Superficies cuádricas
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- Cristina Quintana Valdéz
- hace 7 años
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1 Superficies cuádricas Jana Rodriguez Hertz GAL2 IMERL 9 de noviembre de 2010
2 definición superficie cuádrica definición (forma cuadrática) una superficie cuádrica está dada por la ecuación:
3 definición superficie cuádrica definición (forma cuadrática) una superficie cuádrica está dada por la ecuación: a 11 x 2 +a 22 y 2 +a 33 z 2 +2a 12 xy+2a 13 xz+2a 23 yz+2b 1 x+2b 2 y+2b 3 z+c=0
4 definición superficie cuádrica definición (forma cuadrática) una superficie cuádrica está dada por la ecuación: a 11 x 2 +a 22 y 2 +a 33 z 2 +2a 12 xy+2a 13 xz+2a 23 yz+2b 1 x+2b 2 y+2b 3 z+c=0 o, equivalentemente, X t AX + 2B t X + c = 0
5 definición superficie cuádrica definición (forma cuadrática) una superficie cuádrica está dada por la ecuación: a 11 x 2 +a 22 y 2 +a 33 z 2 +2a 12 xy+2a 13 xz+2a 23 yz+2b 1 x+2b 2 y+2b 3 z+c=0 o, equivalentemente, X t AX + 2B t X + c = 0 con A matriz simétrica, B vector de R 3, c constante.
6 definición la esfera unitaria x 2 + y 2 + z 2 = 1 es una cuádrica
7 definición la esfera unitaria x 2 + y 2 + z 2 = 1 es una cuádrica
8 definición ejemplo 2 ejemplo 2 la cuádrica xy = 0
9 definición ejemplo 2 ejemplo 2 la cuádrica xy = 0 es la unión del plano x = 0 con el plano y = 0
10 definición ejemplo 2 ejemplo 2 la cuádrica xy = 0 es la unión del plano x = 0 con el plano y = 0
11 forma reducida ecuación reducida Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la cuádrica quede en una forma reducida:
12 forma reducida ecuación reducida Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la cuádrica quede en una forma reducida: definición ecuación reducida de una cuádrica:
13 forma reducida ecuación reducida Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la cuádrica quede en una forma reducida: definición ecuación reducida de una cuádrica: se obtiene por un cambio de variables ortogonal
14 forma reducida ecuación reducida Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la cuádrica quede en una forma reducida: definición ecuación reducida de una cuádrica: se obtiene por un cambio de variables ortogonal y tiene uno de los siguientes tipos:
15 forma reducida ecuación reducida Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la cuádrica quede en una forma reducida: definición ecuación reducida de una cuádrica: se obtiene por un cambio de variables ortogonal y tiene uno de los siguientes tipos: 1 tipo I: αx 2 + βy 2 + γz 2 + δ = 0
16 forma reducida ecuación reducida Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la cuádrica quede en una forma reducida: definición ecuación reducida de una cuádrica: se obtiene por un cambio de variables ortogonal y tiene uno de los siguientes tipos: 1 tipo I: αx 2 + βy 2 + γz 2 + δ = 0 2 tipo II: αx 2 + βy 2 + γz = 0
17 forma reducida ejemplos ejemplo el (esfera) es de tipo I con α = β = γ = 1 y δ = 1
18 forma reducida ejemplos ejemplo el (esfera) es de tipo I con α = β = γ = 1 y δ = 1 el ejemplo 2 (xy = 0) no está en su forma reducida, ya veremos cuál es
19 forma reducida objetivos 1 ver cómo se llega a una ecuación reducida
20 forma reducida objetivos 1 ver cómo se llega a una ecuación reducida 2 ver cuál es el dibujo de la superficie en su forma reducida
21 centro de una cuádrica centro de una cuádrica definición X t AX + 2B t X + c = 0 cuádrica
22 centro de una cuádrica centro de una cuádrica definición X t AX + 2B t X + c = 0 cuádrica Q = (x Q, y Q, z Q ) centro de la cuádrica si
23 centro de una cuádrica centro de una cuádrica definición X t AX + 2B t X + c = 0 cuádrica Q = (x Q, y Q, z Q ) centro de la cuádrica si A x Q y Q z Q + B = 0
24 centro de una cuádrica observación puede haber un único centro (sistema compatible determinado)
25 centro de una cuádrica observación puede haber un único centro (sistema compatible determinado) puede haber infinitos centros (sistema compatible indeterminado)
26 centro de una cuádrica observación puede haber un único centro (sistema compatible determinado) puede haber infinitos centros (sistema compatible indeterminado) puede no haber centros (sistema incompatible)
27 teoremas centro y clasificación de cuádricas teorema 1 F(x, y, z) = X t AX + 2B t X + c = 0 cuádrica
28 teoremas centro y clasificación de cuádricas teorema 1 F(x, y, z) = X t AX + 2B t X + c = 0 cuádrica P 1 AP = diag(α, β, γ) con P ortogonal
29 teoremas centro y clasificación de cuádricas teorema 1 F(x, y, z) = X t AX + 2B t X + c = 0 cuádrica P 1 AP = diag(α, β, γ) con P ortogonal Si existe un centro Q = (x Q, y Q, z Q ) t, entonces
30 teoremas centro y clasificación de cuádricas teorema 1 F(x, y, z) = X t AX + 2B t X + c = 0 cuádrica P 1 AP = diag(α, β, γ) con P ortogonal Si existe un centro Q = (x Q, y Q, z Q ) t, entonces haciendo el cambio de variables X = PX + Q
31 teoremas centro y clasificación de cuádricas teorema 1 F(x, y, z) = X t AX + 2B t X + c = 0 cuádrica P 1 AP = diag(α, β, γ) con P ortogonal Si existe un centro Q = (x Q, y Q, z Q ) t, entonces haciendo el cambio de variables X = PX + Q la cuádrica queda tipo I: αx 2 + βy 2 + γz 2 + F(Q) = 0
32 teoremas cuando no hay centro teorema 2 Si la cuádrica X t AX + 2B t X + c = 0 no tiene centro
33 teoremas cuando no hay centro teorema 2 Si la cuádrica X t AX + 2B t X + c = 0 no tiene centro P t AP = diag(α, β, 0) y
34 teoremas cuando no hay centro teorema 2 Si la cuádrica X t AX + 2B t X + c = 0 no tiene centro P t AP = diag(α, β, 0) y la ecuación reducida es de tipo II: αx 2 + βy z + ρz = 0 con ρ 0
35 tipo I cuádricas de tipo I tipo I αx 2 + βy 2 + γz 2 + δ = 0 cuádrica de tipo I
36 tipo I cuádricas de tipo I tipo I αx 2 + βy 2 + γz 2 + δ = 0 cuádrica de tipo I hay dos casos importantes:
37 tipo I cuádricas de tipo I tipo I αx 2 + βy 2 + γz 2 + δ = 0 cuádrica de tipo I hay dos casos importantes: 1 δ 0
38 tipo I cuádricas de tipo I tipo I αx 2 + βy 2 + γz 2 + δ = 0 cuádrica de tipo I hay dos casos importantes: 1 δ 0 2 δ = 0
39 tipo I cuádricas de tipo I tipo I αx 2 + βy 2 + γz 2 + δ = 0 cuádrica de tipo I hay dos casos importantes: 1 δ 0 α x 2 + β y 2 + γ z 2 = 1 2 δ = 0
40 tipo I cuádricas de tipo I tipo I αx 2 + βy 2 + γz 2 + δ = 0 cuádrica de tipo I hay dos casos importantes: 1 δ 0 α x 2 + β y 2 + γ z 2 = 1 2 δ = 0 αx 2 + βy 2 + γz 2 = 0
41 tipo I clasificación de cuádricas de tipo I clasificación cómo se clasifican?
42 tipo I clasificación de cuádricas de tipo I clasificación cómo se clasifican? 1ero por δ 0 o δ 0
43 tipo I clasificación de cuádricas de tipo I clasificación cómo se clasifican? 1ero por δ 0 o δ 0 luego por signo de α, β y γ
44 tipo I - δ 0 elipsoide elipsoide elipsoide x 2 + y 2 + 4z 2 = 1
45 tipo I - δ 0 elipsoide elipsoide elipsoide x 2 + y 2 + 4z 2 = 1
46 tipo I - δ 0 hiperboloide de una hoja hiperboloide de una hoja hiperboloide de 1 hoja x 2 3y 2 + z 2 = 1
47 tipo I - δ 0 hiperboloide de una hoja hiperboloide de una hoja hiperboloide de 1 hoja x 2 3y 2 + z 2 = 1
48 tipo I - δ 0 hiperboloide de dos hojas hiperboloide de dos hojas hiperboloide de 2 hojas + 1 x 2 + y 2 z 2 = 1
49 tipo I - δ 0 hiperboloide de dos hojas hiperboloide de dos hojas hiperboloide de 2 hojas + 1 x 2 + y 2 z 2 = 1
50 tipo I - δ 0 cilindro elíptico cilindro elíptico cilindro elíptico x 2 + 2y 2 = 1
51 tipo I - δ 0 cilindro elíptico cilindro elíptico cilindro elíptico x 2 + 2y 2 = 1
52 tipo I - δ 0 cilindro hiperbólico cilindro hiperbólico cilindro elíptico x 2 y 2 = 1
53 tipo I - δ 0 cilindro hiperbólico cilindro hiperbólico cilindro elíptico x 2 y 2 = 1
54 tipo I - δ 0 dos planos paralelos dos planos paralelos dos planos paralelos x 2 = 1
55 tipo I - δ 0 dos planos paralelos dos planos paralelos dos planos paralelos x 2 = 1
56 tipo I - δ 0 otros casos
57 tipo I - δ = 0 cono cono cono x 2 + 2y 2 z 2 = 0
58 tipo I - δ = 0 cono cono cono x 2 + 2y 2 z 2 = 0
59 tipo I - δ = 0 planos que se cortan planos que se cortan planos que se cortan x 2 y 2 = 0
60 tipo I - δ = 0 planos que se cortan planos que se cortan planos que se cortan x 2 y 2 = 0
61 tipo I - δ = 0 otros casos ± ± ± 0 un punto ± ± 0 0 una recta ± un plano
62 tipo II tipo II tipo II αx 2 + βy 2 + ρz = 0 con ρ 0
63 tipo II tipo II tipo II cómo se clasifican: αx 2 + βy 2 + ρz = 0 con ρ 0
64 tipo II tipo II tipo II αx 2 + βy 2 + ρz = 0 con ρ 0 cómo se clasifican: por el signo de α.β (el signo de ρ no incide)
65 tipo II paraboloide elíptico paraboloide elíptico paraboloide elíptico α.β > 0 x 2 + 2y 2 = z
66 tipo II paraboloide elíptico paraboloide elíptico paraboloide elíptico α.β > 0 x 2 + 2y 2 = z
67 tipo II paraboloide hiperbólico paraboloide hiperbólico paraboloide hiperbólico α.β < 0 4x 2 2y 2 = z
68 tipo II paraboloide hiperbólico paraboloide hiperbólico paraboloide hiperbólico α.β < 0 4x 2 2y 2 = z
69 tipo II cilindro parabólico cilindro parabólico cilindro parabólico α.β = 0 2x 2 = z
70 tipo II cilindro parabólico cilindro parabólico cilindro parabólico α.β = 0 2x 2 = z
71 Clasificar 9x 2 + 9y 2 + 3z 2 + 6xy 10xz 6yz + 28x + 12y 16z + 15 = 0
72 Clasificar 9x 2 + 9y 2 + 3z 2 + 6xy 10xz 6yz + 28x + 12y 16z + 15 = 0 A =
73 Clasificar 9x 2 + 9y 2 + 3z 2 + 6xy 10xz 6yz + 28x + 12y 16z + 15 = 0 A = B =
74 Clasificar 9x 2 + 9y 2 + 3z 2 + 6xy 10xz 6yz + 28x + 12y 16z + 15 = 0 A = Ecuación de centro: AQ + B = 0 B =
75 Clasificar 9x 2 + 9y 2 + 3z 2 + 6xy 10xz 6yz + 28x + 12y 16z + 15 = 0 A = B = Ecuación de centro: AQ + B = 0 Q = (3y 1, y, 6y + 1) ( centros)
76 Clasificar 9x 2 + 9y 2 + 3z 2 + 6xy 10xz 6yz + 28x + 12y 16z + 15 = 0 A = B = Ecuación de centro: AQ + B = 0 Q = (3y 1, y, 6y + 1) ( centros) TIPO I
77 Clasificar 9x 2 + 9y 2 + 3z 2 + 6xy 10xz 6yz + 28x + 12y 16z + 15 = 0 A = B = Ecuación de centro: AQ + B = 0 Q = (3y 1, y, 6y + 1) ( centros) TIPO I vap de A: det(a λi) = λ λ 2 92λ = 0
78 Clasificar 9x 2 + 9y 2 + 3z 2 + 6xy 10xz 6yz + 28x + 12y 16z + 15 = 0 A = B = Ecuación de centro: AQ + B = 0 Q = (3y 1, y, 6y + 1) ( centros) TIPO I vap de A: det(a λi) = λ λ 2 92λ = 0 (x regla Descartes) dos raíces +, una 0
79 Clasificar 9x 2 + 9y 2 + 3z 2 + 6xy 10xz 6yz + 28x + 12y 16z + 15 = 0 Q = (3y 1, y, 6y + 1)
80 Clasificar 9x 2 + 9y 2 + 3z 2 + 6xy 10xz 6yz + 28x + 12y 16z + 15 = 0 Q = (3y 1, y, 6y + 1) ecuación reducida: αx 2 + βy 2 + 0z 2 + F(Q) = 0
81 Clasificar 9x 2 + 9y 2 + 3z 2 + 6xy 10xz 6yz + 28x + 12y 16z + 15 = 0 Q = (3y 1, y, 6y + 1) ecuación reducida: αx 2 + βy 2 + 0z 2 + F(Q) = 0 F(Q) = F( 1, 0, 1) = 7 < 0
82 Clasificar 9x 2 + 9y 2 + 3z 2 + 6xy 10xz 6yz + 28x + 12y 16z + 15 = 0 Q = (3y 1, y, 6y + 1) ecuación reducida: αx 2 + βy 2 + 0z 2 + F(Q) = 0 F(Q) = F( 1, 0, 1) = 7 < 0 ecuación reducida: α 7 x 2 + β 7 y 2 = 1
83 Clasificar 9x 2 + 9y 2 + 3z 2 + 6xy 10xz 6yz + 28x + 12y 16z + 15 = 0 Q = (3y 1, y, 6y + 1) ecuación reducida: αx 2 + βy 2 + 0z 2 + F(Q) = 0 F(Q) = F( 1, 0, 1) = 7 < 0 ecuación reducida: α 7 x 2 + β 7 y 2 = 1 cilindro elíptico
84 Clasificar 9x 2 + 9y 2 + 3z 2 + 6xy 10xz 6yz + 28x + 12y 16z + 15 = 0 ecuación reducida: α 7 x 2 + β 7 y 2 = 1 cilindro elíptico
85 ejemplo 2 ejemplo 2 Clasificar 5x 2 y 2 + z 2 + 4xy + 6xz + 2x + 4y + 6z 8 = 0 (cálculo en pizarrón)
86 ejemplo 2 ejemplo 2 Clasificar 5x 2 y 2 + z 2 + 4xy + 6xz + 2x + 4y + 6z 8 = 0 (cálculo en pizarrón)
87 ejemplo3 ejemplo 3 Clasificar x 2 + yz + 2x 4z 5 = 0 (cálculo en pizarrón)
88 ejemplo3 ejemplo 3 Clasificar x 2 + yz + 2x 4z 5 = 0 (cálculo en pizarrón)
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