Capítulo 1. Conjuntos Difusos

Transcripción

1 Capítulo. Conjuntos Dfusos.. Introduccón Cuando los computadores se enfrentan a la stuacón de tomar decsones, generalmente hacen preguntas que tenen respuestas del tpo sí o no. Por ejemplo:. La temperatura excede los 50 C?,. Es Juanto de menor estatura que Lucía?. Los seres humanos, en cambo, no razonan en forma tan precsa. La maor parte del razonamento humano tene que ver con categorías que se matzan, como por ejemplo:. Es pelgroso manejar en un camno resbaladzo,. Un crcuto complejo debe ser dseñado para alta segurdad (es decr, bajísmo índce de fallas). Las personas son capaces de tomar decsones basadas en nformacón mprecsa, no numérca. Los conjuntos dfusos proveen una herramenta para representar esta nformacón, poder así tambén construr un sstema de auda para la toma de decsones. Los conjuntos dfusos son un concepto que puede acercar el razonamento computaconal al que usan las personas. M. M. Gupta [] propone que las ncertezas se pueden clasfcar de dferentes formas; por ejemplo se pueden formar dos amplas categorías, que podemos dentfcar como I e I. Las ncertezas de tpo I serían las que surgen del comportamento aleatoro de los sstemas físcos. Exsten múltples ejemplos de este tpo de ncerteza, por ejemplo, las vbracones aleatoras de una máquna, las fluctuacones de un electrón en un campo magnétco, la dfusón de los gases en un campo térmco, actvdades aleatoras de los patrones del clma, etc. Este tpo de ncerteza ha sdo bastamente estudado, exste una extensa teoría estadístca para caracterzar este tpo de fenómeno aleatoro. quí se utlzan cálculos como la meda la varanza. La ncerteza de tpo I, a dferenca de la I, es aquella que surge de procesos humanos, como ser la sensacón, la percepcón, la experenca cognosctva, el razonamento el pensamento. La percepcón que logramos de nuestro entorno físco a través de nuestros sensores naturales (ojos, oídos, narz, etc.) contene ncertezas que no pueden ser caracterzadas usando estadístca. Este tpo de ncerteza no ha sdo tradconalmente estudada en forma sstemátca. La gnoranca en esta matera, su potencal en aplcacones tecnológcas en sstemas artfcales, hace que sea un tópco con mérto de ser nvestgado, es aquí donde tene cabda la teoría de conjuntos dfusos. La teoría de conjuntos dfusos fue enuncada por prmera vez por Lotf Zadeh en 965 []. Señaló que en muchos casos las clases de objetos que se encuentran en el mundo físco real no tenen crteros de membresía precsamente defndos. Postuló entonces los Conjuntos Dfusos, como clases de objetos con grados de pertenenca contnuos. Mentras que en un conjunto tradconal, por ejemplo el conjunto de todos los números maores o guales

2 que 5, los límtes son abruptos, mentras que la transcón entre ser no ser membro es gradual en un conjunto dfuso. Lo anteror se muestra en la Fgura.. S el grado de membresía se defne en forma bnara en un conjunto tradconal (s no es membro = 0, s es membro = ), en un conjunto dfuso se especfca por un número real entre (membro total) a 0 (no-membro total). Fgura.. Funcón de membresía de un conjunto tradconal, que representa los números naturales maores o guales que 5. Exploraremos los conjuntos dfusos, sus campos de aplcacón más extenddos: los sstemas de control dfusos los sstemas expertos basados en conjuntos dfusos. En aplcacones de control ndustral exste más de un enfoque para aplcar conjuntos dfusos, que podríamos separar en dos grupos: a) quellas que nacen del postulado que operadores humanos son capaces de efectuar en muchos casos un control más efectvo que los controladores automátcos "tradconales" porque son capaces de tomar decsones correctas basándose en nformacón lngüístca mprecsa (tpo Mamdan). b) quellas que dervan del control o modelacón con múltples modelos, en que la combnacón de estos se hace en forma dfusa (tpo Takag- Sugeno). En este curso nos centraremos en las aplcacones del prmer grupo. Un sstema experto reúne tradconalmente los conocmentos de expertos humanos en un área específca; este conocmento está representado en forma más precsa, por lo tanto el sstema es más poderoso, s permte nclur grados de certeza en las relacones afrmacones que contene, que en general son nherentes a ese conocmento. De acuerdo a J. M. Mendel [], los sstemas que utlzan lógca dfusa son úncos en el sentdo que son capaces de manejar smultáneamente datos numércos conocmento lngüístco en una forma matemátca unfcada. Los desarrollos actuales de sstemas basados en conjuntos dfusos ncorporan elementos adconales, como son: la capacdad de aprender de los datos recoplados, combnacones de elementos de lógca dfusa redes neuronales, etc.

3 .. Conjuntos Dfusos Un conjunto es una coleccón de objetos. Puede ser defndo enumerando a sus membros, o descrbendo las característcas dstntvas que cumplen todos sus elementos. En un conjunto "tradconal", un elemento pertenece a un conjunto dado o ben no pertenece. En cambo, un conjunto dfuso permte valores ntermedos de pertenenca. Los conjuntos dfusos permten formalzar expresones lngüístcas que típcamente contenen algún grado de ambgüedad, es decr, proveen un método para expresar matemátcamente conceptos tales como "alto", "frío", "rápdo", etc., que son bastamente usados, pero que por esenca no son precsos. Incluso conceptos netamente ngenerles que tenen una defncón numérca precsa son usados muchas veces como crteros que se acercan más a un número dfuso. Por ejemplo, la correlacón de dos señales, o dos funcones, puede ser normalzada para que su rango esté entre 0. sí, al explcar el valor de correlacón a otra persona, es usual utlzar expresones como "estos datos tenen una baja correlacón", por ejemplo 0,, o una "alta" correlacón, por ejemplo 0,88. Otro ejemplo es la amortguacón de un sstema mecánco. Se habla de sstemas más o menos amortguados, dándole un sentdo a la nocón de "la razón de amortguacón efectva del sstema es de 0,5" como "el sstema es levemente amortguado. En conjuntos dfusos, la ambgüedad exstente en expresones lngüístcas se expresa en el concepto de grado de membresía. En un conjunto dfuso se generalza el concepto de membresía, permtendo grados de pertenenca. La funcón de pertenenca ( a) de un conjunto dfuso es una funcón con recorrdo en el segmento [0, ] de los números reales: ( a) : U R [ 0,] Un ejemplo de un conjunto dfuso es el sguente: sea U el conjunto de todos los valores de edad humana posbles (por ejemplo entre 0 0 años), el conjunto de los que llamamos años de la juventud, como un concepto ntermedo entre los conceptos de nfanca adultez joven. sí podríamos afrmar que la edad de años representa a los años de la juventud, años es más cercano al concepto de nfanca, 0 años es más ben adultez joven. sí, una posbldad de traducr representar el conjunto se muestra en la Fgura.; su funcón de membresía toma valores entre 0 de acuerdo al elemento de que se evalúe.

4 Fgura.. Funcón de membresía de un conjunto dfuso que representa los años de la juventud. Es mportante menconar que, generalmente al grafcar la relacón que exste entre las varables reales sus valores de membresía, estos últmos se utlcen en la abscsa los prmeros en la ordenada. Se suele utlzar valores de membresía en el ntervalo [0,] para tener un rango normalzado, pero no es una oblgacón. Los conjuntos dfusos permten manejar la mprecsón, lo que faclta, por ejemplo: la posbldad de reconocer semejanzas entre objetos no estrctamente guales, la traduccón de pensamento humano a operacones de computadores dgtales, en otras palabras, transferr al computador el sentdo común. Con conjuntos dfusos se pueden traducr valores lngüístcos a un programa computaconal. Estas traduccones son partcularmente mportantes tanto en controladores de procesos como en sstemas expertos, en que es necesaro programar nstruccones que son báscamente reglas práctcas (nglés: rules of thumb ). Medante lógca dfusa es posble nterpretar en forma matemátca temas tan complejos como, por ejemplo, s el aumento del desempleo es grande, el aumento de las quebras es grande, aunque el producto geográfco bruto haa caído levemente, es claramente demostrable que ha recesón. Báscamente, el grado de membresía es subjetvo. Es un asunto de defncón más que de medcón. Los humanos poseen una gran habldad para asgnar grados de membresía a objetos determnados, sn un entendmento conscente de cómo llegamos a ese valor. Por ejemplo, un alumno en un curso no tendrá maor dfcultad para asgnarle al profesor un grado de membresía en el conjunto dfuso de los buenos profesores. Los últmos desarrollos en conjuntos dfusos han hecho dversos ntentos para fjar el grado de membresía basándose en crteros más raconales, por ejemplo, nterpretándolo como una medda de consenso. Sn embargo, esta defncón no evta la subjetvdad, a que se trata de un consenso entre observadores, no una cualdad nherente al objeto. Otra característca, que aporta a su subjetvdad, es que dependerá del contexto. 4

5 .. Teoría de Conjuntos Dfusos v/s Teoría de Probabldades En probabldades, un evento F es un subconjuto (ordnaro) de un espaco de muestreo U. Por ejemplo, al trar un dado, el espaco de muestreo U es el conjunto de números naturales, un evento como E dado por U = {,,, 4, 5, 6} E = {x/x es natural menor que 4} = {,, } E es un subconjunto ordnaro de U. El evento ocurre s al menos uno de los elementos del subconjunto ocurre (es decr, o ). La probabldad condconal, P(E/E ), defne la probabldad de un evento E dado que E ha ocurrdo. Por ejemplo, tomando el msmo unverso U el evento E defndo anterormente vene dada por la sguente expresón P(E/)=. Supongamos ahora que E no es un subconjunto ordnaro, sno ξ, un subconjunto dfuso. Por ejemplo, sea ξ = un número grande su funcón de pertenenca se puede defnr como: ( ) 0,7 0,5 0, ξ = u = grande Cuál es la probabldad de trar un número grande? P ( ξ ) = P ( u ) grande ( u ) = ( + 0,7 + 0,5 + 0, ) = 0,4 6, en donde es la probabldad de cada u. 6 Otro tpo de probabldad es la llamada probabldad subjetva, que no tene una nterpretacón frecuentsta sno que se descrbe por el grado de confanza subjetva de que un evento va a ocurrr. Para descrbr estos eventos se les pde certas propedades, entre ellas la clardad, que dce que cada proposcón a la que se le asoca una medda de probabldad debe poder clasfcarse en térmnos de verdadera o falsa. Zadeh en [4], señala que un conjunto dfuso nduce una dstrbucón posblístca en el unverso. Por ejemplo, el conjunto dfuso número grande del ejemplo anteror nduce una dstrbucón posblístca: Es mposble que ó sean números grandes. Es 0, posble que sea un número grande. Es 0,5 posble que 4 sea un número grande. Es 0,7 posble que 5 sea un número grande. Es posble que 6 sea un número grande. Podemos observar mportantes dferencas entre las dstrbucones probablístcas posblístcas. Por un lado, la suma de las posbldades en general no es uno, por otro lado, no depende de la frecuenca de ocurrenca de los hechos. No es una descrpcón de poblacones, sno de ndvduos. Un hecho puede tener posbldad =, probabldad mu baja. Sn embargo, un evento debe ser posble 5

6 para que pueda ser probable. Un ejemplo clásco es que es perfectamente posble que una persona se coma 5 huevos al desauno (por ejemplo, posbldad=), pero es poco probable (por ejemplo, probabldad=0,). Tambén srva como lustracón las dos categorías de ncertezas (I e I ) descrtas anterormente (capítulo.). El grado de membresía no es una probabldad, pero en ocasones se utlza la probabldad para establecer una medda de pertenenca. El grado de membresía puede ser defndo como la medda de compatbldad de un objeto con el concepto representado por un conjunto dfuso, en otras palabras, hacendo un análogo con el concepto de elastcdad, el grado de membresía se relacona nversamente con cuánto debe extenderse el conjunto dfuso para contener al objeto. Por ejemplo, s Carlos tene 50 años se dce que su grado de pertenenca al conjunto de los jóvenes es de 0,, esto quere decr que 0, es la compatbldad de Carlos con la defncón del conjunto dfuso de los jóvenes, NO es la probabldad de Carlos de ser joven. La teoría de los conjuntos dfusos no ha estado exenta de controversa, la cual tene varas facetas. Por ejemplo, exsten nvestgadores que descartan los conjuntos dfusos, afrmando que las mprecsones o ncertezas pueden ser manejadas en cualquer caso por probabldades. Por otra parte, la cultura de tradcón de respeto por lo rguroso precso, genera que se mre con sospecha desdén una teoría que pretende lograr una acomodacón con la mprecsón de que está mpregnada en la vda real..4. Notacón S consderamos un conjunto F con una funcón de pertenenca F ( ), dcha funcón de pertenenca : U [ 0,] puede expresarse como un par ordenado F ( u; ( u) ) reales F se defne como el conjunto de los números cercanos a 6, F ( ) F. Por ejemplo, s el conjunto unverso U es el conjunto de los números puede defnrse de la sguente forma: F ( x) =, + 6 ( x 6) la descrpcón de la funcón de membresía de algunos de sus elementos es: (5,5; 0,8), (6; ), (00; 0,000) Otra notacón que se utlza es F (u)/u. En ese caso, se usa el sgno + para enumerar. sí, la lsta anteror se descrbe así: 0,8/5,5 + /6 + 0,000/00 Todo unverso dscreto U permte la notacón: F = u U F ( u) Por otro lado, s U es un unverso contnuo, la notacón sería la sguente: F = U F ( u) u u

7 Por otro lado, + satsface que a + b = u u max( a,b) u, es decr, s un msmo elemento tene dos grados de pertenenca, su pertenenca será el grado maor..5. Propedades De Los Conjuntos Dfusos Convexdad: l gual que en la teoría de conjuntos tradconal, a los conjuntos dfusos se les asocan certas propedades. Los conjuntos dfusos que generalmente se utlzan en aplcacones práctcas son convexos, es decr, a,b U; λ [ 0,] : ( λa + ( λ) b) mn( ( a), ( b) ) Exsten muchas formas de construr un conjunto dfuso convexo, como por ejemplo los que se ven en las Fguras.4.5. Para aplcacones de control en tempo real se han preferdo funcones sencllas, o computaconalmente más rápdas. Ejemplos al caso son las funcones trangulares trapezodales, que podemos ver en la Fgura.7, en tanto que en la Fgura.6 se ve un ejemplo de conjunto no-convexo. ( b) ( a) a b λ a + ( λ)b Fgura.4. Ejemplo de Conjunto Convexo. ( a) ( b) λa + ( λ)b a Fgura.5. Conjunto Convexo. 7

8 ( a) ( b) a λa + ( λ)b Fgura.6. Conjunto No Convexo baja alta 0 0,5 0,5 0,6 0,85 Fgura.7. Ejemplos de conjuntos dfusos "baja" "alta" utlzando funcones convexas de tpo trapezodal. Núcleo soporte: En los conjuntos dfusos se dstnguen el núcleo, que es el conjunto de elementos que pertenecen completamente al conjunto (es decr, el rango en que la funcón de pertenenca normalzada vale ), el soporte, que es el conjunto de elementos con grado de pertenenca no nulo. Tomando como ejemplo los conjuntos dfusos "alta" o "baja" defndos en la Fgura.7., se puede observar que ambos conjuntos dfusos se defneron como funcones trapezodales. Para "alta", el núcleo es el rango normalzado [0,85;,00], el soporte es [0,6;,0]. De la fgura se pueden obtener tambén los valores correspondentes al conjunto dfuso "baja". Cuantfcadores Dfusos: Otra propedad de los conjuntos dfusos es que permten el uso de cuantfcadores dfusos. Por ejemplo, s he defndo el conjunto alto, puedo utlzar el cuantfcador dfuso mu, con lo cual confero al nuevo conjunto mu alto un sentdo dferente. S consderamos, por ejemplo, que en el conjunto alto la magntud de metros tene asocada un valor de membresía cercano a, en el conjunto mu alto, la membresía de dcho valor debe ser menor. Relacones matemátcas mu rgurosas defnen la relacón entre estas magntudes. 8

9 Sea un conjunto dfuso, ( a) su funcón de membresía ( ) c un cuantfcador que aumente la exgenca de los elementos del conjunto para cumplr con el sentdo de la varable, como son los cuantfcadores mu, demasado, c puede defnrse así: extremadamente. Luego, ( ) ( ( a) ) = n ( a) c con n > S c( ) ahora es un cuantfcador dfuso que dsmnue la exgenca de los elementos de para cumplr con el sentdo de la varable, como lo hacen los cuantfcadores menos, escasamente, entonces c( ) se puede defnr de la sguente manera: ( ( a) ) = ( ( a) ) n c con n > Un ejemplo de cómo operan los cuantfcadores puede observarse en la Fgura.8. menos mu vejo edad Fgura.8. Cuantfcadores dfusos mu menos para el conjunto vejo Pueden defnrse relacones matemátcas rgurosas para establecer relacones entre conjuntos dfusos. Por ejemplo, a partr de los conjuntos vejo joven se construen los conjuntos mu joven, o más o menos vejo, aplcando relacones cuadrátcas. La negacón tambén se muestra, en el conjunto no mu joven. Es posble tambén utlzar cuantfcadores dfusos, como se muestra en el ejemplo de la Fgura.8 para el concepto vejo. Luego se defnen los cuantfcadores en forma matemátca rgurosa, se construen otros conjuntos. Incluso, en certas aplcacones es útl representar el grado de membresía como un conjunto dfuso, por ejemplo, es cercano a 0,8 o aproxmadamente 0,6, o como bastante alto, etc. Un conjunto dfuso cua funcón de membresía utlza valores dfusos se dce que es ultradfuso. Podemos observar un ejemplo de esto en la Fgura.9, en donde el térmno generalmente se encuentra defndo como conjunto dfuso ultradfuso. Es el segundo caso, se ve que mentras maor es la proporcón, más se aplca el térmno generalmente. 9

10 Dfuso Ultradfuso Fgura.9. En el gráfco de la zquerda se muestra un conjunto dfuso en el de la derecha uno ultradfuso. Cardnaldad: Formalmente se defne la cardnaldad escalar de un conjunto en U como: = x U Se defne la cardnaldad dfusa, que es un número dfuso. Por últmo, se utlza la expresón para ndcar que se están recorrendo todos los elementos de un conjunto. ( x) Medda de Dfusdad: Exstrán conjuntos más o menos dfusos, o dcho de otra forma, conjuntos más o menos defndos. Esta propedad permte establecer una medda de la dfusdad (en nglés: fuzzness ). En general esta medda dependerá de la aplcacón de que se trate. Un conjunto será un conjunto menos defndo que * s cumple las sguentes condcones: - ( x) ( x) / ( x) * x - ( x) ( x) / ( x) * x Dcha relacón se puede observar de mejor manera en la Fgura.0. * Fgura.0. Ejemplo de un conjunto * más defndo que otro conjunto. 0

11 Una medda de dfusdad en forma matemátca es un mapeo d que satsface las condcones sguentes: ) ( ) = 0 d es un conjunto ordnaro de U. ) d( ) es máxmo ( x) * 4) d( ) d( ) 5) ( ) d( ), en que = x U * es cualquer versón más defnda de. d =, es decr, es tan dfuso como. S U es fnto, Lob propuso una formulacón general para d:, en que: + c R, f es una funcón real tal que: d - ( ) ( ) = φ f 0 = f = = U ( ) F c f ( ( x )) - f ( u) = f ( u) u [ 0,] - f es estrctamente crecente en [ 0, ] lgunos casos partculares de nterés son los sguentes: - Índce de Dfusdad [Kaufmann, 75]: f = s [ 0, ] Sea F la dentdad, se defne,,c = ( u) u d es la dstanca entre el subconjunto ordnaro de U más cercano a, es decr:, en que d U ( ) = ( x ) ( x ) = es el corte de. - Entropía: u. Entonces ( ) Una posble defncón de entropía no probablístca queda dada por las sguentes condcones que deben cumplr las componentes del índce de dfusdad: o F queda defnda como F ( u) = k u, k > 0 o c =, o ( u) u ln( u) ( u) ln( u), f = (funcón de Shannon)

12 .6. Operacones en Conjuntos Dfusos La operacón de nterseccón de conjuntos dfusos, así como las demás operacones dfusas son una generalzacón de las operacones homónmas en la teoría clásca de conjuntos. La nterseccón se representa por una clase de funcones bnaras llamadas normas trangulares o normas T. Sean los conjuntos dfusos, B C, defndos en el unverso U, sus respectvas funcones de membresía ( ), B ( ), C ( ). Sean a, b c valores de estas funcones evaluadas en un elemento cualquera del unverso U. Una norma T es una funcón que cumple las sguentes propedades: ) N ( a,b) N ( b,a) T = T ; ) N ( N ( a,b),c) N ( a, N ( b,c) ) T T = T T ; ) s a c N ( a, b) N ( c, b) 4) N T ( a,) = a ; T T Las normas T más usadas en aplcacones de ngenería son las funcones mn producto algebraco. De manera análoga, la operacón de unón de conjuntos para conjuntos dfusos puede ser representada por una clase de funcones bnaras llamadas conormas trangulares o conormas T o normas S. Una conorma T tene las sguentes propedades: ) N ( a, b) N ( b, a) S = S ; ) N ( N ( a, b), c) N ( a, N ( b, c) ) S S = S S ; ) s a c N ( a, b) N ( c, b) 4) N T ( a,0) = a ; S S Nótese que las prmeras son déntcas a las prmeras propedades con que se defnen las normas T. La maoría de las aplcacones práctcas utlzan la funcón max como conorma T. La tercera operacón (sguendo tambén a la teoría clásca de conjuntos) es el complemento, que en el ámbto dfuso se defne con las sguentes propedades: ) N C ( 0) = ; ) s ( a b) N ( a) N ( b) ) N C (N C (a)) = a; ; C La operacón complemento de uno o uno menos ( ( ) complemento más dfundda en aplcacones práctcas. C N a = a ) es la funcón Del análss de las normas T resulta que la funcón mn es la que arroja los valores más altos de la clase, en tanto que max es la que obtene los valores más bajos de entre las conormas T. Ejemplos de normas, conormas complementos utlzados en operacones con conjuntos dfusos se encuentran en la Tabla.. C

13 Tabla.. Normas, conormas complementos utlzados en operacones con conjuntos dfusos. N T N S N C mn(a,b) max(a,b) -a a*b max(a+b-, 0) a, s b= b, s a= 0, s no a+b-a*b mn(a+b,) a, s b=0 b, s a=0, s no Podemos ver ejemplos de conjuntos resultantes de aplcar normas T, normas S complemento en las Fguras.,.., respectvamente. w x z w x z B w x z mn (,B) Fgura.. Ejemplo de Norma T, mn(,b). w x z w x z B Fgura.. Ejemplo de Norma S, max(,b). w x z max (,B) w x z w x z N c () Fgura.. Ejemplo de Complemento, funcón Complemento de.

14 Veamos otro ejemplo: sean los conjuntos { x, x, } x Y = 4. Sean R S dos relacones dfusas defndas en X Y de la sguente forma: X = e {,,, } R = x es bastante maor que 4 x 0,8,0 0, 0,7 x x 0,9,0 0,7 0,8 S = está mu cerca de x 4 x 0,4 0 0,9 0,6 x 0, ,5 0,7 x 0, 0 0,8 0,5 Dadas estas relacones, defnmos las sguentes operacones: Interseccón de R S: Unon de R S: ( x, ) X Y : ( x, ) = N ( ( x, ), ( x, ) ) R S T R S ( x, ) X Y : ( x, ) = N ( ( x, ), ( x, ) ) R S S R S S consderamos como norma T la funcón mínmo, como norma S la funcón máxmo, los resultados serían los sguentes: R S : x bastante maor que, tambén mu cerca de x 4 x 0,4 0 0, 0,6 x 0 0,4 0 0 x 0, 0 0,7 0,5 4

15 R S : x bastante maor que, o mu cerca de x 4 x 0,8,0 0,9 0,7 x 0,9 0,8 0,5 0,7 x 0,9,0 0,8 0,8 Una operacón bastante usada para realzar las operacones menconadas entre conjuntos dfusos, es la Extensón Clíndrca. Esta operacón se utlza para poder generar una conjunto de valores de membresía entre dos conjuntos de x e, en que sólo se conoce los valores de membresía entre un valor de un conjunto (por ejemplo x) todos los componentes del otro conjunto (ej. ). Utlzando la nformacón menconada, esta operacón consste en copar dchos valores en el resto de los componentes del conjunto x, de tal manera que todos los componentes del conjunto x posean el msmo valor de membresía haca un msmo componente del conjunto. REFERENCIS [] M.M.Gupta, "Cognton, Percepton and Uncertant", Fuzz Logc n Knowledge-Based Sstems, Decson and Control (M.M.Gupta, T.Yamakawa, eds.), North-Holland, Elsever Scence Publshers B.V., msterdam, The Netherlands, 988. [] L..Zadeh, "Fuzz Sets", Informaton and Control, vol.8, pp 8-5, 965. [] J.M.Mendel, "Fuzz Logc Sstems for Engneerng: Tutoral", Proceedngs of the IEEE, vol.8, pp.45-77, Marzo 995. [4] L..Zadeh Fuzz Sets as a Bass for a Theor of Posblt, Fuzz Sets and Sstems, vol., pp -8,