dada por c(x) = donde x indica el tamaño de los pedidos para renovar existencias

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1 FUNCIONES +, si <.(97).- Para la función f () =,si < 4 5, si 4 (a)estudiar razonadamente su continuidad en R (b) Hallar la ecuación de la recta tangente a dicha función cuando = 4.(97).- Sea la función y = (a) Analizar sus puntos de infleión en R (b) Analizar su máimo absoluto en R.(97).- La función c(t) = 44.t -/ + 00 proporciona los costes de fabricación por unidad para un determinado producto en función del tiempo, donde c(t) denota los costes en pta/unidad y t indica el tiempo transcurrido, medido en meses. Por otra parte, se estima que el precio de venta por unidad del producto anterior va a variar de la forma indicada a continuación: p(t) = 00 t donde p(t) es el precio en pta/unidad y t denota el tiempo transcurrido, medido en meses. a) Determinar la epresión algebraica de la función b(t) que proporciona los beneficios totales, suponiendo que las ventas mensuales son constantes e igual a unidades. b) Al cabo de cuántos meses se alcanza el beneficio total máimo? 4.(97).- La función de costes por unidad de tiempo asociada con los inventarios de unos almacenes viene dada por c() = donde indica el tamaño de los pedidos para renovar eistencias y c() se mide en millones de pta por año. Se pide calcular: a) El tamaño de los pedidos que hace que c() alcance su valor mínimo, así como dicho valor. b) Las ecuaciones de las asíntotas de la función c(). 5.(97).- El número de enfermos por gripe en una ciudad a lo largo del pasado mes de Enero ha venido dado por la función y(t) = e 0,t, donde t representa el número de días transcurridos a partir del de Enero de 996. a) Cuántos enfermos había el citado día de Enero? b) Calcular la epresión algebraica de la función que representa la velocidad de evolución del número de enfermos al cabo de t días. c) Determinar la fecha en la cual la velocidad de evolución del número de enfermos ha sido de 80,4 enfermos/día. 6.(97).- El tiempo necesario para fabricar una unidad de un determinado producto disminuye a un ritmo dado por la epresión r(t) = 80.t -, donde t es el tiempo transcurrido en meses y r(t) se mide en minutos/mes a) En cuántos minutos disminuye el tiempo de fabricación entre los meses y 4? b) Si en t= el tiempo de fabricación es de 00 minutos, cuánto tiempo se tarda en fabricar una unidad de producto al cabo de 6 meses? 7.(97).- El valor de un equipo informático decrece a un ritmo dado por ( 0.t - 50 ) miles de pta/año. Si el valor inicial del citado equipo era de pta. cuál será su valor al cabo de 5 años? 8.(97).- Se quiere cercar un campo rectangular mediante una valla, aprovechando un muro ya eistente. Se sabe que la valla del lado opuesto al muro cuesta 00 pta. por metro y la de los otros dos lados 00 pta. por cada metro. Si el presupuesto disponible es de pta., hallar el área del mayor recinto que pueda cercarse. 9.(97).- Sea la función y = +. Calcular el área del recinto limitado por dicha función y la función y = 0. 0.(97).- Calcular el área del recinto limitado por: y = e -, =, = y el eje de abscisas. Manuel Ruiz

2 (mod).- Hállense las rectas tangentes a la curva f() = + 8 y = que sean paralelas a la recta (mod).- Los beneficios que se obtienen de la venta de unidades de un determinado producto vienen dados por la epresión: B() = (a) Determínese el número de unidades a vender para el que se maimiza el beneficio medio B()/. (b) Para qué número de unidades se obtiene el beneficio máimo?.(98).- Un club deportivo cuenta con un número de socios que viene dado (en miles de personas) por la función: s() = donde indica el número de años desde la última remodelación. a) Hállese el año en el que el club ha tenido el mayor número de socios. b) El cuarto año se remodeló de nuevo. Indíquese razonadamente si esta remodelación tuvo éito o no. 4.(98).- Sea la función: f() = + b +a 5. a) Hállense los valores de a y b para que esta función tenga un máimo en = y un mínimo en =. b) Hállese el área de la región limitada por la gráfica de f() y el eje OX, entre =0 y =. 5.(99).- Dada la curva de ecuación: y = + 6 calcúlense las rectas tangentes a la misma, que sean paralelas a la recta de ecuación: y =. 6.(99).- Se considera la función: f() = (a) Hállense sus máimos y mínimos. (b) Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (c) Represéntese gráficamente. 7(99).- Se sabe que los costes totales de fabricar unidades de un determinado producto vienen dados por la epresión: C() = C() a) Cuántas unidades hay que producir para minimizar el coste medio, M () =? b) Justifíquese que la función que define el coste medio, M(), no tiene puntos de infleión. + 5, 8(99).- Sea la función: f () = 5, si a) Represéntese gráficamente. b) Estúdiese su continuidad. si 0 < (mod).- (a) Calcúlense p y q de modo que la curva y = + p + q contenga al punto (,) y presente un mínimo en =. (b) Hállese el área del recinto acotado por la curva y = y la recta y=5. 0(mod).- El número de individuos, en millones, de una población, viene dado por la epresión: 5 + t P(t) = donde t se mide en años transcurridos desde t=0. Calcúlense: (t + ) a) La población inicial. b) El año en el que se alcanzará le mínima población. Cuál será el tamaño de ésta? c) Cuál será el tamaño de la población a largo plazo?. + si (00).- Se considera la función: f () = si > + (a) Estúdiese si f() es continua en el punto =. Manuel Ruiz

3 (b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a f() en el punto =. (c) Calcúlense sus asíntotas oblicuas. a si 0 (00).- Sea la función dependiente de los parámetros a y b: f () = si 0 < b 5 si > (a) Hállense los valores de a y b para que la función sea continua en todo número real. (b) Represéntese gráficamente para los valores a=0 y b=. (c) Para los valores a=0 y b=, hállese el área de la región plana acotada limitada por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas = y = (00).- Dada la función, definida en los reales salvo en =0: f() =, calcúlense: a) Las coordenadas de sus máimos y mínimos relativos. b) El área de la región plana acotada limitada por la gráfica de f y el semieje positivo OX t 0t 4(00).- Dada la función: s(t) = definida en los reales, salvo en t =, hállese: t + a) El valor positivo de t en el que se hace 0 la función b) El valor positivo de t en el que s(t) se hace máimo. c) Las asíntotas de s(t). 5(0).- Una empresa fabrica cajas de latón sin tapa de volumen 500 cm, para almacenar un líquido colorante. Las cajas tienen la base cuadrada. Hállense la altura y el lado de la base de cada caja, para que la cantidad de latón empleada en fabricarlas sea la mínima posible. 6(0).- Dada la función: f () = + + a) Determínense sus máimos y mínimos relativos. b) Calcúlense sus puntos de infleión. c) Esbócese su gráfica. 7(0).- Sean las funciones f() = + a + b, g() = + c a) Determínense a, b y c sabiendo que las gráficas de f y g se cortan en los puntos (, ) y (,0) b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g en el punto (, ). c) Calcúlese el área de la región limitada por f y g. 8(0).- Sea la función f() =. Calcúlese: a) Los intervalos donde es creciente y decreciente. b) Las coordenadas de sus máimos y mínimos relativos. c) El valor de para el que es máima la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(). 9(0).- a) Hallar las coordenadas del mínimo de la curva: y = 4 5. b) Calcular el área del triángulo limitado por el eje OX y las tangentes a la curva dada en los puntos de intersección de dicha curva con el eje OX. 0(0).- Se considera la curva de ecuación: y = 4. a) Hallar las coordenadas de sus puntos de intersección con los ejes coordenados y de sus máimos y mínimos relativos, si eisten. b) Representar gráficamente la curva. c) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la curva y el eje OX. (0).- Para cada valor de a se considera la función a f () =. Se pide: + Manuel Ruiz

4 a) Calcular el valor de a para que f() tenga un mínimo relativo en =. b) Hallar las asíntotas de la curva y = f() para el valor a =. (0).- Calcular el valor a > 0 en los siguientes casos: a) a d = a ; b) = 0 + d ; c) d = 0 + a (mod).- Para cada valor de a se considera la función: f() = + a 4ln. a) Calcular el valor de a sabiendo que la función tiene un etremo relativo en el punto de abscisa =. Clasificar el etremo. b) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento para a =. c) Hallar sus asíntotas. 4(mod).- Se considera la función: f () = +, 0. a) Hallar las coordenadas de sus máimos y mínimos relativos. b) Determinar los intervalos de concavidad y conveidad. c) Esbozar la gráfica de f. 5(0).- Sean las funciones f() = 9, g() = 6. Calcular: f () a) lim g() b) Los etremos relativos de g(), si eisten. c) El área del recinto limitado por la gráfica de la función f(), el eje OX y las rectas =, =6. 6(0).- Dada la función f () = a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Calcular sus asíntotas. c) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en = 0. 7(0).- Se considera la función f() = e. a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en el punto de abscisa =. b) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f() para 0, el eje OX y la recta =. + 8(0).- Sea la función f () =. Se pide: + a) Especificar su dominio de definición. b) Estudiar su continuidad. c) Calcular las asíntotas si las hubiera. 9(04).- Calcular la integral definida: ( + + ) d 40(04).- Se considera la función real de variable real definida por: f() = a) Determinar su dominio de definición. b) Obtener sus asíntotas. 4 4(04).- Se considera la función real de variable real definida por: f () = a , a 0. a a) Obtener los valores de a para los cuales la función f() tiene un máimo en =. b) Calcular los etremos relativos de f() para a= y representar la función. Manuel Ruiz 4

5 4(04).- Sean las funciones: f() = 8 ; g() = f () a) Calcular lim 4 g() b) Calcular el área del recinto acotado limitado por las curvas f() y g(). 4(mod).- Sea la función: f() =. a) Calcular sus etremos relativos y los puntos de infleión. b) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f(), el eje OX y las rectas verticales =, = /. 44(mod).- Se considera la función real de variable real definida por: + si f () = ln si > a) Estudiar la continuidad de f() en =. b) Esbozar su gráfica. c) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en = (05).- La función: B() = representa, en miles de euros, el beneficio neto de un proceso de venta, siendo el número de artículos vendidos. Calcular el número de artículos que deben venderse para obtener el beneficio máimo y determinar dicho beneficio máimo. 46(05).- a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() = e en el punto donde ésta corta al eje de ordenadas. b) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f() = 4, el eje OX y las rectas =, = 4. 47(05).- Se considera la curva de ecuación: y =. Se pide: + a) Hallar la ecuación de la recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa =. b) Hallar las asíntotas de la curva. 48(05).- Se considera la función real de variable real definida por: f () = 9 a) Hallar sus asíntotas. b) Calcular sus máimos y sus mínimos relativos, si eisten. 49(mod).- Calcular el área del recinto acotado limitado por la gráfica de la función f () = y el eje OX. 50(mod).- Calcular el valor de a>0 para que el área de la región plana acotada limitada por las gráficas de las curvas y =, y = a, sea igual a 4. 5(06).- Se considera la función real de variable real definida por: f() = 9. Se pide: a) Calcular sus máimos y mínimos relativos, si eisten. b) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de la función f y el eje OX. 5(06).- Se considera la curva de ecuación cartesiana y = + 8. Se pide: a) Calcular el punto en el que la recta tangente a la curva es paralela a la recta y = b) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la curva dada y la de la recta y = +8 5(06).- Dada la función real de variable real definida por: f() = 6, se pide: 4 Manuel Ruiz 5

6 (a) Encontrar las asíntotas de la función. (b) Especificar el signo de la función en las distintas regiones en las que está definida. 54(06).- Representar gráficamente la región acotada limitada por las gráficas de las funciones: f() = 9, g() = + y obtener su área. ( ) 55(07).- Dada la función real de variable real definida por: f () = + a) Determinar las asíntotas de la función. b) Calcular sus máimos y mínimos y determinar sus intervalos de crecimiento. 56(07).- Representar gráficamente la región acotada limitada por las gráficas de las funciones: 5 f () =, g() = (5 + 0), h() = ( 5 + 0) y obtener su área. 4 57(07).- Dada la función real de variable real definida por: () = + f a) Especificar su dominio de definición. b) Estudiar su continuidad. c) Calcular sus asíntotas si las hubiera 58(07).- La gráfica de la función f() = a + b + c satisface las siguientes propiedades: pasa por el punto (0,0) Tiene un máimo local en el punto (,). Se pide: a) Obtener el valor de los coeficientes a, b y c. b) Hallar el área de la región acotada del plano limitada por la gráfica de la función g() = +, el eje OX y la recta =. 59(mod).- Dada la función real de variable real definida por: () = 4 f a) Calcular sus asíntotas y esbozar su gráfica b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en = 0 60(mod).- Dada la función real de variable real definida por: f () = 6 + 9, se pide determinar: a) Los puntos en los que la gráfica de f corta a los ejes de coordenadas. b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. c) El área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de la función y el eje OX. 6(008).- Calcúlese el área de la región plana acotada limitada por las gráficas de las funciones reales de variable real: f ( ) = ; g ( ) = - 6 (008).- Se consideran la función real de variable real definida por:: f () = + +, 0 a) Determínense las asíntotas de f. b) Calcúlense sus máimos y mínimos relativos y determínense sus intervalos de crecimiento. c) Calcúlese la integral definida f ()d S. Sancho 6

7 6 (008).- Se desea fabricar un acuario con base cuadrada y sin tapa, de capacidad 500 dm. La base y las paredes del acuario han de estar realizadas en cristal. Cuáles deben ser sus medidas para minimizar la superficie total del cristal empleado?. 64 (008).- Se considera la función real de variable real definida por: + () = ± 4 f a) Determínense las asíntotas de f b) Calcúlense los máimos y mínimos relativos de f y determínense sus intervalos de crecimiento. c) Calcúlese la integral definida: ( 4) f()d. 5 65(modelo ). Se considera la función real de variable real definida por: f() = + a + b ; a,b R a) Qué valores deben tomar a y b para que f tenga un máimo relativo en el punto P (,4)?. b) Para a = -, b = -8, calcúlese determínense los puntos de corte de la gráfica de la gráfica de f con los ejes de coordenadas y determínense los puntos de infleión de dicha gráfica. c) Para a = -, b = -8, calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f y el eje OX.. 66(modelo ).- Se considera la función real de variable real definida por: si < f() = + a si 5 ( a, b R ) b si > 5 a) Calcúlense los valores de a y b para que f sea contínua en = y en = 5. b) Para a =, b = 6, calcúlense las derivadas f () y f (7). 6 c) Para a =, b = 6, calcúlese la integral definida f ()d. S. Sancho 7

8 Soluciones a los problemas de funciones. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. FUNCIONES (97).- (a) Cont. en R {,4}. (b) y = 4. (97).- (a) No tiene P.I. (b) No tiene máimo absoluto. (97).- (a) b(t) = ( 00 t 44.t / ) (b) meses. 4(97).- (a) 5 unidades, c(5) = 9 6 millones de pta. por año. (b) A.V. = 0 A.H. y = 0. 5(97).- (a) 00 enfermos. (b) 40.e 0,t enfermos/día. (c) El 6 de Enero. 6(97).- (a) 45 minutos. (b) 50 minutos. 7(97) pta. 8(97) m. 9(97).- /6 u. 0(97).- /. ( e 6 e ) u. (mod).- y = 9+, y = 9 9. (mod).- (a) 4 unidades. (b) 8 unidades. (98).- (a) Al cabo de año. (b) Sí, porque a continuación, s() crece. 4(98).- (a) a=, b= 9. (b) 5/6 u. 5(99).- y= +54, y= 54. 6(99).- (a) Má. en (,0). Mín. en (5, 7). (b) Crec. en (,) (5,+ ), decrec. en (,5). (c) 7(99).- (a) 6 u. (b) M () no se anula en ningún punto. 8(99).- (a) (b) Continua en [0,0] 0 5 9(mod).- (a) p=6, q=9. (b) / u. 0(mod).- (a) 5 millones. (b) A los 5 años; individuos. (c) de individuos. (00).- (a) No. (b) 59 5y 7 = 0. (c) y = 8 (si + ). (00).- (a) a= b=. (b). (c) u. (00).- (a) Má. en (, ). Mín. en (, + ). (b) / ln u 4(00).- (a) t = 4. (b) t = 4. (c) A.V.: t=. A.O.: s = 0t (0).- Lado base: 0 cm. Altura: 5 cm. 6(0).- a) Mín. (, /6) ; má (, /). b) P.I. ( /, 5/). c) 7(0).- (a) a=, b=, c=. (b) y=4+5. (c) / u 8(0).- (a) Crec. en (0,4), decr. en (,0) (4,+ ). (b) Min (0,0), má (4, /). (c) = 9(0).- a) =, y = 9. b) 54 u (0).- a) (0,0), (,0), (,0). Ma. en,, min. en, b) c) 8 u (0).- a) a = 8. b) A.V. =, A.O. y = 9 (0).- a) a = ln4. b) a = e. c) a = /(e 5 ). (mod).- a) a=. Mínimo. b) crec. en (/, + ), decrec en (0, /). c) A.V. : = (mod).- a) Mínimo en (,) ; máimo en (, ). b) Convea en (0, + ), cóncava en (, 0). c) 5(0).- a) 6/5, b) (0 5, 6 5), c) 6 u 6(0).- a) Creciente en R {, } ; b) =, =, y=0 ; c) y = Manuel Ruiz 8

9 Soluciones a los problemas de funciones. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. 7(0).- a) y = e. e. b) / (e 4 ) u. 8(0).- a) D = R {,}. b) Continua en D ; lim f () = m ; lim f () = m c) A.V.: =, =. A.O.: y = / + /. 9(04).-. 40(04).- a) D = (, ] (,) [,+ ). b) =,, =,, y =. 4(04).- a) a= y a= /. b) máimo en (, 7/), mínimo en (5, 5/) 4(04).- a). b) 54 u. 4(mod) a) Min en (,), má en (,) P.I. en (0,0). b) 0/64 u. 44(mod).- a) Cont en =. b) c)y = 7(+) 45(05).- 4 artículos. Beneficio máimo = (05).- a) y = e +e. b) u 47(05).- a) y = /. b) A.O.: y = 48(05).- a) A.V.: =, =. A.H.: y =. b) Má en (0,0) 49(mod).- 5/ u 50(mod).- a = 8 5(06).- a) Mín. en (, 6 ) ; má. en (,6 ) ; b) 8/ u 5(06).- a) (, 5) ; b) 4/ u. 5(06).- a) AV: =, =. AH: y=. b) + en: (, 4) (,) (4,+ ) ; en: ( 4, ) (,4). 54(06).- Area = 5/6 u 55(07).- a) AV: = ; AO: y= 9. b) Má ( 9, 4); Min (,0); Crec en (, 9) (,+ ); decrec ( 9. ) (,). 56(07).- Área = 70/ u 57(07).- ).- a) Dom(f) = R {, }. b) Continua en R {, }. En = la discontinuidad es evitable y en = la discontinuidad es de salto infinito. Asíntota vertical =, asíntota horizontal y = 58 (07).- a) a = -4 b = 6. b) área = ( + )d = 0 5 u 4 59(mod).- a)asíntotas y = 0; = ; = - b) y = 0 60(mod).- a) (0,0) y (,0). b) decreciente en (,), creciente en (-, ) (, + ) c) área = 7/4 unidades cuadradas 6(008).- 9/8 u S. Sancho 9

10 Soluciones a los problemas de funciones. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. 6(008).-a) A.V. = 0; A.O y = + ; min(, + ), ma(-, ), crec (, ) (, + ) ; c) 5/ + ln 6.(008).- = 0 dm ; y = 5 dm 64(008).- a) A.H y =, A.V. =, = -; b) Máimo M (0, -/). Crece en (, ) (,0) y decrece en ( 0,) (, + ) ; c) 0/ u 65(modelo ).- a) a = -6, b = 9, b) puntos de corte (0,0); (4,0); (-,0), punto de infleión 60 I(, ) c) 48/ u 7 66(modelo a) a =, b = 7, b) f () = ; f (7) =- 9; c) 79/6 S. Sancho 0

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