Competencia específica. Conceptos básicos. Función. f : X Y

Transcripción

1 Funcio nes inplícit as FUNCI ONES Cncept os iniciale s Sucesio nes Grafica ción Operaci ones Clasific ación Competencia específica Comprender el concepto de función real e identificar los tipos de funciones, así como aplicar sus propiedades y operaciones. Conceptos básicos Función Dominio Codominio Rango (o recorrido) Función Una función es una relación entre dos conjuntos X y Y, en la que a cada valor x en X le corresponde un valor y en Y. La variable x se denomina variable independiente, mientras que la variable y se denomina la variable independiente. Para una función de nombre f, se escribe f : X Y

2 Dominio y rango, concepto 5 Para la función: Ejemplos f (x) = x + 3 su dominio es Para la función: g(x) = x + 3 x +1! 0+ su dominio es el intervalo (, 1) ( 1, ) 6 Imagen y Preimagen El valor de la función f para un valor específico de la variable independiente x = a se le llama imagen de x = a y se escribe f (a). Para la función f (x) = x , la imagen de x = 4 es Además, la preimagen de en la función anterior es 4. 7 Ejemplos f :!! definida como f (x) = x 2 f (2) = 2 2 = 4 g :!! definida como g(x) = 3 cos( x 3) g(π ) = 3 cos( π 1 3 ) = 3 ( 2 ) = 3 2 8

3 Dominio y rango Al conjunto de las imágenes de todos los valores x del dominio se le llama rango de la función. Función real de variable real Si los valores del conjunto X y del conjunto Y son números reales, se dice que la función es una función real de variable real. El dominio es el mayor subconjunto de los números reales para los cuales la función es un número real. Definición de una función Las funciones se pueden expresar de diferentes formas Implícita x 2 + 2y = 1 Explícita y = 1 2 (1 x2 ) Usando f como nombre de la función f (x) = 1 2 (1 x2 ) Mas de evaluación de una función Evaluar: x = 2 x = 2 x = 3a x = 3a 1 f (x) = 2x 2 4x +1

4 Evaluación de una función Ejercicio: si f (3a) f (v 1) f (x) = x 2 + 7, calcular f (x + h) f (x) ; para h 0 h Ejercicios, dominio y rango Ejemplo 1: Ejemplo 2: Ejemplo 3: Ejercicio 1: f (x) = x 2 f (x) = f (x) = 9 x 2 x 5x g(x) = x 2 3x 4 Ejercicio 2: f (x) = 1 9 x 2 Ejercicios extraclase Realice los ejercicios: 2.1 Desarrolle su competencia, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 19, 23, 25 Función inyectiva (uno a uno) Una función f es inyectiva si para valores diferentes de x corresponden valores diferentes de f f (x) = 2 x f (x) = 2 e 2 x f (x) = x 3 x 2 2x +1

5 Función suprainyectiva (sobre) Una función f :!!, es suprainyectiva si el rango de f es! f (x) = 2 x f (x) = 2 x + x 2 x 3 g(θ) = tan(θ) f (x) = 2 x + x 2 Función biyectiva Una función es biyectiva si es uno a uno y también es sobre. Para las funciones biyectivas existe una función inversa, mas sobre esto al final de la unidad. Gráfica de una función la ingeniería (y en otros campos), a menudo se usa una función para describir fenómenos. A fin de interpretar datos, es útil representar estos datos en forma gráfica. el sistema de coordenadas rectangulares, la gráfica de una función f es la gráfica del conjunto de pares ordenados (x, f (x)), donde x está en el dominio de f. Gráfica básica de una función Para obtener la gráfica se eligen números apropiados x 1, x 2, x 3, en el dominio de la función y se calcula f (x 1 ), f (x 2 ), f (x 3 ), luego se trazan los puntos correspondientes (x 1 f,(x 1 )), (x 2, f (x 2 )), (x 3, f (x 3 )), y se unen los puntos con una curva suave

6 Gráfica básica de una función Las intersecciones de la curva de la función y = f (x) con los ejes: Con el eje x, un punto de la forma (0, y 0 ) o sea, el valor de la función cuando x = 0 Con el eje y, un punto de la forma (x 0,0) o sea, el valor de x cuando y = 0 Ejemplo 4 Ejemplo 4: Realizar la gráfica básica de la función f (x) = 4 2x Solución: La ecuación corresponde a una recta, por lo que solo se requieren dos puntos para trazar la gráfica. Generalmente los puntos mas simples son las intersecciones con los ejes. Ejemplo 4 Gráfica de la función Ejemplo 5 Ejemplo 5: Trazar la gráfica de la función f (x) = x 2 3x + 2 Solución: El dominio de la función es! Puntos convenientes son los cruces de la curva con los ejes, tal vez otros.

7 EJEMPLO 6 Ejemplo 6: Trazar la gráfica de la función f (x) = x 1 y encontrar su dominio y su rango. Solución: El dominio de la función es [ 1, ) y su rango [ 0, ). Vamos a evaluar desde valores de 1 hasta 10 (para x ). Ejercicio 3 Ejercicio 3: Trazar la gráfica de la función f (x) = x 2 4 y encontrar su dominio y su rango. Funciones definidas por partes Funciones definidas por partes ( o secciones o seccionalmente continuas). Si el dominio lo dividimos en diferentes secciones y para cada sección definimos la función por una expresión diferente, se tiene una función definida por partes. f (x) = x 2, si x < 0 x +1, si x 0 Ejemplo 7 Considerar la función definida por partes f (x) = 1, si x < 0 0, si x = 0 x +1, si x > 0 dibujar su gráfica