Teoría de las decisiones y de los juegos Grupo 51 Ejercicios - Tema 3 Juegos dinámicos con información completa B 2

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1 Teoría de las decisiones y de los juegos Grupo 5 Ejercicios - Tema 3 Juegos dinámicos con información completa. Considere el siguiente juego en su forma extensiva. I D (0, ) (3, 0) B I D (, ) (, 3) Figura : Juego, ejercicio (a) Especificar el conjunto de estrategias puras de cada jugador. Solución. El jugador tiene un solo conjunto de información (véase la Figura ) al cual corresponden dos posibles acciones. Por tanto, el jugador tiene = estrategias: S = {, B}. conjuntos de información I D (0, ) (3, 0) B I D (, ) (, 3) Figura : Juego, ejercicio : conjuntos de información El jugador tiene dos conjuntos de información (véase la Figura ). En cada uno de estos dos conjuntos dispone de dos posibles acciones. Por tanto, el jugador tiene = 4 estrategias: S = {II, DD, ID, DI}. Por ejemplo, la estrategia DI corresponde al plan de escoger D si el juego llega al nodo superior, y escoger I si el juego llega al nodo inferior. (b) Calcular los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos, los pagos y la trayectoria. Como cada conjunto de información contiene un único nodo de decisión se trata de un juego con información perfecta (es decir, en cada nodo de decisión el jugador al que toca escoger una acción conoce las jugadas anteriores). Por tanto, el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos (EPS) es el equilibrio por inducción hacia atrás. Empezamos al final del arból, es decir, buscamos las

2 I D (0, ) (3, 0) B I D (, ) (, 3) Figura 3: Juego, ejercicio : EPS, paso acciones óptimas para el último jugador. En la Figura 3 estas acciones están indicadas por las flechas. hora solamente nos falta por buscar la acción óptima del jugador (que anticipa las acciones del jugador ). En la Figura 4 vemos que si el jugador escoge la acción obtendrá un pago de 0, y si escoge la acción B obtendrá un pago de. Por tanto la decisión óptima, indicada por la flecha correspondiente, es B. (0, ) I (0, ) D (3, 0) B (, 3) I D (, ) (, 3) Figura 4: Juego, ejercicio : EPS, paso Concluimos de la última figura que el único EPS es (B, ID) (es decir, la estrategia B para el jugador y la estrategia ID para el jugador ). La trayectoria correspondiente es la serie de decisiones que se llevan a cabo si se juega este equilibrio: B D. Los pagos resultantes son por tanto (, 3).. Para hacer la paz, hay que prepararse para la guerra. Considere el siguiente juego en el cual los países y deben decidir simultaneamente si adquirir armas () o no (N). En una segunda etapa del juego el país observa si ha adquirido armas o no y debe decidir si hacer la paz (P) o la guerra (G). N N N Figura 5: Juego, ejercicio G ( 4, 4) P (0, 0) G (3, 3) P (, 0) G ( 3, 3) P (0, ) G (, ) P (, )

3 (a) Cuántas estrategias puras tiene cada jugador? Solución. El jugador tiene 5 conjuntos de información (véase la Figura 6). En cada uno de sus conjuntos de información el jugador dispone de acciones. Por tanto, el jugador tiene 5 = 3 estrategias. Por ejemplo, GPPG es una de estas estrategias. conjuntos de información N N N G ( 4, 4) P (0, 0) G (3, 3) P (, 0) G ( 3, 3) P (0, ) G (, ) P (, ) Figura 6: Juego, ejercicio : conjuntos de información El jugador tiene un solo conjunto de información (véase la Figura 6). Tiene a su disposición acciones. Por tanto, el jugador tiene estrategias: S = {, N}. (b) Hallar los equilibrios perfectos en subjuegos (en estrategias puras), los pagos y la trayectoria. Solución. Hay un conjunto de información con más de un nodo de decisión (el conjunto de información del jugador ). Por tanto, se trata de un juego con información imperfecta (es decir, en algún nodo de decisión el jugador al que toca escoger una acción desconoce alguna jugada anterior). Por tanto, el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos (EPS) lo encontramos buscando los equilibrios de Nash de cada subjuego. Empezamos al final del arból. Hay 4 subjuegos y todos ellos empiezan en un nodo de decisión del jugador. El concepto de equilibrio de Nash en cada uno de estos subjuegos se reduce a la acción óptima del jugador porque hay un solo jugador (el jugador ). Por consiguiente, buscamos las acciones óptimas para este jugador en cada uno de los 4 subjuegos. En la Figura 7 estas acciones están indicadas por las flechas. hora substituimos los 4 subjuegos por los pagos que corresponden a los equilibrios hallados. El resultado es el juego (estático) representado en la Figura 8. Por último, tenemos que hallar los equilibrios de Nash de este juego reducido. (En este ejercicio solamente miraremos los equilibrios en estrategias puras. Cuáles son los equilibrios de Nash en estrategias mixtas? Y, cuáles son los EPS en estrategias mixtas correspondientes?) La tabla de pagos viene dada por \ N (0, 0) (3, 3) N (0, ) (, ) 3

4 N N N G ( 4, 4) P (0, 0) G (3, 3) P (, 0) G ( 3, 3) P (0, ) G (, ) P (, ) Figura 7: Juego, ejercicio : EPS, paso N N N (0, 0) (3, 3) (0, ) (, ) Figura 8: Juego, ejercicio : EPS, paso Las mejores han sido subrayadas en la tabla de pagos. Vemos que el único perfil en el que ambos jugadores dan simultáneamente la mejor respuesta es (, ). Juntamos todos los equilibrios de los subjuegos y concluimos que el único EPS en estrategias puras viene dado por (P GP P, ). La trayectoria correspondiente es la serie de decisiones que se llevan a cabo si se juega este equilibrio: P. Los pagos resultantes son por tanto (0, 0). (Véase la Figura 9.) N N N G ( 4, 4) P (0, 0) G (3, 3) P (, 0) G ( 3, 3) P (0, ) G (, ) P (, ) Figura 9: Juego, ejercicio : EPS, paso 3 3. Considere el juego con dos empresas, F E y F M. La empresa F E amenaza con entrar a un mercado dominado por una empresa monopolista, F M. F E deberá elegir ente entrar (e) o no entrar (ne). F M observa si entra F E. Si F E entra, entonces F M puede responder con un ataque / una campaña en contra (a) de la entrante o cooperar 4

5 y repartirse el mercado (c). Suponemos que los beneficios asociados a las estrategias de las empresas son los siguientes: Si F E no entra (ne), los beneficios serán (π E, π M ) = (0, ). Si F E entra (e), y F M realiza el ataque (a), ( 3, ). Si F E entra (e), y F M coopera (c), (, ). (a) Escribir el juego en su forma extensiva. Solución. El primero (segundo) pago corresponde a la empresa F E (F M ). E ne e M c a (0, ) (0, ) M a c ( 3, ) (, ) o simplemente: E Figura 0: Juego, ejercicio 3 (b) Escribir el juego en su forma normal. Solución. E \ M a c ne (0, ) (0, ) e ( 3, ) (, ) ne e (0, ) M a c ( 3, ) (, ) (c) Hallar los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos (en estrategias puras). Solución. Como cada conjunto de información contiene un único nodo de decisión se trata de un juego con información perfecta. Hallamos los EPS por inducción hacia atrás. El primer subjuego que consideramos es el subjuego que empieza en el nodo de decisión del jugador M. (Véase la Figura.) La única acción óptima del jugador M es c. M a c ( 3, ) (, ) Figura : Juego, ejercicio 3: EPS, paso hora substituimos el subjuego por la acción hallada y obtenemos el juego reducido representado en la Figura. La única acción óptima del jugador E es e. Concluimos que el único EPS en estrategias puras es (e, c). (d) Hallar los equilibrios de Nash en estrategias puras. Solución. E \ M a c ne (0, ) (0, ) e ( 3, ) (, ) 5

6 E ne e (0, ) (, ) Figura : Juego, ejercicio 3: EPS, paso Las mejores respuestas han sido subrayadas en la tabla de pagos. Vemos que aparte del EPS (e, c) hay otro equilibrio de Nash: (ne, a). (e) Hay alguna amenaza no creíble en alguno de los equilibrios de Nash del apartado anterior? Solución. La definición de EPS garantiza que no habrá amenazas no creíbles en el equilibrio (e, c). En el otro equilibrio, (ne, a), sí que hay una amenaza no creíble: la empresa F M no optará por atacar si la empresa F E decide entrar, porque si F E entrase la única acción racional es cooperar (que da lugar a un pago de a F M, frente a un pago de - si ataca). (f) Hallar los equilibrios de Nash en estrategias mixtas. Solución. Calculamos las correspondencias R i de mejores respuestas para ambos jugadores. Primero observamos que para cualquier estrategia mixta p del jugador E la mejor respuesta del jugador M es entrar (q = 0) a no ser que p =, en cuyo caso cualquier estrategia q [0, ] es mejor respuesta. sí que, { 0 si p < ; R M (p) = [0,] si p =. Para hallar las mejores respuestas del jugador E fijemos la estrategia q del jugador M. El jugador E es indiferente entre jugar ne y e si y sólo si u E (ne, q) = u E (e, q), lo cual es equivalente a 0 = 3q + q, o sea, q = = 0.4. Es fácil 5 verificar que 0 si q < 0.4; R E (q) = [0,] si q = 0.4; si q > 0.4. Utilizando la representación gráfica (la Figura 3) de las correspondencias de mejor respuesta vemos que su intersección es el conjunto {(0, 0)} {(, q) : q 0.4}. Por tanto los equilibrios de Nash vienen dados por {(0, 0)} {(, q) : q [0.4, ]}. 4. Considere el juego en su forma extensiva. (a) Especificar los espacios de estrategias puras de cada jugador. Hallar los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos. Solución. El jugador tiene conjuntos de información. En cada uno de estos conjuntos tienen acciones: o B en el primero conjunto, a o b en el segundo conjunto. Cualquier combinación de acciones para el primero y el segundo conjunto de información es una estrategia (y vice versa). Por tanto, el conjunto 6

7 q mejor respuesta R E 0.5 mejor respuesta R M p Figura 3: Juego, ejercicio 3: EN a (3, ) X b (, 4) Y (4, 3) B (, ) Figura 4: Juego, ejercicio 4 de estrategias del jugador es S = {a, b, Ba, Bb}. El jugador tiene conjunto de información y en este dispone de acciones. Por consiguiente el jugador tiene estrategias: S = {X, Y }. Como cada uno de los tres conjuntos de informacion contiene un solo nodo de decision hay información perfecta: en cada nodo de decisión el jugador al que toca escoger una acción conoce las jugadas anteriores. Por tanto, el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos (EPS) es el equilibrio por inducción hacia atrás. Empezamos al final del arból, es decir, buscamos las acciones óptimas para el último jugador, luego volvemos un paso hacia el principio, etc. En la Figura 5 vemos el resultado de este análisis: un único EPS que viene dado por (a, Y ). (sí mismo vemos que la trayectoria es Y y que los pagos correspondientes son (4, 3).) (4, 3) B (4, 3) (, ) X Y (3, ) (4, 3) a b (3, ) (, 4) Figura 5: Juego, ejercicio 4: EPS (b) Representar el juego en su forma normal. Solución. Como el jugador tiene 4 estrategias puras y el jugador dispone de estrategias obtendremos una matriz de 4 : \ X Y a (3, ) (4, 3) b (, 4) (4, 3) Ba (, ) (, ) Bb (, ) (, ) 7

8 (c) Hallar los equilibrios de Nash en estrategias puras y mixtas (para la matriz de pagos del apartado anterior). Solución. Primero observamos que las estrategias Ba y Bb son dominadas por la estrategia a. Por tanto, en ningún equilibrio el jugador utilizará las estrategias Ba y Bb. El juego se reduce a la siguiente matriz de : \ X Y a (3, ) (4, 3) b (, 4) (4, 3) Las mejores respuestas han sido subrayadas. Vemos que hay un solo equilibrio de Nash en estrategias puras: (a, Y ). hora calculamos los equilibrios de Nash en estrategias mixtas. Necesitamos calcular las correspondencias R i de mejores respuestas para ambos jugadores. Primero observamos que para cualquier estrategia mixta q del jugador la mejor respuesta del jugador es a (es decir p = ) a no ser que q = 0, en cuyo caso cualquier estrategia p [0, ] es mejor respuesta. sí que, { si q > 0; R (q) = [0,] si q = 0. Para hallar las mejores respuestas del jugador fijemos la estrategia p del jugador. El jugador es indiferente entre jugar ne y e si y sólo si u (p, X) = u (p, Y ), lo cual es equivalente a p + 4( p) = 3, o sea, p = 0.4. Es fácil 3 verificar que si p < 0.33; R (p) = [0,] si p = 0.33; 0 si p > Utilizando la representación gráfica (la Figura 6) de las correspondencias de mejor respuesta vemos que su intersección es el conjunto {(p, 0) : p [0.33, ]}. Por tanto los equilibrios de Nash vienen dados por {(p, 0) : p [0.33, ]}. q mejor respuesta R 0.5 mejor respuesta R Figura 6: Juego, ejercicio 3: EN (d) Es el conjunto de equilibrios obtenidos en el apartado (a) un subconjunto del conjunto de equilibrios de Nash? Solución. Los EPS son casos especiales de equilibrios de Nash ( Por qué? Y, en qué sentido son especiales?). En esta situación concreta, el EPS (a, Y ) 8 p

9 aparece en la representación gráfica como equilibrio de Nash (, 0), es decir, la esquina derecha inferior. 5. (Difícil.) Supongamos que un padre y un hijo participan en el siguiente juego, analizado originalmente por Becker (974). Primero el hijo escoge una acción,, que resulta en un ingreso para él, I H (), y en un ingreso para el padre, I P (). (Pensemos en I H () como el ingreso del hijo, neto de cualquier coste de la acción.) En segundo lugar el padre observa los ingresos I H e I P y escoge una herencia, B, que dejar al hijo. La ganancia del hijo es U (I H + B) y la del padre es V (I P B) + ku (I H + B), donde k > 0 refleja el altruismo del padre. Supongamos que la acción es un número no negativo 0, que las funciones I H e I P son estrictamente cóncavas y tienen un máximo en H > 0 y P > 0, respectivamente, que la herencia B puede ser positiva o negativa y que las funciones de utilidad U y V son estrictamente crecientes y estrictamente cóncavas. Demuéstrese el teorema del niño mimado : En el equilibrio por inducción hacia atrás, el hijo escoge la acción que maximiza el ingreso agregado de la familia I H () + I P (), a pesar de que sólo la ganancia del padre es de alguna forma altruista. Solución. Una manera conveniente de representar el problema es a través del consumo final de los agentes (el padre por un lado y el hijo por otro): Ĩ P () := I P () B Ĩ H () := I H () + B Para encontrar el equilibrio por inducción hacia atrás analizamos primero el problema del último jugador (es decir, el padre). Por tanto, fijemos la acción del hijo. Si el padre elige dejar la herencia B al hijo entonces escoge unos niveles de consumo ĨP() y ĨH() tales que Ĩ P () + ĨH() = I P () + I H (). En otras palabras, dada una acción,, etc. del hijo el padre escoge un punto en la diagonal correspondiente en la Figura 7. Qué punto de cada diagonal elegirá el padre? Para poder responder a esta pregunta hemos de analizar las curvas de indiferencia del padre. Como el padre es altruista le importa tanto el consumo total del hijo (ĨH) como el propio consumo total (ĨP). De hecho, su ganancia viene dada por W P (ĨP, ĨH) := V (ĨP) + ku(ĩh). Hacemos las siguientes observaciones sobre las curvas de indiferencia del padre. Son decrecientes. Una disminución en el consumo de un bien se compensa con un incremento en el consumo del otro bien. (Los bienes son ĨH y ĨP.) También se podría expresar de forma que el incremento del consumo de un bien produce un incremento de la satisfacción total del padre si no se compensa con una disminución del consumo del otro bien. Matemáticamente esto corresponde al hecho de que W P es una función creciente en ambos bienes. Concluimos que las curvas de indiferencia toman una de las dos formas representadas en la Figura 8. 9

10 Ĩ H I P ( ) + I H ( ) I P ( ) + I H ( ) Ĩ P I P ( ) + I H ( ) Figura 7: Juego, ejercicio 5: el consumo total I P ( ) + I H ( ) Ĩ H Ĩ H o bien Ĩ P Ĩ P Figura 8: Juego, ejercicio 5: posibles curvas de indiferencia del padre El padre prefiere las curvas más alejadas del origen. El padre, dado el axioma de insaciabilidad, prefiere cestas de consumo con una cantidad mayor de bienes que otra con menos. Esta preferencia se refleja en las curvas de indiferencia. Como muestra la Figura 8, las curvas de indiferencia más altas representan mayores cantidades de bienes que las más bajas, por tanto el padre prefiere las curvas de indiferencias más altas. Matemáticamente esto se debe al hecho de que W P es una función creciente. Son curvas convexas hacia el origen, lo que significa que valora más un bien cuanto más escaso es. Cuando dispone en abundancia de un bien, está dispuesto a prescindir de una unidad a cambio de poca cantidad del bien alternativo. Sin embargo cuando tiene que renunciar a algo que ya es escaso, solo mantendrá su nivel de utilidad si cada unidad a la que renuncia la compensan con cantidades crecientes del otro bien. Matemáticamente esto se debe a que la Tasa Marginal 0

11 de Sustitución ĨP por ĨH, denotada por TMS PH es decreciente en ĨP: ( ) ( ) TMS PH = W P / ĨP = V (ĨP) = V (ĨP) ĨP ĨP W P / ĨC ĨP ku (ĨC) ku (ĨC) < 0, donde la desigualdad es una consecuencia de que V es estrictamente cóncava y U es estrictamente creciente. Concluimos que la representación gráfica correcta de las curvas de indiferencia viene dada por la Figura 9. Carácter transitivo de las curvas del que se deriva que las curvas no se cruzan y que por cada punto del espacio pasa una única curva de indiferencia. Ĩ H I P ( ) + I H ( ) I P ( ) + I H ( ) curvas de indiferencia de P Ĩ P I P ( ) + I H ( ) I P ( ) + I H ( ) Figura 9: Juego, ejercicio 5: curvas de indiferencia del padre hora que hemos analizado las curvas de indiferencia del padre podemos hallar directamente las acciones óptimas por parte del padre dada una acción,, etc. En la Figura 0 vemos por ejemplo que si la acción del hijo es i, entonces el padre elegirá una herencia para su hijo tal que su propio consumo final es ĨP( i ). ( Por qué?) Por último, y para demostrar el teorema del niño mimado, hemos de determinar la acción óptima del hijo (que anticipa la herencia que le dejará su padre). Primero ponemos las curvas de indiferencia del hijo en la Figura 0. El resultado es la Figura. ( Por qué?) En particular, vemos que la acción por parte del hijo le llevará a un consumo final de ĨH( ) lo cual es mayor que ĨH( ). Como la función U es estrictamente creciente, U(ĨH( )) > U(ĨH( )), es decir el hijo prefirirá el esfuerzo sobre. Cuál es la diferencia entre y? Pues, I H ( )+I P ( ) > I H ( ) + I P ( ). En otras palabras, el hijo escoge la acción que maximiza el consumo agregado de la familia I H ()+I P () ( para maximizar su propio bienestar final!). Pero, existe una acción óptima? La respuesta es afirmativa. Veamos por qué. Las funciones I P () y I H () son estrictamente cóncavas y tienen un máximo en P > 0 y H > 0, respectivamente. Consideremos la función que

12 Ĩ H I P ( ) + I H ( ) I P ( ) + I H ( ) curvas de indiferencia de P Ĩ P Ĩ P ( ) Ĩ P ( ) I P ( ) + I H ( ) I P ( ) + I H ( ) Figura 0: Juego, ejercicio 5: acciones óptimas del padre nos interesa, la función que asigna a cada acción del hijo el consumo agregado de la familia: f() := I H () + I P (). Es fácil comprobar que f es estrictamente cóncava y que tiene un máximo en > 0. (La Figura es una ilustración.) 6. Tres oligopolistas operan en un mercado con una demanda inversa dada por P (Q) = max{0, a Q}, donde Q = q + q + q 3 y q j es la cantidad producida por la empresa j. Cada empresa tiene un coste marginal constante, c < a, sin costes fijos. Las empresas escogen sus cantidades de la siguiente manera: () la empresa escoge q 0; () las empresas y 3 observan q y escogen simultáneamente q 0 y q 3 0 respectivamente. (a) Representar el juego en su forma extensiva. Solución. La representación en forma extensiva viene dada por la Figura 3. Fijaos en los conjuntos de información. (b) Cuál es el equilibrio perfecto en subjuegos? Calcular los beneficios de la empresa en el equilibrio. Solución. Este es un juego de información imperfecta ( por qué exactamente?). Para hallar el equilibrio perfecto en subjuegos analizamos primero los subjuegos que empiezan en los nodos de decisión de la empresa. Es decir, hemos de determinar los equilibrios de Nash de los juegos estáticos en los que las empresas y 3 son los únicos jugadores (la cantidad q es una constante en este subjuego). En otras palabras, cuáles son los equilibrios si las empresas y 3 compiten en un duopolio à la Cournot (dada la cantidad q )? Si definimos ã := a q entonces la demanda inversa viene dada por P(Q) = max{ã Q, 0} = max{ã q q 3, 0}.

13 Ĩ H I P ( ) + I H ( ) I P ( ) + I H ( ) Ĩ H ( ) Ĩ H ( ) curvas de indiferencia de H curvas de indiferencia de P Ĩ P Ĩ P ( ) Ĩ P ( ) I P ( ) + I H ( ) I P ( ) + I H ( ) Figura : Juego, ejercicio 5: curvas de indiferencia del hijo Observamos que si ã c entonces las empresas y 3 elegirán no producir nada ( por qué?). Es decir, si ã c el único equilibrio de Nash es (q, q 3 ) = (0, 0). Supongamos ahora que ã > c. Si la empresa 3 escoge producir q 3 0 entonces la mejor respuesta de la empresa es producir q 0 que maximiza sus beneficios. Es decir, la empresa ha de resolver el siguiente problema de maximización max q 0 q [max{ã q q 3, 0}] cq. Es fácil comprobar que si ã q 3 c entonces el óptimo nivel q es 0. Sin embargo, si ã q 3 > c, entonces el nivel óptimo q es estrictamente positivo y es la solución de la condición de primer orden ã q q 3 c = 0. Por tanto, la función de mejor respuesta de la empresa viene dada por { 0 si ã q3 c; R (q 3 ) = (ã q 3 c)/ si ã q 3 > c. nálogamente, la función de mejor respuesta de la empresa 3 viene dada por { 0 si ã q c; R 3 (q ) = (ã q c)/ si ã q > c. Una vez calculadas las funciones de mejor respuesta podemos hallar los equilibrios de Nash. Miremos todos los posibles perfiles (recordad que ã > c): Caso I: (q, q 3 ) = (0, 0). Es un equilibrio de Nash? Supongamos que sí. Entonces (utilizando las funciones de mejor respuesta) como ã q3 = ã > c se tiene que q = (ã c)/ > 0, lo cual es una contradicción con q = 0. Por tanto (q, q 3 ) = (0, 0) no es un equilibrio. 3

14 f() = I P () + I H () I P () I H () Figura : Juego, ejercicio 5: óptima acción q q q q q q q 3 q 3 q 3 q 3 q 3 q 3 q 3 q 3 Figura 3: Juego, ejercicio 6: forma extensiva (parcial) Caso II: (q, q 3) = (0, q 3) con q 3 > 0. Es un equilibrio de Nash? Supongamos que sí. Entonces (utilizando las funciones de mejor respuesta) como q 3 > 0 se tiene que q 3 = (ã q c)/ = (ã c)/, es decir q 3 = ã c. () Por otro lado, como q = 0 necesariamente se tiene que ã q 3 c, es decir, ã c q3. () Combinando () y (), q3 = ã c q3, lo cual es imposible ya que q3 > 0. Por tanto no hay equilibrio (q, q 3 ) = (0, q 3 ) con q 3 > 0. Caso III: (q, q3) = (q, 0) con q > 0. Es un equilibrio de Nash? La respuesta es negativa (utiliza un razonamiento como el del Caso II). Caso IV: (q, q 3 ) con q > 0 y q 3 > 0. Hay un equilibrio de Nash de este tipo? Utilizando las funciones de mejor respuesta vemos que sí. demás 4

15 podemos obtener fácilmente los valores de q y q 3 dado que satisfacen el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos variables { q = (ã q 3 c)/; q 3 = (ã q c)/. Si restamos la segunda ecuación a la primera, obtenemos q = q 3. Luego q = (ã q c)/. Por tanto, q = q 3 = (ã c)/3. Resumiendo, el único equilibrio de Nash en el subjuego (con los jugadores y 3) es (q, q 3 ) = (0, 0) si ã c, es decir si q a c; (3) (q, q3) = (ã c 3, ã c 3 ) si ã > c, es decir si q < a c. (4) hora calculamos el nivel óptimo q 0 de la empresa que anticipará el comportamiento racional de las empresas y 3 (es decir, el equilibrio de Nash (q, q3) del subjuego subsiguiente). Es fácil comprobar que producir a un nivel q ã c no le llevará a beneficios estrictamente positivos. Si por otro lado decide producir una cantidad q con 0 q < ã c entonces sí que podrá obtener unos beneficios estrictamente positivos. Veamos por qué. La empresa ha de resolver el siguiente problema de maximización max 0 q <ã c q [max{a q q 3 q, 0}] cq. Como q < ã c (es decir, ã > c) tenemos que (q, q 3 ) = (ã c entonces el problema de maximización es en realidad el siguiente: max 0 q <ã c Substituyendo ã := a q, q [max{a, ã c 3 q, 0}] cq., ã c 3 3 ). Pero, max 0 q <ã c q [max{a a c q 3 q, 0}] cq. Observamos que a a c q 3 q > 0 es equivalente a q < a + c. Y dado que q < a c < a + c, el problema de la empresa se reduce a max 0 q <ã c cuya condición de primer orden es q [a a c q 3 Por tanto, la empresa elegirá producir 3 (a c) 3 q = 0. q ] cq, q = a c, (5) 5

16 que efectivamente le proporcionará unos beneficios estrictamente positivos: Π (q, q, q 3) = q [a a c q 3 q ] cq = 3 [(c a)q + (q) ] [ = (c a) a c ( ) ] a c + 3 ( = ) ( ) (a c) > En particular, el único equilibrio de Nash perfecto en subjuegos viene dado por (3), (4) y (5). 7. (Difícil.) Considera la competencia oligopolística con diferenciación de producto (localización). Dos empresas producen un bien homogéneo. Supongamos que el coste marginal de cada empresa es igual a cero. Las empresas maximizan sus beneficios (=ingresos) π i = p i d i (s, s ; p, p ). Donde d i (.) es la demanda de la empresa i. Supongamos que los consumidores están uniformemente distribuidos a lo largo del intervalo [0, ]. El juego es el siguiente: En una primera etapa las empresas eligen simúltaneamente una localización (s, s ), donde s i es la localización dentro del intervalo [0, ] de la empresa, sin perdida de generalidad suponemos que s s. En una segunda etapa, ambas empresas observan (s, s ) y compiten en precios. La utilidad de un consumidor h (localizado en el punto h) cuando le compra a la empresa i es igual a u h = 0 p i 3 (h s i ). Dado que los consumidores sólo eligen a quien comprarle, es fácil comprobar que d (s, s ; p, p ) = p p + s +s 6(s s ) y d (s, s ; p, p ) = p p 6(s s ) s +s. (a) Hallar el equilibrio perfecto en subjuegos. Solución. Empezamos con los subjuegos en los que los jugadores observan las decisiones (s, s ) y han de escoger los precios p y p. Podemos calcular directamente las funciones de mejor respuesta y resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Otra posibilidad es seguir los pasos de esta aplicación del Tema 3 (ver las diapositivas ). En cualquier caso encontramos los precios en cada subjuego: p (s, s ) = (s s ) + (s s ); (6) p (s, s ) = 4(s s ) (s s ). (7) (Estos precios han de ser números no negativos. Por qué lo son?) hora queda por determinar el equilibrio de Nash (s, s ). Siguiendo los pasos de las diapositivas ( comprobad los detalles!) llegamos a la conclusión que s = 0; (8) s =. (9) Utiliza la siguiente correspondencia: a = s, b = s, t = q = 3, c = 0 y û = 0. 6

17 Por tanto, el único equilibrio perfecto en subjuegos viene dado por (6) (9). Nos referimos al libro Economía y Juegos de Fernando Vega Redondo (sección 5.3, páginas 30 36) para más detalles. (b) Calcular los ingresos de cada empresa en equilibrio. Interpretar el resultado. Solución. Los precios correspondientes a las localizaciones (s, s ) = (0, ) son p (0, ) = p (0, ) = 3. Los ingresos de cada empresa son por tanto p i(0, )d i (0, ; 3, 3) = 3 = 3. El equilibrio induce ambas empresas a extremar su distancia. Obtienen los mismos ingresos. 8. Sea el juego en forma normal G = {S = {, M, B}, S = {I, C, D}, u, u } cuyos pagos están resumidos en la matriz de pagos: \ I C D (3, ) (0, 0) (0, ) M (, ) (5, 5) (, 0) B (0, ) (3, 5) (3, 0) (a) Calcular los equilibrios de Nash del juego de una sola tirada (en estrategias puras y mixtas). Solución. Primero buscamos las mejores respuestas (para poder calcular los equilibrios de Nash en estrategias puras): \ I C D (3, ) (0, 0) (0, ) M (, ) (5, 5) (, 0) B (0, ) (3, 5) (3, 0) Por tanto, hay dos equilibrios de Nash en estrategias puras: (, I) y (M, C). Para poder calcular los equilibrios de Nash en estrategias mixtas primero eliminamos iterativamente las estrategias dominadas. La estrategia D es dominada por la estrategia I. Eliminamos D y el juego resultante es el siguiente: \ I C (3, ) (0, 0) M (, ) (5, 5) B (0, ) (3, 5) En este juego reducido la estrategia B es dominada por la estrategia M. Eliminamos B y el juego resultante es un juego sin estrategias dominadas: \ I C (3, ) (0, 0) M (, ) (5, 5) Calculamos las correspondencias R i de mejores respuestas para ambos jugadores. Para hallar las mejores respuestas del jugador fijemos la estrategia q del jugador. El jugador es indiferente entre jugar y M si y sólo 7

18 si u (, q) = u (M, q), lo cual es equivalente a 3q = q + 5( q), o sea, q = Es fácil verificar que 7 R (q) = 0 si q < 0.7; [0,] si q = 0.7; si q > 0.7. Para hallar las mejores respuestas del jugador fijemos la estrategia p del jugador. El jugador es indiferente entre jugar I y C si y sólo si u (p, I) = u (p, C), lo cual es equivalente a p+ p = 5( p), o sea, p = Es 3 fácil verificar que 0 si p < 0.66; R (p) = [0,] si p = 0.66; si p > Utilizando la representación gráfica (la Figura 4) de las correspondencias de mejor respuesta vemos que su intersección es el conjunto {(0, 0), (, ), (, 5 )}. Por tanto los equilibrios de Nash vienen dados por 3 7 {(0, 0), (, ), (, 5 )}. ( De dónde provienen los perfiles (0, 0) y (, )?) 3 7 q mejor respuesta R 0.7 mejor respuesta R 0.66 p Figura 4: Juego, ejercicio 8: EN (b) Supongamos a partir de ahora que el juego se repite dos veces con un factor de descuento 0 < δ <. Puede ser (M, C) parte de un equilibrio perfecto en subjuegos? Para qué valores de δ? Solución. Sea s la estrategia de jugar M en cualquier etapa ( o ) haga lo que haga el jugador. Sea s la estrategia de jugar C en cualquier etapa ( o ) haga lo que haga el jugador. Es fácil comprobar ( hacerlo!) que el perfil (s, s ) es un EPS para todos los valores 0 < δ <. (c) Puede ser (B, D) parte de un equilibrio perfecto en subjuegos (con estrategias puras)? Y en general, puede ser una estrategia estrictamente dominada del juego de etapa parte de un equilibrio perfecto en subjuegos? Solución. Para cualquier subjuego en la segunda etapa el EPS ha de inducir un EN. Como solamente miramos los EPS con estrategias puras, cualquier EN en la segunda etapa ha de ser un EN en estrategias puras. Por tanto podemos distinguir entre dos casos: en el subjuego después de jugar en la primera etapa el perfil (B, D), el EPS induce el EN (M, C) o bien el EN (, I). Como nos 8

19 piden un EPS en el que (B, D) forma parte de las estrategias necesariamente este EPS induce a jugar las estrategias (B, D) en la primera etapa (en otras palabras, en la segunda etapa no hay margen para estrategias que no sean EN). En el primer caso el jugador tiene un pago total de 0 + 5δ. Sin embargo si se desvía y juega C en la primera etapa obtendrá al menos 5 + δ. Como 5 + δ > 5δ descartamos la existencia de un EPS del primer tipo (caso). En el segundo caso el jugador tiene un pago total de 0 + δ. Sin embargo si se desvía y juega C en la primera etapa obtendrá al menos 5 + δ. Como 5 + δ > δ descartamos también la existencia de un EPS del segundo tipo (caso). Por tanto, e independientemente del valor de δ, concluimos que (B, D) no forma parte de un equilibrio perfecto en subjuegos (con estrategias puras). En particular, vemos que la estrategia dominada D no forma parte de un EPS. Sin embargo, en general es posible que una estrategia dominada forme parte de un EPS, tal y como demostramos a continuación mediante el siguiente ejemplo. Sea el juego en forma normal G = {S = {, M, B}, S = {I, C, D}, u, u } cuyos pagos están resumidos en la matriz de pagos: \ I ( C D (3, ) 0, 3 ) (0, ) M (, ) ( (5, 5) (, 0) B (0, ) 3, ) (3, 3) Primero observamos que D es una estrategia estrictamente dominada (por la estrategia C). Hallamos las mejores respuestas: \ I ( C D (3, ) 0, 3 ) (0, ) M (, ) ( (5, 5) (, 0) B (0, ) 3, ) (3, 3) Por tanto, hay dos equilibrios de Nash en estrategias puras: (, I) y (M, C). Consideremos las siguientes estrategias para el juego repetido ( veces). Estrategia s del jugador : En la primera etapa jugar B. En la segunda etapa jugar, a no ser que se haya jugado (B, D) en la primera etapa, en cuyo caso se juega M en la segunda etapa. Estrategia s del jugador : En la primera etapa jugar D. En la segunda etapa jugar I, a no ser que se haya jugado (B, D) en la primera etapa, en cuyo caso se juega C en la segunda etapa. Desde luego, la estrategia dominada D forma parte del perfil (s, s ) y se llega a jugar si nadie se desvía. Pero, (s ) es EPS?, s 9

20 nalicémoslo. El pago al jugador en (s, s ) es 3 + 5δ 8 si δ es suficientemente grande. La mejor desviación del jugador es jugar C en la primera etapa. En tal caso su pago final es como mucho + δ 7.5 y por tanto su mejor desviación no es profitable. Por otra parte, se comprueba fácilmente que el jugador tampoco tiene ninguna desviación profitable. Por tanto, (s, s ) es efectivamente un EPS con la característica deseada (si δ es suficientemente grande). (d) Supongamos a partir de ahora que el juego se repite un número ilimitado de veces con un factor de descuento 0 < δ <. Puede ser (M, C) parte de un equilibrio perfecto en subjuegos? Para qué valores de δ? Solución. Sea s la estrategia de jugar M en cualquier etapa haga lo que haga el jugador. Sea s la estrategia de jugar C en cualquier etapa haga lo que haga el jugador. Es fácil comprobar ( hacerlo!) que el perfil (s, s ) es un EPS para todos los valores 0 < δ <. ( Cuáles son los pagos resultantes?) 9. Sea el juego en forma normal G = {S = {, B}, S = {C, D}, u, u } cuyos pagos están resumidos en la matriz de pagos: \ L R (4, ) (3, ) B (, 4) (6, 3) Considere el juego G repetido infinitamente. Hallar un equilibrio de Nash y un factor de descuento δ que llevan a unas ganancias medias de (6, 3). Solución. Hay dos métodos de resolver el problema. El primero método consiste en aplicar el Teorema de Friedman. El segundo método consiste en aplicar el Teorema de Wen. ( Importante: hay situaciones en las que solamente podemos aplicar el Teorema de Wen!) plicar el Teorema de Friedman. Calculamos las correspondencias R i de mejores respuestas para ambos jugadores. Para hallar las mejores respuestas del jugador fijemos la estrategia q del jugador. El jugador es indiferente entre jugar y B si y sólo si u (, q) = u (B, q), lo cual es equivalente a 4q + 3( q) = q + 6( q), o sea, q = 0.5. Es fácil verificar que 0 si q < 0.5; R (q) = [0,] si q = 0.5; si q > 0.5. Para hallar las mejores respuestas del jugador fijemos la estrategia p del jugador. El jugador es indiferente entre jugar L y R si y sólo si u (p, L) = u (p, R), lo cual es equivalente a p + 4( p) = p + 3( p), o sea, p = 0.5. Es fácil verificar que R (p) = 0 si p < 0.5; [0,] si p = 0.5; 0 si p > 0.5.

21 Utilizando la representación gráfica (la Figura 5) de las correspondencias de mejor respuesta vemos que su intersección es el conjunto {(0.5, 0.5)}. Por tanto el único equilibrios de Nash es (0.5, 0.5). q mejor respuesta R mejor respuesta R p Figura 5: Juego, ejercicio 9: EN Los pagos en el equilibrio son e = u (0.5, 0.5) = u (B, 0.5) = = 3.5 y e = u (0.5, 0.5) = u (0.5, R) = =.5. Observamos que (6,3) son pagos factibles en el juego de etapa G: (6, 3) = (u (B, R), u (B, R)). demás 6 > e = 3.5 y 3 > e =.5. Por lo tanto podemos aplicar el Teorema de Friedman. Primero computamos el factor de descuento: { } 6 6 δ > max 6 3.5, 4 3 = Por último, la descripción del EPS de Friedman (elaborada en clase, no en las diapositivas): La estrategia del jugador será jugar B a no ser que el jugador haya jugado alguna vez una estrategia que no sea R; en este caso el jugador jugará la estrategia mixta 0.5 (la estrategia del jugador en el equilibrio de G) para siempre. La estrategia del jugador será jugar R a no ser que el jugador haya jugado alguna vez otra estrategia que B; en este caso el jugador jugará la estrategia mixta 0.5 (la estrategia del jugador en el equilibrio de G) para siempre. Observación: el equilibrio de Friedman no es sólo un EN sino también un EPS. El Teorema de Wen. Calculamos primero los valores minimax v y v. Por definición, sí mismo, v = min q [0,] = min q [0,] =: min q [0,] v = min p [0,] = min p [0,] =: min p [0,] maxp [0, ] u (p, q) max{u (, q), u (B, q)} f (q) maxq [0, ] u (p, q) max{u (p, L), u (p, R)} f (p)

22 hora podemos hallar gráficamente los valores de v y v. Observamos en la Figura 6 que v = 3.5 y v =. Obtenemos en cuatro pasos un EN del juego u u f f q p Figura 6: Juego, ejercicio 9: v y v repetido con unas ganancias medias de (6, 3) (véanse las diapositivas del Tema 3): (a) (6,3) son pagos factibles en el juego de etapa G: (6, 3) = (u (B, R), u (B, R)). demás 6 > v = 3.5 y 3 > v =. Por lo tanto podemos aplicar el Teorema de Wen. (b) La estrategia del jugador para amenazar al jugador es α = α = 0.5 (es decir, una estrategia mixta). La estrategia del jugador para amenazar al jugador es α = α =. (c) La estrategia del jugador será jugar B a no ser que el jugador haya jugado alguna vez una estrategia que no sea R; en este caso el jugador jugará α = para siempre. La estrategia del jugador será jugar R a no ser que el jugador haya jugado alguna vez otra estrategia que B; en este caso el jugador jugará α = 0.5 para siempre. (d) El factor de descuento ha de cumplir { 6 6 δ > max 6 3.5, 4 3 } = Considere el modelo de negociacion de Stahl-Rubinstein con T = etapas. El jugador tiene un factor de descuento δ, y el jugador tiene un factor de descuento δ con δ, δ (0, ). Si no llegan a un acuerdo entonces reciben en la etapa 3 los pagos (s, s) donde 0 < s < es una constante (exógena). (a) Supongamos que el jugador propone primero. Representar el juego en su forma extensiva. Solución. En la Figura 7 se ha representado el juego en forma extensiva de manera simplificada (por ejemplo, en el árbol completo saldrían un número infinito de ramas del primer nodo del jugador ).

23 (s, s ) no (s, s ) no (δ s, δ ( s)) sí (s, s ) sí (δ s, δ ( s )) etapa etapa Figura 7: Juego, ejercicio 0: forma extensiva (simplificada) (b) Supongamos que el jugador propone primero. Calcular el equilibrio perfecto en subjuegos. Comparar los pagos de equilibrio de ambos jugadores si δ < δ. Solución. Como es un juego con información perfecta buscamos el equilibrio por inducción hacia atrás. Normalmente analizamos entonces los (últimos) subjuegos al final del árbol. Sin embargo, en el modelo de negociación de Stahl-Rubinstein es más conveniente hacer el análisis etapa por etapa. Es decir, solamente miraremos los subjuegos que empiezan en un nodo del jugador en la etapa y el subjuego que empieza en el nodo del jugador en la etapa (el juego completo). Un subjuego (cualquiera) que empieza en un nodo del jugador en la etapa. El jugador acepta la propuesta s del jugador si y sólo si s δ s. Por tanto el jugador ha de elegir entre (a) ofrecer δ s y recibir δ s, y (b) ofrecer menos y recibir δ ( s). Dado que δ < δ < tenemos que δ ( s) = δ δ s < δ s (0) y por lo tanto el único EPS de este subjuego es El jugador proponer la repartición (s, s ) donde s := δ s; El jugador aceptar recibir cualquier cantidad s. El EPS llevará a los pagos (s, s ) = (δ s, δ s). El subjuego que empieza en el nodo del jugador en la etapa. El jugador acepta la propuesta s del jugador si y sólo si s δ ( s ) = δ ( δ s) = δ δ δ s (incorporamos el resultado del EPS de la segunda etapa pero hemos de descontarlo!). Por tanto el jugador ha de elegir entre (a) ofrecer s := δ δ δ s y recibir s = δ + δ δ s, y (b) ofrecer menos y recibir δ s = δ s (de nuevo hay que descontar el pago de la segunda etapa). Dado que δ < δ < tenemos que δ s < ( δ ) + δ s < δ + δ δ s () 3

24 y por lo tanto en la primera etapa del único EPS del juego El jugador proponer la repartición (s, s ) donde s = δ +δ δ s; El jugador aceptar recibir cualquier cantidad s. Observamos que el resultado del único EPS es que se acepta la propuesta (del jugador ) en la primera etapa y que no se llegará a la segunda etapa. Los pagos resultantes son (s, s ). (c) Supongamos que δ = 0.8, δ = 0.6 y s = 0.5. l jugador le conviene ser el primero en proponer? O prefiere ser el segundo en proponer? Solución. Primero buscamos el EPS si el jugador es el primero en proponer. Observación importante: δ > δ, pero aun así podemos repetir (casi) todo el razonamiento del apartado anterior! Por qué? Pues, la clave está en las ecuaciones (0) y (). Siguen ciertas en este apartado: δ ( s) = 0.6( 0.5) = 0.3 < 0.6 = 0.8(0.5) = δ s δ s = 0.64(0.5) = 0.3 < ( 0.6) + 0.6(0.8)(0.5) = δ + δ δ s Por consiguiente, en esta situación obtendremos exactamente el mismo (único) EPS que en el apartado anterior. En particular, los pagos resultantes son de nuevo son (s, s ) donde s = δ + δ δ s. Es decir, los pagos son (s, s ) = ( δ + δ δ s, δ δ δ s) = (0.64, 0.36) () Nos queda por determinar los pagos en el EPS si el jugador es el segundo en proponer. Evidentemente, esto quiere decir que el jugador es el primero en proponer. Teniendo en cuenta que δ = 0.6 < 0.8 = δ vemos que podemos aplicar el apartado anterior si cambiamos los papeles de los jugadores. Pero en tal caso los pagos resultantes del único EPS serán (δ δ δ s, δ + δ δ s) = (0.56, 0.44) (3) Deducimos de () y (3) que el jugador prefiere proponer primero (porque 0.64 > 0.56). (El jugador también preferirá proponer primero ya que 0.44 > 0.36.). Consideramos el juego dinámico que consiste en jugar en la primera etapa el juego G: \ I D (, ) (5, 0) B (0, 5) (4, 4) y, después de observar el resultado de esta etapa, jugar el juego G \ I D (3, 3) (, 4) B (4, ) (, ) Suponemos que no hay descuento (es decir que el pago final es la suma de los pagos de las dos etapas). 4

25 (a) Razonar cuidadosamente cómo son los equilibrios perfectos en subjuegos. Solución. El juego G (que se juega después de observar las jugadas del juego G) tiene un solo EN: (B, D) con pagos (, ). (La estrategia B domina a, y la estrategia D domina a I.) Luego los jugadores saben que en realidad al principio juegan el juego G (anticipando/incorporando el único EN de la segunda etapa): \ I D (3, 3) (7, ) B (, 7) (6, 6) El juego G tiene un solo EN: (, I). Por tanto, el único EPS es (BBBB, IDDDD). (b) Cuáles son las decisiones y pagos resultantes? Solución. Si los jugadores juegan el EPS del apartado anterior entonces el resultado será unos pagos de (3, 3). La trayectoria será (, I) (B, D). (c) Qué pasaría en caso de que el jugador tuviese un factor de descuento δ y el jugador tuviese un factor de descuento δ, donde 0 < δ, δ <. Solución. En caso de factores de descuento δ y δ no cambiará el EPS ( por qué?). Sólo cambiarán los pagos: ( + δ, + δ ) en lugar de (3, 3).. Consideramos el juego dinámico que consiste en jugar un número infinito de períodos el dilema del prisionero (col=colaborar): \ no col col no col (, ) (5, 0) col (0, 5) (4, 4) Suponemos que ambos jugadores tienen un factor de descuento δ = δ =. Consideremos la siguiente estrategia: En t = colaboro. En t > colaboro si y sólo si el otro jugador ha colaborado en t. (a) Cuáles son los pagos resultantes si ambos jugadores siguen esta estrategia? Solución. El resultado para el jugador i será un pago de Π i = 4 + 4δ i + 4δ i + 4δ i 3 + 4δ i = 4( + δ i + δ i + δ 3 i + δ 4 i +...) = 4( ) δ i = 8 (b) Es un equilibrio de Nash? Solución. Miramos las posibles desviaciones del jugador. (Sin pérdida de generalidad.) 5

26 Desviación en la primera etapa. Si el jugador no colabora en la primera etapa obtendrá como mucho Π = 5 + δ + δ + δ 3 + δ δ + 4δ + 4δ 3 + 4δ = δ ( + δ + δ + δ 3 + δ ) = ( ) ( ) = + = 7.5 = 7 + < 8, por tanto no es profitable. Primera desviación en la etapa. Si el jugador colabora en la etapa pero no colabora en la etapa obtendrá como mucho Π = 4 + 5δ + δ + δ 3 + δ 4 + δ δ + 4δ + 4δ 3 + 4δ 4 + 4δ = δ 3 ( + δ + δ + δ 3 + δ ) = 7 ( ) ( ) = = < 8, por tanto no es profitable. Primera desviación en la etapa n. Si el jugador colabora hasta la etapa n (inclusive) pero no colabora en la etapa n obtendrá como mucho 7 + n < 8. Por tanto no es profitable. n Concluimos que no vale la pena desviarse de la estrategia propuesta. Por tanto, el perfil de estrategias del enunciado es efectivamente un equilibrio de Nash. 3. Sea el siguiente juego en dos etapas. Hay dos empresas que pueden producir un mismo bien a costes marginales iguales a c. En la primera etapa, cada empresa decide entrar en el mercado (en cuyo caso debe pagar un coste irrecuperable F > 0), o no entrar (que no tiene coste). En la segunda etapa, si sólo una empresa ha entrado se comporta como un monopolista. Si ambas han entrado compiten à la Cournot. Si Q es la cantidad total producida, entonces el precio es P(Q) = max{a Q, 0}. Suponemos que a > c. (a) Representar el juego en forma extensiva. Solución. (b) Calcular los equilibrios perfectos en subjuegos. Solución. Primero calculamos los equilibrios de Nash de los subjuegos finales. 6

27 e e ne duopolio monopolio de ne e ne monopolio de (0, 0) Figura 8: Juego, ejercicio 3: juego en forma extensiva (simplificada) Monopolio. La empresa i en el monopolio ha de resolver el siguiente problema de maximización max q i 0 q i [max{a q i, 0}] cq i. Como a > c el nivel óptimo q i no será 0. Luego la condición de primer orden para un máximo interior es a c q = 0. Por tanto, el único equilibrio de Nash en el subjuego monopolio es q i = a c. Duopolio. Si la empresa escoge producir q 0 entonces la mejor respuesta de la empresa es producir q 0 que maximiza sus beneficios. Es decir, la empresa ha de resolver el siguiente problema de maximización max q 0 q [max{a q q, 0}] cq. Es fácil comprobar que si a q c entonces el óptimo nivel q es 0. Sin embargo, si a q > c, entonces el nivel óptimo q es estrictamente positivo y es la solución de la condición de primer orden a q q c = 0. Por tanto, la función de mejor respuesta de la empresa viene dada por { 0 si a q c; R (q ) = (a q c)/ si a q > c. nálogamente, la función de mejor respuesta de la empresa viene dada por { 0 si a q c; R (q ) = (a q c)/ si a q > c. Una vez calculadas las funciones de mejor respuesta podemos hallar los equilibrios de Nash. Miremos todos los posibles perfiles (recordad que a > c): Caso I: (q, q) = (0, 0). Es un equilibrio de Nash? Supongamos que sí. Entonces (utilizando las funciones de mejor respuesta) como a q = a > c se tiene que q = (a c)/ > 0, lo cual es una contradicción con q = 0. Por tanto (q, q) = (0, 0) no es un equilibrio. 7

28 Caso II: (q, q) = (0, q) con q > 0. Es un equilibrio de Nash? Supongamos que sí. Entonces (utilizando las funciones de mejor respuesta) como q > 0 se tiene que q = (a q c)/ = (a c)/, es decir = a c. (4) q Por otro lado, como q = 0 necesariamente se tiene que a q c, es decir, a c q. (5) Combinando (4) y (5), q = a c q, lo cual es imposible ya que q > 0. Por tanto no hay equilibrio (q, q ) = (0, q ) con q > 0. Caso III: (q, q ) = (q, 0) con q > 0. Es un equilibrio de Nash? La respuesta es negativa (utiliza un razonamiento como el del Caso II). Caso IV: (q, q) con q > 0 y q > 0. Hay un equilibrio de Nash de este tipo? Utilizando las funciones de mejor respuesta vemos que sí. demás podemos obtener fácilmente los valores de q y q dado que satisfacen el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos variables { q = (a q c)/; q = (a q c)/. Si restamos la segunda ecuación a la primera, obtenemos q = q. Luego q = (a q c)/. Por tanto, q = q = (a c)/3. Resumiendo, el único equilibrio de Nash en el subjuego duopolio es (q, q ) = (a c, a c). 3 3 hora calculamos los pagos del juego original. Si ambas empresas deciden entrar entonces cada una tiene un coste irrecuperable F > 0 y luego juegan un duopolio à la Cournot. Hemos determinado el resultado de la interacción estratégica: (q, q ) = (a c, a c ). Los beneficios resultantes son, para la 3 3 empresa i: Π i (q, q) = qi [max{a qi qj,0}] cqi = a c [ { ( ) }] [ ] a c a c max a, 0 c = a c [ ( )] [ ] a c a c a c [ ] [ ] a c a c = (a c) 3 3 [ ] (a c) = [ ] (a c) (a c) =. 9 Si sólo la empresa decide entrar entonces tendrá un coste irrecuperable F > 0 y luego juega un monopolio. Hemos determinado el resultado del monopolio: 8

29 qi = a c. Los beneficios resultantes para la empresa i son: Π i (qi ) = qi [max{a qi, 0}] cqi = a c [ { ( ) }] [ ] a c a c max a, 0 c = a c [ ( )] [ ] a c a c a c [ ] [ ] (a c) (a c) = (a c) [ ] [ ] (a c) (a c) = 4 (a c) =. 4 Incorporamos los beneficios (teniendo en cuenta que entrar conlleva un coste irrecuperable F > 0) y obtenemos el árbol de la Figura 9. Este juego es un e ne e ne e ne ( (a c) 9 F, (a c) 9 F) ( (a c) 4 F, 0) (0, (a c) 4 F) (0, 0) Figura 9: Juego, ejercicio 3: juego reducido juego estático. Por tanto, el último paso para calcular los EPS consiste en hallar los EN del juego estático. La tabla de pagos correspondiente es Sean \ ( e ) ( ne ) (a c) (a c) (a c) e F, F F, ) 4 (a c) ne (0, F (0, 0) 4 q c := q m := (a c) ; 9 (a c). 4 Como veremos a continuación los equilibrios de Nash (y como consecuencia los EPS) dependen del valor de F > 0. Caso I: 0 < F < (a c) 9. En este caso EPS = {(eq c q m, eq c q m )}. 9

30 ( Recuerda que para jugador hay que indicar una acción para cada subjuego en el que participa!) El resultado es( que entrarán las dos empresas ) y que producen q c cada una. Los pagos son (a c) F, (a c) F. 9 9 Caso II: 0 < (a c) 9 < F < (a c) 4. En este caso EPS = {(eq c q m, neq c q m ), (neq c q m, eq c q m )}. El resultado es que entrará una empresa y producirá q m. El pago de la empresa que entra es (a c) 4 F y el de la otra empresa 0. Caso III: 0 < (a c) 4 < F. En este caso EPS = {(neq c q m, neq c q m )}. El resultado es que no entrará ninguna empresa. mbas empresas reciben un pago de 0. ( Cuáles son los EPS si F = (a c) 9 o F = (a c) 4?) 4. Considera el juego en forma extensiva y de información perfecta con tres jugadores representado en la figura donde los vectores de pagos representan los pagos de, B y C respectivamente. a a a 3 B b b C C c (4, 4, 0) c (4, 0, 4) c (0,, 4) c (4, 4, 0) (, 0, ) b B b c (,, ) C c (3, 0, 0) (0, 5, 5) Figura 30: Juego, ejercicio 4 (a) Si el juego es de información perfecta y todos los jugadores pueden observar las acciones previas de los demás, determina el perfil estratégico, la trayectoria y los pagos de todos los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos en estrategias puras. Solución. En este juego hay información perfecta: en cada nodo de decisión el jugador al que toca escoger una acción conoce las jugadas anteriores. Por tanto, el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos (EPS) es el equilibrio que se obtiene por inducción hacia atrás. Empezamos al final del arból, es decir, buscamos las acciones óptimas para el último jugador, luego volvemos un paso hacia el principio, etc. En la Figura 3 vemos el resultado de este análisis: un único EPS que viene dado por (a, b b, c c c ). sí mismo vemos que la trayectoria es a b c y que los pagos correspondientes son (,, ). 30