FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN CUADRÁTICA

Transcripción

1 LA FUNCION DE PRODUCCION CUADRATICA lorenzo castro gómez 1 CARACTERISTICAS: 1. Al menos una de las variables independientes está elevada al cuadrado. 2. Tiene rendimientos decrecientes. 3. El PM y PMg son decrecientes. 4. Presenta sólo la II y III etapas de la producción. CON UN INSUMO VARIABLE Y = ƒ (X) =a + b 1 X - b 2 X 2 (a > 0, b 1 > 0, b 2 < 0) si a = 0 si a > 0 PM = Y/X = a + b 1 X 1 - (b 2 X 2 ) / X PMg = dy/dx = b 1-2b 2 X 2 1 Profesor del departamento de Economía Agrícola, DCSE UAAAN. APUNTES DE ECONOMÍA AGRÍCOLA...lorenzo castro gómez... 1

2 La pendiente varía a lo largo de la curva y puede ser negativa. La función tiene un máximo: * Condición de primer orden: b 1-2b 2 X 2 = 0 que es X 2 = b 1 /2b 2 * Condición de segundo orden: d 2 y/dx 2 = - 2b 2 < 0 Ejemplo: Y = X - 0.2X 2 PM = 800/x x PMg = x el máximo de la función es x = 0 x = 40/0.4, entonces x = 100. X Y PM PMg E Si X = 101 implica que PMg = -0.4 E = PMg /PM = (40-0.4)/ 800, la diferencia entre el PM Y PMg tiende a aumentar. La función sólo presenta la II y III etapas de la producción. Como se muestra en las siguientes gráficas: APUNTES DE ECONOMÍA AGRÍCOLA...lorenzo castro gómez... 2

3 FUNCION DE PRODUCCION CON DOS INSUMOS VARIABLES Y = ƒ (X 1, X 2 ) = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 - b 3 X b 4 X b 5 X 1 X 2 donde: Y = producción X 1, X 2 = insumos variables b i = parámetros Si b 5 = 0 la función queda: Y = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 - b 3 X b 4 X 2 2, que es la función cuadrática sin interacción de insumos. La ecuación de la isicuanta es: X = b 1 +b 5 X 2 ± [(b 1 +b 5 X 2 ) 2-4b 3 ( Y o +b 4 X 2 2-b 2 X 2 -b 0 )] 0.5 / 2b 3 donde: Y o es el nivel de producción correspondiente a la isocuanta. Demostración: Y o = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 - b 3 X b 4 X b 5 X 1 X 2 b 3 X 21 - b 1 X 1 - b 5 X 1 X 2 - a - b 2 X 2 + b 4 X 22 + Y o = 0 b 3 X 21 - (b 1 + b 5 X 2 )X 1 - a - b 2 X 2 + b 4 X Y o = 0 Resolviendo para X cuando se tiene una ecuación Ax 2 +Bx+C = 0 donde A = b 3, B = -( b 1 + b 5 X 2 ) y C = Y o + b 4 X b 2 X 2 - b 0 sustituyendo pues se tiene: X = b 1 +b 5 X 2 ± ¹ (b 1 +b 5 X 2 ) 2-4b 3 (Y o +b 4 X 22 - b 2 X 2 - a)/2b 3 Las isocuantas de una función cuadrática toman la forma: APUNTES DE ECONOMÍA AGRÍCOLA...lorenzo castro gómez... 3

4 La Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMgST) En términos gráficos y matemáticos representa la pendiente de la isocuanta. TMgST = dx 1 /dx 2 Si Y = ƒ (X 1, X 2 ) y sacando el diferencial total de la función e igualándolo a cero se puede calcular la TMgST: dy = dy/dx 1 dx 1 + dy/dx 2 dx 2 donde: dy = Cambio total en el nivel de producción (dy/dx 1 ) dx 1 = Cambio en la producción atribuible a X 1 (dy/dx 2 ) dx 2 = Cambio en la producción atribuible a X 2 En una isocuanta, de acuerdo a la definición de TMgST, dy debe ser igual a cero; por lo tanto: (dy/dx 1 ) dx 1 + (dy/dx 2 ) dx 2 = 0 - (dy/dx 1 ) dx 1 = (dy/dx 2 ) dx 2 implica que - dx 1 / dx 2 = (dy/dx 2 ) / (dy/dx 1 ) por lo que la TMgST = - dx 1 /dx 2 = (dy/dx 2 ) / (dy/dx 1 ), o bien TMgST = PMgX 2 / PMgX 1, en cualquier punto de la isocuanta. La isoclina La isoclina es una línea que une puntos en los que la TMgST es constante. APUNTES DE ECONOMÍA AGRÍCOLA...lorenzo castro gómez... 4

5 Para obtener la ecuación de la isoclina: dx 1 /dx 2 = PMgX 2 /PMgX 1 = K; K = constante PMgX 1 = b 1-2b 3 X 1 + b 5 X 2 PMgX 2 = b 2-2b 4 X 2 + b 5 X 1 TMgST = (b 2-2b 4 X 2 + b 5 X 1 ) / (b 1-2b 3 X 1 + b 5 X 2 ) = K b 2-2b 4 X 2 + b 5 X 1 = Kb 1-2Kb 3 X 1 + Kb 5 X 2 b 5 X 1 + 2Kb 3 X 1 = Kb 1 - b 2 + 2b 4 X 2 + Kb 5 X 2 X 1 = (Kb 1 - b 2 + (2b 4 + Kb 5 ) X 2 ) / (b 5 + 2Kb 3 ) X 1 = (Kb 1 - b 2 )/(b 5 + 2Kb 3 + (2b 4 + Kb 4 + Kb 5 )* X 2 )/b 5 + 2Kb 3 Las isoclinas de una función cuadrática son lineales, están elevadas a la primera potencia. Líneas de contorno 2 Estas líneas nos sirven para delimitar una región económica de la producción en un mapa de isocuantas. Para encontrar las ecuaciones de las líneas de contorno: a) En el caso en que hay interacción. Línea A 1, el PMg de X 2 = 0, por lo tanto; PMgX 2 = 0 - dx 1 /dx 2 = PMgX 2 /PMgX 1 =(b 2 2b 4 X 2 +b 5 X 1 )/(b 1-2b 3 X 1 +b 5 X 2 )= 0 por lo que a/b = 0, implica que a = 0. 2 Las lineas de contorno son lineas que definen la región económica de la producción son isoclinas porque la TMgST es constante a lo largo de ellas. APUNTES DE ECONOMÍA AGRÍCOLA...lorenzo castro gómez... 5

6 Si b 2-2b 4 X 2 + b 5 X 1 = 0, implica que b 5 X 1 = 2b 4 X 2 - b 2, por lo que X 1 =( 2b 4 X 2 / b 5 ) -( b 2 / b 5 ), ecuación de la línea de contorno A 1 (con los valores que toma esta ecuación se logra que PMgX 2 = 0). Para la línea de contorno B 1, dado que PMgX 1 = 0, lo que implica que: - dx 1 /dx 2 = PMgX 2 /PMgX 1 = (b 2-2b 4 X 2 +b 5 X 1 )/(b 1-2b 3 X 1 +b 5 X 2 ) tiende a infinito (a/b = infinito, lo que implica que b = 0). b 1-2b 3 X 1 + b 5 X 2 = 0, lo que implica que 2b 3 X 1 = b 1 + b 5 X 2, por lo tanto X 1 = (b 1 + b 5 X 2 ) / 2b 3 o lo que es lo mismo, X 1 = b 1 /2b 3 + b 5 X 2 /2b 3, ecuación de la línea de contorno B 1. En caso que no hay interacción: Y = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 - b 3 X b 4 X 2 2 PMgX 1 = b 1-2b 3 X 1 PMgX 2 = b 2-2b 4 X 1 Para la línea de contorno A 2 el PMgX 2 = 0, se tiene que - dx 1 /dx 2 = PMgX 2 /PMgX 1 = (b 2-2b 4 X 2 )/(b 1-2b 3 X 1 ) = 0 b 2-2b 4 X 2 = 0, lo que implica que X 2 = b 2 /2b 4, que es la ecuación de la línea de contorno A 2. Para la línea de contorno B 2 el PMgX 1 = 0, por lo que se tiene que -dx 1 /dx 2 = PMgX 2 /PMgX 1 = (b 2-2b 4 X 2 )/(b 1-2b 3 X 1 ), que tiende a infinito, por lo que b 1-2b 3 X 1 = 0, lo que implica que X 1 = b 1 /2b 3, que es la ecuación de la línea B 2. Ejemplo: Función cuadrática con dos insumos. Y = ƒ (X 1, X 2 ) = X X 2-4X 2 1-2X X 1 X 2 PMgX 1 = 100-8X 1 + 5X 2 PMgX 2 = 200-4X 2 + 5X 1 Combinación de insumos para obtener la máxima producción (igualando a cero el PMg): 100-8X 1 + 5X 2 = 0, lo que es lo mismo que X 1 = X 2 / X 2 + 5X 1 = 0, y en esta ecuación se sustituye el valor de X 1, quedando 200-4X ( X 2 ) / 8 = 0, por lo que queda 200-4X X 2 /8 = 0, haciendo las operaciones queda X X 2 = X 2 = 0. y 2100/7 = X 2 y esto es igual a 300 de X 2, que sustituyendo en la ecuación del PMgX 1, queda X 1 = (300) / 8 = 200, que es el valor de X 1. La producción máxima: Y = (200)+200(300)- 4(200) 2-2(300) 2 + 5[(200)(300)] APUNTES DE ECONOMÍA AGRÍCOLA...lorenzo castro gómez... 6

7 Y = Y = que es la producción máxima. La ecuación de la isocuanta: X 1 = 100+5X 2 ± ¹(100+5X 2 ) 2-4(4)(Y 0 + 2X X 2-10 / 2(4) X 1 = 100+5X 2 ± [(100+5X 2 ) 2-16Y 0-32X X 2 160)] ½ / 8 TMgST = 200-4X 2 + 5X 1 / 100-8X 1 + 5X 2 Isoclina: X 1 =K(100)-200/5+2K(4)+ [2(4)+ K(5)]X 2 / 5 + 2K(4) Líneas de contorno: A 1, X 1 = 4X / 5 B 1, X 1 = (X 2 ) / 8. APUNTES DE ECONOMÍA AGRÍCOLA...lorenzo castro gómez... 7