DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN REAL DE DOS VARIABLES REALES
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- Carmen Montoya Palma
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1 Cálculo III- Dierecial-TVMCD-Geeralizació Diereciabilidad DIFERENCIL DE UN FUNCIÓN REL DE DOS VRILES RELES a R : R b R R z : E las codicioes ateriores si llaaos a la ució : R R observaos que es ua trasoració lieal co coeicietes e tério de la cual se puede epresar la deiició de diereciabilidad de la ució e el puto coo sigue: es diereciable e : R R dode Deiició : R R z La trasoració lieal trasoració lieal tal que es u puto del doiio de próio a tal que es diereciable e : R R es la dierecial de e usaos para ella la otació d p ó d z Los valores de la d se deota d ( ) ó calcula e Δ Δ Esto es d Toado calculado Observaos que d z calculado d resulta que d d d resulta que d d Luego poeos Iterpretació geoétrica d d d d p es ua ució de las cuatro variables d d La ecuació z e es diereciable e ( ) cuado se Toado represeta al plao tagete Q a la supericie z gráica de por deiició Lic María Teresa acios- Mg Silvia Rut Góez
2 Cálculo III- Dierecial-TVMCD-Geeralizació Diereciabilidad d Coparado las dos igualdades resulta: d z Etoces la d Q cuado pasaos del puto al puto gráica de e uestra la igura siguiete es la variació que eperieta la cota del plao tagete a la segú z S Q Q T R ( ) dz ( ) z ( ) D E la isa se visualiza ua porció de S supericie de ecuació z del plao tagete a la isa e Q iage e S de dode es diereciable Los putos Q T so respectivaete las iágees de e la supericie S e el plao z d la aproiació etre abos cuado el puto se odeos observar a acerca a Se observa tabié el tério adicioal que tiede a cuado tiede a Epresada la deiició de diereciabilidad de la ució e el puto e tério de la aplicació lieal resulta que Del cual se sigue que: Etoces cuado so pequeños esto es cuado e vale que: d z d Esta igualdad epresa que La variació de la ució cuado pasaos del puto co e es aproiadaete igual a d calculada e e o a la dierecial de Lic María Teresa acios- Mg Silvia Rut Góez
3 Cálculo III- Dierecial-TVMCD-Geeralizació Diereciabilidad Resulta etoces e el caso diereciable e que podeos aproiar los valores de e u etoro de co los de ua trasoració aí (traslació de ua lieal): tal que Esto es: si Si observaos que el segudo iebro de la epresió aterior da la coordeada z de los putos del plao tagete a la gráica de e es clara la airació siguiete: Geoétricaete e u etoro de dode es diereciable se puede aproiar la supericie gráica de co el plao tagete a la isa e el puto Observació Es iportate darse cueta que la dierecial de ua ució se deie e la ipótesis de diereciabilidad de Esto sigiica que úicaete podeos usarla coo aproiació lieal para cuado ésta es diereciable Ejeplos de plicació - : R R z Hallar z dz e el puto para z ; ( () ) - ( ) (66 ) ( - ) 4 d z La ució de este ejeplo es diereciable e ( ) (pues es u polioio) para valores de pequeños coparados co e se veriica que z dz deás veos que ; 55 5 d ; aproiar los valores de e u etoro del puto ás d ; Lic María Teresa acios- Mg Silvia Rut Góez Luego podeos dode es diereciable co - Ecuetre ua aproiació lieal para la ució e se e el puto La ució es diereciable e luego ua aproiació lieal para e es la ució: g e e Coclusió Si : R R es diereciable e etoces: ) La supericie gráica de tiee e el puto e Q plao tagete de ecuació:
4 z Lic María Teresa acios- Mg Silvia Rut Góez Cálculo III- Dierecial-TVMCD-Geeralizació Diereciabilidad ) odeos obteer ua aproiació lieal para e u etoro de ésta es: E térios geoétricos esto sigiica que e las proiidades de podeos reeplazar la supericie gráica de por el plao tagete a la isa e DIFERENCILES DE ORDEN SUERIOR Dada : R R z d icreetos de las variables idepedietes es: d la dierecial de e calculada e d d d d d La dierecial llaadas a veces dierecial total es ua ució de cuatro variables idepedietes: las coordeadas e del puto iterior del doiio de e el que se estudia la dierecial los icreetos d d de las variables idepedietes Si es diereciable e iterior de su doiio la d tiee derivadas parciales de segudo orde respecto de las variables e cotiuas e podreos costruir d d dierecial seguda de e se idica d d d d d d dd d d Esta tiee la ora: d d d d d d d d que se llaa d d De la isa aera si tiee derivadas parciales cotiuas respecto a e asta el orde e d d que se llaa dierecial tercera de e se idica d podreos costruir d d d d d d dd d d d d d d d d d d d d d d d d d uede ácilete probarse por iducció que si tiee derivadas parciales cotiuas respecto a e asta el orde e podreos costruir la Esta tiee la ora: d d d d que se llaa dierecial eésia de e 4
5 d d d Cálculo III- Dierecial-TVMCD-Geeralizació Diereciabilidad d d d d Esta últia órula puede epresarse sibólicaete: d d d d d E la que priero debe desarrollarse oralete por edio del teorea del bioio la epresió de la dereca luego debe sustituirse: d d Ejeplo : R - por por R z d d ; Hallar d z e el puto d d d por d d d d d d d d 6 d d - si Eiste la dierecial tercera de e? Vios que d o eiste Luego o es diereciable e Tapoco eiste la dierecial seguda i la tercera de la ució d d por lo tato o eiste TEOREM DEL VLOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIL : D R R diereciable e el iterior de D D D tales que el segeto de etreos está coteido e el iterior de D etoces eiste C perteeciete al segeto tal que C Hareos luego la deostració del teorea utilizado la Regla de la Cadea para la derivació de las ucioes copuestas Vereos aora ua iterpretació geoétrica para la tesis del teorea Iterpretació geoétrica Supoeos que vale las ipótesis del Teorea del Valor Medio para D co Etoces eiste Lic María Teresa acios- Mg Silvia Rut Góez : D R R C tal que: C D 5
6 Cálculo III- Dierecial-TVMCD-Geeralizació Diereciabilidad Si la igualdad de la tesis se puede dividir iebro a iebro por se obtiee ero sabeos: C s traza e z a la recta que cotiee a deás: C siedo " " la pediete de" s " recta que ue los putos s está coteida e el plao vetical que tiee por C (por propiedades del producto escalar de la derivada direccioal de ua ució diereciable) D Mietras que segú la coocida iterpretació geoétrica de la derivada direccioal ide la pediete de la recta tagete e el puto C C C C C cota de C e la supreicie S a la curva " " itersecció de la supericie gráica de co el seiplao vertical cua traza e el plao XOY es la seirecta que cotiee al segeto or ipótesis es diereciable e C D C C D luego la curva itersecció de la gráica de co el plao vertical que cotiee al segeto tiee e el puto C cota de C recta tagete su pediete es igual a D C z t C s S O D C Etoces: La tesis del teorea e el caso e que asegura que eiste u puto C e la curva itersecció de la supericie " S " gráica de co el plao vertical que cotiee al segeto e el que la recta tagete tiee la isa pediete que la secate que ue los putos de dica curva Este resultado adite la siguiete represetació gráica: Lic María Teresa acios- Mg Silvia Rut Góez 6
7 Cálculo III- Dierecial-TVMCD-Geeralizació Diereciabilidad GENERLIZCIÓN DE L NOCIÓN DE DIFERENCIILIDD Geeralizareos la oció de diereciabilidad a ucioes reales de variable vectorial luego a ucioes vectoriales de variable vectorial I) FUNCIONES RELES DE VRILES RELES La geeralizació de la oció de diereciabilidad a a estas ucioes es iediata a partir de la deiició dada para ucioes de dos variables realesse epresa coo sigue: Deiició : R R es diereciable e : z i a R i a a a Se prueba que las ucioes diereciables e u puto iterior de su doiio so cotiuas adite todas las derivadas parciales todas las derivadas direccioales e dico puto deás vale para ellas los Teoreas del Valor Medio del Cálculo Dierecial de Talor II) FUNCIONES VECTORILES DE VRILE VECTORIL Geeralizareos la oció de diereciabilidad a ucioes vectoriales de variable vectorial ara ello epresaos coveieteete la deiició de diereciabilidad para ucioes reales de dos variables reales Deiició : R R z es diereciable e : R R trasoració lieal tal que La trasoració lieal de R e R a la que podeos asociar respecto de las bases caóicas la atriz ) es la dierecial de e que podeos poer: siguiete: ( d : R R ( ) Coo resulta que luego el líite Lic María Teresa acios- Mg Silvia Rut Góez 7
8 Cálculo III- Dierecial-TVMCD-Geeralizació Diereciabilidad 8 Lic María Teresa acios- Mg Silvia Rut Góez puede poerse Epresar la diereciabilidad de ua ució real de dos variables reales e tério de este líite perite geeralizar la oció de diereciabilidad a ucioes vectoriales de variable vectorial Deiició R R : es diereciable e R R : trasoració lieal tal que La trasoració lieal se llaa dierecial de e se deota p d Coo toda trasoració lieal de R e R ijadas las bases caóicas e dicos espacios a la dierecial de e correspode ua úica atriz la atriz jacobiaa de e que se idica '( ) tiee la ora: Etoces: R R d : Observació: Deiios p d sólo cuado es ua ució diereciable e Coo para las ucioes reales de dos variables reales se puede probar que si ua ució vectorial de variable vectorial es diereciable e u puto iterior de su doiio vale que: la ució es cotiua e dico puto la ució adite todas sus derivadas parciales e dico puto Se prueba la siguiete codició ecesaria suiciete que perite deteriar la diereciabilidad de las ucioes vectoriales estudiado la diereciabilidad de sus copoetes (ucioes reales)
9 Teorea : R R es diereciable e Cálculo III- Dierecial-TVMCD-Geeralizació Diereciabilidad j j es diereciable e Etoces d : R R d d d Observació ara cada j : R R iplica: d j : R R j j j Luego d j Ejeplos ) j j diereciable e j j j j j j : R R Es diereciable e u v u cos v u sev v Las ucioes u v u cos v u vu sev u v v? Si eiste ecuetre d p tiee derivadas parciales cotiuas e R por lo tato la codició suiciete para la diereciabilidad idica que so or el teorea euciado es diereciable e diereciables e R e particular e de lo que se sigue que eiste d p la atriz jacobiaa de e u v cosv sev u v u v la dierecial de e es: d : R R d ó : R R es la atriz que sigue: u sev u cos v Lic María Teresa acios- Mg Silvia Rut Góez 9
10 Cálculo III- Dierecial-TVMCD-Geeralizació Diereciabilidad ) Ecuetre la dierecial de la ució diereciable La atriz jacobiaa de e ( ) es la atriz : : R R z e se z e ( ) Etoces d : R R z z e se z e Ejercicios d e cos z : R R ó e ruebe que las ucioes dadas so diereciables calcule el deteriate de la atriz jacobiaa de e los putos dode eiste: : R R : R R a) cos se se cos se se cos b) Lic María Teresa acios- Mg Silvia Rut Góez
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