y L es oeste para establecer correctamente el rumbo. Esto estará muy claro, espero, para aquellos lectores que hayan estudiado y resuelto problemas de estima inversa en el curso de Patrón de Yate. Utilizando la ley de los cosenos:

16 cos(d 0 ) = cos(61.85) cos(47.65) + sin(61.85) sin(47.65) cos( ) cos(d 0 ) = D 0 = o Este arco D 0 de o es un trozo de círculo máximo de la Tierra. Por tanto, en millas náuticas medirá o x 60' = millas.

17 Esfera Celeste Subsecciones Esfera Celeste: Líneas y puntos principales. Líneas respecto a un astro.

18 Esfera Celeste: Líneas y puntos principales Mirando al cielo el firmamento parece una esfera de gran radio, concéntrica con la Tierra, en cuya superficie interior (la que nosotros vemos) se encuentran proyectados todos los astros, independientemente de cual sea su distancia real a la Tierra. Esta es la esfera celeste. Esfera Celeste El punto más alto de la semiesfera celeste que vemos desde nuestra situación sobre la superficie terrestre, situado directamente sobre nuestra cabeza y obtenido al prolongar el radio terrestre correspondiente a nuestra posición hasta cortar a la esfera celeste, se llama cenit. El punto diametralmente opuesto es el nadir y es, evidentemente, invisible para cualquier observador.

19 Esfera Celeste y algunos de sus elementos más importantes. Arriba se muestra una representación tridimensional. La parte de abajo corresponde a un corte de la esfera por el plano del meridiano del observador de forma que estamos mirando desde el oeste hacia el este a lo largo de la línea oeste-este. El eje del mundo o línea de los polos es la prolongación del eje Norte-Sur de la Tierra (su eje de rotación, señalado con un flecha blanca en esta figura ) hasta cortar a la esfera celeste en los polos celestes (norte y sur, indicados en la figura por P N y P S y por puntos rojos en la figura ). El polo celeste correspondiente a la latitud del observador (el polo norte en el caso de la figura depreso. ) se llama polo elevado, mientras que el opuesto es el polo Vertical es la línea que une el cenit con el nadir. Evidentemente, pasa por el observador y por el centro de la Tierra y es la vertical en el sentido habitual. Por extensión, se llama también vertical a todo plano que contenga a esta línea. En particular, el plano que contiene a los polos celestes y al cenit y el nadir es un vertical y su intersección con la esfera celeste define el meridiano celeste del lugar (o del observador). El primer vertical (o vertical primario) es el plano vertical que es perpendicular al vertical que contiene al meridiano del lugar. El ecuador celeste es el círculo máximo de la esfera celeste obtenido al proyectar sobre ella el ecuador terrestre (círculos blancos en esta figura ). De la misma manera se obtienen meridianos y paralelos celestes:

20 Meridianos y paralelos celestes En particular, el meridiano celeste del observador es el círculo máximo de la esfera celeste obtenido de proyectar el meridiano terrestre del observador y pasa, por tanto, por los polos celestes, el cenit y el nadir. El semicírculo que contiene al cenit se llama meridiano superior mientras que el que contiene al nadir se llama meridiano inferior. Al igual que ocurre con los meridianos terrestres, hemos de definir un meridiano 0 o primer meridiano que sirva de origen. La elección natural es utilizar el meridiano celeste de Greenwich que será, evidentemente, el círculo máximo de la esfera celeste que pasa por los polos celestes y por la proyección de Greenwich. Clases de horizontes. El horizonte astronómico (overdadero o racional) es el círculo máximo de la esfera celeste formado por la intersección de ésta con un plano perpendicular a la línea cenit-nadir (o sea a la vertical del observador) que pasa por el centro. Por su parte, el horizonte aparente odel observador es el círculo menor de la esfera celeste formado por la intersección de ésta con un plano tangente a la superficie terrestre en el punto del observador (y, por tanto, perpendicular también a la vertical del observador y paralelo al horizonte astronómico). El horizonte de la mar es el círculo menor sobre la superficie terrestre obtenido mediante las visuales desde el observador. Este es el horizonte en el sentido habitual del término y define el límite de la parte de la superficie terrestre que podemos ver desde una posición dada. Por esta razón es llamado también en ocasiones horizonte verdadero, pero esto es confuso pues el término verdadero se aplica también al horizonte astronómico. Un almicantarat es un círculo menor de la esfera celeste que es paralelo al horizonte astronómico. En particular, el horizonte aparente es un almicantarat. Los puntos cardinales norte ysur (N y S en las figuras) se encuentran en las intersecciones del horizonte astronómico con el meridiano del lugar. El más cercano al polo norte es el punto cardinal norte y el más cercano al polo sur es el punto cardinal sur. Por su parte, el horizonte astronómico, el ecuador celeste y el primer vertical, todos ellos círculos máximos de la esfera celeste, se cortan en dos puntos que son los puntos cardinales este (E) y oeste (W). El este es el que queda a la derecha cuando desde el cenit miramos al polo norte.

21 Líneas respecto a un astro Hasta aquí hemos definido los elementos más importantes de la esfera celeste con respecto a un observador situado sobre la superficie de la Tierra. Ahora vamos a introducir las líneas más relevantes referidas a un astro fijo en la esfera celeste. El círculo horario del astro es el meridiano celeste que pasa por el astro. Es decir, es el círculo máximo de la esfera celeste que pasa por los polos celestes y por el astro en cuestión. Por consiguiente, es perpendicular al ecuador celeste. El paralelo de declinación oparalelo diario es el paralelo celeste del astro. Es decir, es el círculo menor de la esfera celeste que pasa por el astro y es paralelo al ecuador celeste. El movimiento aparente de un astro en la bóveda celeste es tal que recorre un paralelo de declinación por día, de ahí el segundo nombre. El círculo vertical del astro (o, simplemente, vertical del astro) es el vertical que contiene al astro. O sea, es el círculo máximo de la esfera celeste que pasa por el astro, el cenit y el nadir y es perpendicular al horizonte astronómico. Líneas de la esfera celeste referidas a un astro.

22 Versión simplificada de la figura anterior. Nótese que en la figura el ángulo, o sea, la altura del polo celeste elevado sobre el horizonte, coincide con la latitud del observador. Esto es evidente a partir de la parte de abajo de la figura examinando la relación existente entre los diferentes ángulos que resultan de la intersección de dos conjuntos de perpendiculares: Por un lado, el eje del mundo-ecuador celeste y, por otro, el horizonte-vertical del observador. Si quieres verlo aun más sencillamente puedes utilizar esta

23 Coordenadas celestes de los astros En navegación astronómica obtenemos la posición del barco a partir de la situación de un astro en la esfera celeste y esta última se determina mediante sus coordenadas celestes. Existen diferentes conjuntos de coordenadas celestes que se obtienen utilizando diferentes sistemas de referencia, o sea diferentes ejes y planos básicos, para su definición. Subsecciones Coordenadas horizontales o azimutales. Coordenadas horarias. Movimiento propio de los astros. Movimiento aparente del Sol. Eclíptica. Zodiaco. Coordenadas uranográficas ecuatoriales. Relación entre las distintas coordenadas que se miden en el Ecuador. Órbita que describe la Tierra alrededor del Sol. Zonas. Climas. Estaciones.

24 Coordenadas horizontales o azimutales El eje básico en la definición de estas coordenadas es la vertical del observador (el eje cenit-nadir) y el plano básico de referencia es el horizonte astronómico. Así que es evidente entonces que las coordenadas azimutales de un astro concreto dependen de la posición del observador, pues lo hace su vertical y su horizonte. La figura muestra la definición de las coordenadas azimutales de un astro. Definición de las coordenadas azimutales de un astro. Altura del astro, a, es el ángulo correspondiente al arco de círculo vertical del astro contado desde el horizonte astronómico hasta el almicantarat que pasa por el astro. En la figura es el ángulo y su valor va de 0 o a 90 o grados. Cuando el astro se encuentra bajo el horizonte la altura es negativa (y se suele llamar depresión). El ángulo complementario de la altura, C a 90 - a, se llama distancia cenital. Azimut del astro,, es el ángulo correspondiente al arco de horizonte astronómico comprendido entre la vertical del astro (punto M en la figura ) y un origen que es arbitrario: distintos orígenes utilizados para contar el azimut definen diferentes azimut: El azimut náutico o circular se mide desde el punto cardinal N todo seguido hacia el E de 0 o a 360 o. El azimut cuadrantal se mide desde el N o S hacia el E o W. Es decir, el azimut náutico (o circular) y el azimut cuadrantal se definen y relacionan entre si igual que los rumbos circular y cuadrantal. El azimut astronómico se mide desde el punto cardinal correspondiente al polo celeste elevado (o sea, el correspondiente a la latitud del observador) de 0 o a 180 o hacia el E o el W. El ángulo complementario del azimut cuadrantal se llama amplitud. Por tanto, la amplitud se mide desde el E o el W (según sea el azimut cuadrantal), de 0 o a 90 o grados, hasta el pie de la vertical del astro (M). EJEMPLO: Supongamos que en el caso de la figura el ángulo = 120 o. Entonces el azimut náutico (o

25 circular) es 120 o. El azimut cuadrantal es S 60 o E y el azimut astronómico es 120 o al E desde el N. La amplitud es de 30 o.

26 Coordenadas horarias El eje básico en este caso es el eje del mundo (o eje de los polos), el plano de referencia es el ecuador celeste y los círculos que se utilizan son el círculo horario del astro (que es el meridiano celeste del astro) y el paralelo de declinación (o paralelo diario, que es el paralelo celeste del astro). Estas coordenadas dependen del observador porque, como veremos seguidamente, lo hace el origen que se utiliza para medir los ángulos que vamos a definir. Coordenadas horarias de un astro. Horario (del astro) en el lugar, horario local o, simplemente, horario del astro ( h l ) es el ángulo correspondiente al arco de ecuador celeste que va desde el meridiano superior del observador, todo seguido hacia el W de 0 o a 360 o, hasta el círculo horario (meridiano celeste) del astro. De nuevo, al igual que ocurría en el caso del azimut, diferentes maneras de contar el arco de ecuador celeste conducen a diferentes horarios. Así, el horario astronómico o ángulo en el polo ( ) es el mismo ángulo que acabamos de definir pero contado desde el meridiano superior del observador hasta el círculo horario del astro hacia el E o el W de forma que sea menor de 180 o. Esta es una magnitud muy importante porque se utiliza directamente en la resolución de problemas de navegación astronómica. Cuando el horario astronómico (siempre < 180 o ) es hacia el W se llama horario occidental (h w ) y cuando ha de contarse hacia el E, porque el horario occidental sería h w > 180 o, se llama horario oriental (h e ). Obsérvese que el horario de un astro depende de la posición del observador, pues lo hace el meridiano superior del observador desde el que lo medimos. Se define el horario en Greenwich del astro ( h G ), que no depende de la posición del observador, exactamente igual que el horario local pero contando el arco de ecuador celeste desde el meridiano celeste de Greenwich. O sea, que h G es el arco de ecuador celeste que va desde el meridiano celeste de Greenwich, todo seguido hacia el W de 0 o a 360 o, hasta el círculo horario del astro. Su relación con el horario local h l se establece, evidentemente, a través de la longitud L del observador (ATENCIÓN: Utilizaremos SIEMPRE el convenio de signos aceptado por la Unión Astronómica puesto que es el que utiliza el Almanaque Náutico: L es positiva cuando es E y negativa cuando es W):

27 h l = h G + L. El horario en Greenwich es una magnitud importante porque el Almanaque Náutico da el h G medida en tiempo universal) del Sol, la Luna y los planetas. (para cada día y hora Declinación es el ángulo correspondiente al arco de círculo horario (meridiano celeste) del astro contado desde el ecuador celeste hasta el astro, de 0 o a 90 o, con signo + cuando es hacia el norte y con signo - cuando es hacia el sur. En otras palabras, la declinación de un astro no es más que su latitud celeste. La codeclinación o distancia polar del astro es el ángulo complementario de la declinación, pero teniendo en cuenta que se define siempre como la distancia angular sobre el círculo horario del astro desde el astro hasta el polo celeste elevado (o sea, el polo de igual latitud que la del observador). Por consiguiente, si la declinación del astro y la latitud l del observador son del mismo signo la codeclinación será = 90 o - mientras que, en caso contrario, la codeclinación es = 90 o +.

28 Movimiento propio de los astros. Movimiento aparente del Sol. Eclíptica. Zodiaco El Sol, como todas las estrellas, se puede considerar, a efectos de navegación astronómica, fijo en el espacio. Alrededor del Sol giran la Tierra y los demás planetas describiendo órbitas elípticas con el Sol colocado en uno de los focos. El plano de la órbita terrestre forma un ángulo de 23 o 27 ' ( 23.5 o ) con el ecuador terrestre. Este plano se llama la eclíptica. Orbita de la Tierra alrededor del Sol. El plano que contiene a la órbita (amarillo) se llama eclíptica. El eje de rotación (señalado en rojo) está inclinado 23.5 o con respecto a la eclíptica. Es evidente, entonces, que en junio la declinación δ del Sol es norte (positiva) y alcanza un máximo de 23.5 o, en diciembre es sur (negativa) alcanzando el valor o y en marzo y septiembre la declinación del Sol es muy pequeña cambiando de signo y pasando por el valor 0 o : Declinación δ del Sol a lo largo de un año. Además de este movimiento de traslación (en sentido oeste-este) alrededor del Sol, la Tierra rota sobre si misma dando una vuelta (también de oeste a este) cada día, como se muestra en esta figura. Estos movimientos de traslación y rotación de la Tierra y los planetas son movimientos propios, es decir, reales, así como lo es también el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra.

29 Los movimientos de rotación y traslación pasan, sin embargo, desapercibidos para un observador terrestre quien, por el contrario, apreciará que la esfera celeste (y con ella todos los astros que están fijos en ella) se mueve aparentemente en el tiempo en sentido contrario. Movimiento aparente diario de la esfera celeste según es apreciado por un observador terrestre situado en latitudes norte medias. Se muestra el recorrido diario de un astro (cuya declinación es negativa) a lo largo de su paralelo de declinación. Sólo cuando la declinación del astro es cero éste tiene su orto exactamente en el E y su ocaso exactamente en el W pues su paralelo diario coincide en ese caso con el ecuador celeste. El movimiento aparente más directamente apreciable es el debido a la rotación terrestre: La Tierra completa una vuelta, en sentido oeste-este, en un día lo que se traduce en un giro aparente de la bóveda celeste en sentido contrario, de este a oeste, en el mismo tiempo alrededor del eje del mundo (así que los polos celestes permanecen fijos). Por tanto, una estrella dada da aparentemente una vuelta completa al cabo de un día siguiendo su paralelo diario (de ahí el nombre) o paralelo de declinación. Este movimiento aparente (ver las figuras y ) se aprecia de distinta manera dependiendo de las coordenadas geográficas del observador sobre la Tierra (pues la orientación del eje del mundo con respecto al observador cambia cuando éste varía su posición, como has estudiado en esta ). Para fijar ideas pongamos el caso de latitudes norte medias (por ejemplo, un observador situado en Madrid que está a unos 40 o N). En este caso, tendremos el polo norte celeste a una altura de 40 o sobre el horizonte cuando miramos hacia el norte. El polo norte celeste permanece fijo durante el movimiento aparente diario de la esfera celeste. A su alrededor veremos al cielo girar en el sentido contrario al de las agujas del reloj (o sea, de este a oeste). De esta forma, la región celeste próxima al polo norte celeste resulta visible permanentemente. Esta región se llama casquete circumpolar y las estrellas dentro de esta región son las estrellas circumpolares. Está formada, evidentemente, por todas las estrellas cuya distancia angular al polo norte celeste es menor que la altura de éste sobre el horizonte (unos 40 o en el ejemplo de un observador situado en Madrid). La estrella polar se encuentra aproximadamente a 1 o del polo norte celeste por lo que en su movimiento diario aparente describe un círculo tan pequeño que no se aprecia a simple vista y, en consecuencia, la consideramos fija en el polo norte celeste. Todo esto lo puedes observar en la siguiente animación que muestra el aspecto del cielo a lo largo de un día completo en 24 imágenes consecutivas (una por hora). La imagen corresponde al 21 de Marzo en una latitud de 40 o N:

30 Rotación aparente de la esfera celeste debida al movimiento de rotación de la Tierra. La posición en el cielo de los distintos cuerpos celestes mostrada en esta animación es bastante exacta. Como es obvio, las imágenes se han obtenido mediante un programa informático. A lo largo de un día completo, como el mostrado en la animación, hay muchas horas de luz en las que las estrellas no son visibles. Como puede observarse, la estrella Polar está situada prácticamente en el Polo Norte Celeste que es el punto alrededor del cual gira toda la bóveda celeste. En sus proximidades son fácilmente reconocibles algunas constelaciones como la Osa Mayor o Casiopea. Están tan cerca del Polo que permanecen las 24 horas sobre el horizonte, formando parte del casquete circumpolar. Otros astros, como la estrella Fomalhaut, son visibles sólo durante unas horas, presentando sus correspondientes orto y ocaso. El casquete alrededor del polo depreso, delimitado por el paralelo diario que no llega a estar por encima del horizonte, se llama casquete anticircumpolar y las estrellas dentro de él son las estrellas anticircumpolares que, evidentemente, nunca son visibles para el observador.

31 Movimiento diario de la esfera celeste según se aprecia por un observador situado en el polo norte terrestre (arriba) y en el ecuador terrestre (abajo). Por el este (más precisamente, por la mitad NES del horizonte) tiene lugar el orto (salida) de los astros. Mirando hacia el sur veremos como los astros van ganando altura de izquierda a derecha (o sea, de E a W) hasta que al atravesar el meridiano celeste superior del lugar alcanzan su máxima altura sobre el horizonte (esta es la culminación del astro) para después descender hacia el oeste y ocultarse finalmente a lo largo de la mitad SWN del horizonte en lo que se llama el ocaso (puesta) del astro. El arco de paralelo diario comprendido entre el orto y el ocaso en el que el astro está sobre el horizonte y es, por tanto, visible se llama arco diurno mientras que el resto del paralelo en el que el astro está bajo el horizonte es el arco nocturno. Hasta aquí hemos descrito el movimiento de rotación aparente diario de la esfera celeste tal como lo vería un observador terrestre desde latitudes norte. Para un observador en el hemisferio sur todo sería igual excepto que vería el paso de los astros por el meridiano del lugar en sentido derecha-izquierda cuando se encuentra mirando al norte. Sin embargo, los astros poseen también sus movimientos propios (reales) que provocan que, con el paso del tiempo, se desplacen unos respecto a otros. Nuestros vecinos los planetas del Sistema Solar son, debido a su proximidad, los que más ostensiblemente muestran su cambio de posición en la esfera celeste. Además, teniendo en cuenta el movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol, resulta que para un observador terrestre los cuerpos del Sistema Solar describen trayectorias aparentes sobre la esfera celeste (cada astro la suya) que se superponen a la rotación aparente diaria de la bóveda. De todos modos, como ésta última es tan rápida comparada con los primeros, sólo transcurridos varios días o semanas podemos apreciar los cambios relativos de posición de unos astros respecto a otros sobre la bóveda celeste cuando miramos a ésta en el mismo instante del día. Movimiento anual aparente del Sol sobre la esfera celeste debido a la traslación de la Tierra. Analicemos ahora el movimiento aparente del Sol sobre la esfera celeste debido a la traslación de la Tierra alrededor de él. La figura nos ayudará a ello. Cuando la Tierra se encuentra en la posición 1 de su órbita, un observador terrestre ve la imagen del Sol proyectada en el punto 1 ' sobre la esfera celeste y cuando la Tierra está en 2 verá la imagen del Sol en 2 '. Por tanto, la trayectoria aparente del Sol sobre la esfera celeste debida a la traslación propia de la Tierra es un círculo máximo (la eclíptica) que se completa en un año; es decir, aproximadamente a razón de 1 o diario. Para un observador terrestre fijo el movimiento aparente será de 1 o diario hacia el este (o sea, en sentido contrario a la rotación aparente diaria de la esfera celeste):

32 Esta animación muestra el recorrido anual aparente del Sol a lo largo de la eclíptica (el círculo máximo amarillo), completando una vuelta con respecto a las estrellas (que, por su lejanía, pueden considerarse fijas) en un año. O sea, que el Sol huye hacia el E a lo largo de la eclíptica a razón de 360 o (una vuelta completa) en un año o, aproximadamente, 1 o por día. Se ha representado también el ecuador celeste (círculo máximo blanco). Ambos círculos forman un ángulo de 23.5 o y se cortan en dos puntos, quedando la eclíptica repartida en dos mitades situadas en hemisferios celestes diferentes. Cómo se manifiesta este movimiento aparente para un observador terrestre?. En otras palabras, puesto que este movimiento es mucho más lento que la rotación aparente diaria (365 veces más lento), cómo puede ser apreciado por un observador situado sobre la superficie de la Tierra?. Pues de manera sencilla: Cuando la Tierra termina de completar una vuelta sobre si misma con respecto a las estrellas fijas de forma que el observador las ve en la misma posición que el día anterior (el tiempo que tarda en hacerlo se llama día sidéreo), el Sol habrá huido 1 o hacia el E y, por tanto, en hora solar (la que utilizamos en nuestra vida diaria) encontraremos a las estrellas en la misma posición unos 4 minutos solares antes que el día anterior (4 minutos es lo que tarda la bóveda celeste en rotar 1 o pues da una vuelta completa por día). O sea, que si miramos al cielo cada día a la misma hora resulta que cada jornada encontraremos a una estrella dada (cualquierea de ellas) 1 o más hacia el oeste o, alternativamente, si queremos encontrarla en el mismo sitio del día anterior tendremos que mirar cuatro minutos antes (pues 1 o 4minutos). Transcurrido un mes serán necesarios 30 4 = 120minutos, o sea, dos horas de antelación para encontrar a la estrella en el mismo punto de la bóveda celeste en el que estaba al comienzo del mes y es posible entonces que no haya siquiera anochecido. Así que en cada época del año las noches están presididas por regiones del cielo distintas y para un hemisferio terrestre dado se podrá hablar de constelaciones típicas de verano, de invierno, etc. Los puntos de corte de la eclíptica con el ecuador celeste se llaman equinoccios. El equinoccio que es atravesado por el Sol entre el 20 y 21 de marzo, abandonando la mitad de la eclíptica perteneciente al hemisferio sur para pasar a la mitad norte (es decir, cuando la declinación del Sol pasa de negativa a positiva), es el equinoccio de primavera y se llama también punto vernal (o primer punto de Aries). En la animación anterior es el punto de corte situado en la parte frontal. El movimiento del Sol sobre la eclíptica origina el paso de las distintas estaciones porque produce la progresiva variación de su separación del ecuador celeste (es decir, la variación de su declinación) y, por tanto, la progresiva variación a lo largo del año del paralelo de declinación que recorre aparentemente cada día y, consecuentemente, el cambio de la altura que alcanza el Sol al mediodía y, en definitiva, las horas diarias que está sobre el horizonte en un determinado lugar de la Tierra.

33 Trayectorias aparentes diarias del Sol, tal como las aprecia un observador situado en Madrid, en distintos días del año (durante los solsticios de verano e invierno y los equinoccios de primavera y otoño). Consideremos de nuevo el ejemplo de un observador en Madrid (figura ). El 21 de marzo el Sol se encuentra en el ecuador celeste así que el movimiento diario de la bóveda celeste hace que el Sol asome exactamente por el E y se oculte exactamente por el W transcurridas 12 horas, alcanzando su máxima altura sobre el horizonte a mediodía ( 50 o sobre el S porque la latitud de Madrid es de 40 o N). El nombre de equinoccio recuerda la igual duración del día y la noche. Al cabo de 3 meses, el 21 de junio, el Sol ha recorrido la cuarta parte de la eclíptica y se encuentra a 23.5 o al norte del ecuador. Este es el solsticio de verano, comenzando para nosotros el verano. Ese día el Sol recorre un arco muy amplio, saliendo cerca del NE y poniéndose por el NW, permaneciendo muchas horas visible por encima del horizonte. Su altura de paso por el meridiano del lugar (altura de culminación) es de 50 o o = 73.5 o sobre el S. Cuando el Sol alcanza de nuevo el ecuador, el 23 de septiembre (equinoccio de otoño) comienza el otoño y la trayectoria diaria del Sol ese día es igual a la de 6 meses antes durante el equinoccio de primavera el 21 de marzo. El 21 de diciembre (solsticio de invierno) el Sol se sitúa en su máxima declinación sur, 23.5 o por debajo del horizonte. El orto ocurre por el SE y el ocaso por el SW. AL mediodía el Sol culmina con una altura de tan solo 50 o o = 26.5 o, con lo que está visible pocas horas sobre el horizonte. Zodiaco y signos del zodiaco. Como ya hemos comentado más arriba, el plano de la órbita terrestre alrededor del Sol está inclinado con respecto al ecuador terrestre un ángulo de unos 23.5 o. Por tanto, el plano de la eclíptica forma exactamente el mismo ángulo

34 con el ecuador celeste. Este ángulo, que se llama oblicuidad de la eclíptica es el mismo que forma el eje de los polos de la Tierra con el plano de su órbita alrededor del Sol. La Luna se mueve alrededor de la Tierra, y los demás planetas alrededor del Sol (todos ellos movimientos propios, reales), siguiendo órbitas que guardan cierta inclinación con respecto a la órbita de la Tierra. Sin embargo, esta inclinación no sobrepasa en ningún caso (salvo Plutón) los 8 o. Esto se traduce para un observador terrestre en que la Luna y los planetas nunca se van a alejar más de 8 o de la eclíptica y, por consiguiente, van a ocupar una franja del cielo, a uno y otro lado de la eclíptica, llamada zodiaco. Si dividimos esta franja en 12 partes iguales obtenemos los 12 signos del zodiaco, cada uno de los cuales es atravesado por el Sol en su movimiento anual aparente en 1 mes (figura ). El hecho de que la Luna y los planetas posean movimientos propios, al contrario que el Sol y las estrellas que consideramos fijas en el espacio, significa que estos astros no describen en su movimiento diario aparente un paralelo de declinación sino que su movimiento aparente es más complicado pues es el resultado de la combinación de la rotación aparente esfera celeste con el movimiento real del astro en cuestión.

35 Coordenadas uranográficas ecuatoriales Este sistema de coordenadas no depende del observador. El plano fundamental para su definición es el ecuador celeste y el eje de referencia es el eje del mundo. Los círculos de referencia son los paralelos de declinación (paralelos celestes) y los máximos de ascensión (que no son otra cosa que los círculos horarios o meridianos celestes de los astros). En realidad, como vamos a ver inmediatamente, las coordenadas uranográficas ecuatoriales son las mismas que las coordenadas horarias pero, con el fin de hacerlas independientes del observador, tomando el origen para medir los ángulos en el punto vernal en lugar de en el meridiano del observador. La ascensión recta es el arco de ecuador celeste (medido en horas) contado desde el punto vernal, en sentido contrario a las agujas del reloj visto desde el P N, hasta el pie del máximo de ascensión (o círculo horario o meridiano celeste) del astro. La ascensión recta no se utiliza en navegación y, en su lugar, se utiliza el ángulo sidéreo A S que es arco de ecuador celeste (medido en grados), de 0 o a 360 o, contado desde el punto vernal hacia el W (como el horario) hasta el máximo de ascensión del astro. La declinación se define exactamente igual que en el caso de las coordenadas horarias. Es decir, la declinación es el ángulo correspondiente al arco de círculo horario del astro (o máximo de ascensión) medido desde el ecuador celeste hasta el astro, de 0 o a 90 o, siendo positiva cuando es hacia el N y negativa cuando es hacia el S. Obsérvese que las coordenadas uranográficas ecuatoriales no son más que, como se ha comentado más arriba, las coordenadas horarias pero refiriendo el horario del astro al primer punto de Aries o punto vernal en lugar de al meridiano celeste del observador (como hacíamos para definir el horario del astro en el lugar). De esta forma se consigue que las coordenadas del astro no dependan del observador (nótese que el horario local de un astro varía de 0 o a 360 o al cabo de un día para un astro dado y un observador fijo sobre la superficie terrestre). Es ahora el momento adecuado, antes de continuar con nuevos conceptos, de utilizar esta claramente todas las ideas expuestas hasta aquí. para terminar de fijar

36 Relación entre las distintas coordenadas que se miden en el Ecuador El horario de un astro y su ángulo sidéreo están relacionados. Para encontrar esa relación definimos el horario de Aries en el lugar (u horario local de Aries), h l, y el horario de Aries en Greenwich h G que serán, lógicamente, el ángulo correspondiente al arco de ecuador celeste, de 0 o a 360 o hacia el W, hasta el primer punto de Aries contado desde el meridiano superior del observador el primero de ellos y desde el meridiano celeste de Greenwich el segundo. Diferentes ángulos que se definen sobre el ecuador celeste. La figura, que representa al Ecuador celeste mirado desde el polo norte celeste, muestra estos conceptos de manera gráfica y permite obtener de manera evidente, teniendo en cuenta que la longitud L del observador es positiva cuando es E y negativa cuando es W, una serie de relaciones entre las distintas coordenadas que se definen como arcos de ecuador celeste: h l = h l + A S h G = h G + A S h l = h G + L h l = h G + L El horario de Aries en Greenwich, h G Tiempo Universal (TU) pues nótese que h G, lo facilita directamente el Almanaque Náutico (para cada día y hora en varía a medida que la esfera celeste describe su rotación diaria

37 aparente). El ángulo sidéreo A S de la estrella en cuestión también se obtiene del Almanaque. Así que, utilizando las ecuaciones anteriores, obtendremos el horario del astro en Greenwich h G (ese día y a esa hora) sin más que sumar ambas cantidades.

38 Órbita que describe la Tierra alrededor del Sol. Zonas. Climas. Estaciones Ya hemos discutido cómo el movimiento aparente anual del Sol a lo largo de la eclíptica explica la existencia de las distintas estaciones. Para un observador situado en Madrid ( 40 o de latitud N) el Sol alcanza su altura máxima sobre el S ( 73.5 o ) al mediodía del 21 de junio (solsticio de verano). Si ese mismo día observamos el Sol desde un punto situado más al sur, o sea, viajamos hacia el ecuador terrestre, es evidente que la altura máxima del Sol sobre el S ese día aumenta tantos grados como grados hayamos disminuido nuestra latitud. En particular, si el 21 de junio nos colocamos en el paralelo terrestre de latitud 23.5 o N, el Sol alcanzará al mediodía (sólo el 21 de junio) el cenit, o sea los 90 o de altura sobre el S. Gráficamente es claro utilizando la figura : Movernos hacia el S significa disminuir nuestra latitud de modo que los planos que contienen las órbitas aparentes del Sol estarán cada vez más verticales. La órbita correspondiente al 21 de junio pasará por el cenit cuando nuestra latitud inicial de 40 o N haya disminuido en 16.5 o, encontrándonos entonces en los mencionados 23.5 o N que corresponden al paralelo terrestre conocido como trópico de Cáncer. Nuestro viaje hacia el sur nos llevará posteriormente al Ecuador terrestre. En esta situación (véase la parte de abajo de la figura ) el Ecuador celeste y el primer vertical coinciden. El Sol también alcanzará el cenit visto desde esta posición, pero lo hará dos veces al año (en los equinoccios) en lugar de una sola. En los solsticios el Sol alcanzará, visto desde el ecuador terrestre, su menor altura sobre el horizonte al mediodía ( 66.5 o sobre el N en el solsticio de junio y 66.5 o sobre el S en el solsticio de diciembre). Nótese que en el caso de un observador en el ecuador terrestre hablamos de solsticios de junio y diciembre en lugar de verano e invierno ya que no tiene sentido aquí la distinción entre estas estaciones: El Sol alcanza grandes alturas sobre el horizonte (siempre mayor de 66.5 o ) durante todo el año. Si seguimos nuestro viaje hacia el sur llegamos al trópico de Capricornio que es el paralelo terrestre correspondiente a los 23.5 o de latitud S. Se repite aquí lo mismo que ocurría en el trópico de Cáncer pero, evidentemente, 6 meses después: El Sol alcanza el cenit sólo un día al año, durante el solsticio del 21 de diciembre que en esa latitud es el solsticio de verano. Finalmente, los paralelos que distan 23.5 o de los polos se llaman círculos polares. En ellos hay un día al año (en el solsticio de junio para el del hemisferio norte y en el de diciembre para el del sur) en el que el Sol no llega a ocultarse aunque llega a rozar el horizonte a medianoche (por el S en el círculo polar antártico del hemisferio sur y por el N en el círculo polar ártico del hemisferio norte). Este fenómeno es lo que se llama el Sol de medianoche. Seis meses después, en el solsticio opuesto, el Sol no llega a salir aunque asoma justo por el S en el hemisferio norte (y por el N en el hemisferio sur). De nuevo esto se puede ver fácilmente imaginándonos cómo evoluciona la figura 3.6 cuando ahora aumentamos la latitud del observador hasta los 90 o o = 66.5 o N correspondientes al círculo polar ártico, los planos de las órbitas diarias del Sol serán más horizontales. El correspondiente al solsticio de diciembre será tal que el Sol culmina ese día exactamente en el horizonte S. La situación extrema sucede en los polos: El Sol está presente a lo largo de 6 meses (durante la primavera y verano) y se ausenta desde el comienzo del otoño hasta el final del invierno. Todo lo anterior se traduce en que la Tierra de divide zonas climáticas bien diferenciadas, como se representa esquemáticamente en la figura.