TEMA 3. Integración de funciones reales de variable real.

Transcripción

1 TEMA 3 Integrción de funciones reles de vrible rel. Ls integrles formlizn un concepto bstnte sencillo e intuitivo, el de áre. Los orígenes del cálculo de áres los podemos encontrr en el método de exhución desrrolldo por los griegos hce más de ños: consiste en ir inscribiendo en l región cuy áre se quiere clculr, regiones poligonles que l proximn y cuy áre semos cpces de clculr. Este método fue usdo por Arquímedes de Sircus pr clculr el áre encerrd por funciones sencills, el eje de bsciss y ls rects verticles x = y x = b. Por ejemplo, l del áre encerrd bjo un segmento de prábol. Primero, debemos proceder l cálculo de primitivs de un función, pr luego poder resolver ls integrles definids y como plicción, clculr áres de figurs plns y volúmenes.. Integrl indefinid. Métodos de integrción. Definición Dd un función f definid en [, b], llmremos primitiv de f culquier función F derivble en [, b] verificndo que F = f. Conociendo ls regls de derivción, es fácil clculr primitivs de lguns funciones elementles. Vemos unos ejemplos sencillos de cálculo de primitivs, que ilustrn l siguiente propiedd: dos funciones primitivs F y E de un función f, difieren forzosmente en un constnte. Ejemplos: Un primitiv de l función f(x) = x es F (x) = x3 3 + C, con C culquier constnte. Efectivmente, F es derivble en culquier intervlo [, b] y F = f, se cul se l constnte C. Un primitiv de l función f(x) = x culquier constnte. en [, + ] es l función E(x) = ln x + C, con C Llmremos integrl indefinid de f, y l denotmos por primitiv de f. Por tnto, si F es un primitiv de f, se tendrá que C un constnte rbitrri. f(x) dx, tod función f(x) dx = F (x) + C, con INTEGRALES DE FUNCIONES ELEMENTALES: Se obtienen directmente prtir de ls derivds de ls funciones elementles I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

2 x n dx = xn+ n + + C, n dx = ln x + C, x x > x dx = x ln + C, > e x dx = e x + C senx dx = cos x + C cos dx = tn x + C x sen dx = cotgx + C x dx = rctn x + C + x dx = rccotgx + C + x dx = rcsenx + C, x (, ) x cos x dx = senx + C dx = rccosx + C, x (, ). x INTEGRALES INMEDIATAS: Teniendo en cuent l regl de l cden y sbiendo ests regls directs de integrción podemos clculr, completndo constntes, otrs integrles: Tipo potencil: x (3x 3 + 5) 3 dx = 9 9x (3x 3 + 5) 3 dx = (3x 3 + 5) 4 + C. 9 4 Tipo exponencil: x 4 x3 +5 dx = 3 ln 4 3(ln 4)x 4 x3 +5 dx = 4x ln 4 + C. Tipo logritmo: senx cos x senx + cos x senx + cos x dx = dx = ln(senx + cos x) + C. senx + cos x Tipo rcotngente: dx x + x + = 8 6x + 8x + 8 dx = 8 dx (4x + ) + 7 = 8 (/7)dx (4x+) 7 + = 8 7 dx ( ) 4x+ 7 + (Terminr est integrl como ejercicio). Nos interes trnsformr productos en sums de funciones cuys integrles conozcmos, y que, por linelidd, sus integrles son más sencills. Con est ide, podremos clculr ls siguientes integrles: Tipo sen(px) cos(qx) dx, sen(px) sen(qx) dx, cos(px) cos(qx). I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

3 Se trnsformn los productos en sums medinte ls fórmuls trigonométrics sen + cos = sen cos b = [sen( + b) + sen( b)] sen sen b = [cos( b) cos( + b)] cos cos b = [cos( + b) + cos( b)]. De l primer fórmul se obtiene que tn x = cos, con lo que será fácil clculr un x primitiv de tn x (clculrl como ejercicio). CAMBIO DE VARIABLE O SUSTITUCIÓN: Un integrl puede trnsformrse en otr inmedit medinte un cmbio de vrible. Teorem Se f continu en un intervlo I. Se φ un función biyectiv en I con derivd continu. Se tiene: [ f(x) dx = ] f(φ(t))φ (t)dt φ (x) 9 [ ] Ejemplo: x x = 3sent 9 dx = = (3sent) dx = 3 cos tdt 3 cos tdt =... (Terminr est integrl usndo primero ls fórmuls trigonométrics). INTEGRACIÓN POR PARTES: Teorem 3 Sen u y v funciones derivbles en un intervlo I. Se tiene: u(x) dv(x) = u(x)v(x) v(x) du(x) Efectivmente, de l fórmul de l derivd de un producto d(uv) = vdu + udv, integrndo en los dos miembros y despejndo, se obtiene el resultdo. ] =... (Terminr l integrl plicn- Ejemplos: [ u(x) = rctn x du(x) = dx. rctn xdx = +x dv(x) = dx v = x do directmente el teorem nterior) I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 3 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

4 . I = [ ] u(x) = cos x du(x) = sen xdx e x cos xdx = dv(x) = e x dx v = e x = e x cos x + e x sen xdx [ ] u(x) = sen x du(x) = cos xdx = dv(x) = e x dx v = e x = e x cos x + e x sen x e x cos xdx }{{} I Esto es lo que se denomin un integrl cíclic. En este cso, I = e x cos x + e x sen x I, esto es, I = e x cos x + e x sen x, luego I = (ex cos x + e x sen x) + C. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES P (x) Supongmos que queremos clculr dx, con P y Q polinomios tles que gr(p )<gr(q), Q(x) esto es, l frcción es irreducible (si el grdo del numerdor es myor o igul que el grdo del denomindor, se hce l división). El método que exponemos consiste en descomponer P (x) Q(x) en frcciones cuys integrles conocemos, frcciones simples cuys integrles son tipo potencil, logritmo y/o tipo rcotngente. Pr ello, se clculn ls ríces del denomindor Q(x) (puntos z donde Q(z) =. Supongmos, que Q tiene h ríces reles x,..., x h con multipliciddes respectivs r,..., r h, y k pres de ríces complejs ± b,..., k ± b k simples (nos reducimos este cso, unque el método tmbién sirve pr ríces complejs múltiples). Q(x) = (x x ) r... (x x h ) r h ( (x ) + b )... ( (x k ) + b k). Entonces, existen unos únicos números reles A i,j (i =,..., h, j =,..., r i ), M p, N p, con p =,..., k,, y un polinomio C(x) tles que P (x) h Q(x) = C(x) + r i i= j= A i,j k (x x i ) j + p= M p x + N p (x p ) + b. p Sbemos integrr culesquier de ls frcciones que precen en l descomposición: los diversos tipos que precen son A (x x ) p }{{} T ipo potencil M p x + N p (x p ) + b p = M p x (x p ) + b p }{{} T ipo logritmo + N p (x p ) + b. p }{{} T ipo rcotngente INTEGRACIÓN DE FUNCIONES QUE SE TRANSFORMAN EN RACIONALES I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 4 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

5 R(sen x cos x) dx. Con el cmbio t = tn ( x ), se tiene que sen x = t t, cos x = + t + t y dx = + t dt, y nuestr integrl se trnsform en un rcionl. En los csos prticulres R(sen x cos x) = sen m x cos n x, con m, n Z, tmbién se pueden hcer los siguientes cmbios de vribles (más sencillos que los cmbios nteriores) Si m es impr, se hce el cmbio t = cos x. Si n es impr, se hce el cmbio t = senx. Si m y n son pres, se pueden disminuir los exponentes plicndo ls fórmuls trigonométrics: sen x = ( cos x), cos x = ( + cos x), sen x cos x = sen x R( x ) dx. Cmbio t = x. ( ) R x, q (x + b) p,... q k (x + b) p k dx, p i, q i N. Se clcul M =mcm (q,..., q k ), y se reliz el cmbio x + b = t M. ( (x ) R x, q + b p (x ) ) + b pk,... qk dx, p i, q i N. cx + d cx + d Se clcul M =mcm (q,..., q k ), y se reliz el cmbio x + b cx + d = tm. R (x, ) k x dx. Cmbio x = ksen t. R (x, ) x k dx. Cmbio x = k cos t. R (x, ) k + x dx. Cmbio x = k tn t.. Integrl definid: definición, condición de integrbilidd y propieddes L ide que subyce en l definición de integrl definid es, como dijimos en l introducción, l que utiliz Arquímedes pr el cálculo de áres encerrds entre los ejes coordendos y l gráfic de un función f(x). Supongmos que queremos clculr el áre A encerrd por un función f bjo un segmento [, b] (por hor supondremos que l función está definid y cotd en [, b]). I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 5 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

6 Dividimos el intervlo [, b] en n subintervlos [t, t ], [t, t ],..., [t n, t n ] como en l gráfic nterior, por medio de números t, t,..., t n, que verificn = t < t <... < t n < t n = b. Al conjunto P = {t, t,..., t n } se le denomin prtición del intervlo [, b]. Pr cd prtición P, considermos n puntos representtivos ξ,..., ξ n, tles que ξ i [t i, t i ], y considermos ls n bnds rectngulres con bse en cd subintervlo y ltur f(ξ i ). Si summos ls áres de ls n bnds, obtendremos (en l medid en que n se grnde y ls bnds tengn bses pequeñs) un proximción del áre A buscd. El áre de cd bnd rectngulr es áre bnd = bse ltur = (t i t i ) f(ξ i ). L sum de ls áres de ls bnds (que depende de l prtición P elegid y de l imgen por f de los puntos ξ i, i =,..., n) se denomin sum de Riemnn, y se denot por S(f, P ). Resumiendo, n S(f, P ) = (t i t i )f(ξ i ) A. i= Prece lógico pensr que mientrs más pequeño elijmos el diámetro de l prtición, δ(p ) máx k n {t k t k }, obtendremos un mejor proximción del áre. I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 6 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

7 Con est ide, se define l integrl definid de f entre y b como el límite de ls sums de Riemnn S(f, P ) cundo el diámetro de l prtición P tiende cero, siempre que este límite exist. Decimos entonces que l función es integrble Riemnn y, simbólicmente, escribimos b f(x) dx = lím S(f, P ). δ(p ) Denotremos por R([, b]) l conjunto formdo por ls funciones integrbles Riemnn en [, b]. Se tienen ls siguientes propieddes (intuitivs, teniendo en cuent l interpretción geométric de l integrl): Teorem 4 Sen f, g R([, b]). Se verific. (Linelidd) Si α, β K, entonces αf(x) + βg(x) R([, b]) y demás b [αf(x) + βg(x)] dx = α b f(x) dx + β. Si f R([, b]), entonces f R([c, d]) pr culquier [c, d] [, b]. 3. Se c (, b). Se tiene que b f(x) dx = c f(x) dx + b c b f(x) dx. g(x) dx. 4. (Monotoní) Si f es un función positiv, esto es, f(x) pr culquier x [, b], se tiene que b f(x) dx. En generl, si f g (g(x) f(x) pr culquier x [, b]), entonces b f(x) dx b 5. L función vlor bsoluto f R([, b]), y se verific b g(x) dx. b f(x) dx f(x) dx. 6. L función producto fg R([, b]). En generl, b f(x)g(x) dx b f(x) dx b g(x) dx. Como consecuenci de ests propieddes se obtienen los conocidos teorems del vlor medio pr integrles: I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 7 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

8 Teorem 5 Sen f, g R([, b]).. (Primer teorem del vlor medio) Si existen m, M R tles que m f(x) M, pr culquier x [, b]. Entonces, existe c R, m c M tl que b f(x) dx = c(b ).. (Segundo teorem del vlor medio). Si f, y g es un función continu en [, b], entonces b g(x)f(x) dx = g(ξ) b f(x) dx, pr lgún ξ [, b]. Pr definir rigurosmente el concepto de áre (y el de volumen) de form corde con l intuición, necesitmos definir: b f(x) dx = b f(x) dx, f(x) dx =. L definición de integrbilidd implic evlur f en los números representtivos ξ i, tre que result rdu. Es por ello que conviene tener un condición equivlente de integrbilidd en l que no precen estos números. Pr dr l ide de est condición equivlente, volvemos l problem de clculr el áre A encerrd por un función f bjo un segmento [, b]. Fijmos un prtición P = {t, t,..., t n } del intervlo [, b]. Considermos hor dos tipos de bnds rectngulres con bse en cd subintervlo: los inscritos en l figur (cuy ltur son los mínimos de l función en cd subintervlo (Fig. I)) y los circunscritos, esto es, los que encierrn l figur (con lturs los máximos de l función en cd subintervlo(fig. II)): El áre de cd bnd inscrit (Fig I) es bse ltur = (t i t i ) inf {f(x) : x [t i, t i ]} = (t i t i )m i, y el áre de cd bnd circunscrit (Fig. II) es (t i t i )M i, con M i = sup {f(x) : x [t i, t i ]}. I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 8 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

9 L sum de ls áres de ls bnds inscrits y circunscrits se denominn, respectivmente, sum inferior y sum superior de Riemnn, y se denotn por L(f, P ) y U(f, P ) (del inglés lower y upper ). Lógicmente, l sum inferior de Riemnn nos drá un proximción por defecto del áre buscd, y l sum superior, un proximción por exceso. Por tnto, L(f, P ) = n (t i t i )m i A i= n (t i t i )M i = U(f, P ). i= Pr culquier prtición P se cumple l siguiente relción entre ls tres sums definids: L(f, P ) S(f, P ) U(f, P ). () Pr obtener mejores proximciones del áre tendremos que tomr el límite de ls sums superiores e inferiores cundo el diámetro de l prtición tiende cero. Esto nos conduce definir l integrl inferior y superior de f en [, b] como I(f) = b f(x) dx = lím L(f, P ), I(f) = δ(p ) b f(x) dx = lím U(f, P ). δ(p ) Con ests definiciones podemos dr l siguiente condición de integrbilidd, cuy demostrción se intuye de l desiguldd (): Teorem 6 Un función f es integrble Riemnn en [, b] si y solo si ls integrles superior e inferior de f existen y coinciden, y en este cso, su vlor es igul l de l integrl de f en [, b]. f R([, b]), b f(x) dx = I I(f) = I(f) = I. En el siguiente teorem dremos condiciones suficientes de integrbilidd, que nos drán ejemplos de funciones integrbles. Teorem 7 Se f : [, b] R. Se verific. Si f es continu, entonces f R([, b]).. Si f es cotd y continu slvo en un número finito de puntos, entonces f R([, b]). 3. Si f es cotd y monóton, entonces f R([, b]). Cálculo integrl y cálculo diferencil El cálculo integrl y el cálculo diferencil son en relidd el mismo, uno el inverso del otro. Pr comprender est relción, dd f R([, b]), definimos l función F : [, b] R dd por F (x) = x f(t)d(t). I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 9 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

10 Es fácil comprobr que l función F sí definid es continu en [, b], utilizndo l crcterizción de funciones integrbles. Vemos cómo surge l relción derivr-integrr. Teorem 8 Primer Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl ( er TFCI). Dd f R([, b]), definimos l función F : [, b] R dd por F (x) = x f(t)d(t). En prticulr, si f es continu en [, b], entonces F es derivble en [, b] y F = f. Not: Cundo escribimos b f(x)dx, l prte dx nos indic cuál es l vrible independiente de l función integrndo, de mner que podemos escribir b f(x)dx = b f(t)dt = b f(u)du. Un de ls principles plicciones del er TFCI es el cálculo de integrles definids prtir de ls funciones primitivs (recordemos que, por definición, pr el cálculo de un integrl definid er necesrio clculr ls sums de Riemnn en un prtición y tomr límite cundo el diámetro de l prtición tiende cero). Teorem 9 (Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl: Regl de Brrow). Se f continu en [, b],y F un primitiv de f (esto es, F derivble en [, b], F = f). Entonces, b f(x) dx = F (x) b = F (b) F (). L importnci de este resultdo rdic, como dijimos nteriormente, en que podemos clculr integrles definids prtir de primitivs de l función integrndo. 3. Aplicciones de l integrl: Cálculo de áres y volúmenes. L proximción de ls integrles medinte sums de Riemnn nos permite definir los conceptos de áres, volúmenes y longitudes de rco. Cálculo de áres de figurs plns Abordremos en est prte el cálculo de áres de regiones cotds. El cálculo de áres de regiones ilimitds o no cotds lo estudiremos en l siguiente sección (integrles impropis). Cso : Se f un función cotd en [, b] y positiv. Y vimos que el áre encerrd por ell, el eje X y ls rects verticles x =, x = b, es A = b f(x)dx. I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

11 Cso : Se f negtiv y cotd en [, b], el áre encerrd por ell, el eje X y ls rects verticles x =, x = b, es A = b f(x) dx. Observción: En culquier de los dos csos nteriores: A = b f(x) dx. b f(x) dx. Además, b f(x) dx = Cso 3: Se f es cotd, tl que cmbi de signo en [, b]. Pr clculr el áre encerrd por ell, el eje X y ls rects verticles x =, x = b, se divide el intervlo [, b] en subintervlos donde el signo de l función se constnte. En cd subintervlo el áre se clcul como en los dos csos nteriores. Luego tn sólo tenemos que sumr ls áres encerrds en cd subintervlo. Por ejemplo, pr l función de l siguiente figur, el áre serí: A = c f(x) dx d c f(x) dx + b d f(x) dx, Observción: Teniendo en cuent l definición del vlor bsoluto de un función, tmbién tenemos que en este cso, A = representción b f(x) dx, donde l función vlor bsoluto de f tiene l siguiente I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

12 En este cso, b b f(x) dx < f(x) dx. Ejemplo: Clculr el áre encerrd por l curv y = sen x y el eje OX, cundo x vrí entre y π. Sbemos que y = sen x cort l eje X en el intervlo [, π] en los puntos de bsciss, π, π, tomndo vlores de distinto signo: Se tiene por tnto que A = π π sen x dx sen x dx. π Clculmos ls integrles nteriores teniendo en cuent que F (x) = cos x es un primitiv de l función f(x) = sen x, y plicndo l Regl de Brrow: A = π π sen x dx π (u: uniddes en ls que estemos midiendo). sen x dx = cos x π + cos x π = 4 u Cso 4: Sen f y g dos funciones cotds en [, b]. El áre encerrd entre mbs curvs y ls rects verticles x =, x = b, es l que l que encierr l función f(x) g(x) y ls rects verticles x =, x = b. Pr clculr el áre, se procede como en el cso nterior (dividiendo el intervlo [, b] en subintervlos donde el signo de l función f g se constnte, clculndo ls áres en cd intervlo y sumndo). Se tiene pues que A = b f(x) g(x) dx. π I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

13 Cso 4 Ejemplo: Clculr el áre de l figur comprendid entre l prábol f(x) = x x, l rect g(x) = x ls rects x = y x = 4. Clculemos ls bsciss de sus puntos de corte: x x = x x 3x = x = y 3 En el intervlo [, 3], l prábol está por encim de l rect y en [, 4] está por debjo. Se tendrá por tnto que A = 4 x x + x dx = 3 (x x + x) dx ( x + x x) dx = 9 3 u. Cálculo de volúmenes L ide de utilizr ls sums de Riemn en dimensión dos pr clculr áres se puede extrpolr dimensión tres pr clculr volúmenes. De est mner, clculr el volumen de un figur se reduce l cálculo de un integrl definid siempre que conozcmos ls áres de ls secciones trnsversles perpendiculres un dirección. Pr desrrollr est ide, vemos primero cómo se clcul l volumen de un cuerpo de revolución: Consideremos el rco de curv de l función y = f(x) con x b y f cotd en [, b]. Al girr ese rco de curv lrededor del eje OX, se engendr un figur cuyo volumen es el que queremos clculr. Fijmos un prtición P = {t =, t,..., t n, t n = b}, considermos n puntos ξ,..., ξ n, tles que ξ i [t i, t i ]: I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 3 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

14 En cd intervlo [t i, t i ] considermos los cilindros de bse circulr de rdio f(ξ i ), y ltur l longitud del intervlo t i t i. El volumen de cd cilindro es el áre de l bse por l ltur, esto es, πf (ξ i )(t i t i ). Si summos los volúmenes de los n cilindros, obtendremos un proximción del volumen V buscdo. n πf (ξ i )(t i t i ) V. i= Observemos que en relidd, estmos construyendo ls sums de Riemnn de l función πf (x) en l prtición P del intervlo [, b]. Por tnto, el volumen de un cuerpo de revolución l girr lrededor del eje OX se obtendrá tomndo límite de ls sums de Riemnn S(πf (x), P ) cundo el tmño de ls prticiones tienden creo. Esto es, Ejemplo: V = b πf (x) dx. Hll el volumen obtenido l rotr sobre el eje X l región delimitd por l curv y = x 3 y ls rects y =, x = 3 y el eje OX. Hcemos un dibujo de ls funciones y vemos que el rco que gir en torno l eje X está compuesto por dos rcos de funciones distints, que se cortn en el punto de bscis ((y = x 3 ) (y = )). Por tnto, el volumen se puede clculr como l sum de los volúmenes: I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 4 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

15 V = V + V = π x 6 dx + π 3 dx = 5 7 π u3. Con l mism ide de ntes, podemos definir el volumen de culquier superficie si conocemos el áre de ls secciones trnsversles y perpendiculres l eje OX entre los plnos x = y x = b. Si A(k) represent el áre ls secciones por plnos del tipo x = k, y como siempre, considermos un prtición P, el volumen buscdo se proxim medinte ls sums de Riemnn n A(ξ i )(t i t i ). i= Tomndo límite, el volumen de un cuerpo conocids ls áres A(x) se secciones por plnos trnsversles, perpendiculres l eje OX viene ddo por V = b Ejemplo: Clculr el volumen de un esfer de rdio R. A(x) dx. Si considermos un esfer centrd en el origen y de rdio R, ls secciones trnsversles perpendiculres l eje X, son círculos de rdio R x : I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 5 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

16 Ls áres de ess secciones vlen π(r x ), y por tnto el volumen pedido será: V = R R π(r x )dx = 4 3 πr3 u 3. Not: Tmbién podrímos hber considerdo l esfer como un superficie de revolución, donde gir l función f(x) = R x. Pr finlizr con el cálculo de volúmenes, definimos el volumen de un cuerpo engendrdo l girr un rco de curv de un función lrededor del eje OY. Pr un prtición P con n + puntos, t,..., t n, el volumen de un sólido de este tipo se proxim medinte sums n de Riemnn πt k f(t k )(x k x k ) = S(πxf(x), P ). Tomndo límite cundo el tmño de k= l prtición tiende cero obtenemos que V = b πxf(x) dx. (Si el rco de curv de f cort l eje OY, el intervlo de integrción depende de l figur). Cálculo de l longitud de un rco de curv Consideremos el rco de curv de l función f(x) en [, b], con f derivble y con derivd continu en dicho intervlo. Queremos clculr l longitud de ese rco de curv entre (, f()) y (b, f(b)). Llmémosle L. I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 6 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

17 Se P = { = t < t <... < t n = b} un prtición del intervlo [, b]. Consideremos los puntos de l curv de bsciss t i y t i, A i = (t i, f(t i )) y A i = (t i, f(t i )) con i =,,..., n. Tenemos entonces un poligonl A, A...A n, donde l longitud de cd uno de sus ldos es L i = (f(t i ) f(t i )) + (t i t i ) con i =,,..., n. Como hemos supuesto que f es derivble, podemos usr el teorem de Lgrnge (Tem ), que nos indic que existe c i (t i, t i ) tl que f (c i ) = f(t i) f(t i ) t i t i, por lo que L i nos qued: (f(ti ) f(t i ) L i = (f(t i ) f(t i )) + (t i t i ) = (t i t i ) = (t i t i ) + (f (c i )). t i t i ) + = Considerndo todos los intervlos de l prtición P, y x i en [t i, t i ], pr i =,,..., n, usndo l sum de Riemmn pr es prtición y l función longitud, tenemos que: S(L, P ; x,..., x n ) = n (t i t i ) + (f (x i )). i= Por lo tnto, tomndo límite cundo el tmño de l longitud de P tiende cero, tenemos que l longitud del rco de curv es L = b + (f (x)) dx. Ejemplo: Hllr l longitud del rco de curv y = x 3 entre los puntos x = y x = 4/3. y = x 3 es derivble con derivd continu en [, 4 3 ], y = 3 x. L longitud del rco viene dd por : 4 3 L = x dx = u 7 4. Integrles impropis. Funciones especiles. En l integrl que se definió en l primer sección, los límites de integrción ern los extremos de un intervlo cotdo, y el integrndo er un función cotd en dicho intervlo. Sin embrgo, en muchs plicciones precen integrles de funciones no definids en lgún punto del intervlo de integrción o bien dicho intervlo no está cotdo. Este tipo de integrles reciben el nombre de impropis. Veremos cómo podremos socir integrles impropis l cálculo de áres de regiones ilimitds. I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 7 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

18 Integrles impropis de primer especie Se llmn sí quells integrles en ls que el intervlo de integrción es no cotdo. Definición Se f un función cotd e integrble en [, x] pr todo número rel x. Se define + f(x) dx = M lím f(x) dx. M Análogmente, si f es un función cotd e integrble en [x, b] pr todo número rel x b, se define b f(t) dt = b lím m m f(t) dt. Si en ls definiciones nteriores el límite existe y es finito, se dice que l integrl es convergente, y se escribe f R([, + ]) ó f R([, b]). Si el límite es infinito, se dice que l integrl impropi es divergente; en otro cso, se dirá que l integrl no existe. Con ests definiciones, podremos socir áres que encierrn funciones en intervlos no cotdos. Ejemplos:.- Clculemos el áre limitd por l función f(x) = x, el eje de bsciss y el semiplno x. Gráficmente Por definición se tiene que + M x dx = lím f(t) dt. M Un primitiv de l función integrndo es logritmo neperino; utilizndo l regl de Brrow I = M lím M f(x) dx = lím [ln M ln ] =. M I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 8 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

19 Por lo que I es divergente, y el áre encerrd es infinit..- Clculr el áre de l región no cotd limitd por l función f(x) = x y el eje de bsciss en el semiplno x. + Tendremos que clculr el vlor l integrl impropi dx. Por definición, teniendo en x cuent que un primitiv de /x es /x, y usndo l regl de Brrow tenemos que + x dx = M lím M + Por tnto, el áre pedid es A = u. x dx = [ lím ] M = lím [ M ] M + x + =. M + Integrles impropis de segund especie Se llmn sí quells integrles en ls que l función integrndo no está definid en lgún punto del intervlo de integrción [, b]. Definición Se f un función que no está definid en b y tl que es integrble en [, x] pr todo número rel x. Se define b f(x) dx = M lím f(x)dx. M b Análogmente, si f no está definid en y es integrble en [x, b] pr todo número rel x b. Se define b f(x) dx = lím m + b m f(x)dx. Ls integrles nteriores se dicen convergentes o divergentes con el mismo criterio que pr ls integrles impropis de primer especie. Con ests definiciones, podremos clculr áres de regiones ilimitds en intervlos cotdos de funciones no cotds. I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 9 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

20 Ejemplo: Clculr el áre encerrd entre l función f(x) = y ls rects x = y x =. x, el eje de coordends Por definición, dicho áre vendrá dd por l integrl x dx. Ahor bien, l función no está cotd en x =, por lo que se trt de clculr un integrl de segund especie. Por definición, [ dx = dx = x x M lím lím M M [ ] = lím ( M) / + =. M Por tnto, l integrl es convergente, y el áre pedid es A = u. ] M ( x)/ / En el cso de que el intervlo de integrción no esté cotdo, y que l función no esté definid en uno o vrios puntos del interior del intervlo de integrción, usndo l linelidd de l integrl, descomponemos l integrl en sumndos que sen integrles impropis como ls estudids nteriormente. Funciones especiles: Funciones Gnm y Bet de Euler. L función Gnm de Euler. Definición L función Gnm de Euler Γ : (, + ) R está definid por Proposición 3 L integrl nterior es válid. Γ(x) = + + t x e t dt, x (, + ) t x e t dt es convergente pr x >, por lo que l definición Demostrción: + t x e t dt = t x e t dt + + t x e t dt = I + I I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

21 Vemos que I e I son convergentes. Si x, I es convergente porque el integrndo es un función continu, y por tnto integrble en [,]. Si x ocurre que pr todo t >, < t x e t < t x y l integrl y como t x dt es convergente pr < x <. Por otr prte + t x e t t x+ lím t + t = lím t + e t = t dt es convergente, entonces I es convergente. Proposición 4 Pr todo x >, se tiene que Γ(x + ) = xγ(x). Demostrción: Sen α y β dos numeros reles tles que < α < β, integrndo por prtes (u = t x ; dv = e t dt) en l siguiente integrl β β t x e t dt = α x e α β x e β + x t x e t dt α α tomndo límite cundo α + y β + en mbos ldos de l iguldd, obtenemos l iguldd desed. Corolrio 5 Si n N, entonces Γ(n + ) = n!. Demostrción: Por inducción en n: Si n = : Γ() = + e t dt = b lím b + e t = lím b + e b = =! Suponer cierto pr n : Γ(n) = (n )! (Hipótesis de inducción H.I.) Ver pr n : Γ(n + ) = nγ(n) =(cierto pr n por l H.I.)= n(n )! = n!. L función Bet de Euler. Definición 6 L función Bet de Euler β : (, + ) (, + ) R está definid por β(x, y) = t x ( t) y dt, x >, y > Proposición 7 L integrl l definición nterior es válid. t x ( t) y dt es convergente pr x >, y >, por lo que Demostrción: t x ( t) y lím t + t x = = lím t t x ( t) y ( t) y I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

22 t x ( t) y dt = t x ( t) y dt + dt < si x < (x > ) t x dt < si y < (y > ) (i t) y t x ( t) y dt π Proposición 8 Pr todo x, y >, se tiene que β(x, y) = sen x z cos y z dz. Demostrción: Sen α y β dos numeros reles tles que < α < β <, hciendo el cmbio de vrible t = sen x en l integrl β α β α t x ( t) y dt se tiene que rc cos β t x ( t) y dt = rc sen α sen x z cos y z dz tomndo límites cundo α +, β se obtiene el resultdo desedo. Proposición 9 Propieddes. ) β(x, y) = β(y, x). ) β(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y). 3) Γ( ) = π. 4) β(m, n) = (m )!(n )! (m + n )! m, n N Demostrción: ) Evidente por l definición. ( + )( ) Γ(x)Γ(y) = e t t x + dt ) e s s y ds = (hciendo los cmbios de vrible: m = s+t, n = t)= = = + + e m( + e m( + ( + )( = e m m x+y + dm β(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) e (s+t) t x s y dt ds = e m n x (m n) y dn dm = ) n x (m n) y dn dm = (hciendo el cmbio: n = mu) ) (mu) x m y ( u) y du m dm = ) u x ( u) y du = Γ(x + y)β(x, y) I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

23 3) Bst tomr en ) x = y = 4) Usndo l propiedd ) y l Proposición Integrción numéric: ls regls del trpecio y de Simpson Con frecuenci el cálculo del número b f(x)dx no puede efecturse plicndo l regl de Brrow, porque no siempre se dispone de función primitiv de f, o bien, porque l función primitiv no es de fácil mnejo. En estos csos debemos recurrir técnics de proximción: consisten en proximr l función continu f(x) por otr suficientemente próxim g(x) que se fácil de integrr. Entre ls funciones más sencills que hy se encuentrn los polinomios. L técnic que explicmos consiste en lo siguiente: fijmos un prtición P = { = x < x <... < x n < x n = b} tl que l mplitud de cd subintervlo [x k, x k ] se constnte de vlor h (esto es, h = b n ). En cd subintervlo de l prtición [x k, x k ], se clcul un polinomio P k (x) que interpole l función f en ciertos puntos (denomindos nodos). Finlmente, se proxim l integrl de f en cd subintervlo por l integrl del polinomio de interpolción en dicho subintervlo. Dependiendo del grdo del polinomio de interpolción (o lo que es lo mismo, del número de nodos en los que interpolemos), obtendremos distints fórmuls de proximción. Recordemos que pr n nodos, el polinomio de interpolción es de grdo menor o igul que n. Veremos en est sección tres fórmuls de proximción llmds fórmuls de Newton-Cotes: Fórmul del punto medio En cd subintervlo [x k, x k ] se elije un sólo nodo: el punto medio x k + x k. En cd subintervlo, el polinomio de interpolción ( P k (x) tendrá ) grdo cero, y como interpol f en los xk + x k puntos medios, se tendrá que p(x k ) = f (rects prlels l eje OX). I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 3 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

24 De est mner, l proximción es l siguiente: b n xk n ( ) xk + x k f(x)dx = f(x)dx f h = b x k n k= k= n ( xk + x k f El error que cometemos en l proximción de l integrl vendrá ddo, como siempre, por E = vlor rel vlor proximdo. Por l linelidd de l integrl, y plicndo l propiedd 5 de ls integrles (ver Teorem 4) obtenemos que xk xk xk xk E = f(x) dx P k (x) dx x k x k = (f(x) P k (x)) dx x k f(x) P k (x) dx. x k k= ). Cundo interpolmos un función en n + puntos x,..., x n por un polinomio (que será de grdo n), se comete un error de proximción con l función ddo por: f(x) P (x) = f (n+) (ξ) (n + )! n (x x i ), ξ R. ( En nuestro cso, n =, por lo que f(x) P k (x) = f (ξ) x x k+x k si f tiene derivd continu en [, b], cotndo e integrndo en l expresión del error nterior se obtiene que E (b ) n i= máx f (x). x [,b] ), ξ R, de donde, Fórmul del trpecio En cd subintervlo [x k, x k ] se considern dos nodos: los extremos del subintervlo. El polinomio de interpolción (de grdo ) es l rect que ps por los puntos (x k, f(x k )) y (x k, f(x k )). Con l fórmul de interpolción de Lgrnge, obtenemos l siguiente expresión de P k x x k P k (x) = f(x k ) + f(x k ) x x k. x k x k x k x k I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 4 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

25 Tomándolo como proximción de f tenemos l siguiente proximción de l integrl (l integrl del polinomio de interpolción es inmedit, lógicmente, de tipo polinómic): b f(x)dx = n k= xk x k f(x) dx n k= xk x k P k (x) dx = h n [f(x k ) + f(x k )]. Desrrollndo l sum nterior obtenemos l denomind fórmul de los trpecios k= b f(x)dx h [f(x ) + f(x ) + f(x ) + + f(x n ) + f(x n )]. Además cundo n, el miembro de l derech se proxim b f(x)dx. Si f tiene derivd segund continu en [, b], podemos cotr el error E cometido l proximr b f(x)dx con l mism ide nterior, utilizndo el error de l proximción por el polinomio de interpolción, cotndo e integrndo. De est form se tiene que E (b )3 n máx f (x). x [,b] Fórmul de Simpson Se obtiene cundo interpolemos en los subintervlos en tres puntos por polinomios de grdo (p(x) = x + bx + c,, b, c R). Dividimos el intervlo [, b] en un número pr de subintervlos y grupmos los subintervlos por pres de form que: = x < x < x }{{}, x < x 3 < x 4,, x }{{} k < x k < x k,, x }{{} n < x n < x n = b }{{} [x,x ] [x,x 4 ] [x k,x k ] [x n,x n ] Entonces, en cd subintervlo doble [x k, x k ] proximmos f por el polinomio interpoldor P k (x) en los nodos (x k, f(x k )), (x k, f(x k )), y (x k, f(x k )). P k (x) será un polinomio de segundo grdo. Tenemos l siguiente proximción de l integrl: b f(x)dx = n k= xk x k f(x)dx n k= xk x k P k (x)dx. Clculndo ls integrles de los polinomios de interpolción (que podemos clculr por l fórmul de Lgrnge o de los incrementos finitos), y sumndo, se obtiene l denomind Regl de Simpson pr proximr b f(x) dx viene dd por b f(x)dx b 6n [f(x ) + 4f(x ) + f(x ) + + f(x n ) + 4f(x n ) + f(x n )]. I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 5 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

26 Al igul que ntes, cundo n, el miembro de l derech tiende b f(x)dx. Si f tiene curt derivd continu en [, b], el error E cometido l proximr b f(x)dx por l regl de Simpson es, pr n : E (b )5 88n 4 máx f (4) (x). x [,b] Problems.. Resolver ls siguientes integrles: ) (x 3 x + 3x 7) dx b) d) g) j) cos dx e) (7x) sen x cos x dx h) e x dx k) 3 + 4ex ( x + 4 ) x x + dx c) sen x cos x dx f) cos x dx i) + cos x dx cos( + bx) dx 5x 3 x + dx + x dx. Resolver por sustitución ls siguientes integrles: ln x ) dx b) x dx c) x x + dx 4 (x + ) sen x rc sen x tn x + d) dx e) ( + cos x) dx f) x cos dx x g) x dx 3. Resolver por prtes ls siguientes integrles: ) (x + ) sen x dx b) d) e x sen x dx x cos x dx c) ln x dx 4. Resolver ls siguientes integrles rcionles: x 3 x + 3x 7 ) dx b) 3x c) x dx d) + x + 5 5x + 6 e) 4x dx f) + 4x + 5 3x + 5x + g) (x ) 3 dx 3x + x(x + ) 3 dx x x + dx 3x 7 x 3 + x + 4x + 4 dx I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 6 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

27 5. Resolver ls siguientes integrles trigonométrics: ) sen 3 x dx b) sen 5 x cos x dx c) d) g) sen 4 x cos x dx e) sen 4 x cos 8 dx h) x sen x. cos x. cos 3x dx f) dx i) sen x + cos x sen 3 x cos 5 x dx cos 3 x + sen x dx cos x dx 6. Resolver ls siguientes integrles, de ls cules se indic el tipo: 4 x + 5,6 x ) + 6 x dx (exponencil) b) x x + dx (irrcionl) x + c) x. x 3 dx (irrcionl) d) x dx (sust.trigonométrics) 4 x e) 9 + x dx f) x dx (sust.trigonométrics) Integrles Definids. Áres de recintos plnos, longitudes de curvs. 7. Clculr ls siguientes integrles definids: ) 4 x dx b) sen x dx c) e sen(ln x) x dx d) x 4 x dx e) π/ 4 sen dx f) x π cos 3x sen 6x dx 8. Clculr el áre de l figur comprendid entre l prábol y = x x y l rect y = x. 9. Clcúlese el áre del recinto limitdo por ls curvs y = x, y = x, y = x 4. Hllr el áre determind por ls prábols y = 6x x e y = x x.. Clculr el áre encerrd por l curv y = sen x y el eje OX, cundo x vríe entre y π.. Hllr el áre encerrd entre l gráfic de l función y = sen x y ls tngentes dich gráfic en los puntos de bciss x =, x = π. 3. Clculr el áre comprendid entre ls curvs y = sen x, y = 4 cos x en el intervlo [, π]. 4. Clcúlese el áre de un elipse de semiejes y b 5. Considérese l región limitd por l gráfic de f(x) = x x y el eje X. Clcúlese el volumen del cuerpo engendrdo por un giro completo de dich región en torno l eje X. I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 7 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

28 6. Hllr el volumen engendrdo por rotción sobre el eje OX de l región limitd por l curv y = x 3 y ls rects y =, x = 3 7. Hllr el volumen del cuerpo engendrdo por l rotción de l elipse x + y b = lrededor del eje OX. 8. Hllr el volumen de l esfer de rdio R 9. Clculr el volumen que el áre pln comprendid entre y = x 3x + 6 y x + y = 3 engendr l girr lrededor del eje OX.. Hllr el volumen engendrdo l girr el círculo interior l circunferenci x +(y R) = r, r < R respecto del eje OX. ( A dicho cuerpo se llm TORO, tiene l form de un cámr de neumático).. Un elipse de semiejes y b reliz un giro completo en torno un rect prlel su eje myor, situd de tl modo que l distnci del centro de l elipse es rect es d, y d > b. Clcúlese el volumen del cuerpo engendrdo (toro de sección elíptic). Hllr l longitud del rco de curv y = x + 4 entre x = y x = Clculr l longitud del rco de curv y = x ln x comprendido entre ls rects x = 8 y x =. 4. Clcúlese l longitud de l curv x /3 + y /3 = /3 (stroide) 5. L ecución x + y b + z c volumen. = determin un cuerpo llmdo elipsoide. Clcúlese su Integrles impropis Integrles en intervlos no cotdos 6. Clculr ls siguientes integrles: ) 7. Discutir l convergenci de dx b) x 8. Clculr ls siguientes integrles: dx c) x3 3 x dx dx x p pr los distintos vlores de p. ) e 3x dx b) e x dx c) e x dx 9. Discutir l convergenci de e px dx pr los distintos vlores de p. I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 8 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

29 3. Clculr el áre de l figur comprendid entre l curv de Agnesi y = 3 x + OX. ( > ). y el eje 3. Clculr ls siguientes integrles: ) x cos x dx b) d) x dx c) + x + x λ e λx dx e) Integrles de funciones no cotds 3. Clculr ls siguientes integrles: e x sen x dx λ e λx dx (λ > ) ) ln x dx b) dx c) x 3 x dx 33. Estudir l convergenci de 34. Clculr ls integrles: ) x dx b) b dx pr los distintos vlores de α. (b x) α dx c) x dx d) x4 x 3x + dx Integrción numéric 35. Aproximr medinte l regl del trpecio y medinte l regl de Simpson el vlor de ls integrles siguientes pr los vlores de n ddos. Redonder l respuest cutro decimles exctos, comprr los resultdos obtenidos con los vlores exctos. ) c) 9 4 x dx n = 4 b) x dx n = 8 d) x 3 dx n = 8 ( + x) dx n = Clculr un cot del error cometido l clculr ls siguientes integrles, con l regl del trpecio y l de Simpson, pr los vlores de n ddos. c) ) 4 3 dx n = 4 b) x + + x 3 dx n = 7 x x x dx n = 4 d) dx n = 6 x 37. Hllr n pr que el error cometido l proximr ls siguientes integrles se menor que. usndo l regl del trpecio y l de Simpson. ) 3 dx b) x + x dx I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 9 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

30 38. Aplicr l regl de Simpson, con n = 6 pr proximr π con cinco cifrs decimles excts teniendo en cuent que dx (utilizr los límites de integrción decudos). + x 39. L tbl recoge un list de medids físics obtenids en un experimento. Suponiendo que f es un función continu proximr Simpson. f(x)dx usndo l regl trpezoidl y l de x y Clculr ls siguientes integrles definids, con un error menor que un centésim. ) e x dx b) sen x dx 4. Clcul proximdmente l longitud del rco de l curv de ecución y = x 3 comprendido entre los puntos (, ) y (, ) usndo l regl de Simpson con h =,5 I.T.I. MECÁNICA Curso 6/7 3 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS