Integral de una función real. Tema 08: Integrales Múltiples. Integral definida. Aproximación de una integral simple

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Integral de una función real. Tema 08: Integrales Múltiples. Integral definida. Aproximación de una integral simple"

Transcripción

1 Integrl de un función rel Tem 08: Integrles Múltiples Jun Igncio Del Vlle Gmbo Sede de Guncste Universidd de Cost ic Ciclo I Ls integrles definids clculn el áre bjo un curv y = f (x) pr un región definid [, b] del dominio de l función f. Se repsrá el desrollo de l definición de integrl pr luego extenderlo ls integrles múltiples. Aproximción de un integrl simple Integrl definid Pr proximr el áre bjo l curv, se divide l región de integrción en n segmentos. x = (b ) n. Pr cd segmento i, se escoge un punto rbitrrio xi, y se dibuj un rectángulo cuy bse mide x y l ltur será f (xi ). Incrementndo l cntidd de rectángulos hst el infinito (n ), l bse de cd rectángulo será cd vez más pequeñ ( x 0) y l sum nterior será exct. Integrl como el límite de un sum de iemnn Aproximción del áre bjo l curv A f (xi ) x i=1 A = lím n f (xi ) x = i=1 f (x)dx

2 Volumen bjo un superficie Aproximción del volumen Podemos proximr este volumen de l siguiente form: De mner nálog, puede definirse el problem de clculr el volumen bjo un superficie S sobre un región definid en el plno de ls vribles independientes. L región sobre l cul se clcul el volumen se conoce como l región de integrción. Aproximción del volumen (2) L región de integrción se prticion en n prtes rectngulres cuys dimensiones son x en l dirección del eje X, y y en l dirección del eje Y. Pr cd rectángulo i se escoge un pr ordendo letorio (x i, y i ) y se elbor un prlelepípedo cuy ltur será l función evlud en ese punto: f (x i, y i ). El volumen de cd prlelepípedo será igul l áre de su bse por l ltur V i = Af (x i, y i ) = x yf (x i, y i ). Definición El volumen totl del áre bjo l curv será proximdmente igul l sum de los volúmenes de todos los prlelepípedos: V tot i f (xi, y i ) A j Est proximción será exct si n, hciendo que x, y 0: Integrl doble definid V = lím n i f (xi, y i ) A = j Integrles triples Ls integrles triples evlún un función w = f (x, y, z) dentro de un región sólid tridimensionl. epresentn el cálculo de un hipervolumen en l curt dimensión, por lo que no podemos relcionrls con un propiedd geométric en 3.

3 Integrles triples Principio de Cvlieri Definición El volumen de un región tridimensionl se puede obtener si se puede prmetrizr su áre de sección trnsversl lo lrgo de un de sus dimensiones de l siguiente form: Ejemplo Pr clculr l ms de un región sólid, cuy densidd viene dd por ρ = f (x, y, z), se clcul l sum infinit de l ms de cubos infinitesimles con volumen dv, que viene dd por dm = ρdv: M = ρ(x, y, z)dv V = A(x)dx Est ide puede utilizrse pr evlur un integrl múltiple: se relizn dos (o más) integrles iterds: l primer produce un expresión prmetrizd del áre en un dirección, l cul se integr respecto l segund vrible. Principio de Cvlieri (2) Evlución de ls integrles dobles (1) Prtes de un integrl Tod integrl múltiple consiste de tres prtes que deben ser clrmente definids ntes de poder resolverse: L región de integrción, que debe de estr clrmente definid en sus superficies, curvs o vlores límites. Como se verá, podrí ser necesrio subdividirl en vris sub-regiones pr poder evlur l integrl. L función integrr, que debe de estr descrit en términos de ls vribles de l integrción. El integrndo, que debe incluír los fctores de esclmiento (determinntes Jcobinos) cundo se relizn cmbios de vribles.

4 Evlución de integrles dobles (2) Evlución de integrles triples }{{} Numeros g(v) f (v) f (u, v)du } {{ } Curvs dv El primer pso pr evlur un integrl es escoger decudmente los límites de integrción: l integrl intern posee ls curvs límites en l dirección de l vrible u, mientrs que l integrl extern posee los límites numéricos en términos de l vrible v. L primer integrl ser evlud es l integrl intern, l cul se trbj como un integrción prcil respecto l vrible u y se evlú en ls funciones límite g(v) y f (v). L segund integrl será l extern. Observe que, l llegr este pso, lo que qued por resolver es un integrl simple de un vrible en términos de l vrible v. g(w) ψ(v,w) f (w) ϕ(v,w) }{{} }{{} }{{} Numeros Curvs Superficies dudvdw Tipos de regiones en integrles dobles Tipos de regiones en integrles triples egión Tipo I egión Tipo II egión Tipo III f (x) f (x, y)dydx g(x) d g(y) f (x, y)dxdy c f (y) Metodologí Ls regiones de integrción básics son de tipo I o tipo II. En ests, hy un orden preferido de integrción por donde se puede recorrer l región siempre entrndo por un mism curv y sliendo por otr curv. Ls regiones compuests de tipo III deben subdividirse en sub-regiones de tipo I o II pr poder relizr l integrción. g(w) ψ(v,w) f (w) ϕ(v,w) }{{} }{{} }{{} Numeros Curvs Superficies dudvdw

5 Tipos de regiones en integrles triples (2) egiones de integrción pr integrles triples L integrl interior se evlú entre superficies en el sentido positivo de l primer vrible de integrción. L segund integrl se evlú en l región proyectd sobre el plno de ls coordends restntes, según ls regls de integrles dobles. L últim integrl es un integrl simple entre vlores numéricos de l últim vrible de integrción.

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj Escuel Técnic Superior de Ingenierí Civil e Industril (Esp. en Hidrologí) Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. Tem 9: Cálculo integrl de funciones de

Más detalles

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj Escuel Técnic Superior de Ingenierí Civil e Industril (Esp. en Hidrologí) Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. Tem 9: Cálculo integrl de funciones de

Más detalles

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio. Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con

Más detalles

5. Aplicación de la Integral de Riemann

5. Aplicación de la Integral de Riemann Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 8-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 9: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5. Aplicción

Más detalles

5. Aplicación de la Integral de Riemann

5. Aplicación de la Integral de Riemann Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 7-2 SEMANA 9: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5. Aplicción de l Integrl de Riemnn 5.1. Cálculo

Más detalles

Cálculo diferencial e integral 4

Cálculo diferencial e integral 4 Cálculo diferencil e integrl 4 Guí 2. emuestr el cso del teorem de Fubini que no se demostró en clse. Concretmente: se R = A B R n un rectángulo compcto con A y B rectángulos de dimensión menor. Supongmos

Más detalles

Clase No. 19: Integrales impropias MAT 251. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17

Clase No. 19: Integrales impropias MAT 251. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17 Clse No. 19: Integrles impropis MAT 251 Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) 23.1.213 1 / 17 Integrndos con singulriddes (I) Cundo el integrndo o lgun de sus derivds de bjo orden tienen un singulridd

Más detalles

Clase No. 19: Integrales impropias MAT 251. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17

Clase No. 19: Integrales impropias MAT 251. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17 Clse No. 19: Integrles impropis MAT 251 Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) 17.1.212 1 / 17 Integrndos con singulriddes (I) Cundo el integrndo o lgun de sus derivds de bjo orden tienen un singulridd

Más detalles

Integración Numérica. La regla del trapecio.

Integración Numérica. La regla del trapecio. Integrción Numéric. L regl del trpecio. Curso: Métodos Numéricos en Ingenierí Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: j..otero@itesm.mx web: http://metodosnumericoscem.weebly.com Universidd: ITESM

Más detalles

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable Grdo en Químic Bloque Funciones de un vrible Sección.6: Integrción y plicciones. L integrl sirve pr clculr áres de figurs plns limitds por curvs. Pr definir l integrl de un función f : [, b] R se utilizn

Más detalles

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA GUIA DE INTEGRALES DEFINIDAS INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem Fundmentl del Cálculo Áre jo l curv de un región Áre entre dos regiones COMPETENCIA: Resolver integrles plicndo

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x

INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x en INTEGRAL DEFINIDA El concepto de integrl definid está relciondo con el vlor que determin el áre jo l curv dd por un función f (x) el [, ]. (ve l intervlo gráfic) Uno de los primeros psos pr llegr este

Más detalles

7 Integral triple de Riemann

7 Integral triple de Riemann Miguel eyes, pto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 1 7 Integrl triple de iemnn 7.1 efinición Llmremos rectángulo cerrdo de 3 (prlelepípedo) l producto de tres intervlos cerrdos y cotdos de, es decir = [, b]

Más detalles

Cálculo Diferencial e Integral II 31 de octubre de Aplicaciones de la Integral. Mommentos y Centros de Masa

Cálculo Diferencial e Integral II 31 de octubre de Aplicaciones de la Integral. Mommentos y Centros de Masa Cálculo Diferencil e Integrl II 3 de octubre de 23 Aplicciones de l Integrl Mommentos y Centros de Ms Supong que tiene un vrill de ms pequeñ y en ell se fijn dos mss m y m 2 en ldos opuestos de un punto

Más detalles

Integrales de funciones de una variable.

Integrales de funciones de una variable. Tem Integrles de funciones de un vrible... L integrl definid como áre. L integrl definid de un función cotd y positiv corresponde l áre encerrd entre l curv y f (x) y el eje OX desde un punto y fx fx hst

Más detalles

Matemáticas Empresariales I. Integral Definida

Matemáticas Empresariales I. Integral Definida Mtemátics Empresriles I Lección 8 Integrl Definid Mnuel León Nvrro Colegio Universitrio Crdenl Cisneros M. León Mtemátics Empresriles I 1 / 31 Construcción de l integrl definid Se f un función definid

Más detalles

Integrales de funciones de una variable.

Integrales de funciones de una variable. Tem Integrles de funciones de un vrible... L integrl definid como áre. L integrl definid de un función cotd y positiv corresponde l áre encerrd entre l curv y fx) y el eje OX desde y f x f x un punto hst

Más detalles

CÁLCULO INTEGRAL SESIÓN 5: INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL DEFINIDA

CÁLCULO INTEGRAL SESIÓN 5: INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL DEFINIDA CÁLCULO INTEGRAL SESIÓN 5: INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL. COMPETENCIA: resolver y plnter integrles que le yuden clculr el áre de un región cotd por dos o más funciones plicndo el teorem

Más detalles

Integración de funciones de una variable real

Integración de funciones de una variable real Cpítulo 5 Integrción de funciones de un vrible rel 5.1. Introducción Los inicios del Cálculo Integrl se remontn Arquímedes, mtemático, físico e ingeniero griego del S.III A.C., quién clculó el áre de numeross

Más detalles

Integral definida. Áreas MATEMÁTICAS II 1

Integral definida. Áreas MATEMÁTICAS II 1 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II APROXIMACIÓN AL VALOR DEL ÁREA BAJO UNA CURVA L integrl definid está históricmente relciond con el prolem de definir y clculr el áre de figurs plns. En geometrí se

Más detalles

Las integrales que vamos a tratar de resolver numéricamente son de la forma I = f(x)dx

Las integrales que vamos a tratar de resolver numéricamente son de la forma I = f(x)dx Cpítulo 3 Integrción Numéric 3.1. Introducción Ls integrles que vmos trtr de resolver numéricmente son de l form f(x)dx donde [, b] es un intervlo finito. Sbemos que l integrl definid (de Riemnn) de un

Más detalles

La integral de Riemann

La integral de Riemann L integrl de Riemnn Mrí Muñoz Guillermo mri.mg@upct.es U.P.C.T. Mtemátics I (1 o Ingenierí Electrónic Industril y Automátic) M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 1 / 33 Sums superior e inferior

Más detalles

Integración numérica por Monte-Carlo

Integración numérica por Monte-Carlo Integrción numéric por onte-crlo Ptrici Svedr Brrer 1 16 de julio de 28 1 Deprtmento de temátics, Universidd Autónom etropolitn-iztplp, psb@xnum.um.mx 2 Introducción Se X un vrible letori continu que tom

Más detalles

C alculo Octubre 2010

C alculo Octubre 2010 Cálculo Octubre 2010 c Dpto. de Mtemátics UDC c Dpto. de Mtemátics UDC L integrl indefinid Sen I R un intervlo bierto y f : I IR Definición Diremos que F es primitiv de f en I si F (x) = f (x), x I Teorem

Más detalles

1. La integral doble.

1. La integral doble. UNIVESIA POLITÉCNICA E CATAGENA eprtmento de Mtemátic Aplicd y Estdístic Fundmentos Mtemáticos Curso 2008/09. Integrción Múltiples 1. L integrl doble. Supongmos que tenemos un rectángulo en 2 de l form

Más detalles

TEMA 9: INTEGRALES. CÁLCULO DE ÁREAS

TEMA 9: INTEGRALES. CÁLCULO DE ÁREAS TEMA 9: INTEGRALES. CÁLCULO DE ÁREAS. ÁREA BAJO UNA CURVA. El prolem que pretendemos resolver es el cálculo del áre limitd por l gráfic de un función f() continu y positiv, el eje X y ls sciss = y =. Si

Más detalles

Aplicaciones de la integral.

Aplicaciones de la integral. Cpítulo 6 Aplicciones de l integrl. 6.. Cálculo del áre de un figur pln. En generl, pr clculr el áre de un región pln:. L dividimos en frnjs, infinitmente estrechs, de mner horizontl o verticl,. Suponemos

Más detalles

Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC Definición e interpretación geométrica

Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC Definición e interpretación geométrica Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. L Integrl.-. Definición e interpretción geométric Dd un función continu f :[, b] R ynonegtiv (f (), [, b]), vmos considerr l región del plno bjo l gráfic de

Más detalles

Parte 7. Derivación e integración numérica

Parte 7. Derivación e integración numérica Prte 7. Derivción e integrción numéric Gustvo Montero Escuel Técnic Superior de Ingenieros Industriles Universidd de Ls Plms de Grn Cnri Curso 006-007 Los problems de derivción e integrción numéric El

Más detalles

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral Aplicciones del Cálculo diferencil e integrl Integrción numéric con Mxim http://euler.us.es/~rento/ Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Aplicciones del Cálculo

Más detalles

DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE RIEMANN. Sea una función f : [a, b] R, positiva (f 0) y cuya gráfica presenta una situación del tipo:

DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE RIEMANN. Sea una función f : [a, b] R, positiva (f 0) y cuya gráfica presenta una situación del tipo: ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE RIEMANN. Se un función f : [, b] R, positiv (f 0) y cuy gráfic present un situción del tipo: Figur 1. Aproximción por rectángulos. Antes de proximr

Más detalles

Integrales. Jesús García de Jalón de la Fuente. IES Ramiro de Maeztu Madrid

Integrales. Jesús García de Jalón de la Fuente. IES Ramiro de Maeztu Madrid Jesús Grcí de Jlón de l Fuente IES Rmiro de Meztu Mdrid Diferencil de un función Diferencil de un función Definición L diferencil de un función f es igul su derivd por un incremento rbitrrio de l vrible.

Más detalles

Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg

Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg Clse No. 18: Integrción numéric: Regl del trpecio Método de Romberg MAT 251 Dr. Alonso Rmírez Mnznres CIMAT A.C. e-mil: lrm@ cimt.mx web: http://www.cimt.mx/ lrm/met_num/ Dr. Joquín Peñ Acevedo CIMAT A.C.

Más detalles

D I F E R E N C I A L

D I F E R E N C I A L D I F E R E N C I A L µ dy y = d Si un función y = f() dmite derivd finit en un punto su incremento puede epresrse como y = f () + ε, siendo ε un infinitésimo pr 0. Al primer término se lo llm diferencil

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b. Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

Más detalles

ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA

ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA Mrí Susn Montelr Fcultd de Ciencis Excts, Ingenierí y Agrimensur - UNR El problem del áre Dd f : [, b] R, tl que f(x) 0 pr todo x [, b] b x Se f un función no negtiv

Más detalles

(Chpter hed:)integrles MULTIPLES El concepto de integrl de un función de un sol vrible sobre un intervlo estudido en el Cálculo I, se extiende de mner nturl primero funciones de dos vribles sobre un región

Más detalles

Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga

Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga ndlucitech Integrción Integrción Dpto. Mtemátic Aplicd Universidd de Málg ndlucitech Integrción Resumen 1 Integrción 2 Áres Volúmenes Longitudes y superficies ndlucitech Integrción Motivción Cálculo de

Más detalles

Integración Numérica. Las reglas de Simpson.

Integración Numérica. Las reglas de Simpson. Integrción Numéric. Ls regls de Simpson. Curso: Métodos Numéricos en Ingenierí Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: j..otero@itesm.mx web: http://metodosnumericoscem.weebly.com Universidd: ITESM

Más detalles

5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación)

5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación) Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 7-2 SEMANA 1: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5.4. Longitud de un Arco de Curv (Rectificción)

Más detalles

Universidad de Costa Rica. Proyecto MATEM PRIMER EXAMEN PARCIAL CÁLCULO

Universidad de Costa Rica. Proyecto MATEM PRIMER EXAMEN PARCIAL CÁLCULO Universidd de Cost Ric Proyecto MATEM PRIMER EXAMEN PARCIAL CÁLCULO de bril de 017 INSTRUCCIONES GENERALES: Le cuiddosmente, cd instrucción y pregunt, ntes de contestr. Utilice únicmente bolígrfo de tint

Más detalles

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN.

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.4.1. El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. 5.4.1. El áre

Más detalles

6.1 Sumas de Riemann e integral definida

6.1 Sumas de Riemann e integral definida Tem 6 Integrción Definid 6.1 Sums de Riemnn e integrl definid Supongmos que estmos interesdos en clculr el áre que se encuentr bjo un curv y = f(x) en un intervlo [, b] (pr simplificr, consideremos el

Más detalles

Fórmulas de cuadratura.

Fórmulas de cuadratura. PROYECTO DE ANALISIS MATEMATICO I : Integrción numéric. Ojetivos: Aprender los métodos más sencillos de integrción númeric y plicrlos en diversos prolems. Fórmuls de cudrtur. Se (x un unción continu deinid

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral CAPÍTULO Aplicciones de l integrl. Momentos centro de un ms.. Centro de ms de un sistem unidimensionl Considerr el sistem unidimensionl, tl como se muestr en l siguiente figur, formdo por un vrill (de

Más detalles

Integración numérica I

Integración numérica I Tems Regl del rectángulo. Regl del trpecio. Cpciddes Conocer y plicr l regl del rectángulo. Conocer y plicr l regl del trpecio. 1.1 Introducción Como y se h visto, pr clculr el vlor excto de un integrl

Más detalles

La Integral Definida II

La Integral Definida II L Integrl Definid II Hst hor h sido útil pensr en un integrl definid como el áre entre l gráfic de l función f(x) y el eje x. Usré es interpretción pr mostrrte un propiedd de mner intuitiv. El vlor del

Más detalles

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014 Cálculo Integrción de funciones reles de un vrible rel 24 de octubre de 2014 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción de funciones reles de un vrible rel L integrl indefinid. Cálculo de primitivs L integrl

Más detalles

Y f. Para ello procederemos por aproximaciones sucesivas, de modo que cada una de ellas constituya un término de una sucesión G n cuyo límite

Y f. Para ello procederemos por aproximaciones sucesivas, de modo que cada una de ellas constituya un término de una sucesión G n cuyo límite INTEGRALES LECCIÓN Índice: El prolem del áre. Ejemplos. Prolems..- El prolem del áre Se f un función continu y no negtiv en [,]. Queremos clculr el áre S de l región del plno limitd por l gráfic de f,

Más detalles

Complementos de Matemáticas, ITT Telemática

Complementos de Matemáticas, ITT Telemática Complementos de Mtemátics, ITT Telemátic Tem 3. Deprtmento de Mtemátics, Universidd de Alclá Índice 1 básic 2 Obtención de ls regls de cudrtur 3 Error de cudrtur 4 Regls compuests Introducción Integrl

Más detalles

Integración Numérica

Integración Numérica Métodos Numéricos: Integrción Numéric Edurdo P. Serrno Versión previ br 1 1. L integrl. Considermos el problem de clculr l integrl: If) = fx) dx donde f es un función continu. El vlor If) puede clculrse,

Más detalles

1. INTEGRALES MÚLTIPLES

1. INTEGRALES MÚLTIPLES 1. INTGALS MÚLTIPLS 1.1. INTGAL OBL SOB UN CTÁNGULO Se f : 2 un funión otd de dos vribles, denid sobre el retángulo = [, b] [, d] = {(x, y) 2 : x b, y d} A ontinuión se onsider un prtiión de en subretángulos.

Más detalles

Tema 11: Integrales denidas

Tema 11: Integrales denidas Tem : Integrles denids My 9, 7 Denición y propieddes Denición. Si f ) es un función continu en un intervlo [, b] y denid positiv, f ), l integrl denid en ese intervlo l denimos como: f ). Si f ) > l integrl

Más detalles

Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg

Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg Clse No. 18: MAT 251 Integrción numéric: Regl del trpecio Método de Romberg Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) 19.10.2011 1 / 14 Integrción numéric Dd un función f : [, b] R continu, queremos

Más detalles

MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS INTEGRAL DEFINIDA

MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS INTEGRAL DEFINIDA Profesor: Fernndo Ureñ Portero 1. APROXIMACIÓN DE ÁREAS BAJO UNA CURVA Hy infinidd de funciones extríds del mundo rel (científico, económico, físic )pr ls cules tiene especil relevnci clculr el áre jo

Más detalles

Tema 8 Integral definida

Tema 8 Integral definida Tem 8 Integrl definid ) Integrl definid Se y = f() un función positiv y continu en el intervlo (, ). Consideremos el trpecio mitilíneo, S, determindo por f(), f(), f() y el eje OX y dividmos el intervlo

Más detalles

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.2. INTEGRACIÓN.

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.2. INTEGRACIÓN. 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.2. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2017-2018 5.2.1. L integrl como medid de áres. L definición de integrl se hce con un procedimiento

Más detalles

Clase 12: Integración de funciones de varias variables con valores reales

Clase 12: Integración de funciones de varias variables con valores reales Clse : Integrión de funiones de vris vribles on vlores reles C.J. Vnegs de junio de 8 eordemos.. L integrl f. fx)dx, pr f represent el áre bjo l gráfi de Similrmente si tenemos un funión de dos vribles:

Más detalles

1 Integrales impropias

1 Integrales impropias Integrles impropis Eliseo Mrtínez Herrer 3 de mrzo del 4 Abstrct Se estudin ls integrles impropis sobre l bse del cálculo de integrles definids y el límite de funciones Integrles impropis b Un integrl

Más detalles

METODOS NUMERICOS TALLER 7, SEMESTRE Se obtuvieron los siguientes datos de la distancia recorrida por un cohete contra el tiempo:

METODOS NUMERICOS TALLER 7, SEMESTRE Se obtuvieron los siguientes datos de la distancia recorrida por un cohete contra el tiempo: METODOS NUMERICOS 697 TALLER 7, SEMESTRE Tem: Derivción e integrción numérics Se recomiend relizr los ejercicios propuestos en el texto guí, en prticulr los siguientes: Sección :,,, 7, 8,, Sección :, 8

Más detalles

f(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) una antiderivada de f(x), es decir, siendo F (x) tal que F (x) = f(x)

f(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) una antiderivada de f(x), es decir, siendo F (x) tal que F (x) = f(x) Cálculo de primitivs: f(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) un ntiderivd de f(x), es decir, siendo F (x) tl que F (x) = f(x) L constnte C se denomin constnte de integrción; es un constnte rbitrri porque se

Más detalles

Campos Vectoriales. = 2(x2 + y 2 ) = 1. θ = arc cos 2

Campos Vectoriales. = 2(x2 + y 2 ) = 1. θ = arc cos 2 Unidd Integrl de Líne. Integrl de funciones vectoriles Cmpos Vectoriles Denición. Un cmpo vectoril en el plno R es un función F : R R que sign cd vector x D R un único vector F (x) R con F (x) = P (x)i

Más detalles

5.5 Integración numérica

5.5 Integración numérica 88 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.5 Integrción numéric Métodos de Newton-Côtes De cr clculr l integrl definid: f(x) dx se llmn Métodos de Newton-Côtes los que se bsn en integrr, en lugr de l

Más detalles

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica.

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica. Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo mribel@ugr.es. 1 Integrl de Riemnn. Introducción l integrción numéric. En est práctic usremos l clculdor ClssPd pr trtr el problem de integrción. Se

Más detalles

CÁLCULO INTEGRAL. Definición: Sean a y b dos números reales a < b. Una partición del intervalo [a,b] es un conjunto finito de puntos de,

CÁLCULO INTEGRAL. Definición: Sean a y b dos números reales a < b. Una partición del intervalo [a,b] es un conjunto finito de puntos de, Deprtmento de Mtemátics I.E.S. Vlle del Jerte (Plsenci) CÁLCULO INTEGRAL 2.- INTEGRAL DEFINIDA. Definición: Sen y dos números reles

Más detalles

Teorema de Green. 6.1 Introducción

Teorema de Green. 6.1 Introducción SESIÓN 6 6.1 Introducción En est sesión se revis el primero de los 3 teorem clves del cálculo vectoril: el. Este teorem estblece que un integrl doble sobre un región del plno es igul un integrl de líne

Más detalles

Aplicaciones de la Integral.

Aplicaciones de la Integral. Seminrio 2 Aplicciones de l Integrl. 2.1. Áre de figurs plns. Definición 2.1.1. Se f : [, b] R continu y f(x) 0 x [, b]. El áre del recinto {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)} viene dd por l integrl: A = f(x)

Más detalles

7.10. Calcular el desarrollo de Taylor de grado 2 en x = 0 de la función. Cálculo integral: funciones reales de variable real.

7.10. Calcular el desarrollo de Taylor de grado 2 en x = 0 de la función. Cálculo integral: funciones reales de variable real. 7.. Clculr el desrrollo de Tylor de grdo en = de l función f () = te t dt, y utilizrlo pr clculr proimdmente, te t dt. Dr un estimción del error cometido. ( 997). 7.. Clculr el siguiente ite funcionl cos

Más detalles

Tema 9: Cálculo de primitivas. Integrales definidas e impropias.

Tema 9: Cálculo de primitivas. Integrales definidas e impropias. Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Tem 9: Cálculo de primitivs. Integrles definids e impropis. José M. Slzr Noviembre de 206 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Tem

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

Funciones de variable compleja

Funciones de variable compleja Funciones de vrible complej Integrles impropis. Mrí Eugeni Torres Universidd Ncionl de Entre Ríos Fcultd de Ingenierí Funciones de Vrible Complej (Bioingenierí, Pln 28) Myo 29 Integrles impropis Alcnce

Más detalles

Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg

Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg Clse No. 17: Integrción numéric: Regl del trpecio Método de Romberg MAT 251 Dr. Alonso Rmírez Mnznres Depto. de Mtemátics Univ. de Gunjuto e-mil: lrm@ cimt.mx web: http://www.cimt.mx/ lrm/met_num/ Dr.

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

2. Estimar el área debajo de la gráfica de f(x) = cosx desde x = 0 hasta x = π/2, usando cuatro rectángulos

2. Estimar el área debajo de la gráfica de f(x) = cosx desde x = 0 hasta x = π/2, usando cuatro rectángulos 1. Estimr el áre debjo de l gráfic de f(x) = cosx desde x = hst x = π/2, usndo cutro rectángulos de proximción y como puntos muestr, los extremos derechos de los intervlos. Dibuje l curv y los rectángulos

Más detalles

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un ecución de segundo grdo tiene l form generl: +b+c=0. (El primer sumndo del primer miembro no puede ser nunc nulo,

Más detalles

Teorema fundamental del Cálculo.

Teorema fundamental del Cálculo. Sesión Teorem fundmentl del Cálculo (TFC) Tems Teorem fundmentl del Cálculo. Cpciddes Conocer y comprender el TFC. Aplicr el TFC en el cálculo de derivds e integrles definids.. Introducción I. Brrow Inglés.

Más detalles

Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución.

Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Cálculo de áres de figurs plns. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de longitud de rco de curv. Cálculo de áres de superficies de revolución. Cálculo

Más detalles

1. Fórmulas Básicas de Newton-Cotes

1. Fórmulas Básicas de Newton-Cotes Práctic # 6 MAT-122: Cálculo Diferencil e Integrl II, Dr. Porfirio Suñgu S. 1. Fórmuls Básics de Newton-Cotes Considere f : [, b] R diferencible ls veces que se necesri según cd método. Ddo el número de

Más detalles

PROGRAMA. a) Presentar en forma secuencialmente lógica las materias del Cálculo Integral y el estudio de Series.

PROGRAMA. a) Presentar en forma secuencialmente lógica las materias del Cálculo Integral y el estudio de Series. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO INSTITUTO DE MATEMATICAS LUISA ABURTO HAGEMAN, Secretri Acdémic del Instituto de Mtemátics Certific este, PROGRAMA Asigntur MAT 223 CALCULO 2 I DATOS GENERALES

Más detalles

Z ξ. g(t)dt y proceda como sigue:

Z ξ. g(t)dt y proceda como sigue: Prolems Prolem.9. Sen f(x) y g(x) funciones continus en [,] y f (x) continu y de signo constnte en [,]. demuestre que (,) tl que f(x)g(x)dx = f() g(x)dx+ f() g(x)dx. R Pr esto considere l función G(x)

Más detalles

TEMA 4. Cálculo integral

TEMA 4. Cálculo integral TEMA 4. Cálculo integrl En este tem considerremos el cálculo integrl, que es un complemento nturl del cálculo diferencil y tiene múltiples plicciones en otrs ciencis. 4.. Introducción l cálculo integrl

Más detalles

Unidad Temática Integral definida

Unidad Temática Integral definida Integrl definid Unidd Temátic 5 5.2 Integrl definid Análisis Mtemático (Ingenierí Informátic) Deprtmento de Mtemátic Aplicd Fcultd de Informátic Universidd Politécnic de Vlenci S. Cmp, J.A. Conejero y

Más detalles

CONCEPTOS CLAVE DE LA UNIDAD 2., entonces se dice que F es antiderivada de f. Siempre que f(x) esté definida.

CONCEPTOS CLAVE DE LA UNIDAD 2., entonces se dice que F es antiderivada de f. Siempre que f(x) esté definida. CONCEPTOS CLAVE DE LA UNIDAD. Si f y F son funciones de, tles que F '( ) f ( ), entonces se dice que F es ntiderivd de f. Siempre que f() esté definid. Alguns veces l ntiderivd, se le llm función primitiv..

Más detalles

CÁLCULO NUMÉRICO (0258) Tercer Parcial (20%) Jueves 27/09/12

CÁLCULO NUMÉRICO (0258) Tercer Parcial (20%) Jueves 27/09/12 Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Ingenierí Deprtmento de Mtemátic Aplicd CÁLCULO NUMÉRICO (58 Tercer Prcil (% Jueves 7/9/ Se l fórmul de diferencición numéric f(x f(x + + f(x + f ''(x Usndo series

Más detalles

Integrales Elipticas. Longitud de una Curva

Integrales Elipticas. Longitud de una Curva Unidd 3 Función Logritmo y Exponencil 3. Logritmo trvés de l integrl. Integrles Eliptics Longitud de un Curv Se f un función continu en [, b]. Si {t, t,..., t n } es un prtición de [, b] tenemos que en

Más detalles

La integral. En esta sección presentamos algunas propiedades básicas de la integral que facilitan su cálculo. c f.x/ dx C f.

La integral. En esta sección presentamos algunas propiedades básicas de la integral que facilitan su cálculo. c f.x/ dx C f. CAPÍTULO L integrl.6 Propieddes fundmentles de l integrl En est sección presentmos lguns propieddes ásics de l integrl que fcilitn su cálculo. Aditividd respecto del intervlo. Si < < c, entonces: f./ d

Más detalles

INTEGRALES IMPROPIAS INTRODUCCION

INTEGRALES IMPROPIAS INTRODUCCION INTEGRALES IMPROPIAS INTRODUCCION Cundo intentmos explicr que er un integrl hicimos vris suposiciones: l función dentro de l integrl estb definid en un intervlo FINITO [,b], l función no tení discontinuiddes.

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 10 - Área entre curvas. y = f (x) f (x)dx A =

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 10 - Área entre curvas. y = f (x) f (x)dx A = Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs Práctic 0 - Prte Áre entre curvs Un de ls plicciones del cálculo de integrles definids es el cálculo de áres de regiones cotds del plno delimitds

Más detalles

Electromagnetismo II

Electromagnetismo II Electromgnetismo II Semestre: 25- TAREA 4 Y SU SOLUCIÓN Dr. A. Reyes-Corondo Por: Pedro Edurdo Romn Tbod.- Problem: (5pts Clcul l fuerz sobre l crg +q de l figur que se muestr continución. El plno XY represent

Más detalles

Para Grados en Ingeniería. Capítulo 4: Integración en una variable. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García

Para Grados en Ingeniería. Capítulo 4: Integración en una variable. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García TEOÍA DE CÁLCULO I Pr Grdos en Ingenierí Cpítulo 4: Integrción en un vrible Domingo Pestn Glván José Mnuel Rodríguez Grcí 1 TEMA 4. Integrción en un vrible 4.1 Cálculo de primitivs Preliminres - Geométricmente,

Más detalles

CÁLCULO. Ingeniería Industrial. Curso Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla.

CÁLCULO. Ingeniería Industrial. Curso Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. CÁLCULO Ingenierí Industril. Curso 9-1. Deprtmento de Mtemátic Aplicd II. Universidd de Sevill. Lección. Métodos numéricos en un vrible. Resumen de l lección..1. Método de Newton pr l resolución de ecuciones.

Más detalles

1.4. Sucesión de funciones continuas ( )

1.4. Sucesión de funciones continuas ( ) 1.4. Sucesión de funciones continus (18.04.2017) Se {f n } un sucesión de funciones f n, definids en I. Si {f n } converge uniformemente f en I y ls f n son continus en I, entonces f es continu en I. D:

Más detalles

Electromagnetismo I. +q" #2q" d" 2d"

Electromagnetismo I. +q #2q d 2d Electromgnetismo I Semestre: 215-2 Prof. Alejndro Reyes Corondo Ayud. Crlos Alberto Mciel Escudero Ayud. Christin Esprz López Solución l Tre 4 Solución por Christin Esprz López 1.- Problem: (2pts Clcul

Más detalles

Integrales triples en coordenadas rectangulares. Integrales triples. S n = a

Integrales triples en coordenadas rectangulares. Integrales triples. S n = a 5.5 Integrles triples en coordends rectngulres 859. Evlúe lím erfsd lím : q 4. Conversión un integrl polr Evlúe l integrl q q : q s + + d d. d 43. Eistenci Integre l función f(, ) 5 ( ) sore el disco #

Más detalles

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial.

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial. Relción entre el cálculo integrl y el cálculo diferencil. Por: Miguel Solís Esquinc Profesor de tiempo completo Universidd Autónom de Chips En est sección presentmos l relción que gurdn l función derivd

Más detalles

2. [ANDA] [JUN-B] Considera la función f: definida por f(x) = e

2. [ANDA] [JUN-B] Considera la función f: definida por f(x) = e Selectividd CCNN 5. [ANDA] [JUN-A] Se sbe que ls dos gráfics del dibujo corresponden l función f: definid por f() = e y su función derivd f'. ) Indic, rzonndo l respuest, cuál es l gráfic de f y cuál l

Más detalles

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx. TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l

Más detalles

Junio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A

Junio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A Junio 00 (Prueb Generl) JUNIO 00 OPCIÓN A.- ) Dds ls funciones f () = ln () y g() =, hllr el áre del recinto plno limitdo por ls rects =, = y ls gráfics de f () y g (). b) Dr un ejemplo de función continu

Más detalles