La ecuación diferencial ordinaria lineal de primer y segundo orden

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1 La uaión ifrnial orinaria linal rimr sguno orn José Graro Dionisio Romro Jiménz Aamia Mamáias l Daramno Ingniría n Comuniaions Elrónia Esula Surior Ingniría Mánia Eléria IPN Méxio Rsumn. En s rabajo s sarrolla l ma las uaions ifrnials linals rimr sguno orn. En l raamino ório s ma rsn n la bibliografía sñalaa n los rogramas suio (Bo DiPrima 006 Simmons 993 ha algunos unos no biamn jusifiaos. Uno sos s: ómo xliar qu la soluión gnral la uaión ifrnial linal homogéna sguno orn variano los arámros s ua obnr una soluión ariular la uaión ifrnial no homogéna. Cómo jusifiar lnamn s méoo ón surg? En oro lugar la oría la uaión Riai asi no s onsiraa n onsunia s mnosria su nsñanza. Sin mbargo mosraré qu una uaión ifrnial linal homogéna sguno orn in asoiaa una uaión Riai qu la arariza. Por sa razón roongo un sarrollo ório alrnaivo s ma qu in n una lo ans xuso mian la aliaión l álulo ifrnial ingral l álgbra linal. La ia básia s omo sigu: la uaión ifrnial linal la uaión ifrnial linal homogéna asoiaa rminan un sisma uaions ifrnials l ual imlíiamn fin una rlaión nr sus soluions omo s vrá s osibl rminar la forma sífia als soluions la manra n qu sán rlaionaas.. Inrouión En s sarrollo ório alrnaivo n l qu s raa l roblma rsolvr las uaions ifrnials linals rimr sguno orn n l onxo l álgbra linal la obnión las soluions sá libr oniions imusas omo s vrá. En la sguna sión s onsira qu la uaión ifrnial linal rimr orn ' + ( x h( x la uaión ifrnial linal rimr orn homogéna asoiaa ' + ( x 0 onsiun un sisma uaions ifrnials l ual imlíiamn fin una rlaión nr sus soluions las uals s suonn onoias las funions ( x h ( x son onsiraas omo funions inógnias omo s vrá s osibl rminar la forma sífia als soluions la manra n qu sán rlaionaas mian la aliaión l álgbra linal l álulo ifrnial ingral. En la rra sión n forma similar la uaión ifrnial linal sguno orn '' + ( x ' + q(x h( x su soluión ( x suusa onoia la uaión ifrnial linal sguno orn homogéna asoiaa '' + ( x ' + q(x 0 sus soluions ( x ( x suusas onoias rmin sablr un sisma rs uaions ifrnials n l qu las funions ( x q ( x h ( x son onsiraas omo funions inógnias. Aquí ambién s rmina la forma sífia als soluions la manra n qu sán rlaionaas mian la aliaión l álgbra linal l álulo Romro Jiménz J. G. D. La uaión ifrnial orinaria linal rimr sguno orn. El Cálulo su Ensñanza 009 Cinvsav l Insiuo Poliénio Naional Méxio D.F.

2 80 ifrnial ingral. Finalmn s musra la asoiaión la uaión ifrnial linal homogéna sguno orn su rsiva uaión Riai onsiuno ésa una uaión auxiliar ara rsolvr la ora. En la uara sión s ha una sriión l moo raiional n qu s obinn las soluions las uaions ifrnials linals (homogéna no homogéna rimr orn onrasánola on la forma onsruiva onnia n sa rousa mian l álgbra linal l álulo ifrnial ingral. También s ha la orrsonin sriión l moo raiional n qu s obinn las soluions las uaions ifrnials linals (homogéna no homogéna sguno orn n érminos una soluión onoia l méoo variaión l arámro ara alular ora soluión linalmn innin la rimra l méoo variaión los arámros ara alular una soluión ariular la uaión ifrnial linal sguno orn onrasánola on la orrsonin forma onsruiva sa rousa n l onxo l álgbra linal l álulo ifrnial ingral. Para l aso ariular la uaión ifrnial linal homogéna sguno orn on ofiins onsans s rmina su orrsonin uaión Riai s rsulv ésa ara rminar las soluions funamnals la soluión gnral la uaión ifrnial linal homogéna sguno orn. Finalmn s arovha sa irunsania ara har un análisis l omoramino sarga un aaior n un iruio lério n sri LRC.. La uaión ifrnial orinaria linal rimr orn S i qu una uaión ifrnial orinaria linal rimr orn ua forma s on ( x ( x ( x h( x ' + ( h son funions oninuas no iéniamn nulas n un inrvalo I in asoiaa una uaión ifrnial orinaria linal homogéna rimr orn la ual in la forma ( x 0 ' +. ( Comnzano on la asoiaión sas uaions s onsiu así un sisma uaions ifrnials. Si ( x s soluión la uaión ifrnial linal ( si ( x s soluión no iéniamn nula n l inrvalo I la uaión ifrnial linal homogéna ( nons al saisfar ( x ( x a las rsivas uaions ifrnials ( ( on llas s obin l siguin sisma uaions: on las funions ( x ( x ( x ' (3 (x h(x ' h son onsiraas omo funions inógnias. a. Al rsolvr s sisma uaions ara ( x usano l Méoo Cramr s in Romro Jiménz J. G. D. La uaión ifrnial orinaria linal rimr sguno orn. El Cálulo su Ensñanza 009 Cinvsav l Insiuo Poliénio Naional Méxio D.F.

3 8 ' 0 ' ' (4 0 ( x ln on s obsrva qu s osibl rminar a ( x siguin ln Romro Jiménz J. G. D. La uaión ifrnial orinaria linal rimr sguno orn. El Cálulo su Ensñanza 009 Cinvsav l Insiuo Poliénio Naional Méxio D.F. ( x ( x + ln k. El roso ara so s l (x + k (x. (5 Por ano la rminaión la soluión gnral la uaión ifrnial linal homogéna ( n la xisnia una funión rimiiva ara la funión ( x. Si al xisnia s a nons la soluión gnral sá finia or la xrsión (5. Si n la xrsión (5 s ha nons (x s nominaa soluión funamnal la uaión ifrnial linal homogéna (. usano l Méoo Cramr la siguin roia los rminans: ao un rminan si un rnglón o una olumna s muliliao or una onsan k 0 nons l valor l nuvo rminan s k vs l valor l rminan ao s obin b Ahora al rsolvr l sisma uaions (3 ara h ( x h(x ' ' 0 ' ' ' ' ' ' (6 on or snillz s soluión funamnal la uaión ifrnial linal homogéna x x (. En sa xrsión s obsrva qu ( x qu s osibl rminar la soluión ( x la siguin manra h rlaiona las soluions ( (. Para rminar al soluión s ro h(x h(x + h(x. +

4 8 En sa xrsión al susiuir (x qu s soluión funamnal s obin (x (x (x h(x +. (7 Por ano la rminaión la soluión gnral la uaión ifrnial linal ( x la xisnia n la xisnia una funión rimiiva ara la funión ( una funión rimiiva ara la funión (x g(x h(x. Si als funions rimiivas xisn nons la soluión gnral la uaión ifrnial linal ( sá finia or la xrsión (7. En sa xrsión s i qu (x (x h(x (8 s una soluión ariular la uaión ifrnial linal (. D sa manra hmos obnio la xrsión (7 la ual rmina la soluión gnral la uaión ifrnial linal ( s la suma la soluión gnral la uaión ifrnial linal homogéna ( una soluión ariular (8. La xrsión (7 fin la rlaión xlíia nr las soluions las rsivas uaions ifrnials ( (. 3. La uaión ifrnial orinaria linal sguno orn Para l sarrollo qu aquí s rsna ( x q ( x ( x inrvalo I h ( x no s iéniamn nula n un inrvalo I. h son funions oninuas n un S i qu una uaión ifrnial orinaria linal sguno orn ua forma s ( x ' + q(x h( x '' + (9 in asoiaa una uaión ifrnial orinaria linal homogéna sguno orn la ual in la forma ( x ' + q(x 0 '' +. (0 Aquí omo n l aso la uaión ifrnial linal rimr orn omnzano on la asoiaión sas uaions (9 (0 s onsiu así un sisma uaions ifrnials a arir l ual s quir rminar las rsivas soluions xliiar la rlaión qu xis nr llas. Para so romos omo sigu. Sa ( x soluión la uaión ifrnial linal (9 san ( x ( x soluions no iéniamn nulas n l inrvalo I la uaión ifrnial linal homogéna (0. Enons al saisfar ( x ( x ( x a las rsivas uaions ifrnials (9 (0 on llas s obin l siguin sisma uaions: q ( x + '(x q(x + ' (x '' q(x + ' (x h(x '' '' ( Romro Jiménz J. G. D. La uaión ifrnial orinaria linal rimr sguno orn. El Cálulo su Ensñanza 009 Cinvsav l Insiuo Poliénio Naional Méxio D.F.

5 on las funions ( x q ( x ( x 83 h son onsiraas omo funions inógnias. a Al rsolvr s sisma uaions ara ( x usano l Méoo Cramr s in '' 0 '' '' '' (x. ' 0 ( ' ' ' 0 '' ' 0 Como l numraor s '' '' ' '' + ' ' ' ' ' ( ' ' u sribirs n la forma nons ( x on ' ' 0 ' ' (x ln ' ' ( ' ' ara oo x n l inrvalo I orqu ( x sá finia ara oo x n l inrvalo I. También s obsrva qu s osibl rminar una forma más xlíia la rlaión qu ha nr sus rivaas. Promos omo sigu: ln ln ' ' (x ( ' ' (x + (x ' ' + k (x. (3 En sa xrsión (3 s obsrva qu ' ' 0 ara oo x n l inrvalo I orqu k > 0 (x > 0. > La xrsión ' ' 0 ara oo x n l inrvalo I s u rsribir omo: > ' ' 0 ara oa onsan. Por ano ara oa onsan lo qu signifia qu son soluions linalmn innins la uaión ifrnial linal homogéna (0. Romro Jiménz J. G. D. La uaión ifrnial orinaria linal rimr sguno orn. El Cálulo su Ensñanza 009 Cinvsav l Insiuo Poliénio Naional Méxio D.F.

6 84 La xrsión (3 ambién s u sribir n la forma ' ' ' ' (x k ( (4 w xrsión qu onin uaro formas lo qu s llama l Wronskiano l ual a s ijo no s iéniamn nulo n l inrvalo I. D la xrsión (4 ambién s obin lo siguin: ' ' k k (x (x (x k + (x k +. (5 La xrsión (5 musra qu no s osibl rminar xlíiamn una rimra soluión ( x la uaión ifrnial linal homogéna (0. También (5 musra qu s la únia forma la soluión gnral la misma uaión ifrnial. En la misma xrsión (5 la rlaión más snilla nr s obin haino 0 k. Así (x (6 s la onoia sguna soluión linalmn innin raiionalmn obnia mian la variaión l arámro. En sas oniions (x (7 son nominaas soluions funamnals la uaión ifrnial linal homogéna (0. En érminos sas soluions funamnals la xrsión (5 sria n la forma H + (x + (8 Romro Jiménz J. G. D. La uaión ifrnial orinaria linal rimr sguno orn. El Cálulo su Ensñanza 009 Cinvsav l Insiuo Poliénio Naional Méxio D.F.

7 85 sabl una rlaión xlíia n la qu la soluión gnral la uaión ifrnial linal homogéna (0 rrsnaa or H n l onoimino una soluión la misma uaión ifrnial la xisnia una funión rimiiva ara la funión (x i(x. Si sa funión rimiiva xis la xrsión (8 fin la soluión gnral la uaión ifrnial linal homogéna (0. b Ahora al rsolvr l sisma uaions ( ara h ( x usano l Méoo Cramr la roia los rminans mnionaa n l aarao anrior iniso b sa ora roia los rminans: ao un rminan si los rnglons o olumnas son ransusas nons l valor l nuvo rminan no ambia s obin. h(x ' ' ' ' ' ' '' '' '' 0 0 ' '' ' ' '' ' ' '' w( (9 w( on or snillz son las soluions funamnals la uaión ifrnial linal homogéna (0 w( s l wronskiano l ual s ha l siguin sarrollo. w ( '' ' ' '' ' ' + '' '' '' + '' ' ' ' ' ' ' ' '. (0 En (0 l rimr sumano nro l arénsis u sribirs n la siguin forma: '' '' ' '' ' + ' '' ' ' ' '' Susiuno ( n (0: '' + ''. ( ' ' ' ' Romro Jiménz J. G. D. La uaión ifrnial orinaria linal rimr sguno orn. El Cálulo su Ensñanza 009 Cinvsav l Insiuo Poliénio Naional Méxio D.F.

8 86 En (: '' ' ' '' '' + '' ' '' ' ' ' ' + '' ' ( '' '' ' ' ' '. ( '' '' '' + ' ' ' ' ' ' (' ' ' ' w( '' '' '' + ' ' ' ' ' ' ( ' ' Romro Jiménz J. G. D. La uaión ifrnial orinaria linal rimr sguno orn. El Cálulo su Ensñanza 009 Cinvsav l Insiuo Poliénio Naional Méxio D.F. ' ' w(. Esas xrsions s susiun n ( qu s un rsulao quivaln a (0 on (0 oma la forma w( w( w( w( w( w( w( Ahora al susiuir (3 n (9 s obin h(x Por ano w( w( D on s obin w( h(x w w w( w( w( w( w( ( h(x ( w( w( w( w( ( w(. (3 w(. w(. (4 w(

9 87 w w ( h(x ( + w( ' ' ' ' h(x w h(x w + ( ( + h(x w + ( h(x w( +. Ingrano or ars l rimr érmino la suma haino s obin h(x u w( v h(x h(x Romro Jiménz J. G. D. La uaión ifrnial orinaria linal rimr sguno orn. El Cálulo su Ensñanza 009 Cinvsav l Insiuo Poliénio Naional Méxio D.F w( w( Finalmn aliano la l onmuaiva muliliano or s obin h(x h(x w( w( + +. (5 + Por ano la xrsión (5 musra qu la soluión gnral la uaión ifrnial linal (9 n l onoimino la soluión gnral la uaión ifrnial linal homogéna (0 la xisnia las ingrals h(x h(x w(. w( Si sas ingrals xisn nons al soluión gnral sá finia or la xrsión (5. En sa xrsión s i qu

10 88 h(x h(x + w( (6 w( s una soluión ariular la uaión ifrnial linal (9. D sa manra hmos obnio la xrsión (5 la ual musra qu la soluión gnral la uaión ifrnial linal (9 s la suma la soluión gnral la uaión ifrnial linal homogéna (0 una soluión ariular (6 la misma uaión ifrnial (9. La xrsión (5 musra qu s la únia forma xrsar la soluión gnral la uaión ifrnial linal (9 ambién fin la rlaión xlíia nr las soluions las rsivas uaions ifrnials (9 (0. Qua nin ómo alular o rminar una rimra soluión la uaión ifrnial linal homogéna (0. Un inno s l siguin: Sa r (x una funión ua rivaa s oninua n l inrvalo I a mnionao al qu r(x s una soluión la uaión ifrnial linal homogéna (0. Enons si s susiun r(x '' ( r(x ' r(x Romro Jiménz J. G. D. La uaión ifrnial orinaria linal rimr sguno orn. El Cálulo su Ensñanza 009 Cinvsav l Insiuo Poliénio Naional Méxio D.F. r(x n la uaión ifrnial linal homogéna (0 s obin Por ano ( r(x r(x + r'(x r(x r(x r(x + r'(x r(x r(x + (xr(x + q(x 0 r(x + ( r(x r'(x + (x r(x + q(x 0 ( r(x r'(x + (xr(x + q(x 0 +. r(x s una soluión la uaión ifrnial linal homogéna (0 si sólo si r (x s una soluión la uaión Riai ( r(x + (xr(x + q(x 0 r'(x +. (7 4. Análisis omaraivo l roimino raiional l méoo rouso. La soluión gnral la uaión ifrnial linal homogéna rimr orn ( ha sio (x obnia sarano las variabls o inrouino l faor ingran sin xliar su ronia. La soluión gnral la uaión ifrnial linal rimr orn ( s ha

11 89 obnio n un aso usano la soluión gnral la uaión ifrnial linal homogéna (5 variano l arámro sin jusifiaión roonino qu saisfaga a la uaión (x ifrnial linal (. En oro aso mian la inrouión l faor ingran ambién sin xliar su ronia. En la sión s ha lanao una alrnaiva on las os uaions ifrnials linals ( ( sus rsivas soluions sin onorlas xlíiamn s ha sablio l sisma uaions ifrnials ( 3. Es sisma omo sisma uaions linals nino n una qu su rminan s ifrn ro in úniamn una soluión onsiuia or las xrsions (4 (6. En sas xrsions s fáil visualizar los asos a sguir ara obnr xlíiamn las soluions ( x ( x xrsions (5 (7 úniamn usano álulo ingral. La soluión gnral la uaión ifrnial linal homogéna sguno orn (0 ha sio obnia suonino onoia una soluión ( x aquí no s i orqué s ominza así lugo variano l arámro n la familia soluions ( x : s on ( x n lugar roonino qu saisfaga al uaión ifrnial so on l objo obnr una sguna soluión ( x linalmn innin la rimra finalmn s ha una ombinaión linal las os soluions ( x ( x l rsulao omo s sab s (x H +. La soluión gnral la uaión ifrnial linal sguno orn (9 s ha obnio usano la soluión gnral la uaión ifrnial linal homogéna sguno orn (8 variano los arámros ora vz sin jusifiaión sin susno roonino qu saisfaga a la uaión ifrnial linal sguno orn. En l roso n l méoo variaión los arámros n la xrsión ' ' + ' + ' + ' obnia (8 algunos auors roonn una oniión: qu la suma los os úlimos érminos valga ro s ir orqu la rivaa ' + ' 0 '' onnría las rivaas sguno orn roso s omlia. Esa s una oniión imusa. '' '' on las uals l En la sión 3 s ha lanao la orrsonin alrnaiva. Para las uaions n onsiraión sus rsivas soluions rousas s ha sablio l sisma uaions ifrnials (. Es sisma omo sisma uaions linals nino n Romro Jiménz J. G. D. La uaión ifrnial orinaria linal rimr sguno orn. El Cálulo su Ensñanza 009 Cinvsav l Insiuo Poliénio Naional Méxio D.F.

12 90 una qu su rminan s l ngaivo qu és s l onoio wronskiano ' ' xrsión (4 l ual s ifrn ro in úniamn una soluión onsiuia or (x ln( ' ' h(x w( w(. w( En sas xrsions s fáil visualizar los rimros asos a sguir ara obnr xlíiamn rimro la rlaión nr las soluions ( x ( x xrsión (5 on vinmn s musra qu no s osibl rminar xlíiamn una rimra soluión ( x la uaión ifrnial linal homogéna (0 lugo la rlaión nr las soluions ( x ( x ( x xrsión (5. Eso ambién usano álulo ingral no ha rsriions imusas. Como aliaión lo xuso onsirmos l aso la uaión ifrnial linal homogéna sguno orn (0 on q son onsans. La uaión ifrnial Riai asoiaa s ( r(x + r(x + q 0 r'(x + n la ual si onmos r (x r r '(x 0 nons r + r + q 0. (8 Por ano la uaión Riai ami os soluions onsans qu son las raís la uaión algbraia uaráia (8: + 4q 4q r r. (9 a Si n (8 r r son soluions rals isinas ( 4q > 0 nons r r x r r x son soluions linalmn innins la uaión ifrnial linal homogéna sguno orn on r r sán finias n la xrsión (9. Por ano auro on la xrsión (8 r x r x + (30 s la soluión gnral la uaión ifrnial linal homogéna sguno orn on ofiins onsans on r r sán finias n la xrsión (9. b Si n (8 r r son soluions rals iguals ( x 4q 0 nons s una soluión la uaión ifrnial linal homogéna sguno orn on ofiins onsans. Para alular una sguna soluión linalmn innin la rimra s Romro Jiménz J. G. D. La uaión ifrnial orinaria linal rimr sguno orn. El Cálulo su Ensñanza 009 Cinvsav l Insiuo Poliénio Naional Méxio D.F.

13 9 usa (9 on s obin r 0 usano s rsulao n la xrsión (6 s obin r x ( r x x x. Por ano auro on la xrsión (8 x x x + (3 s la soluión gnral la uaión ifrnial linal homogéna sguno orn on ofiins onsans uano r r. Si n (8 r r son soluions omljas ( 4 q < 0 nons ésas inn la forma ωi ωi r + r on ω i ω i son las raís uaraas 4q. Enons n sas oniions ω r + ix x ω ω os x + i sn x ω r ix x ω ω os x i sn x son soluions omljas la uaión ifrnial linal homogéna sguno orn on ofiins onsans. S u omrobar qu las siguins xrsions ambién son soluions son soluions rals x x + ω os x ω sn x i Por ano auro on la xrsión (8 x x ω os x ω + sn x (3 s la soluión gnral ral la uaión ifrnial linal homogéna sguno orn on ofiins onsans uano r r son soluions omljas la uaión algbraia uaráia (8. Esos rsulaos son mu imorans n l análisis un iruio lério n sri LRC omo l qu s musra n la figura Romro Jiménz J. G. D. La uaión ifrnial orinaria linal rimr sguno orn. El Cálulo su Ensñanza 009 Cinvsav l Insiuo Poliénio Naional Méxio D.F.

14 9 i El volaj n l inuor s L on L s la inuania n hnrios. El volaj n l rsisor s i R on R s la rsisnia n ohmios i i( s la orrin n l iruio. El volaj n l aaior s q on s la aaiania n faraios q q( s la arga léria n l aaior. S onsira l aso ariular n qu E ( 0 n l qu s i qu las vibraions lérias sán librs. D auro on la sguna L Kirhhoff s obin la siguin uaión ifrnial linal homogéna rimr orn: i L + i R + q 0. (33 q Como i ( nons la uaión (33 u xrsars sólo n érminos la arga q las onsans: q q L + R + q 0. (34 En s aso la uaión algbraia ararísia s L r Las raís sa uaión sán rminaas or las xrsions r 4L R + R r L + Rr + 0. (35 4L R R (36 L 4L Si n (36 R > 0 nons son válias las siguins sigualas: R 4L > R > 0 4L R > R 4L R + R 4L 0 > R + R < 0. L Tnino n una la úlima xrsión los valors sífios qu un omar los arámros k k orrsonins a las oniions iniials qu s sablzan s in qu la arga léria n l aaior auro on la xrsión (30 sá rminaa or Romro Jiménz J. G. D. La uaión ifrnial orinaria linal rimr sguno orn. El Cálulo su Ensñanza 009 Cinvsav l Insiuo Poliénio Naional Méxio D.F.

15 93 q( 4L 4L R + R R R k L + k L on s u qu la arga q q( a xonnialmn a ro uano. Es omoramino sarga l aaior arariza al iruio s i qu l iruio s sobramoriguao. 4L Si n (36 R 0 nons la arga léria n l aaior auro on la xrsión (3 sá rminaa or R R q( k L + k L. (37 En l sguno sumano (37 aliano la Rgla L Hôial s in R l í m L l í m l í m 0. (38 R R L R L L También (37 s obin R R q'( k L + k L R L R L + R L L k S u omrobar qu q '( 0 si sólo si > 0. R k También s u omrobar qu R q R R ''( L k k k + + < L 4L qu R q''( L R R k k k + + > L 4L ( 0 ( 0 R R R L k + k + k. L L si sólo si si sólo si 4L 0 R k k 4L k. k R Por ano n sas oniions nino n una la xrsión (38 auro on las inrraions gomérias las rivaas rimr sguno orn s onlu qu n l L k inrvalo imo 0 l aaior s arga lugo s sarga oalmn uano R k. En sas oniions s i qu l iruio s ríiamn amoriguao. Romro Jiménz J. G. D. La uaión ifrnial orinaria linal rimr sguno orn. El Cálulo su Ensñanza 009 Cinvsav l Insiuo Poliénio Naional Méxio D.F.

16 94 4L Si n (36 R < 0 nons la arga léria n l aaior sá rminaa auro on la xrsión (3 or q( R R R ω ω ω ω k L os + k L sn L k os + k sn. (39 L L L L 4L on ω s la raíz uaraa R. En la xrsión (39 s inrra lo siguin: la arga q q( osila a xonnialmn a ro uano. Eso signifia qu susivamn l aaior s arga sarga s sarga más lo qu s arga hasa quar omlamn sargao. En sa siuaión s i qu l iruio s subamoriguao. Rfrnias Bo & DiPrima. (006. Euaions Difrnials Problmas on Valors n la Fronra. Méxio: Limusa Wil. Forsh A. (996. A Trais on Diffrnial Equaions. Minola N. Y. : Dovr Publiaions In. Simmons G. (993. Euaions Difrnials on Aliaions Noas Hisórias. Mari Esaña: M Graw Hill. José Graro Dionisio Romro Jiménz Romro Jiménz J. G. D. La uaión ifrnial orinaria linal rimr sguno orn. El Cálulo su Ensñanza 009 Cinvsav l Insiuo Poliénio Naional Méxio D.F.

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