FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.

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1 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. CORRESPONDENCIA. Se llama CORRESPONDENCIA entre dos conjuntos A y B a toda ley que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B. Se denota por : A B A es el conjunto inicial de la correspondencia. B es el conjunto inal de la correspondencia. Los elementos de A que se transorman mediante la correspondencia orman el CONJUNTO ORIGINAL: Or() Los elementos de B que son transormados de los de A orman el CONJUNTO IMAGEN: Im( ) Se llama GRAFO de una correspondencia a un subconjunto G del producto cartesiano A B ormado por los pares (a, b) tal que b = (a). APLICACION. Se llama APLICACION entre dos conjuntos A y B a toda correspondencia que veriica las siguientes condiciones: Todos los elementos del conjunto A se transorman en elementos del conjunto B: A Or( ) La imagen de cada elemento es única. Tipos de aplicaciones. Si a la aplicación le exigimos algunas cosas más, tendremos distintos tipos de aplicaciones: INYECTIVA: cada imagen lo es de un sólo original, es decir, si ( x) = ( x') x = x' SOBREYECTIVA, SOBRE o EXHAUSTIVA: todo elemento del conjunto inal tiene un original: B Im( ) es decir, y B x A / ( x) = y. BIYECTIVA: cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo, es decir, es una aplicación uno a uno, por lo que los conjuntos inicial y inal tienen el mismo número de elementos. FUNCIONES. Se llama FUNCION a toda aplicación entre conjuntos numéricos. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 1

2 Nuestro objetivo es estudiar unciones reales de variable real, es decir, unciones donde el conjunto inal es el conjunto de números reales (unciones reales) y el conjunto inicial también es o un subconjunto D de (variable real). Se representan por: : D / x D y = ( x ) x representa la variable independiente y toma valores en el conjunto original D y representa la variable dependiente y toma valores en el conjunto imagen Una unción se puede deinir de varias maneras: Por medio de un cuadro de valores: FUNCIONES TABULADAS. Por medio de una expresión o órmula matemática. Por medio de su gráica. En toda unción debemos distinguir: DOMINIO: Se llama dominio o campo de existencia de una unción al conjunto de valores x para los cuales está deinida la ecuación y = (x), es decir, al conjunto de valores que tienen imagen; se representa por D = Dom( ). Dom( ) = D = { x / ( x) = y RECORRIDO: Se llama recorrido de una unción al conjunto de valores reales que son imagen de algún original, es decir, al conjunto de valores de la variable y. Se representa por Im( ). Im( ) = { y / y = ( x) siendo x D La unción : deinida de la orma ( x) = x (unción cuadrática) tiene por dominio puesto que cualquier número real tiene cuadrado y su recorrido es + ya que el cuadrado de cualquier número real es positivo. x La unción : D deinida de la orma ( x) = tiene sentido para x 1 todos los valores que no anulan el denominador, es decir, todos los valores x tales que x 1 0. Como los únicos valores que anulan el denominador son x = 1 y 1 D = 1, 1. x =, el dominio máximo de la unción será { La unción : D deinida de la orma ( x) =+ 1 x tiene sentido para todos los valores que hagan que el radicando sea mayor o igual que cero, es decir, 1 x 0 1 x de donde x 1. En consecuencia, el dominio máximo de nuestra unción será D = [ 1,1]. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

3 Puesto que una unción es una aplicación de D en, podemos decir que una unción es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva, cuando lo sea la aplicación que la deine. La unción lineal ( x) = ax+ b es una unción biyectiva ya que es Inyectiva: Si ( x) = ( x') ax+ b= ax' + b x= x' Sobreyectiva ya que para cualquier valor real y podemos encontrar el original y b correspondiente que tenga a y por imagen: y = ax+ b x= a En consecuencia, puesto que es inyectiva y sobreyectiva, es biyectiva. La unción ( x) = x no es inyectiva ya que si x = x ' ( x) = ( x') x = ( x') x = x ' La correspondencia : D deinida por ( x) = x no es una unción para ningún dominio D ya que cualquier valor real positivo de x tendrá dos imágenes, una positiva y otra negativa. Si x la entendemos como + x, entonces si es unción. El dominio D puede ser un subconjunto no vacío cualquiera del conjunto de números reales. Si D = la unciones reciben el nombre de sucesiones de números reales. Si D = las unciones se llaman unciones reales de variable entera. Si D = las unciones se llaman unciones reales de variable racional. IGUALDAD DE FUNCIONES. Sean : D1 y g: D dos unciones. Se dice que es igual a g, y se escribe = g, cuando se veriican las dos condiciones siguientes: a) Tienen el mismo dominio: D1 = D b) ( x) = g( x) para cualquier x del dominio D1 = D. Las unciones ( x) = ( x 1) y gx ( ) = x x+ 1 son iguales ya que tienen el mismo dominio máximo y además se veriica que ( x) = g( x) x. x 1 Las unciones ( x) = x 1 y gx ( ) = no son iguales ya que no tienen el mismo x + 1 dominio máximo: la unción tiene por dominio y la unción g tiene por 1. dominio máximo { FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 3

4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN. La representación gráica de una unción pretende visualizar la correspondencia entre las variables x e y de orma que se vean ácilmente sus propiedades. De aquí la gran importancia de la gráica de una unción: da una inormación rápida y amplia de la unción. GRAFO DE UNA FUNCIÓN Sea : D una unción real de variable real. A cada x D le hace corresponder un valor numérico y = ( x) que es la imagen de x por. Se llama GRAFO de la unción a un subconjunto ormado por los pares ( x, y ) tal que y = ( x). GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN: { (, ( )) / G = x x x D G del producto cartesiano D Si consideramos un sistema de reerencia aín, p.e. R = { O; i, j representar los puntos del grao G en el plano aín., podemos La igura del plano aín determinada por los puntos correspondientes a los elementos del grao, recibe el nombre de GRÁFICA de la unción. Es decir, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas coordenadas veriican la ecuación y = (x). Si el dominio de la unción es inito podemos representar todos los pares del grao y obtener la gráica completa. Si el dominio de la unción es ininito es imposible representar todos los pares del grao. En la práctica, se representan los puntos necesarios de orma que al unirlos por un trazo continuo, se obtenga una gráica que se aproxime a la real. Para comprobar si un punto P( a, b) pertenece o no a la gráica de la unción, basta comprobar si se veriica la igualdad b = (a). Si se veriica pertenece y si no se veriica, no pertenece. Dada la abscisa x = a de un punto de la gráica de una unción, para hallar la ordenada correspondiente, sólo tendremos que sustituir x por a en la deinición de la unción y así obtener y = (a). La solución es única y existe, por tanto, un único punto de la gráica con esa abscisa. El problema inverso sería: Dada la ordenada y = b de un punto de la gráica, obtener la abscisa correspondiente. Para ello, se resuelve la ecuación b = (x) que puede tener una, varias o ininitas soluciones que corresponderán con uno, varios o ininitos puntos de la gráica de la unción. Para representar una unción utilizamos unos ejes cartesianos que no son más que dos rectas que se cortan perpendicularmente en un punto que llamaremos ORIGEN de coordenadas y sus coordenadas serán (0, 0). La recta horizontal recibe el nombre de EJE DE ABSCISAS y la vertical, EJE DE ORDENADAS. En el eje de abscisas representaremos los originales (variable independiente): desde el origen hacia la derecha, los positivos y hacia la izquierda, los negativos. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 4

5 En el eje de ordenadas representaremos las imágenes (variable dependiente): desde el origen hacia arriba, las positivas y hacia abajo, las negativas. Los cortes de la gráica de la unción con el eje OX de abscisas reciben el nombre de CEROS DE UNA FUNCION. Son los originales que tienen por imagen el cero. { C( ) = x Dom( ) / ( x ) = 0 Para calcular los ceros de una unción no tendremos más que tomar la propia deinición de la unción y después de igualar a cero, resolver la ecuación que nos resulta. 1. Representar la unción : donde 6 ( x) =. x Calculamos la tabla de valores correspondientes: D [ 6, 1] [ 1, 6] D = deinida por x y = (x) Px (, ( x )) 6 1 ( 6, 1) 3 ( 3, ) 3 (, 3) 1 6 ( 1, 6) (1, 6) 3 (, 3) 3 (3, ) 6 1 (6,1) y su gráica nos quedaría de la orma: x si x<. Representar la unción : deinida por ( x) = 3 si x La gráica de esta unción se compone de dos semirrectas: una para valores menores que, donde representaremos la unción ( x) = x que corresponde a la bisectriz del tercer cuadrante y del primero hasta el ; otra, la ( x ) = 3, unción constante, que son los puntos de la orma ( x,3). Con ello, la gráica nos quedaría de la orma: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 5

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