Integral de una función real. Tema 08: Integrales Múltiples. Integral definida. Aproximación de una integral simple

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1 Integrl de un función rel Tem 08: Integrles Múltiples Jun Igncio Del Vlle Gmbo Sede de Guncste Universidd de Cost ic Ciclo I Ls integrles definids clculn el áre bjo un curv y = f (x) pr un región definid [, b] del dominio de l función f. Se repsrá el desrollo de l definición de integrl pr luego extenderlo ls integrles múltiples. Aproximción de un integrl simple Integrl definid Pr proximr el áre bjo l curv, se divide l región de integrción en n segmentos. x = (b ) n. Pr cd segmento i, se escoge un punto rbitrrio xi, y se dibuj un rectángulo cuy bse mide x y l ltur será f (xi ). Incrementndo l cntidd de rectángulos hst el infinito (n ), l bse de cd rectángulo será cd vez más pequeñ ( x 0) y l sum nterior será exct. Integrl como el límite de un sum de iemnn Aproximción del áre bjo l curv A f (xi ) x i=1 A = lím n f (xi ) x = i=1 f (x)dx

2 Volumen bjo un superficie Aproximción del volumen Podemos proximr este volumen de l siguiente form: De mner nálog, puede definirse el problem de clculr el volumen bjo un superficie S sobre un región definid en el plno de ls vribles independientes. L región sobre l cul se clcul el volumen se conoce como l región de integrción. Aproximción del volumen (2) L región de integrción se prticion en n prtes rectngulres cuys dimensiones son x en l dirección del eje X, y y en l dirección del eje Y. Pr cd rectángulo i se escoge un pr ordendo letorio (x i, y i ) y se elbor un prlelepípedo cuy ltur será l función evlud en ese punto: f (x i, y i ). El volumen de cd prlelepípedo será igul l áre de su bse por l ltur V i = Af (x i, y i ) = x yf (x i, y i ). Definición El volumen totl del áre bjo l curv será proximdmente igul l sum de los volúmenes de todos los prlelepípedos: V tot i f (xi, y i ) A j Est proximción será exct si n, hciendo que x, y 0: Integrl doble definid V = lím n i f (xi, y i ) A = j Integrles triples Ls integrles triples evlún un función w = f (x, y, z) dentro de un región sólid tridimensionl. epresentn el cálculo de un hipervolumen en l curt dimensión, por lo que no podemos relcionrls con un propiedd geométric en 3.

3 Integrles triples Principio de Cvlieri Definición El volumen de un región tridimensionl se puede obtener si se puede prmetrizr su áre de sección trnsversl lo lrgo de un de sus dimensiones de l siguiente form: Ejemplo Pr clculr l ms de un región sólid, cuy densidd viene dd por ρ = f (x, y, z), se clcul l sum infinit de l ms de cubos infinitesimles con volumen dv, que viene dd por dm = ρdv: M = ρ(x, y, z)dv V = A(x)dx Est ide puede utilizrse pr evlur un integrl múltiple: se relizn dos (o más) integrles iterds: l primer produce un expresión prmetrizd del áre en un dirección, l cul se integr respecto l segund vrible. Principio de Cvlieri (2) Evlución de ls integrles dobles (1) Prtes de un integrl Tod integrl múltiple consiste de tres prtes que deben ser clrmente definids ntes de poder resolverse: L región de integrción, que debe de estr clrmente definid en sus superficies, curvs o vlores límites. Como se verá, podrí ser necesrio subdividirl en vris sub-regiones pr poder evlur l integrl. L función integrr, que debe de estr descrit en términos de ls vribles de l integrción. El integrndo, que debe incluír los fctores de esclmiento (determinntes Jcobinos) cundo se relizn cmbios de vribles.

4 Evlución de integrles dobles (2) Evlución de integrles triples }{{} Numeros g(v) f (v) f (u, v)du } {{ } Curvs dv El primer pso pr evlur un integrl es escoger decudmente los límites de integrción: l integrl intern posee ls curvs límites en l dirección de l vrible u, mientrs que l integrl extern posee los límites numéricos en términos de l vrible v. L primer integrl ser evlud es l integrl intern, l cul se trbj como un integrción prcil respecto l vrible u y se evlú en ls funciones límite g(v) y f (v). L segund integrl será l extern. Observe que, l llegr este pso, lo que qued por resolver es un integrl simple de un vrible en términos de l vrible v. g(w) ψ(v,w) f (w) ϕ(v,w) }{{} }{{} }{{} Numeros Curvs Superficies dudvdw Tipos de regiones en integrles dobles Tipos de regiones en integrles triples egión Tipo I egión Tipo II egión Tipo III f (x) f (x, y)dydx g(x) d g(y) f (x, y)dxdy c f (y) Metodologí Ls regiones de integrción básics son de tipo I o tipo II. En ests, hy un orden preferido de integrción por donde se puede recorrer l región siempre entrndo por un mism curv y sliendo por otr curv. Ls regiones compuests de tipo III deben subdividirse en sub-regiones de tipo I o II pr poder relizr l integrción. g(w) ψ(v,w) f (w) ϕ(v,w) }{{} }{{} }{{} Numeros Curvs Superficies dudvdw

5 Tipos de regiones en integrles triples (2) egiones de integrción pr integrles triples L integrl interior se evlú entre superficies en el sentido positivo de l primer vrible de integrción. L segund integrl se evlú en l región proyectd sobre el plno de ls coordends restntes, según ls regls de integrles dobles. L últim integrl es un integrl simple entre vlores numéricos de l últim vrible de integrción.

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