Operaciones con conjuntos (ejercicios)

Transcripción

1 Operaciones con conjuntos (ejercicios) Ejemplo: Definición de la diferencia de conjuntos. Sean y conjuntos. Entonces \ := { x: x x / }. Esto significa que para todo x tenemos la siguiente equivalencia: 1. Definición de la unión de conjuntos. Sean y conjuntos. Entonces x \ x x /. := { x: }. 2. Definición de la intersección de conjuntos. Sean y conjuntos. Entonces := { x: }. 3. Indique las correspondencias con flechitas: x x pertenece a ambos conjuntos y x x pertenece al conjunto pero no pertenece a x \ x pertenece por lo menos a uno de los conjuntos y Operaciones con conjuntos, ejercicios, página 1 de 10

2 Diagramas de Euler-Venn Ejemplo: Diferencia de conjuntos. \ consiste de todos los puntos que pertenecen al conjunto y al mismo tiempo no pertenecen al conjunto. 4. Unión de conjuntos. consiste de todos los puntos Intersección de conjuntos. consiste de todos los puntos... Operaciones con conjuntos, ejercicios, página 2 de 10

3 Relaciones de contención entre la intersección, la unión y los conjuntos originales ómo demostrar la contención de un conjunto en el otro. Sean y conjuntos. Se dice que está contenido en si cualquier elemento del conjunto pertenece también al conjunto. Formalmente esto significa que para cualquier x la afirmación x implica la afirmación x. Ejemplo. Sean y conjuntos arbitrarios. Demostrar que. Solución. Plan de la demostración: considerar un elemento arbitrario del conjunto y demostrar que este elemento pertenece al conjunto. Sea x. Por definición de la intersección esto significa que x y x. En particular, esto implica que x. 6. En la demostración anterior se usa la regla lógica ( a b) a. Demuestre esta regla usando tablas de verdad. Solución. a b a b (a b) a Operaciones con conjuntos, ejercicios, página 3 de 10

4 7. Sean y conjuntos arbitrarios. Demuestre que. Indique que regla lógica se usa en la demostración y demuéstrela con tablas de verdad. Operaciones con conjuntos, ejercicios, página 4 de 10

5 Propiedades distributivas Igualdad de conjuntos. Dos conjuntos y son iguales si consisten de los mismos elementos. Formalmente esto significa que para un x arbitrario las afirmaciones x y x son equivalentes. Ejemplo (propiedad distributiva de la unión sobre la intersección). Sean, y conjuntos arbitrarios. Demostrar que ( ) = ( ) ( ). Solución. Para un x arbitrario tenemos la siguiente cadena de equivalencias: x ( ) (i) x (x ) (ii) x (x x ) (iii) ( (x ) (x ) ) ( (x ) (x ) ) (iv) (x ) (x ) (v) x ( ) ( ). En los pasos (i) y (iv) se usa la definición de la unión, en los pasos (ii) y (v) se usa la definición de la intersección, y en el paso (iii) se aplica la propiedad distributiva de la disyunción sobre conjunción: a ( b c ) = ( a b ) ( a c ). Operaciones con conjuntos, ejercicios, página 5 de 10

6 8. Propiedad distributiva de la intersección sobre la unión. Sean, y conjuntos arbitrarios. Demuestre que ( ) = ( ) ( ). Operaciones con conjuntos, ejercicios, página 6 de 10

7 Propiedades distributivas y diagramas de Euler-Venn En los siguientes ejercicios hay que sombrear los conjuntos indicados. 9. ( ) 10. ( ) ( ) Operaciones con conjuntos, ejercicios, página 7 de 10

8 En los siguientes ejercicios hay que sombrear los conjuntos indicados. 11. ( ) 12. ( ) ( ) Operaciones con conjuntos, ejercicios, página 8 de 10

9 riterio de que un conjunto está contenido en el otro Teorema. Sean y conjuntos arbitrarios. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: (a) ; (b) = ; (c) = ; (d) \ =. La demostración se divide en los siguientes ejercicios. 13. Sean y conjuntos arbitrarios tales que. Demuestre que =. 14. Sean y conjuntos arbitrarios tales que. Demuestre que =. 15. Sean y conjuntos arbitrarios tales que. Demuestre que \ =. Operaciones con conjuntos, ejercicios, página 9 de 10

10 16. Sean y conjuntos arbitrarios tales que =. Demuestre que. 17. Sean y conjuntos arbitrarios tales que =. Demuestre que. 18. Sean y conjuntos arbitrarios tales que \ =. Demuestre que. Operaciones con conjuntos, ejercicios, página 10 de 10