Integral de una función real. Tema 08: Integrales Múltiples. Integral definida. Aproximación de una integral simple

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Integral de una función real. Tema 08: Integrales Múltiples. Integral definida. Aproximación de una integral simple"

Transcripción

1 Integrl de un función rel Tem 08: Integrles Múltiples Jun Igncio Del Vlle Gmbo Sede de Guncste Universidd de Cost ic Ciclo I Ls integrles definids clculn el áre bjo un curv y = f (x) pr un región definid [, b] del dominio de l función f. Se repsrá el desrollo de l definición de integrl pr luego extenderlo ls integrles múltiples. Aproximción de un integrl simple Integrl definid Pr proximr el áre bjo l curv, se divide l región de integrción en n segmentos. x = (b ) n. Pr cd segmento i, se escoge un punto rbitrrio xi, y se dibuj un rectángulo cuy bse mide x y l ltur será f (xi ). Incrementndo l cntidd de rectángulos hst el infinito (n ), l bse de cd rectángulo será cd vez más pequeñ ( x 0) y l sum nterior será exct. Integrl como el límite de un sum de iemnn Aproximción del áre bjo l curv A f (xi ) x i=1 A = lím n f (xi ) x = i=1 f (x)dx

2 Volumen bjo un superficie Aproximción del volumen Podemos proximr este volumen de l siguiente form: De mner nálog, puede definirse el problem de clculr el volumen bjo un superficie S sobre un región definid en el plno de ls vribles independientes. L región sobre l cul se clcul el volumen se conoce como l región de integrción. Aproximción del volumen (2) L región de integrción se prticion en n prtes rectngulres cuys dimensiones son x en l dirección del eje X, y y en l dirección del eje Y. Pr cd rectángulo i se escoge un pr ordendo letorio (x i, y i ) y se elbor un prlelepípedo cuy ltur será l función evlud en ese punto: f (x i, y i ). El volumen de cd prlelepípedo será igul l áre de su bse por l ltur V i = Af (x i, y i ) = x yf (x i, y i ). Definición El volumen totl del áre bjo l curv será proximdmente igul l sum de los volúmenes de todos los prlelepípedos: V tot i f (xi, y i ) A j Est proximción será exct si n, hciendo que x, y 0: Integrl doble definid V = lím n i f (xi, y i ) A = j Integrles triples Ls integrles triples evlún un función w = f (x, y, z) dentro de un región sólid tridimensionl. epresentn el cálculo de un hipervolumen en l curt dimensión, por lo que no podemos relcionrls con un propiedd geométric en 3.

3 Integrles triples Principio de Cvlieri Definición El volumen de un región tridimensionl se puede obtener si se puede prmetrizr su áre de sección trnsversl lo lrgo de un de sus dimensiones de l siguiente form: Ejemplo Pr clculr l ms de un región sólid, cuy densidd viene dd por ρ = f (x, y, z), se clcul l sum infinit de l ms de cubos infinitesimles con volumen dv, que viene dd por dm = ρdv: M = ρ(x, y, z)dv V = A(x)dx Est ide puede utilizrse pr evlur un integrl múltiple: se relizn dos (o más) integrles iterds: l primer produce un expresión prmetrizd del áre en un dirección, l cul se integr respecto l segund vrible. Principio de Cvlieri (2) Evlución de ls integrles dobles (1) Prtes de un integrl Tod integrl múltiple consiste de tres prtes que deben ser clrmente definids ntes de poder resolverse: L región de integrción, que debe de estr clrmente definid en sus superficies, curvs o vlores límites. Como se verá, podrí ser necesrio subdividirl en vris sub-regiones pr poder evlur l integrl. L función integrr, que debe de estr descrit en términos de ls vribles de l integrción. El integrndo, que debe incluír los fctores de esclmiento (determinntes Jcobinos) cundo se relizn cmbios de vribles.

4 Evlución de integrles dobles (2) Evlución de integrles triples }{{} Numeros g(v) f (v) f (u, v)du } {{ } Curvs dv El primer pso pr evlur un integrl es escoger decudmente los límites de integrción: l integrl intern posee ls curvs límites en l dirección de l vrible u, mientrs que l integrl extern posee los límites numéricos en términos de l vrible v. L primer integrl ser evlud es l integrl intern, l cul se trbj como un integrción prcil respecto l vrible u y se evlú en ls funciones límite g(v) y f (v). L segund integrl será l extern. Observe que, l llegr este pso, lo que qued por resolver es un integrl simple de un vrible en términos de l vrible v. g(w) ψ(v,w) f (w) ϕ(v,w) }{{} }{{} }{{} Numeros Curvs Superficies dudvdw Tipos de regiones en integrles dobles Tipos de regiones en integrles triples egión Tipo I egión Tipo II egión Tipo III f (x) f (x, y)dydx g(x) d g(y) f (x, y)dxdy c f (y) Metodologí Ls regiones de integrción básics son de tipo I o tipo II. En ests, hy un orden preferido de integrción por donde se puede recorrer l región siempre entrndo por un mism curv y sliendo por otr curv. Ls regiones compuests de tipo III deben subdividirse en sub-regiones de tipo I o II pr poder relizr l integrción. g(w) ψ(v,w) f (w) ϕ(v,w) }{{} }{{} }{{} Numeros Curvs Superficies dudvdw

5 Tipos de regiones en integrles triples (2) egiones de integrción pr integrles triples L integrl interior se evlú entre superficies en el sentido positivo de l primer vrible de integrción. L segund integrl se evlú en l región proyectd sobre el plno de ls coordends restntes, según ls regls de integrles dobles. L últim integrl es un integrl simple entre vlores numéricos de l últim vrible de integrción.

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj Escuel Técnic Superior de Ingenierí Civil e Industril (Esp. en Hidrologí) Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. Tem 9: Cálculo integrl de funciones de

Más detalles

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio. Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con

Más detalles

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA GUIA DE INTEGRALES DEFINIDAS INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem Fundmentl del Cálculo Áre jo l curv de un región Áre entre dos regiones COMPETENCIA: Resolver integrles plicndo

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x

INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x en INTEGRAL DEFINIDA El concepto de integrl definid está relciondo con el vlor que determin el áre jo l curv dd por un función f (x) el [, ]. (ve l intervlo gráfic) Uno de los primeros psos pr llegr este

Más detalles

Integración Numérica. La regla del trapecio.

Integración Numérica. La regla del trapecio. Integrción Numéric. L regl del trpecio. Curso: Métodos Numéricos en Ingenierí Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: j..otero@itesm.mx web: http://metodosnumericoscem.weebly.com Universidd: ITESM

Más detalles

Cálculo Diferencial e Integral II 31 de octubre de Aplicaciones de la Integral. Mommentos y Centros de Masa

Cálculo Diferencial e Integral II 31 de octubre de Aplicaciones de la Integral. Mommentos y Centros de Masa Cálculo Diferencil e Integrl II 3 de octubre de 23 Aplicciones de l Integrl Mommentos y Centros de Ms Supong que tiene un vrill de ms pequeñ y en ell se fijn dos mss m y m 2 en ldos opuestos de un punto

Más detalles

Integración de funciones de una variable real

Integración de funciones de una variable real Cpítulo 5 Integrción de funciones de un vrible rel 5.1. Introducción Los inicios del Cálculo Integrl se remontn Arquímedes, mtemático, físico e ingeniero griego del S.III A.C., quién clculó el áre de numeross

Más detalles

D I F E R E N C I A L

D I F E R E N C I A L D I F E R E N C I A L µ dy y = d Si un función y = f() dmite derivd finit en un punto su incremento puede epresrse como y = f () + ε, siendo ε un infinitésimo pr 0. Al primer término se lo llm diferencil

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b. Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

Más detalles

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN.

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.4.1. El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. 5.4.1. El áre

Más detalles

Integración Numérica. Las reglas de Simpson.

Integración Numérica. Las reglas de Simpson. Integrción Numéric. Ls regls de Simpson. Curso: Métodos Numéricos en Ingenierí Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: j..otero@itesm.mx web: http://metodosnumericoscem.weebly.com Universidd: ITESM

Más detalles

Fórmulas de cuadratura.

Fórmulas de cuadratura. PROYECTO DE ANALISIS MATEMATICO I : Integrción numéric. Ojetivos: Aprender los métodos más sencillos de integrción númeric y plicrlos en diversos prolems. Fórmuls de cudrtur. Se (x un unción continu deinid

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014 Cálculo Integrción de funciones reles de un vrible rel 24 de octubre de 2014 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción de funciones reles de un vrible rel L integrl indefinid. Cálculo de primitivs L integrl

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral CAPÍTULO Aplicciones de l integrl. Momentos centro de un ms.. Centro de ms de un sistem unidimensionl Considerr el sistem unidimensionl, tl como se muestr en l siguiente figur, formdo por un vrill (de

Más detalles

5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación)

5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación) Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 7-2 SEMANA 1: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5.4. Longitud de un Arco de Curv (Rectificción)

Más detalles

6.1 Sumas de Riemann e integral definida

6.1 Sumas de Riemann e integral definida Tem 6 Integrción Definid 6.1 Sums de Riemnn e integrl definid Supongmos que estmos interesdos en clculr el áre que se encuentr bjo un curv y = f(x) en un intervlo [, b] (pr simplificr, consideremos el

Más detalles

5.5 Integración numérica

5.5 Integración numérica 88 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.5 Integrción numéric Métodos de Newton-Côtes De cr clculr l integrl definid: f(x) dx se llmn Métodos de Newton-Côtes los que se bsn en integrr, en lugr de l

Más detalles

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica.

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica. Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo mribel@ugr.es. 1 Integrl de Riemnn. Introducción l integrción numéric. En est práctic usremos l clculdor ClssPd pr trtr el problem de integrción. Se

Más detalles

Z ξ. g(t)dt y proceda como sigue:

Z ξ. g(t)dt y proceda como sigue: Prolems Prolem.9. Sen f(x) y g(x) funciones continus en [,] y f (x) continu y de signo constnte en [,]. demuestre que (,) tl que f(x)g(x)dx = f() g(x)dx+ f() g(x)dx. R Pr esto considere l función G(x)

Más detalles

Aplicaciones de la Integral.

Aplicaciones de la Integral. Seminrio 2 Aplicciones de l Integrl. 2.1. Áre de figurs plns. Definición 2.1.1. Se f : [, b] R continu y f(x) 0 x [, b]. El áre del recinto {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)} viene dd por l integrl: A = f(x)

Más detalles

Funciones de variable compleja

Funciones de variable compleja Funciones de vrible complej Integrles impropis. Mrí Eugeni Torres Universidd Ncionl de Entre Ríos Fcultd de Ingenierí Funciones de Vrible Complej (Bioingenierí, Pln 28) Myo 29 Integrles impropis Alcnce

Más detalles

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un ecución de segundo grdo tiene l form generl: +b+c=0. (El primer sumndo del primer miembro no puede ser nunc nulo,

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx. TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l

Más detalles

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua. Integrción indefinid y definid. Aplicciones de l integrl: vlor medio de un función continu. Jun Ruiz 1 Mrcos Mrvá 1 1 Deprtmento de Mtemátics. Universidd de Alclá de Henres. Contenidos Introducción 1 Introducción

Más detalles

f(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) una antiderivada de f(x), es decir, siendo F (x) tal que F (x) = f(x)

f(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) una antiderivada de f(x), es decir, siendo F (x) tal que F (x) = f(x) Cálculo de primitivs: f(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) un ntiderivd de f(x), es decir, siendo F (x) tl que F (x) = f(x) L constnte C se denomin constnte de integrción; es un constnte rbitrri porque se

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL TEMA INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Funciones.. Incrementos rzones de cmbio. 3. Derivds 4. Derivds de orden superior. 5. Primitivs 6. Integrl definid. Este mteril puede descrgrse desde

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración.

INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración. INTEGRAL DEFINIDA Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 6. Aproimción intuitiv l concepto de integrl definid. Propieddes con respecto l integrndo y l intervlo de integrción. 6. El teorem fundmentl del cálculo

Más detalles

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES.

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. 6. En l integrl dole f(, ), colocr los límites de integrción en mos órdenes, pr los siguientes recintos: i) trpecio de vértices (, ), (, ), (, ) (, ). ii)

Más detalles

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx Integrles Clculr l integrl: +e + -+ + sen(+) 6-7 - 8 9 - + ln - 9- + (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e - + + + +- +- -6 - ++ () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible

Más detalles

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial.

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial. Relción entre el cálculo integrl y el cálculo diferencil. Por: Miguel Solís Esquinc Profesor de tiempo completo Universidd Autónom de Chips En est sección presentmos l relción que gurdn l función derivd

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica.

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica. Práctic 3: Cálculo Integrl con MtLb Curso 2010-2011 1 1 Introducción Un de los pquetes más útiles pr el cálculo con MtLb lo constituye Symbolic Mth Toolbox, que permite relizr cálculo simbólico vnzdo,

Más detalles

MOMENTOS Y CENTROS DE MASA

MOMENTOS Y CENTROS DE MASA MOMENTOS Y CENTROS DE MASA El objetivo de ests línes es explicr brevemente otr de ls numeross plicciones que posee el Cálculo Integrl. En este cso, considermos un plc pln y delgd con form culquier, y nos

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente.

Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente. Etueri Clses Prticulres Online Tem 4. Proporcionlidd Mgnitudes Un mgnitud es culquier propiedd que se puede medir numéricmente. Ejemplos: longitud, cpcidd de un recipiente, peso, Rzón L rzón es el cociente

Más detalles

Teoría Tema 7 Integral definida. Área encerrada por una curva

Teoría Tema 7 Integral definida. Área encerrada por una curva Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí www.dniprtl.net Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin /0 Teorí Tem 7 Integrl definid.

Más detalles

La Integral de Riemann

La Integral de Riemann Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función

Más detalles

LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS. Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco

LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS. Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS Colegio Sor Jun Inés de l Cruz Sección Preprtori Mtemátics III Bloque VII Ing. Jonthn Quirog Tinoco 1. Pr encontrr l ecución de l elipse con centro en el origen, un foco

Más detalles

LA INTEGRAL DE RIEMANN

LA INTEGRAL DE RIEMANN LA INTEGRAL DE RIEMANN En este tem se introduce el Cálculo Integrl que demás de permitir clculr longitudes, áres y volúmenes, tiene multiples plicciones en l Ciencis, Ingenierí, etc... En primer lugr,

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de

Más detalles

TEMA 4. Cálculo integral

TEMA 4. Cálculo integral TEMA 4. Cálculo integrl En este tem considerremos el cálculo integrl, que es un complemento nturl del cálculo diferencil y tiene múltiples plicciones en otrs ciencis. 4.. Introducción l cálculo integrl

Más detalles

Integrales triples en coordenadas rectangulares. Integrales triples. S n = a

Integrales triples en coordenadas rectangulares. Integrales triples. S n = a 5.5 Integrles triples en coordends rectngulres 859. Evlúe lím erfsd lím : q 4. Conversión un integrl polr Evlúe l integrl q q : q s + + d d. d 43. Eistenci Integre l función f(, ) 5 ( ) sore el disco #

Más detalles

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas) Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv

Más detalles

CAPÍTULO 6: RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO (II)

CAPÍTULO 6: RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO (II) CAPÍTULO 6: ELACIONES MÉTICAS EN EL TIÁNGULO (II) Dnte Guerrero-Chnduví Piur, 015 FACULTAD DE INGENIEÍA Áre Deprtmentl de Ingenierí Industril y de Sistems CAPÍTULO 6: ELACIONES MÉTICAS EN EL TIÁNGULO (II)

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

1.6. Integral de línea de un Campo Vectorial Gradiente.

1.6. Integral de línea de un Campo Vectorial Gradiente. 1.6. Integrl de líne de un mpo Vectoril Grdiente. n Definición. Se l función esclr f definid por f : D R R, un función continumente diferencible, y se l curv, un curv prcilmente suve definid prmétricmente

Más detalles

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes Nots de Integrl de Riemnn-Stieltjes 1. Definición y propieddes Dds funciones g, F : [, b] R que cumpln ciertos requisitos, definiremos l expresión g(x)df(x) de tl mner que cundo consideremos el cso prticulr

Más detalles

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=±

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=± CAPÍTULO X ECUACIÓN DE º GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA 9.. ECUACIÓN DE º GRADO Un ecución de segundo grdo con un incógnit es tod quell que puede ser puest en l form x + bx + c = 0 siendo, b y c coeficientes

Más detalles

1.- Cálculo del coeficiente de autoinducción.

1.- Cálculo del coeficiente de autoinducción. Trbjo Práctico 8 1.- Cálculo del coeficiente de utoinducción. Describ el fenómeno de utoinducción en un bobin. Encuentre l expresión del coeficiente de utoinducción en un solenoide lrgo de N s = 1 espirs

Más detalles

Clase 2: Expresiones algebraicas

Clase 2: Expresiones algebraicas Clse 2: Expresiones lgebrics Operr expresiones lgebrics usndo ls propieddes lgebrics de ls operciones sum y producto, propieddes de ls potencis, regls de signos y préntesis. Evlur expresiones lgebrics

Más detalles

(Ésta es una versión preliminar de la teoría del tema.)

(Ésta es una versión preliminar de la teoría del tema.) Estudio de funciones periódics Ést es un versión preliminr de l teorí del tem. Un función fx se dice que es periódic de periodo cundo fx = fx +, x. Si se conoce fx en el intervlo [, ] su ciclo, se l conoce

Más detalles

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA UNIDAD 6: Integrles Definids. Aplicciones. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como por ejemplo

Más detalles

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas Cpítulo 8 Integrles Impropis 8.. Introducción L integrl de Riemnn tl como l hemos estudido, está definid únicmente pr funciones cotds y definids sobre intervlos cerrdos y cotdos. En este cpítulo estudiremos

Más detalles

Definición de la función logaritmo natural.

Definición de la función logaritmo natural. L función logritmo Definición de l función logritmo nturl. Se sbe que un primitiv o ntiderivd de l función f() = n es l función F() n / (n+), es decir n n n cte. Est fórmul es válid sólo cundo n. Cundo

Más detalles

b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = 1 e y x = e.

b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = 1 e y x = e. MsMtescom Integrles Selectividd CCNN Murci [] [EXT-A] ) Clcule l integrl indefinid rctgd, donde rctg denot l función rco-tngente de ) De tods ls primitivs de l función f() = rctg, encuentre l que ps por

Más detalles

Integral Definida. Aplicaciones

Integral Definida. Aplicaciones Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució

Más detalles

Cálculo II. Volúmenes de Sólidos. M. en C. Ricardo Romero. Grupo CTG87 Trimestre 11-P. Departamento de Ciencias Básicas, UAM-A

Cálculo II. Volúmenes de Sólidos. M. en C. Ricardo Romero. Grupo CTG87 Trimestre 11-P. Departamento de Ciencias Básicas, UAM-A Cálculo II Volúmenes de Sólidos M. en C. Ricrdo Romero Deprtmento de Ciencis Básics, UAM-A Grupo CTG87 Trimestre 11-P Grupo CTG87 Trimestre 11-P 1 / Progrm 1 Cálculo de volúmenes prtir de secciones trnsversles

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

Descomposición elemental (ajustes por constantes)

Descomposición elemental (ajustes por constantes) Descomposición elementl (justes por constntes) OBSERVACIONES. Ls primers integrles que precen se hn obtenido del libro de Mtemátics I (º de Bchillerto) McGrw-Hill, Mdrid 007.. Otros problems se hn obtenido

Más detalles

PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA

PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA TEMA CÁLCULO DE PRIMITIVAS. - PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN f(): F() es un primitiv de f() si F () = f() Ejemplos: función: f() Primitiv: F() sen - cos Not: Un función tiene

Más detalles

Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z )

Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z ) Cpítulo III. Álgebr vectoril Objetivo: El lumno plicrá el álgebr vectoril en l resolución de problems geométricos. Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3. Cntiddes esclres

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

Cálculo de volúmenes II: Método de los casquetes cilíndricos

Cálculo de volúmenes II: Método de los casquetes cilíndricos Sesión 6 II: Método de los csquetes cilíndricos Tems Método de los csquetes cilíndricos pr clculr volúmenes de sólidos de revolución. Cpciddes Conocer y plicr el método de los csquetes esféricos pr clculr

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

Práctica 12. Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo:

Práctica 12. Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo: PRÁCTICA APLICACIONES DE LA INTEGRAL Práctics Mtlb Práctic Objetivos Profundizr en l comprensión del concepto de integrción. Aplicr l integrl l cálculo de áres y volúmenes Comndos de Mtlb int Clcul de

Más detalles

5.2 Integral Definida

5.2 Integral Definida 80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos

Más detalles

Escuela de Ciencias Exactas y Naturales (ECEN)Profesor: Allan Gen Palma EL CÁLCULO INTEGRAL EN LA OBTENCIÓN DEL VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Escuela de Ciencias Exactas y Naturales (ECEN)Profesor: Allan Gen Palma EL CÁLCULO INTEGRAL EN LA OBTENCIÓN DEL VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Cálculo Integrl III- Escuel de Ciencis Ects Nturles (ECEN)Profesor: Alln Gen Plm EL CÁLCULO INTEGRAL EN LA OBTENCIÓN DEL VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Un sólido de revolución es generdo l girr un

Más detalles

Es una función exponencial con base 2. Veamos con la rapidez que crece:

Es una función exponencial con base 2. Veamos con la rapidez que crece: Funciones eponenciles y ritmics Doc. Luis Hernndo Crmon R Funciones Eponenciles Ejemplos: f ( ) Es un función eponencil con bse. Vemos con l rpidez que crece: f () 8 f (0) 0 04 f (0) 0,07,74,84 Funciones

Más detalles

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio NUMEROS IRRACIONALES Conocemos hst hor distintos conjuntos numéricos: - Los n nturles: (, 8,.978), representdos por l letr N - Los n enteros: ( -, -, 8, 68), representdos por l letr Z - Los n rcionles

Más detalles

Aplicaciones de la derivada (II)

Aplicaciones de la derivada (II) UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

Aplicación del Cálculo Integral para la Solución de. Problemáticas Reales

Aplicación del Cálculo Integral para la Solución de. Problemáticas Reales Aplicción del Cálculo Integrl pr l Solución de Problemátics Reles Jun S. Fierro Rmírez Universidd Pontifici Bolivrin, Medellín, Antioqui, 050031 En este rtículo se muestr el proceso de solución numéric

Más detalles

3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja.

3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja. 3.- Derivd e integrl de funciones de vrile complej. ) Derivds, funciones nlítics e interpretción geométric. ) Regls de diferencición. c) Ecuciones de uch-riemnn. d) Funciones rmónics. e) Integrción complej.

Más detalles

Integración Numérica. 18 Regla del Trapecio

Integración Numérica. 18 Regla del Trapecio Integrción Numéric L integrl resuelve el problem de clculr el áre bjo l gráfic de un función positiv definid sobre un intervlo cerrdo. El cálculo elementl de funciones de un vrible rel proporcion un método

Más detalles

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se

Más detalles

SOLUCIONARIO Poliedros

SOLUCIONARIO Poliedros SOLUCIONARIO Poliedros SGUICES06MT-A16V1 1 TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA Poliedros Ítem Alterntiv 1 D A Comprensión E B 5 D 6 C 7 D 8 B 9 D 10 C 11 E 1 D 1 A 1 C 15 E Comprensión 16 B Comprensión 17

Más detalles

CI31A - Mecánica de Fluidos FUERZAS DE PRESIÓN

CI31A - Mecánica de Fluidos FUERZAS DE PRESIÓN CI31A - Mecánic de Fluidos FUERZAS DE PRESIÓN Prof. Aldo Tmurrino Tvntzis HIDROSTÁTICA Si ls prt ículs de fluido no están en movimiento no hy fuerzs tngenciles ctundo sore ells. Consideremos un volumen

Más detalles

Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 3: Integración numérica

Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 3: Integración numérica Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos em 3: Integrción numéric Frncisco Plcios Escuel Politécnic uperior de Ingenierí de Mnres Universidd Politécnic de Ctluñ Mrzo 8, versión.4 Contenido. Fórmuls de cudrtur.

Más detalles

Introducción a la integración numérica

Introducción a la integración numérica Tem 7 Introducción l integrción numéric Versión: 13 de ril de 009 7.1 Motivción L integrl definid de un función continu f : [, ] R R en el intervlo [, ], If) = fx) dx 7.1) es el áre de l región del plno

Más detalles

Resumen Segundo Parcial, MM-502

Resumen Segundo Parcial, MM-502 Resumen Segundo Prcil, MM-502 Jose Alvreng 18 de febrero de 2015 1. Integrles de líne ) Definición Se r(t) = f(t)i + g(t)j un función vectoril con dominio D, y L un vector. Decimos que r tiene limite L

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito

Más detalles

X = x ) pierde su significado. Lo que se hace es sustituir la definida sólo para x,..., por una función f (x)

X = x ) pierde su significado. Lo que se hace es sustituir la definida sólo para x,..., por una función f (x) rte Vriles letoris. Vriles letoris continus En l sección nterior se considerron vriles letoris discrets, o se vriles letoris cuo rngo es un conjunto finito o infinito numerle. ero h vriles letoris cuo

Más detalles

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. LA ELIPSE DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6., los focos están representdos por los puntos y f.

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

TEMA 13: INTEGRAL DEFINIDA

TEMA 13: INTEGRAL DEFINIDA TEMA : INTEGRAL DEFINIDA..- El problem de clculr el áre bjo un curv El problem de clculr el áre limitd por lguns curvs fue borddo, por los mtemáticos griegos, desde bstntes siglos trás. El método empledo

Más detalles

ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39

ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39 Índice generl. L Integrl Indenid.. Antiderivd e Integrl Indenid...................... Integrles inmedits........................... 3.3. Regl de l Cden............................ 4.4. Sustitución o Cmbio

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

1.4. Integral de línea de un campo escalar.

1.4. Integral de línea de un campo escalar. .4. Integrl de líne de un cmpo esclr. L integrl de líne tiene vris plicciones en el áre de ingenierí, y un de ls interpretciones importntes pr tles plicciones es el significdo que posee l integrl de líne

Más detalles

CAPÍTULO. Aplicaciones

CAPÍTULO. Aplicaciones CAPÍTULO 3 Aplicciones 3.5 Trbjo de un fuerz 1 Se dice que un fuerz reliz un trbjo cundo cmbi el estdo de reposo o estdo de movimiento de un cuerpo. En este sentido, el trbjo que reliz un fuerz pr llevr

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 06 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserv, Ejercicio, Opción A Reserv, Ejercicio, Opción B Reserv, Ejercicio,

Más detalles

Unidad 2. Fracciones y decimales

Unidad 2. Fracciones y decimales Mtemátics Múltiplo.º ESO / Resumen Unidd Unidd. Frcciones y decimles FRACCIONES NÚMEROS DECIMALES EXPRESIÓN, 8, 9 SIGNIFICADO FRACCIONES EQUIVALENTES 0 30 0 0 Prte de un unidd Prte de un cntidd ORDENACIÓN

Más detalles

MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL

MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO EDUARDO PÉREZ RODRÍGUEZ Deprtmento de Economí Aplicd Universidd de Grnd. INTRODUCCIÓN Se supone que el Sr. Corto dispone de

Más detalles