Teoría de la Medida e Integración. Carlos Martínez Yáñez

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1 Teoría de la Medida e Integración Carlos Martínez Yáñez Marzo 2002

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3 Índice general 1. lementos Previos lementos y Subconjuntos Uniones Disjuntas Cardinalidad spacios Métricos y Topológicos Convergencia y Completitud spacios Normados Continuidad Compacidad Clases de Conjuntos Algebras Sigma-Algebras Algebras y -álgebras generadas Colecciones Monótonas Medida Funciones de Conjuntos Medidas Medidas xteriores Construcción de Medidas xteriores Medidas Inducidas por Medidas xteriores xtensión de Medidas l Teorema de Carathéodory Completación de Medidas La Medida de Lebesgue Un conjunto que no es Lebesgue Medible La Medida de Lebesgue-Stieltjes Integración Funciones medibles Funciones Simples Integración de Funciones Positivas l Teorema de la Convergencia Monótona de Lebesgue l Lema de Fatou l Teorema de la Convergencia Dominada de Lebesgue Comparación con la integral de Riemann

4 4 ÍNDIC GNRAL 6. Los spacios L p Funciones Convexas La Desigualdad de Jensen Las Desigualdades de Hölder y Minkowki Los spacios L p Medidas Signadas La Descomposición de Hahn La Descomposición de Jordan Continuidad Absoluta l Teorema de Radon-Nikodym l Teorema de la Descomposición de Lebesgue Integración en spacios Producto Medidas Producto l Teorema de Fubini l caso Real l Teorema Fundamental del Cálculo Funciones de Variación Acotada Diferenciabilidad Continuidad Absoluta l Teorema Fundamental Respuestas Capítulo 1, página Capítulo 2, página Capítulo 3, página Capítulo 4, página Capítulo 5, página Capítulo 6, página Capítulo 7, página Capítulo 8, página

5 ÍNDIC GNRAL 5 Prefacio l objetivo de estos apuntes es, por un lado entregar al estudiante que se enfrenta por primera vez con la teoría de la medida y la integración un texto enteramente escrito en español y por otro lado ofrecer a este estudiante un real apoyo a través de una gran cantidad de problemas propuestos en cada capítulo y con indicaciones de su resolución al nal del texto. Desde mi modesto punto de vista, estos dos objetivos son totalmente válidos: actualmente existe en circulación una gran cantidad de textos, de muy buen nivel en el tema, pero escritos en otros idiomas. No hago juicios sobre si se debe conocer otros idiomas, pero en todo caso, espero contribuír al desarrollo matemático de aquellos estudiantes que no los dominan. Por otro lado, es un hecho indiscutible que la mayoría de estos buenos textos viene con una gran variedad de problemas propuestos, pero desgraciadamente, en su gran mayoría sin indicaciones de como enfrentarlos. s claro que es discutible el valor formativo que las indicaciones de como resolver un problema pueda ejercer sobre un estudiante de matemática, especialmente si este estudiante tiene como proyecto de vida la investigación, sin embargo no es menos cierto que el no poder resolver un problema propuesto puede llevar al desaliento y a la frustración y nalmente la poca habilidad adquirida en la solución de problemas rinda pocos bene cios en términos de la capacidad del futuro investigador para usar las herramientas matemáticas de las que dispone. s un hecho bien conocido que el resolver problemas, incluso aquellos con indicaciones, profundizan la comprensión de teoremas y valorizan la real potencia de los variados métodos y enfoques para analizar metodológicamente un problema. Para ser consecuente con lo anterior, sólo me resta esperar que los problemas sean trabajados a conciencia, dedicándoles un tiempo prudente y haciendo un genuino esfuerzo personal para su resolución y sólo en caso necesario, recurrir a las indicaciones al nal del texto. n cualquier caso desde ya agradezco toda crítica, tanto al texto como a las soluciones propuestas a los problemas planteados. Por último me gustaría agradecer el apoyo recibido por parte de las autoridades del Instituto de Matemática de la UCV para realizar la tercera edición de este trabajo. Dr. Carlos Martínez Yáñez Valparaíso, marzo de 2007.

6 6 ÍNDIC GNRAL

7 Capítulo 1 LMNTOS PRVIOS n este capítulo presentaremos aquellos resultados básicos que necesitaremos para desarrollar la teoría de la medida y la integración. La mayoría de los resultados los presentaremos sin demostraciones por cuanto ellas pueden encontrarse, con gran detalle y explicaciones en la literatura clásica lementos y Subconjuntos Sea un conjunto no vacío arbitrario, denotaremos por P() la familia de todos los subconjuntos de. Por ejemplo, si = f1; 2; 3g, entonces P()= f; f1g ; f2g ; f3g ; f1; 2g ; f1; 3g ; f2; 3g ; f1; 2; 3gg : n estos apuntes supondremos siempre que 6=. Una colección o familia C de subconjuntos de P() es simplemente un subconjunto de P(). Por ejemplo si = f1; 2; 3g, entonces C = f; f1g ; f3g ; f1; 3g ; f2; 3gg es una tal colección. Para simpli car notación y lenguaje en algunas ocasiones diremos, por ejemplo, la colección ; f1g ; f3g ; f1; 3g ; f2; 3g para referirnos a la colección C. Debemos prestar especial atención a la naturaleza de los objetos involucrados cuando se trabaja con familias de conjuntos. jemplos típicos de expresiones erróneas son las siguientes: Incorrecto: f1g es un subconjunto de C. Correcto:f1g es un elemento de C. Incorrecto: 1 2 C. xpresiones correctas: 1 2 ; f1g 2 C; f1g ; ff1gg C: Incorrecto: 2. xpresiones correctas: ; C; 2 C. Otro ejemplo típico de expresión incorrecta es a rmar que si C = fg entonces C es vacío. n realidad esta familia no es vacía puesto que contiene un elemento: el elemento. A menos que se diga lo contrario, cada vez que tengamos una familia C, se supondrá que esta familia es no vacía y está formada por subconjuntos de. sto es 6= C P(). Denotaremos por T C a la intersección de todos los conjuntos pertenecientes a C, esto es: \ \ C = F Análogamente usaremos la notación S C para denotar la unión de todos los conjuntos pertenecientes a C. Usaremos la notación (A n ) 1 (o simplemente (A n)) para representar una sucesión de conjuntos (secuencia ordenada por los números naturales) y la notación fa n g 1 (o simplemente fa n g) para representar el recorrido de la sucesión. F 2C

8 8 lementos Previos De nición 1 Se dice que la sucesión (A n ) 1 es monótona creciente si para todo n 1 S se tiene A n A n+1. sta situación la denotaremos por A n " A en donde A = 1 A n. Análogamente diremos que la sucesión (A n ) 1 es monótona decreciente si para todo n 1 se tiene A n A n+1 y denotaremos esta situación por el símbolo A n # A en T donde A = 1 A n. Diremos que la sucesión (A n ) 1 es monótona si es monótona creciente o monótona decreciente. De nición 2 Sea (A n ) 1 una sucesión de subconjuntos de, entonces los conjuntos lm sup A n y lm inf A n se denominan respectivamente límite superior y límite inferior de la sucesión y están de nidos por las siguientes identidades: lm sup A n = lm inf A n = 1\ 1[ i=n 1[ 1\ i=n A i A i Si lm sup A n = lm inf A n, diremos que la sucesión (A n ) tiene límite y escribiremos: lm A n = lm sup A n = lm inf A n: s fácil demostrar (ver Problema 3) que toda sucesión monótona tiene límite Uniones Disjuntas Suponga que fc i g es una colección arbitraria de subconjuntos de. Se dice que la colección es disjunta si C i \ C j = para todo i 6= j. Note que esta condición es más fuerte que simplemente pedir T C i =. Por ejemplo, la colección C 1 = f1; 2g; C 2 = f2; 3g; C 3 = f1; 3g tiene intersección vacía, pero no es una colección disjunta de conjuntos. Si A y B son dos conjuntos disjuntos, su unión, como siempre, se denota por A [ B. Sin embargo esta notación no indica, por si sola que los conjuntos son disjuntos. Para poner de mani esto esta propiedad de los conjuntos A y B; se acostumbra emplear otras notaciones, como por ejemplo colocar un punto sobre el signo de unión: A [ B. Nosotros no usaremos esta notación, preferiremos la notación A+B. Análogamente usaremos la notación: P C i para uniones de colecciones disjuntas. n estos casos hablaremos de uniones de conjuntos disjuntos, de uniones disjuntas o simplemente de suma de conjuntos Cardinalidad Se dice que dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad si existe una función ' : A! B biyectiva. n este caso escribiremos que jaj = jbj. s fácil ver que la relación de cardinalidad es una relación de equivalencia en la categoría de todos los conjuntos y en consecuencia podemos de nir el número cardinal o cardinalidad de A como la clase de equivalencia de A. Todo conjunto A que tenga la misma cardinalidad que I n = f1; 2; : : : ; ng N para algún n 2 N se dirá que tiene cardinalidad nita n o que es un conjunto nito con n elementos, en caso contrario diremos que A es in nito o que tiene cardinalidad in nita. Denotaremos 0 la cardinalidad de N.

9 Cardinalidad 9 Diremos que A es numerable si tiene la misma cardinalidad que N. Diremos que el conjunto A es contable si es nito o numerable. De nición 3 Sean A y B dos subconjuntos de. scribiremos jaj jbj si existe ' : A! B inyectiva. Por otro lado escribiremos que jaj < jbj si y sólo si jaj jbj pero no existe función ' : A! B biyectiva. Proposición 4 Si A es un conjunto, entonces jaj < jp(a)j. Demostración. La aplicación ' : A! P(A) dada por '(a) = fag es una función inyectiva. Supongamos ahora que existe una función biyectiva f : A! P(A). De namos B = fa 2 A : a =2 f(a)g. Como B 2 P(A) y f es epiyectiva, se deduce que debe existir b 2 A tal que f(b) = B. Pero esta última observación nos lleva a una contradicción puesto que ahora es fácil deducir que b 2 B y b =2 B. sto concluye la demostración. jemplo 5 s posible demostrar que jp(n)j = jrj, por lo tanto de acuerdo a la proposición anterior se tiene: jnj 0 < c = jrj : La cardinalidad de R se conoce como la cardinalidad del continuum y se denota por c. La Hipótesis del Continuum postula que no existe número cardinal tal 0 < < c. Se ha demostrado que esta hipótesis es independiente del Axioma de lección y los otros axiomas básicos de la teoría de conjuntos (ver Bibliografía, P.J. Cohen). Proposición 6 Si A es in nito y F(A) es la familia de todos los subconjuntos nitos de A, entonces jaj = jf(a)j. Demostración. Vea Corolario 8.13 de Thomas Hungerford. De nición 7 Sean y dos números cardinales. La suma + se de ne como el número cardinal ja + Bj en donde A y B son dos conjuntos disjuntos tales que jaj = y jbj =. l producto se de ne como el número cardinal ja Bj. Teorema 8 Sean y dos números cardinales tales que 1 y supongamos que es in nito. ntonces = ; en 0 = y si es nito, 0 0. Demostración. Ver Teorema 8.11 de Thomas Hungerford. Corolario 9 Las cardinalidades de R; C y R n para cualquier n 2 N son iguales. Demostración. Como jcj = jr Rj, se deduce que jcj = c 2 = c = jrj. Análogamente jr n j = c n = c = jrj. Corolario 10 La unión contable de conjuntos contables es contable. Demostración. Basta suponer que se tiene una unión disjunta de conjuntos numerables. P Sea A = 1 A n en donde A n es numerable. ntonces ja n j = jfng Nj. Luego jaj = 1P (fng N) = jn Nj = jnj : sto termina la demostración.

10 10 lementos Previos 1.4. spacios Métricos y Topológicos De nición 11 Sea X un conjunto no vacío. Una función d : X X! R se dice que es una métrica (o una distancia) en X si cumple con las siguientes propiedades: d(x; y) 0 y d(x; y) = 0 () x = y d(x; y) = d(y; x) d(x; y) d(x; z) + d(z; y) De nida positiva. Simetría. Desigualdad triangular. l par ordenado (X; d) se conoce como espacio métrico. Cuando la métrica d esté clara del contexto, diremos simplemente el espacio métrico X. Si x 2 X y r > 0, entonces el conjunto B(x; r) = fy 2 X : d(y; x) < rg se conoce como la bola abierta de radio r centrada en x. Si X 0 es un subconjunto no vacío de X, entonces la restricción de la métrica d al espacio X 0 X 0 es obviamente una métrica en X 0. Al espacio métrico (X 0 ; d) se lo denomina subespacio de (X; d). De nición 12 Sea (X; d) un espacio métrico. ntonces: 1. G X se dice que es un conjunto abierto si para todo x 2 G, existe r > 0, tal que B(x; r) G. Si G es abierto y x 2 G, diremos que el conjunto abierto G es una vecindad de x. 2. F X se dirá que es cerrado si su complemento es abierto. 3. Si A X, denotaremos por A la clausura de A, esto es, el conjunto A = \ ff : F cerrado y A F g : Diremos que A es denso (en X) si A = X. Diremos que X es separable si existe un subconjunto A X denso y contable. 4. Si A X, denotaremos por A el interior de A, esto es, el conjunto A = [ fg : G abierto y G Ag : Los elementos de A se denominan puntos interiores de A. 5. Si A X, denotaremos por Fr(A) a la frontera de A, esto es: Fr(A) = A \ X 6. Si A X es un conjunto no vacío, denotaremos por diam(a) al diámetro de A, esto e: diam(a) = sup fd(x; y) : x; y 2 Ag. Diremos que A es acotado si diam(a) < 1. A

11 spacios Métricos y Topológicos 11 jemplo 13 n R de namos d(x; y) = jx yj. ntonces (R; d) es un espacio métrico. sta métrica se conoce como la métrica usual de R. Análogamente podemos de nir en C la métrica usual por d(z 1 ; z 2 ) = jz 1 z 2 j en donde z 1 ; z 2 son números complejos y jz 1 z 2 j es el módulo del número complejo z 1 z 2. Si en R n de nimos la distancia por np 1=2 d ((x i ) n i=1; (y i ) n i=1) = jx i y i j 2 ; i=1 entonces R n es un espacio métrico y la distancia d se conoce como su métrica usual. Sin otro aviso en contrario siempre se entenderá que R n está provista de su métrica usual. n el caso particular de R R su métrica usual está dada por Sea d((x 1 ; y 1 ); (x 2 ; y 2 )) = p (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 : A = f(1=n; 1=m) : m; n 2 Ng : ntonces 1) A = A [ f(0; 0)g [ f(0; 1=n) : n 2 Ng [ f(1=n; 0) : n 2 Ng : 2) A = 3) Fr(A) = A \ A c = A \ (R R) = A. 4) diam(a) = p 2: Proposición 14 Sea (X; d) un espacio métrico. ntonces la colección T formada por todos los conjuntos abiertos, satisface las siguientes propiedades: 1. ; X 2 T : 2. Si fg g es una colección arbitraria de abiertos, entonces S G es abierto. 3. Si G 1 ; G 2 ; : : : ; G n son n conjuntos abiertos, entonces nt G k es abierto. La Proposición 14 tiene, por razones obvias, su dual en el siguiente resultado: Proposición 15 Sea (X; d) un espacio métrico. ntonces la colección F formada por todos los conjuntos cerrados, satisface las siguientes propiedades: 1. ; X 2 F: 2. Si ff g es una colección arbitraria de cerrados, entonces T F es cerrado. 3. Si F 1 ; F 2 ; : : : ; F n son n conjuntos cerrados, entonces ns F k es cerrado. De nición 16 Sea (X; d) un espacio métrico y A X. Un punto x 2 X se dice que es un punto de acumulación de A si toda bola abierta centrada en x contiene al menos un punto de A distinto de x. Proposición 17 Sea (X; d) un espacio métrico y F X. ntonces F es cerrado si y sólo si contiene a todos sus puntos de acumulación.

12 12 lementos Previos Toda colección de subconjuntos de un conjunto X que satisfaga las tres propiedades enumeradas en la Proposición 14, se conoce como topología. Así ese resultado nos dice que la colección T de todos los subconjuntos abiertos de un espacio métrico X es una topología para X. De nición 18 Sea X un conjunto arbitrario no vacío. Una colección T de subconjuntos de X es una topología para X si satisface las siguientes tres propiedades: 1. ; X 2 T 2. Si fg g es una colección arbitraria en T, entonces S G 2 T. 3. Si G 1 ; G 2 ; : : : ; G n son n conjuntos en T, entonces nt G k 2 T. n este caso diremos que el par (X; T ) es un espacio topológico y los conjuntos de T se conocerán como conjuntos abiertos. Sea X 0 X: s fácil veri car que la colección: T \ X 0 = fg \ X 0 : G 2 T g ; es una topología en X 0. n consecuencia el par (X 0 ; T \ X 0 ) es un espacio topológico. Diremos que (X 0 ; T \ X 0 ) es un subespacio topológico de (X; T ). Las de niciones de conjuntos cerrados, clausura, densidad, frontera, vecindad, interior, puntos interiores y separabilidad se entenderán extendidas a los espacios topológicos. De nición 19 Sea (X; T ) un espacio topológico. Una subcolección B de T se dice que es un base para la topología T si todo conjunto abierto es una unión de conjuntos en esta subcolección. Si B existe y es contable, entonces el espacio topológico X se dice que es un espacio segundo contable o que satisface el segundo axioma de contabilidad Convergencia y Completitud De nición 20 Sea (X; d) un espacio métrico y (x n ) una sucesión en X. Diremos que la sucesión (x n ) es convergente si existe un punto x 2 X tal que: (8 > 0) (9n 0 2 N) (8n 2 N) (n n 0 =) d(x n ; x) < ) : Si este es el caso, usaremos cualquiera de las siguientes notaciones: lm x n = x; lm x n = x; x n! x: Si lm x n = x diremos que x es el límite de la sucesión (x n ). Proposición 21 l límite de una sucesión convergente es único. De nición 22 Sea (X; d) un espacio métrico y (x n ) una sucesión en X. Diremos que la sucesión (x n ) es de Cauchy si: (8 > 0) (9n 0 2 N) (8n; m 2 N) (n; m n 0 =) d(x n ; x m ) < ) : Proposición 23 Sea (X; d) un espacio métrico. ntonces toda sucesión convergente es de Cauchy.

13 spacios Normados 13 De nición 24 Un espacio métrico (X; d) se dice que es un espacio métrico completo si toda sucesión de Cauchy en X converge a algún punto de X. jemplo 25 l espacio métrico (0; 1] con la métrica usual no es completo. n efecto, si tomamos la sucesión (1=n) 1 vemos que ella es de Cauchy pero no es convergente en (0; 1] pues el punto 0; que sería su único posible límite, no es un punto del espacio. Nota 26 s un hecho fundamental del análisis que R y C, así como en realidad todos los espacios R n ; son espacios métricos completos. Proposición 27 Sea (X; d) un espacio métrico completo y X. ntonces (; d) es completo si y sólo si es cerrado en X spacios Normados De nición 28 Un espacio normado es un espacio vectorial (escalares reales o complejos) X sobre el cual se ha de nido una función real x! kxk denominada norma, que tiene las siguientes propiedades: (a) kxk 0; y kxk = 0 si y sólo si x = 0. (b) kxk = jj kxk ; (c) kx + yk kxk + kyk : s fácil veri car que si X es un espacio normado entonces la función: d(x; y) = kx yk ; es una métrica en X. Diremos que el espacio normado X es un espacio de Banach si el espacio métrico (X; d) es completo. jemplo 29 Para 1 p < 1, de namos l p como el conjunto de todas las sucesiones de escalares (x n ) tales que P jx n j p < 1. Si en l p se de ne la suma de sucesiones y el producto por escalar de la manera usual, vale decir, por: (x n ) + (y n ) = (x n + y n ) (x n ) = (x n ) entonces es posible demostrar que l p es un espacio vectorial. Si además de nimos: k(x n )k p = ( P jx n j p ) 1=p es posible demostrar que l p es un espacio de Banach. stos espacios son un caso especial de los espacios L p que de niremos más adelante. jemplo 30 l espacio l 1 se de ne como el conjunto de todas las sucesiones acotadas de escalares. s fácil veri car que l 1 es un espacio vectorial con la suma y producto de nidos como en el ejemplo anterior. Además si se de ne: k(x n )k 1 = sup jx n j n1 es fácil veri car que l 1 también es un espacio de Banach. La correspondiente distancia es una caso especial de la distancia uniforme de nida en el espacio L 1 () que de niremos más adelante.

14 14 lementos Previos 1.7. Continuidad De nición 31 Sean (X; d 1 ) e (Y; d 2 ) dos espacios métricos y f : X! Y una función. Diremos que f es continua en x 0 2 X, si: (8 > 0) (9 = (; x 0 ) > 0) (8x 2 X) (d 1 (x; x 0 ) < =) d 2 (f(x); f(x 0 )) < ) : Diremos que f es continua en X si es continua en cada punto de X. Note que en general depende tanto de como de x 0. Proposición 32 Sean (X; d 1 ) e (Y; d 2 ) dos espacios métricos y f : X! Y una función. ntonces las siguientes propiedades son equivalentes: (1) f es continua en X. (2) x n! x =) f(x n )! f(x): (3) f 1 (G) es abierto en X para todo G abierto en Y: La clase de las funciones continuas es quizás la clase de funciones que más éxito ha tenido en todas las matemáticas, tanto por sus múltiples propiedades como por ser las funciones de elección cuando se trata de modelar algún fenómeno natural. Una subclase de estas funciones la constituye la clase de las uniformemente continuas: De nición 33 Sean (X; d 1 ) e (Y; d 2 ) dos espacios métricos y f : X! Y una función. Diremos que f es uniformemente continua en X si: (8 > 0) (9 = () > 0) (8x; y 2 X) (d 1 (x; y) < =) d 2 (f(x); f(y)) < ) : Note que a diferencia de la simple continuidad, la continuidad uniforme exige que haya un módulo de continuidad () uniforme para todos los elementos del dominio. La Proposición 32, que nos da una equivalencia de continuidad enteramente en base a las respectivas topologías de los espacios involucrados, nos permite generalizar la noción de continuidad al ámbito de los espacios topológicos: De nición 34 Sean (X; T 1 ) e (Y; T 2 ) dos espacios topológicos y f : X! Y una función. Diremos que la función es continua en X si f 1 (G) 2 T 1 para todo G 2 T 2. Sea x 0 2 X. Diremos que f es continua en x 0 si dada cualquier vecindad V de f(x 0 ) existe una vecindad U de x 0 tal que f(u) V. Proposición 35 Sean (X; T 1 ) e (Y; T 2 ) dos espacios topológicos y f : X! Y una función. ntonces f es continua en X si y sólo si es continua en cada punto de X. De nición 36 Sea (f n ) una sucesión de funciones reales de nidas en el espacio metrico (X; d). Diremos que la sucesión (f n ) converge puntualmente a la función f : X! R si para todo x 2 X y para todo > 0, existe un natural N 2 N tal que (8n 2 N) (n N =) jf n (x) f(x)j < ) : De nición 37 Sea (f n ) una sucesión de funciones reales de nidas en el espacio metrico (X; d). Diremos que la sucesión (f n ) converge uniformemente a la función f : X! R si para todo > 0, existe un natural N 2 N tal que (8n 2 N) (8x 2 X) (n N =) jf n (x) f(x)j < ) : Proposición 38 Sea (f n ) una sucesión de funciones reales de nidas en el espacio metrico (X; d) que converge uniformemente a la función f : X! R. ntonces si cada función f n es continua, también lo es f:

15 Compacidad Compacidad De nición 39 Sea (X; T ) un espacio topológico. Una clase fg g de subconjuntos de X se dice que es un recubrimiento abierto de X si G es abierto para cada y además se cumple que S G = X. De nición 40 Diremos que el espacio topológico (X; T ) es un espacio compacto si todo recubrimiento abierto fg g de X tiene un subrecubrimiento nito, es decir, existe una subcolección fg k g n de la colección fg g tal que n S G k = X. Si X 0 X, diremos que X 0 es un subconjunto compacto de X si el subespacio topológico (X 0 ; T \X 0 ) es compacto. Proposición 41 (Heine-Borel) Todo subconjunto cerrado y acotado de R n es compacto. n particular todo intervalo [a; b] es un subconjunto compacto de R. Proposición 42 Todo subconjunto cerrado de un espacio topológico compacto es compacto. Proposición 43 Sean (X; T 1 ) e (Y; T 2 ) dos espacios topológicos y f : X! Y una función continua. ntonces, si A X se tiene: A compacto en X =) f(a) compacto en Y. De nición 44 Sea (X; d) un espacio métrico. Diremos que X es totalmente acotado si para todo > 0, existe una colección nita de puntos a 1 ; a 2 ; : : : ; a n en X tal que: X = n[ B(a k ; ): De nición 45 Sea (X; d) un espacio métrico. Diremos que X es secuencialmente compacto si toda sucesión en X tiene una subsucesión convergente. De nición 46 Sea (X; d) un espacio métrico. Diremos que X tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass si todo subconjunto A de cardinalidad in nita tiene al menos un punto de acumulación en X. Proposición 47 Sea (X; d) un espacio métrico. ntonces las siguientes propiedades son equivalentes: (1) (X; d) es un espacio compacto. (2) (X; d) es un espacio secuencialmente compacto. (3) (X; d) tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass. (4) (X; d) es completo y totalmente acotado. Proposición 48 Sean (X; d 1 ) e (Y; d 2 ) dos espacios métricos y f : X! Y una función continua. ntonces si X es compacto se tiene que f es uniformemente continua. l siguiente teorema se conoce como Teorema de Dini: Proposición 49 Suponga que (f n ) con f n : X! R es una sucesión de funciones continuas que converge puntual y monótonamente a la función real f. ntonces si X es compacto se cumple que la convergencia es uniforme.

16 Capítulo 2 CLASS D CONJUNTOS 2.1. Algebras De nición 50 Sea A una colección de subconjuntos de P(). Diremos que A es un álgebra en si contiene al conjunto y es cerrada respecto a complementos y uniones. n otras palabras, cumple con las siguientes propiedades: (a) 2 A (b) Si A 2 A, entonces A c 2 A. (c) Si A 2 A y B 2 A, entonces A [ B 2 A. Nota 51 Por inducción se deduce que la colección A cumple la propiedad (c) si y sólo si es cerrada bajo uniones nitas, es decir, uniones del tipo A 1 [ A 2 [ [ A n. Por lo tanto, si la colección A cumple con (c) diremos simplemente que la colección es cerrada bajo uniones. Más adelante veremos situaciones con uniones in nitas. Si A es un álgebra, entonces A también es cerrado bajo intersecciones y diferencias, puesto que: A \ B = (A c [ B c ) c A B = A \ B c : Note que si A es un álgebra, entonces 2 A puesto que = c. Proposición 52 La colección A es un álgebra si y sólo si cumple con las siguientes condiciones: (1) 2 A (2) Si A 2 A y B 2 A, entonces A B 2 A. (3) Si A 2 A y B 2 A, con A \ B = ; entonces A + B 2 A. Demostración. Si A es un álgebra entonces la propiedad (2) es evidente (ver Nota 51). Recíprocamente las propiedades (b) y (c) se deducen de las siguientes identidades: sto termina la demostración. A c = A A [ B = A + (B A) Sigma-Algebras De nición 53 Una colección A de subconjuntos de P() se dice que es un sigma álgebra (-álgebra) en si contiene a y es cerrada bajo complementos y uniones numerables, esto es, cumple con las siguientes propiedades: (a) 2 A

17 22 Clases de Conjuntos (b) A 2 A =) A c 2 A. (c) A n 2 A; n = 1; 2; : : : =) 1 S A n 2 A: Nota 54 Nuevamente es claro que 2 A. Por otro lado, si A es un -álgebra, entonces A es cerrada respecto a uniones nitas: en efecto, si A; B 2 A, entonces debido a la identidad: A [ B = A [ B [ [ [ se deduce de (c) y del hecho que 2 A que A [ B 2 A. sto signi ca que todo -álgebra es también un álgebra. Proposición 55 A es un -álgebra si y solamente si cumple con: (1) 2 A. (2) A 2 A y B 2 A =) A B 2 A. P (3) A n 2 A; n = 1; 2; : : :, sucesión disjunta, entonces 1 A n 2 A. Demostración. n claro que si A es un -álgebra entonces se cumplen las condiciones indicadas. Recíprocamente es evidente que las condiciones indicadas implican que A es un álgebra (Note que = 2 A), luego basta demostrar que se cumple la condición (c) de la De nición 53. Sea (A n ) 1 una sucesión arbitraria en A. ntonces: 0 1 1[ 1X i[ 1 A i = A 1 i A i=1 i=2 j=1 A j Ahora como A es un álgebra, la condición (3) implica que 1 S termina la demostración. A i i=1 2 A. sto Proposición 56 Todo -álgebra A es cerrado respecto a intersecciones contables, esto es, cumple con: 1 (A n ) 1 A =) \ A n 2 A: Demostración. Basta observar que 1 T 1S c A n = An c. sto termina la demostración Algebras y -álgebras generadas De nición 57 Sea C una familia no vacía de subconjuntos de. De namos: A(C) = \ fa : A álgebra y C Ag : s fácil demostrar (ver Problema 2) que esta intersección es el álgebra más chica que contiene a C. n otras palabras, si B es un álgebra en que contiene a C, entonces A(C) B. sta álgebra se denomina el álgebra generada por C. De nición 58 Sea C una familia no vacía de subconjuntos de. De namos: (C) = \ fa : A es -álgebra y C Ag : s fácil demostrar (ver Problema 3) que esta intersección es la -álgebra más chica que contiene a C. n otras palabras, si B es una -álgebra en que contiene a C entonces (C) B. sta -álgebra se denomina el -álgebra generada por C.

18 Colecciones Monótonas 23 jemplo 59 Sea (; ) un espacio topológico. Denotaremos por B() la -álgebra generada por la topología. sto es B() = (). sta -álgebra se conoce como la -álgebra de Borel. n los casos especiales en que = R o R es posible demostrar que B (R) y B R coinciden con la -álgebra generada por la colección C = f(a; b] : a; b 2 Rg (para este resultado ver Problema 10 y para considerar otras colecciones vea Problema 11) Colecciones Monótonas n general es imposible describir constructivamente la -álgebra generada por una colección arbitraria de subconjuntos de y por ende se hace difícil demostrar aquellas proposiciones que involucran -álgebra generadas. Por esta razón se introducen las colecciones monótonas, colecciones más fáciles de manejar que las -álgebras generadas y que en casos especiales las contienen (proposición 61). De nición 60 Una familia no vacía M de subconjuntos de se dice que es una familia o colección monótona si, dada cualquier sucesión monótona ( n ) en M, se cumple que lm n 2 M. Si C es una familia no vacía de subconjuntos de denotaremos por M(C) la familia monótona generada por C. sto es: M(C) = \ fm : M es familia monótona y C Mg. Nuevamente es fácil ver que M(C) es la familia monótona más chica que contiene a C (ver Problema 18). Diremos que A es una álgebra monótona si A es álgebra y es una familia monótona. La importancia de las familias monótonas reside en el siguiente resultado: Proposición 61 Sea A es una álgebra y C una familia monótona de subconjuntos de. Suponga que A C, entonces (A) C. Demostración. De acuerdo al Problema 24, M(A) = (A). Por otro lado es claro que M(A) C. Luego, (A) C. sto termina la demostración.

19 Capítulo 3 MDIDA 3.1. Funciones de Conjuntos Sea C una familia no vacía de subconjuntos de. ntonces: De nición 62 Una función : C! [0; 1] se denomina función de conjuntos. Observe que la función puede tomar el valor 1. jemplo 63 Sea C = P(R). Para cada A 2 C de na jaj A nito (A) = 1 A in nito Por ejemplo (R) =(N)=1, pero (f1; 4; 9g) = (f6; 7; 9g) = 3: De nición 64 Sea C una familia no vacía de subconjuntos de y : C! [0; 1] una función de conjuntos. ntonces diremos que la función es: (a) Aditiva si para todo A; B 2 C con A + B 2 C se tiene: (A + B) = (A) + (B) (b) Finitamente aditiva si para toda colección disjunta (A k ) n en C, con n tiene: np P A k = n (A k ) P A k 2 C se (c) Contablemente aditiva (o -aditiva) si para toda sucesión (A k ) 1 en C, con P 1 A k 2 C se tiene: 1P P A k = 1 (A k ) : P Recuerde que en las notaciones A+B y 1 A k la suma signi ca que los conjuntos involucrados son disjuntos Medidas De nición 65 Sea A un álgebra en. Diremos que la función : A! [0; 1] es una medida nitamente aditiva si () = 0 y cumple con la propiedad (b). Si la función además cumple con la propiedad (c) se dirá que es una medida contablemente aditiva o simplemente una medida. n alguna ocasiones y para enfatizar que el rango de la medida es [0; 1] hablaremos de medida positiva.

20 28 Medida De nición 66 Un trío (; A; ) se dice que es un espacio de medida si A es una - álgebra en y es una medida. n otras palabras, se cumple: a) l dominio A de es una -álgebra en : b) es no negativa en A. c) es contablemente aditiva en A. d) () = 0: l par (; A) se dice que es un espacio medible y los elementos de A se llamarán conjuntos medibles. Nota 67 Si es una medida en la -álgebra A entonces además de ser contablemente aditiva, es nitamente aditiva. n efecto, si A; B están en A y son disjuntos, entonces: (A + B) = (A + B ) 1X = (A) + (B) + () = (A) + (B): jemplo 68 Sea = R. Si A = (a; b] es un intervalo acotado, de namos la medida de A por medio de la longitud del intervalo (a; b]. sto es, (A) = b a. Veremos más adelante (ver Sección 4.3) que esta de nición nos permite asignar, de manera única, una medida a una gran colección de subconjuntos de R y en particular a todos los conjuntos de Borel. De esta manera podremos asignarle una medida a conjuntos tales como: (a) Q, el conjunto de todos los números racionales. (b) A = a + p 2b : a; b 2 Q. Proposición 69 Sea (; A; ) un espacio de medida. ntonces: tanto 1. A; B 2 A y A B =) (A) (B): 2. A; B 2 A, A B y (B) < 1 =) (B A) = (B) (A): 3. A n " A =) (A) = lm (A n) 4. A n # A y existe n 0 2 N tal que (A n0 ) < 1 =) (A) = lm (A n): Demostración. 1.- Sean A; B 2 A y A B, entonces B = A + (B A), por lo (B) = (A) + (B A) (3.1) Como (B A) 0 entonces (A) (B): 2.- Si (B) < 1, entonces por (1) se tiene que (A) < 1. Restando la cantidad (A) de los dos lados de la cuación 3.1 se obtiene que (B A) = (B) (A). P 3.-Como la sucesión es creciente podemos escribir que A = A (A i A i 1 ), por lo tanto: P (A) = (A 1 ) + 1 (A i A i 1 ) i=2 P = lm (A 1 ) + n = lm i=2 A 1 + n P = lm (A n) : i=2 (A i A i 1 ) (A i A i 1 ) i=2

21 Medidas Observe que A = A n0 1S n=n 0 (A n0 (A) = (A n0 ) A n ), por lo tanto de (2) se deduce que: 1S (A n0 A n ) n=n 0 Pero (A n0 A n ) 1 n=n 0 es una sucesión creciente y por lo tanto, podemos aplicar la propiedad (3) obteniendo: 1S (A n0 A n ) = lm (A n n=n 0 A n ); 0 pero entonces: (A) = (A n0 ) lm (A n 0 A n ) = (A n0 ) (A n0 ) + lm (A n) = lm (A n). sto termina la demostración. Nota 70 La condición que exista n 0 2 N tal que (A n0 ) < 1 no es super ua en esta proposición como puede ser observado a través del siguiente ejemplo: jemplo 71 Sea = N y A la -álgebra de todos los subconjuntos de N. n A consideremos la medida de conteo, esto es: jaj si A es nito (A) = 1 si A es in nito. ntonces si A n = fn; n + 1; n + 2; : : :g, se tendrá que A n # y sin embargo no se cumple que (A n )! () = 0. Proposición 72 Sea (; A; ) un espacio de medida y (A n ) 1 una sucesión en A. ntonces: 1S P a) A n 1 (A n ) b) lm inf A n lm inf (A n) 1S c) lm sup A n lm sup (A n ) siempre que A n < 1: Demostración. a) Observe que 1 S 1S A n = (A 1 ) + 1 P A n = A P n=2 n=2 ns 1 A n j=1 ns 1 A n A j! j=1 P (A 1 ) + 1 P (A n ) = 1 (A n ) n=2 A j!, por lo tanto: b) Como lm inf A S n = 1 1T A i, se tiene que n " lm inf A n en donde n = i=n 1T A i. Luego, de acuerdo a la parte (3) de la Proposición 69 se tiene que: i=n!! 1 lm inf A n = lm \ A i = lm inf \ 1 A i lm inf (A n) i=n i=n

22 30 Medida Note que en esta demostración hemos usado el resultado del Problema 7, página 16, partes (f) y (g). T c) Como lm sup A n = 1 1S A i, se tiene que n # lm sup A n en donde n = i=n 1S A i. Usar ahora parte (4) de la Proposición 69. sto termina la demostración. i=n De nición 73 Sea A un álgebra sobre y una medida sobre A. Si () < 1 se dirá que es una medida nita o totalmente nita. Por otro lado diremos que es una medida - nita si existe una sucesión (X n ) en A con (X n ) < 1.para cada n 2 N y tal S que = 1 X n. jemplo 74 Sea (N; P(N); ) en donde es la medida de conteo (ver jemplo 71). ntonces no es una medida nita pero si es - nita. Para ver esto, basta observar que: y (fng) = 1. N = 1[ fng, De nición 75 Sea (; A; ) un espacio de medida y P (x) una propiedad que un punto x 2 pudiera o no tener. Diremos entonces que la propiedad P (x) se cumple casi en todo o que la propiedad P (x) se cumple para casi todos los x 2 si el conjunto N = fx 2 : P (x) no se cumpleg 2 A y (N) = 0. n este caso escribiremos que P (x) es cierto c.t.p. en (c.t.p. por casi en todas partes ). jemplo 76 Sea (; A; ) un espacio de medida y sean A y B dos subconjuntos medibles. ntonces, A (x) = B (x) c.t.p. en, (A4B) = Medidas xteriores De nición 77 Sea : C! [0; 1] una función de conjuntos de nida en una familia no vacía C de subconjuntos de. ntonces se dice que es: 1. Subaditiva si para todo A; B 2 C tal que A [ B 2 C se tiene: (A [ B) (A) + (B): 2. Finitamente subaditiva si dados A 1 ; A 2 ; : : : A n en C tal que n S ns A k nx (A k ). 3. Contablemente subaditiva si dados A 1 ; A 2 ; : : : en C tal que 1 S 1S A k 1X (A k ). A k 2 C, entonces: A k 2 C, entonces:

23 Construcción de Medidas xteriores Monótona si para todo A; B 2 C tal que A B se tiene: (A) (B). De nición 78 Sea : P ()! [0; 1]. ntonce se dice que es una medida exterior en si es monótona, contablemente subaditiva y () = 0. n otras palabras es una medida exterior si: 1. l dominio de son todos los subconjuntos de. 2. es no negativa, esto es (A) 0 para todo A. 3. es contablemente subaditiva. 4. es monótona. 5. () = 0. Dado que cumple con (3) y (5), se deduce que toda medida exterior es nitamente subaditiva Construcción de Medidas xteriores De nición 79 Una familia no vacía A de subconjuntos de se dice que es una familia secuencial de recubrimientos para si (i) 2 A, y (ii) para todo A existe una secuencia f n g en A tal que: 1[ A n : Por ejemplo, la familia de todos los intervalos semicerrados (a; b] es una familia secuencial de recubrimientos para R. Note que toda álgebra A de subconjuntos de es una familia secuencial de recubrimientos para. Sea ahora : A! [0; 1] una función de conjuntos tal que () = 0. Para cada A, de namos: ( ) 1P 1[ (A) = nf ( n ) : n 2 A; n A. : (3.2) Proposición 80 Si A es una familia secuencial de recubrimientos para y : A! [0; 1] una función de conjuntos tal que () = 0, entonces la función de conjuntos de nida por la cuación 3.2 es una medida exterior en. Demostración. Las condiciones (i),(ii),(iv) y (v) son fácilmente veri cables. Sólo demostraremos la condición (iii). Sea (A n ) una sucesión de subconjuntos de y > 0. Si (A n ) = 1 para algún n, entonces la condición (iii) se cumple trivialmente. Supongamos en consecuencia que (A n ) < 1 para todo n. Por de nición de para cada n, existe una sucesión ( nk ) 1 tal que: A n 1[ nk y (A n ) + 2 n > 1 P pero entonces la colección f nk : n:k 2 Ng cumple con: 1[ A n 1[ n; nk ; ( nk );

24 32 Medida y además:! [ 1 A n 1X n; ( nk ) 1X (A n ) + 2 n = 1X (A n ) + : Como es arbitrario, se deduce que es contablemente subaditiva. sto termina la demostración Medidas Inducidas por Medidas xteriores De nición 81 Sea una medida exterior en. Diremos que un conjunto es un conjunto -medible (o simplemente medible) si: para todo subconjunto A de. Nota 82 Dado que es subaditiva, se tiene: (A) = (A \ ) + (A ) (3.3) (A) = ((A \ ) + (A )) (A \ ) + (A ); por lo tanto la condición 3.3 es equivalente a: (A) (A \ ) + (A ): (3.4) Proposición 83 Sea una medida exterior en. Denotemos por A la familia de todos los subconjuntos de que son -medibles. ntonces A es una -álgebra y la restricción de a la -álgebra A es una medida. Demostración. La demostración la dividiremos en una serie de pasos y se basará en la Proposición 55: (i) Supongamos que () = 0, entonces es medible. n efecto, si A, entonces: (A \ ) + (A ) () + (A) = (A); por lo tanto se cumple la condición 3.4 y es medible. (ii) Como () = 0, parte (i) implica que 2 A. (iii) Sea 2 A. Demostraremos que c 2 A. n efecto: (A \ c ) + (A c ) = (A ) + (A \ ) = (A): Note ahora que 2 A puesto que 2 A. (iv) Si y F pertenecen a A, entonces [ F 2 A. n efecto, de acuerdo a 3.3, se tiene: (A) = (A \ ) + (A ) (A ) = ((A ) \ F ) + ((A ) F ) Sumando ambas ecuaciones y enseguida restando (A (A ) < 1) se obtiene: ) a cada lado (suponiendo que (A) = (A \ ) + ((A ) \ F ) + ((A ) F ) ((A \ ) [ ((A ) \ F ))) + ((A ) F )

25 Medidas Inducidas por Medidas xteriores 33 Observando ahora que (A \ ) [ ((A ) \ F )) = (A \ ) [ (A \ c \ F )) = (A \ ) [ (A \ F \ c )) = A \ ( [ (F \ c )) = A \ ( [ F ); y que (A ) F = A ( [ F ), se concluye que: (A) (A \ ( [ F )) + (A ( [ F )) esto signi ca que [ F 2 A. (v) Si ; F 2 A, entonces F 2 A. n efecto, esto se sigue de (iii) y (iv) pues: F n = n S F = \ F c = ( c [ F ) c : (vi) Supongamos que 1 ; 2 ; : : : es una sucesión disjunta de elementos de A. Sea k. ntonces se a rma que para todo n 1 se cumple: (A \ F n ) = nx (A \ k ) : Demostraremos esta a rmación por inducción. l caso n = 1 es evidente y el paso de n a n + 1 se obtiene de: (A \ F n+1 ) = (A \ F n+1 \ F n ) + (A \ F n+1 F n ) = (A \ F n ) + (A \ n+1 ) nx = (A \ k ) + (A \ n+1 ) n+1 X = (A \ k ) : Note que al escribir la primera ecuación hemos hecho uso de la medibilidad de F n garantizada por (iv): (vii) Sea nuevamente 1 ; 2 ; : : : una sucesión disjunta de elementos de A. Demostraremos S que F = 1 k cumple con la igualdad: (A \ F ) = n efecto, por la monotonía de se tiene: 1X (A \ k ) : (3.5) (A \ F ) (A \ F n ) = nx (A \ k ) : (3.6) La igualdad 3.5 se deduce de la subaditividad contable de y haciendo tender n! 1 en la cuación 3.6.

26 34 Medida (viii) Demostraremos ahora que si 1 ; 2 ; : : : una sucesión disjunta de elementos 1X de A, entonces F = k pertenece a A. n efecto, para todo A se tiene: (A) = (A \ F n ) + (A F n ) nx = (A \ k ) + (A F n ) nx (A \ k ) + (A F ): Haciendo tender ahora n! 1, se deduce de la cuación 3.5, que: (A) (A \ F ) + (A F ). sto demuestra que F 2 A. Finalmente es evidente que la restricción de a la -álgebra A cumple con (a), (b) y (d) de la De nición 66. La condición (c) se deduce de la igualdad 3.5 tomando A = F. sto termina la demostración.

27 Capítulo 4 XTNSIÓN D MDIDAS 4.1. l Teorema de Carathéodory Teorema 84 Suponga que es una medida - nita y nitamente aditiva en un álgebra A de subconjuntos de. ntonces tiene una única extensión a una medida en (A). Demostración. Como A es una familia secuencial de recubrimientos para, las proposiciones 80 y 83 nos aseguran la existencia de un espacio de medida (; A ; ) en donde A es la -álgebra de todos los conjuntos -medibles y es la restricción a A de medida exterior inducida en por la medida. Para demostrar que es una extensión de bastará con probar que A A ya que entonces (A) A y por consiguiente estará de nida en (A). Note que y coinciden en A ya que es una medida en A. Sean entonces F 2 A y A. Debemos demostrar que (A) (A \ F ) + (A\F c ). Obviamente podemos suponer que (A) < 1. Si > 0 elijamos una sucesión S ( n ) en A tal que A 1 P n y 1 ( n ) < (A) +. ntonces: Como = en A se deduce que: Análogamente: 1! [ 1X (A \ F ) ( n \ F ) ( n \ F ) : (A \ F ) (A \ F c ) De 4.1 y 4.2 se obtiene nalmente que: 1X ( n \ F ) ; (4.1) 1X ( n \ F c ) : (4.2) (A \ F ) + (A \ F c ) = 1X ( n \ F ) + ( n \ F c ) 1X ( n ) < (A) + : Como es arbitrario se concluye que (A) (A \ F ) + (A \ F c ). sto demuestra que A A. Demostraremos ahora que la extensión de a (A) es única. Supongamos que es otra medida sobre (A) tal que = en A. Como es - nita en A, se tiene que

28 40 xtensión de Medidas existe (A n ) en A tal que = 1 S A n con (A n ) < 1 para todo n 1. Como A es un álgebra, la sucesión (A n ) puede ser considerada disjunta (ver Problema 17, página 36). Para cada n 1 de namos: n (A) = (A \ A n ) ; A 2 (A) n (A) = (A \ A n ) ; A 2 (A). ntonces n y n son medidas nitas en (A) y coinciden en A pues y lo hacen. ntonces, C = fa 2 (A) : n (A) = n (A)g : es una familia monótona que contiene a A (ver Problema 5) y por lo tanto, de acuerdo a la Proposición 61 se deduce que (A) = C. sto signi ca que n (A) = n (A) para todo A 2 (A). Finalmente como: 1X 1X = n = n = ; se concluye que es única. sto termina la demostración Completación de Medidas De nición 85 Sea (; A; ) un espacio de medida. Diremos que es completa si para todo A 2 A tal que (A) = 0, se cumple que B 2 A para todo conjunto B A. Note que la medida construida en la Proposición 83 es completa. Demostraremos ahora que cualquier medida puede ser extendida a una medida completa. Proposición 86 Sea (; A; ) un espacio de medida. Denotemos por A la familia de todos los conjuntos de la forma [ N, en donde 2 A y N es cualquier subconjunto de algún conjunto en A de medida nula. ntonces A es una -álgebra que contiene a A y la función s de nida por: s ( [ N) = () es una medida completa en A que extiende a la medida. sta medida s se denomina la completación de. Demostración. Demostraremos en primer lugar que A es una álgebra que contiene a A. Sean ; A 2 A y sea N A con (A) = 0. Demostraremos que ([N) c 2 A. Note que: c A = c \ A c c \ N c = ( [ N) c c : Luego c A ( [ N) c c, de donde se deduce que ( [ N) c = ( c A) [ M con M A. Como c A 2 A, se concluye que ( [ N) c 2 A. Sea ahora n [ N n 2 A; en donde N n A n con (A n ) = 0 y n ; A n 2 A. ntonces:!! 1[ 1[ 1[ ( n [ N n ) = n [ N n : Como 1 S N n 1 S A n con 1 S n ; 1 S 1S A n 2 A y A n = 0, se deduce que A es cerrada bajo uniones contables. Que A A es evidente puesto que si 2 A, entonces = [ 2 A.

29 La Medida de Lebesgue 41 Demostraremos ahora que s está bien de nida en A. Supongamos que 1 [ N 1 = 2 [ N 2, en donde 1 ; 2 2 A, N 1 A 1 ; N 2 A 2 y (A 1 ) = (A 2 ) = 0. ntonces como: 1 1 [ N 1 = 2 [ N 2 2 [ A 2 se deduce que ( 1 ) ( 2 ). De modo similar se deduce que ( 2 ) ( 1 ) y por lo tanto s está bien de nida en A. Como () = 0, esto demuestra también que s es una extensión de. Ahora, si n [ N n 2 A es una sucesión como arriba, pero disjunta, entonces:!! s X 1 1X 1X n [ N n = s n [ N n = = =! 1X n 1X ( n ) 1X s (n [ N n ). Finalmente probaremos la completitud. Suponga que s ( [ N) = () = 0 en donde N A y A; 2 A con (A) = 0. ntonces H [ N implica H [ A 2 A. Como ( [ A) = 0, se concluye que H = [ H 2 A. sto concluye la demostración La Medida de Lebesgue la forma Sea = R y sea A la familia formada por R y todos los subconjuntos de R de n P (a k ; b k ], (uniones nitas y disjuntas de intervalos de la forma (a; b] ; ( 1; b] y (a; 1), con a; b 2 R). s claro que el álgebra A (ver Problema 8, página 24) es una familia secuencial de recubrimientos para R. n A de namos la función de conjunto m, conocida como función de longitud de intervalos, como 1 para intervalos no acotados y para el caso de uniones disjuntas de intervalos acotados, la de nimos por: P m( n P (a k ; b k ]) = n (b k a k ) m() = 0: s posible demostrar que esta función de conjuntos m está bien de nida y es una medida - nita * en el álgebra A. Ahora bien, como la -álgebra generada por A es justamente la -álgebra de Borel B(R) (ver Problema 10, página 24) el Teorema 84 nos asegura que existe una única extensión de m a la -álgebra de Borel B(R). De nición 87 La medida m de nida en la -álgebra de Borel B(R) y que resulta de extender de manera única la función de longitud de intervalos por medio del teorema de Carathéodory desde el álgebra de intervalos A a la -álgebra de Borel B(R); se conoce como la medida de Lebesgue. La extensión de esta medida, por medio de la Proposición 86, al álgebra completa B(R) también se conoce como la medida de Lebesgue y los elementos de -álgebra B(R) se conocen como conjuntos Lebesgue medibles. Corolario 88 Un conjunto Lebesgue medible es la unión de un conjunto de Borel y un subconjunto de algún conjunto de Borel de medida de Lebesgue nula. * Ver Halmos, Measure Theory, sección 8.

30 42 xtensión de Medidas 4.4. Un conjunto que no es Lebesgue Medible Sean x; y 2 R. Diremos que x es equivalente a y si y sólo si x el caso, escribiremos x v y. sto es: y 2 Q. Si este es x v y, x y 2 Q. s fácil veri car que la relación v es una relación de equivalencia en R (ver Problema 7). sta relación de equivalencia induce una partición de R en sus respectivas clases de equivalencia. Sea ahora un subconjunto del intervalo (0; 1) conteniendo exactamente un punto de cada clase de equivalencia. Demostraremos que no es Lebesgue medible. Para esto necesitamos dos propiedades de : (a) Si x 2 (0; 1), entonces x 2 + r para algún racional r 2 ( 1; 1) : (b) Si r y s son dos racionales distintos, entonces ( + r) \ ( + s) =. Para probar (a), note que para todo x 2 (0; 1) existe y 2 tal que x v y. Si r = x y, entonces x = y + r 2 + r. Para probar (b), suponga que x 2 ( + r) \ ( + s). ntonces x = y + r = z + s con y 2 ; z 2. Como y z = s r 6= 0, se deduce que y v z, y contendría dos puntos equivalentes, lo cual contradice nuestra elección de. Ahora, supongamos que es Lebesgue medible y pongamos que m() =. De namos S = S ( +r), en donde la unión se toma sobre todos los racionales r 2 ( 1; 1). Por (b), la colección es disjunta. Como m es invariante bajo traslaciones (ver Problema 8) m( + r) = para todo r. Como S ( 1; 2), se tiene que m(s) 3. ste resultado, junto a la aditividad contable de m obliga a que = 0 y por ende a que m(s) = 0. Pero (a) implica que (0; 1) S y en consecuencia m(s) 1. sto es una contradicción La Medida de Lebesgue-Stieltjes De nición 89 Una medida de Lebesgue-Stieltjes en R es una medida en B(R) tal que (I) < 1 para todo intervalo acotado I R. De nición 90 Una función f : R! R se dice que es una función de distribución si es creciente y continua por la derecha. sto es, si cumple con: (1) x < y =) f(x) f(y): (2) lm f(x) = f(a) para todo a 2 R. x!a + Proposición 91 Sea f : R! R una función de distribución y sea (a; b] = f(b) f(a). ntonces existe una única extensión de a una medida de Lebesgue-Stieltjes en R. Demostración. xtienda de manera natural a una medida contablemente aditiva (aquí se requiere la continuidad por la derecha de la función de distribución f) sobre el álgebra A. Use ahora el teorema de Carathéodory para extender a B (R). s claro que esta medida es de Lebesgue-Stieltjes pues (a; b] = f(b) f(a) < 1. sto termina la demostración. sta medida usualmente se denota por f (o m f ) para indicar que depende de f.