Esta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n )

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1 Tema 3 Formas cuadráticas Definición y expresión matricial Definición Una forma cuadrática sobre R es una aplicación q : R n R que a cada vector x = (x 1, x 2,, x n ) R n le hace corresponder un número real dado por: q(x 1, x 2,, x n ) = a 11 x 2 1+a 22 x a nn x 2 n+2a 12 x 1 x a 1n x 1 x n + +2a n 1n x n 1 x n con a ij R, i, j = 1, 2,, n, y que corresponde a un polinomio homogéneo de segundo grado en las n variables x 1, x 2, x n. Esta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 a 12 a 22 a 2n x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n ) = X t AX a 1n a 2n a nn donde la matriz A asociada a la forma cuadrática, es una matriz simétrica de orden n cuyos elementos de la diagonal principal son los coeficientes de los términos cuadráticos de la expresión polinómica, y los restantes elementos de la matriz son la mitad de los coeficientes de los términos no cuadráticos de dicha expresión. Esta relación entre los elementos de una y otra expresión de la forma cuadrática, permite obtener fácilmente cada una de ellas a partir de la otra. x n 31

2 Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) Ejemplos (1.) La forma cuadrática q : R 2 R cuya expresión polinómica es q(x, y) = 3x 2 6xy + y 2 tiene por expresión matricial: q(x, y) = (x, y) 3 3 x 3 1 y (2.) La forma cuadrática q : R 3 R cuya expresión matricial es: x q(x, y, z) = (x, y, z) y tiene por expresión polinómica: z q(x, y, z) = x 2 2y 2 2xy + 4xz + 2yz 3.2. Expresión diagonal de una forma cuadrática Una expresión diagonal o canónica de una forma cuadrática q : R n R viene dada por: d x 1 q(x 1, x 2,, x n ) = d 1 x 2 1+d 2 x d n x 2 0 d 2 0 x 2 n = (x 1, x 2,, x n ) 0 0 d n es decir, la expresión polinómica sólo contiene términos cuadráticos y la matriz asociada es diagonal. x n Cualquier forma cuadrática admite, al menos, una expresión diagonal que es la que viene dada por los autovalores de la matriz asociada, aunque, bajo ciertas condiciones, también pueden existir otras expresiones diagonales. Teorema (Expresión diagonal por autovalores). Para toda forma cuadrática q : R n R, con A su matriz asociada, y λ 1, λ 2,, λ n los autovalores de A, existe una expresión diagonal dada por q(x 1, x 2,, x n ) = λ 1 x λ 2 x λ n x 2 n. Ejemplo Sea la forma cuadrática q : R 3 R dada por: x q(x, y, z) = 3x 2 + 3y 2 + 5z 2 4xy = (x, y, z) y z 32

3 Grupos A y D Curso 2014/2015 La matriz asociada A tiene los autovalores λ 1 = 1, λ 2 = λ 3 = 5 por lo que una expresión diagonal de q es q(x, y, z) = x 2 + 5y 2 + 5z 2. Teorema (Expresión diagonal de Jacobi). Sea una forma cuadrática q : R n R, A su matriz asociada, D 1, D 2,, D n los menores principales de A (los formados con las i primeras filas y las i primeras columnas) y rg(a) = r n. La expresión diagonal de Jacobi de la forma cuadrática q viene dada por: q(x 1, x 2,, x n ) = D 1 x D 2 x D r x 2 D 1 D r, r 1 siempre que D 1 0, D 2 0,, D r 0. Ejemplo Sea q la forma cuadrática del ejemplo anterior: Los menores principales son D 1 = 3, D 2 = 2 3 = 5, D 3 = = 25 Como rg(a) = 3 y los tres menores principales son distintos de cero, la expresión diagonal de Jacobi es: q(x, y, z) = 3x y z2 = 3x y2 + 5z Clasificación de las formas cuadráticas Definición Sea q : R n R una forma cuadrática y x = (x 1, x 2,, x n ) R n. Se dice que: q( x) es definida positiva si q( x) > 0, x R n, x 0. q( x) es definida negativa si q( x) < 0, x R n, x 0. q( x) es semidefinida positiva si q( x) 0, x R n, y u 0 : q( u) = 0. q( x) es semidefinida negativa si q( x) 0, x R n, y u 0 : q( u) = 0. q( x) es indefinida si u, v R n : q( u) > 0, q( v) < 0. Ejemplos La forma cuadrática q(x, y) = x 2 + y 2 es definida positiva pues al ser una suma de cuadrados será positiva salvo para el vector nulo. 33

4 Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) La forma cuadrática q(x, y) = (x y) 2 es semidefinida positiva pues q(x, y) 0 (x, y) R 2 y q(x, x) = 0. La forma cuadrática q(x, y) = x 2 y 2 es indefinida pues q(1, 2) = 3 y q(2, 1) = 3. Vamos a estudiar unas caracterizaciones del signo de una forma cuadráticas que vienen dadas, bien por los autovalores de su matriz asociada, bien por los menores principales de dicha matriz. Proposición Sea q : R n R una forma cuadrática y λ 1, λ 2,, λ n los autovalores de su matriz asociada.se verifica: q( x) es definida positiva si y sólo si los autovalores de A son todos positivos. q( x) es definida negativa si y sólo si los autovalores de A son todos negativos. q( x) es semidefinida positiva si y sólo si los autovalores de A son positivos y nulos. q( x) es semidefinida negativa si y sólo si los autovalores de A son negativos y nulos. q( x) es indefinida si y sólo si los autovalores de A son positivos y negativos. Proposición Sea q : R n R una forma cuadrática, A su matriz asociada, D i : 1 i n los menores principales de A, y r = rg(a). 1 A 0 (nunca es semidefinida y r = n) Si D 1 > 0, D 2 > 0,, D n > 0, entonces q es definida positiva. Si D 1 < 0, D 2 > 0,, ( 1) n D n > 0, entonces q es definida negativa. Indefinida en otro caso. 2 A = 0 (nunca es definida y r < n) a) i : 1 i r, D i 0: Si D 1 > 0, D 2 > 0,, D r > 0, entonces q es semidefinida positiva. Si D 1 < 0, D 2 > 0,, ( 1) r D r > 0, entonces q es semidefinida negativa. Indefinida en otro caso. b) i : 1 i r, : D i = 0. Este criterio no se puede aplicar. 34

5 Grupos A y D Curso 2014/ Formas cuadráticas restringidas En el estudio del signo de una forma cuadrática real de n variables es frecuente que éstas tengan que satisfacer un conjunto de restricciones, o lo que es lo mismo, que el vector x pertenezca a algún subespacio de R n. Por tanto, interesa clasificar la forma cuadrática en el subespacio en el que están restringidas las variables. Definición Sean q : R n R una forma cuadrática y E un subespacio vectorial de R n. q restringida a E es definida positiva si q( x) > 0, x E, x 0. q restringida a E es definida negativa si q( x) < 0, x E, x 0. q restringida a E es semidefinida positiva si q( x) 0, x E, y u E, u 0 : q( u) = 0. q restringida a E es semidefinida negativa si q( x) 0, x E, y u E, u 0 : q( u) = 0.. q( x) es indefinida si u, v E : q( u) > 0, q( v) < 0. Clasificación de una forma cuadrática restringida a un subespacio Se obtienen las ecuaciones paramétricas del subespacio: x 1 = α 1 u 11 + α 2 u α k u k1 x 2 = α 1 u 12 + α 2 u α k u k2 α 1, α 2,, α n R... x n = α 1 u 1n + α 2 u 2n + + α k u kn Se sustituyen las ecuaciones paramétricas en la expresión analítica de la forma cuadrática. Se clasifica la forma cuadrática restringida q E (α 1, α 2,, α n ). 35

6 Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) 3.5. Ejercicios resueltos 1.- Obtener la expresión matricial y una forma diagonal de las siguientes formas cuadráticas: a) q(x, y) = 2x 2 + 6xy + 2y 2 La expresión matricial es: q(x, y) = (x, y) 2 3 x 3 2 y Para obtener le expresión diagonal podemos usar el método de Jacobi o los autovalores: 2 λ 3 A λi = = 0 tiene como solución λ = 5, λ = 1, por lo que 3 2 λ una expresión diagonal será: q(x, y) = 5x 2 y 2. Como los menores principales de A son D 1 = 2, D 2 = A = 5, la expresión diagonal de Jacobi es: q(x, y) = 2x y2. b) q(x, y) = 8xy. Su expresión matricial: q(x, y) = (x, y) 0 4 x. 4 0 y Como D 1 = 0 no existe la expresión diagonal de Jacobi, utilizamos, por tanto, la de los autovalores: λ 4 A λi = = 0 tiene como solución λ = 4, λ = 4, por lo que una 4 λ expresión diagonal será: q(x, y) = 4x 2 4y 2. c) q(x, y, z) = 3x 2 + 3z 2 + 4xy + 8xz + 4yz x Matricialmente: q(x, y, z) = (x, y, z) y z 0 2 Los menores principales son: D 1 = 3, D 2 = 2 0 = 4, D 3 = A = 8, por lo que la expresión diagonal de Jacobi es: q(x, y, z) = 3x y2 8 4 z2 = 3x y2 2z 2. Dado que los autovalores de A son λ = 1 (doble) y λ = 8, una expresión diagonal será: q(x, y, z) = x 2 y 2 +8z 2. d) q(x, y, z) = 2xy 2xz + 2yz. 36

7 Grupos A y D Curso 2014/ x En forma matricial: q(x, y, z) = (x, y, z) y z Como D 1 = 0, no podemos utilizar la expresión diagonal de Jacobi, lo que nos obliga a calcular los autovalores de A: λ 1 1 A λi = 1 λ 1 = λ 3 + 3λ 2 = 0, que tiene por solución: λ = λ (doble) y λ = 2, por lo que una forma diagonal será: q(x, y, z) = x 2 +y 2 2z Obtener la expresión analítica y una expresión diagonal de las formas cuadráticas cuya matriz es: a) A = La expresión analítica la obtenemos: x q(x, y, z) = (x, y, z) y = 2x2 8y 2 + z 2 + 8xy z 2 4 Como D 2 = = 0, no existe la expresión diagonal de Jacobi λ 4 0 Los autovalores: A λi = 4 8 λ 0 = (1 λ)(λ λ) = 0, λ que tiene por solución: λ = 1, λ = 0 y λ = 10, por lo que una forma diagonal será: q(x, y, z) = x 2 10z b) A = La expresión analítica la obtenemos: x q(x, y, z) = (x, y, z) y = x2 + 2y 2 + z 2 2xz z 37

8 Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) Los menores principales de A son D 1 = 1, D 2 = 2, D 3 = 0, pero como el rango de A es 2, puede obtenerse la expresión diagonal de Jacobi que será: q(x, y, z) = x 2 + 2y 2. Los autovalores de A son λ = 0 y λ = 2 (doble) por lo que también podemos escribir: q(x, y, z) = 2y 2 + 2z Clasificar las formas cuadráticas: a) q(x, y) = x 2 2xy + 4y 2. La matriz asociada es: A = 1 1 y los menores principales son: 1 4 D 1 = 1 > 0, D 2 = 3 > 0, por lo que la forma cuadrática es definida positiva. b) q(x, y) = 4xy + 3y 2 La matriz asociada es: A = 0 2. Como D 1 = 0, no podemos utilizar 2 3 este método de clasificación. λ 2 Por los autovalores: A λi = 2 3 λ = λ2 3λ 4 = 0 cuya solución es λ = 1, λ = 4, por lo que la forma cuadrática es indefinida. c) q(x, y, z) = x 2 + 4xy + 4y 2 + 3z La matriz asociada es: A = Como A = 0 y D 2 = 0, no podemos utilizar el método de los menores principales por ello, hay que calcular los 1 λ 2 0 autovalores de la matriz: A λi = 2 4 λ 0 = 0, cuya solución es 0 03 λ λ = 0, λ = 3, λ = 5, por lo que la forma cuadrática es semidefinida positiva. d) q(x, y, z) = 3x 2 + 2xy y 2 + z La matriz asociada es: A = Los menores principales: D 1 = 3 < 0, D 2 = 2 > 0, D 3 = 2 > 0, por lo que la forma cuadrática es indefinida. 38

9 Grupos A y D Curso 2014/2015 e) q(x, y, z) = x 2 3y 2 3z 2 + 4yz La matriz asociada es: A = Los menores principales: D 1 = 1 < 0, D 2 = 3 > 0, D 3 = 5 < 0, por lo que la forma cuadrática es definida negativa. 4.- Calcular el valor del parámetro a para que la forma cuadrática q(x, y, z) = 3x 2 + 2xy + y 2 2axz + 3z 2 sea semidefinida positiva. 3 1 a La matriz de la forma cuadrática es: A = a 0 3 Se verifica que D 1 = 3 > 0, D 2 = 2 > 0, por lo que para que q sea semidefinida positiva debe ser D 3 = 0, es decir: 3 1 a = 6 a 2 = 0, = a = ± 6. a Clasificar las siguientes formas cuadráticas restringidas a los subespacios: S 1 = {(x, y) R 2 : x y = 0}, S 2 = {(x, y) R 2 : x + 5y = 0} a) q(x, y) = 3x 2 2xy + y 2 La matriz asociada a q es A = Sus menores principales son D 1 = 3 > 0, D 2 = 2 > 0, por lo que la forma cuadrática es definida positiva, por tanto, restringida a cualquier subespacio seguirá siendo definida positiva. b) q(x, y) = x 2 + 2xy La matriz asociada a q es A = Sus menores principales son D 1 = 1 < 0, D 2 = 1 < 0, por lo que la forma cuadrática es indefinida. 39

10 Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) Restringida a S 1, se tiene que x = y, por tanto q S1 = x 2 +2xx = x 2 +2x 2 = x 2 > 0 (x, y) (0, 0), por tanto es definida positiva. Restringida a S 2, se tiene que x = 5y, por tanto q S2 = ( 5y) 2 + 2( 5y)y = 35y 2 < 0 (x, y) (0, 0), por tanto es definida negativa. 6.- Clasificar las siguientes formas cuadráticas restringidas a los subespacios: S 1 = {(x, y, z) R 3 : x y + z = 0}, S 2 = (0, 1, 1) a) q(x, y, z) = 2xy + 2xz + 2yz La matriz asociada es A = Para clasificarla debemos utilizar los autovalores, pues D 1 = 0. λ λ 1 = 0 cuyas soluciones son λ = 2, λ = 1 (doble), por lo que la 1 1 λ forma cuadrática es indefinida. Restringida a S 1 se tiene que x y + z = 0 de donde y = x + z que sustituido es q queda: q(x, z) = 2x(x + z) + 2xz + 2(x + z)z = 2x 2 + 6xz + 2z 2 = (x, z) 2 3 x. 3 2 z Los menores principales son D 1 = 2 > 0, D 2 = 5 < 0, por tanto también es indefinida si se restringe a S 1. Restringida a S 2 = (0, 1, 1), sus ecuaciones paramétricas son x = 0, y = α, z = α, que sustituidos estos valores en q queda: q(α) = 2 0α + 2 0α + 2αα = 2α 2 > 0 α 0 que es definida positiva. b) q(x, y, z) = 2x 2 2xy + 3y La matriz asociada es A = Como D 1 = 2 > 0, D 2 = 5 > 0, D 3 = 0, la forma cuadrática es semidefinida positiva. Restringida a S 1 se tiene que x y + z = 0 de donde z = y x que sustituido es q queda: 40

11 Grupos A y D Curso 2014/2015 q(x, y) = 2x 2 2xy + 3y 2 = (x, y) 2 1 x. 1 3 y Los menores principales son D 1 = 2 > 0, D 2 = 5 > 0, por tanto es definida positiva si se restringe a S 1. Si la restringimos a S 2 = (0, 1, 1), sus ecuaciones paramétricas son x = 0, y = α, z = α, que sustituidos estos valores en q queda: q(α) = α + 3α 2 = 3α 2 > 0 α 0 que es definida positiva Ejercicios propuestos 1.- Calcular la expresión matricial de las formas cuadráticas cuyas expresiones analíticas son: a) q(x, y) = 2x 2 2xy + 5y 2 b) q(x, y, z) = x 2 + y 2 + 4xy 2xz + 6yz c) q(x, y, z) = x 2 2xy + 3z 2 2yz + 4xz Encontrar una expresión diagonal para cada una de ellas. 2.- Calcular la expresión analítica de las formas cuadráticas cuya matriz asociada es: A 1 = , A 2 = A 3 = Encontrar una expresión diagonal para cada una de ellas. 3.- Clasificar las formas cuadráticas: a) q(x, y) = 3x 2 + 6xy + 3y 2 b) q(x, y) = x 2 xy c) q(x, y, z) = x 2 y 2 3z 2 + 2xy + 2xz 2yz d) q(x, y, z) = x 2 + 3z 2 2xy + 4xz 2yz e) q(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy f) q(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 2xy 41

12 Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) 4.- Clasificar la forma cuadrática q(x, y, z) = x 2 + y 2 2z 2 restringida a los subespacios: S 1 = {(x, y, z) R 3 : x + z = 0}, S 2 = (1, 1, 1). 5.- Sea la forma cuadrática: q(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz, se pide: a) Determinar su expresión matricial. b) Encontrar una expresión diagonal para q. c) Clasificar la forma cuadrática sin restringir y restringida al subespacio S = {(x, y, z) R 3 : x y 2z = 0}. 6.- Sea la forma cuadrática: q(x, y, z) = 2x 2 2y 2 + 2z 2 + 2xy + 2xz + 2yz, se pide: a) Determinar su expresión matricial. b) Encontrar una expresión diagonal para q. c) Clasificar la forma cuadrática sin restringir y restringida a los subespacios S 1 = {(x, y, z) R 3 : x 2z = 0}, S 2 = (0, 0, 1), S 3 = {(x, y, z) R 3 : x z = 0, y + z = 0}. 42

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