= 1. x = 3: Lím = Asíntota vertical en x = 3: = 0 ; No se anula nunca. Punto de corte con OY es (0, 3) 3 x

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1 Modelo 4. Problema A.- (Calificación máima: puntos) 4 si Se considera la función real de variable real f ( ) si > a) Determínense las asíntotas de la función y los puntos de corte con los ejes. a. Asíntotas verticales: Puntos ecluidos del dominio en los que el límite vale k/ Dominio R { } * NOTA: pertenece al dominio de la función debido a que la epresión de la función esta definida para valores de mayores de cero f ( ) Asíntota vertical: Asíntota horizontal: f ( ) f ± 4 4 f ( ) ( ) Asíntota horizontal hacia : y Asíntota horizontal hacia : y Cortes con los ejes: 4 OX(y): ; 4 ; 6 ; No se anula nunca El único punto de corte con el eje OX es ( 6, ) 4 OY(): f ( ) Punto de corte con OY es (, ) Septiembre. Ejercicio A: (Puntuación máima: puntos) Se considera la función real de variable real definida por f ( ). 9 a) Hállense las asíntotas de f. a. Asíntotas verticales, son rectas de la forma a tal que a D[f()] y f ( ) [ ( ) ] { R 9 } R { ± } D f a ( ) ( ) 9 : Asíntota vertical en : 9 ( ) 7 9 ( ) ( ) 9 : Asíntota vertical en : ( ) 9 Asíntota horizontal, es una recta de la forma y L, siendo L f ( ) Lim Lim Lim ± No tiene asíntota horizontal ± ± 9 ± ± Asíntota oblicua, son rectas de la forma y m n k

2 m ( ) f ± ± n ± ± 9 La asíntota oblicua es y. 9 ± 9 ± ( f ( ) m) ± Junio. Problema B.- (Calificación máima: puntos) e Se considera la función real de variable real f ( ) a 4 b) Determínense las asíntotas de la función. 9 9 si si ± < 9 ± b. Asíntotas verticales. Son rectas de la forma a / a Dominio y f ( ) a Dominio de la función: 4 : a a f ( ) Asíntota vertical 4 a a 9 f ( ) Asíntota vertical 4 Asíntota horizontal. Son rectas de la forma y L / L f ( ) f ( ) e e y es asíntota horizontal f ± a 4 9 k ( ) Por tener asíntota horizontal hacia ±, la función no tiene asíntota oblicua. Modelo. Problema A.- (Calificación máima: puntos) 5 Dada la función real de variable real f ( ) a) Hállense sus asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. a. Asíntotas verticales, son rectas de la forma a tal que a Dominio y f ( ) D [ f ( ) ] { R / } R { } 5 En, la función tiene una asíntota vertical. Asíntotas horizontales, son rectas de la forma y L, donde L f ( ) 5 ± La función no tiene asíntotas horizontales. ± ± ± Asíntota oblicua, son rectas de la forma y m n, donde: ± a 9 ± k

3 5 f ( ) 5 m ± ± ± ± 5 5 n f ( ) m ± ± ± ± La función tiene una asíntota oblicua sobre la recta y. ( ) Otra forma de calcular la asíntota oblicua es por división polinómica. Septiembre. Ejercicio A. (Puntuación máima: puntos) Se considera la fundón real de variable real definida por: ( ) ( ) f. a) Determínense las asíntotas de f. a. Verticales: En los puntos ecluidos del dominio donde el límite quede de la forma [ f ( ) ] R D La función no tiene asíntotas verticales. k. Horizontales: y L: L ± ± ± Asíntota horizontal y. ( ) ± ( ± ) ( ± ) Posición relativa. ( ( ) ) ( ) f L ± ± ± ± : La función se aproima a la asíntota por debajo. ( ) : La función se ( ) aproima a la asíntota por debajo. - Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ±, no tiene oblicua. Junio. Ejercicio A. (Puntuación máima: puntos) Se considera la función real de variable real definida por: f ( ) a) Especifíquese su dominio de definición y los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenadas. Determínense las asíntotas de f. a. Por ser una función racional, el dominio son todos los números reales ecepto los que anulan el denominador. [ ( ) ] { R / } D f : ±

4 [ f ( ) ] R { } D ± Cortes con los ejes. OX (y ): : : La función corta a los ejes en el punto (, ), y como la eje OY solo lo puede cortar una vez, no es necesario volver a calcular el punto de corte con OY. Asíntotas. Verticales. De eistir asíntotas verticales estarán en los puntos ecluidos del dominio, siempre y cuando en esos puntos el límite sea infinito. ( ) ( ) : Asíntota vertical : Asíntota vertical Horizontal. Una función tiene asíntota horizontal si el límite cuando tiende a infinito es finito. Asíntota horizontal y ± ± ± ± Oblicua. No tiene, una función no puede tener simultáneamente asíntota horizontal y oblicua. Junio. F.M. Ejercicio A. (Puntuación máima: puntos) Se considera la función real de variable real definida por: f ( ) a) Determínense sus asíntotas. a. Verticales: Puntos ecluidos del dominio donde el límite quede de la forma D [ f ( ) ] { R / } R { } k. : Asíntota vertical. Para poder esbozar la gráfica de la función es necesario estudiar la posición de la función respecto de sus asíntotas. Posición relativa. Se estudian los límites laterales en. Horizontal: y L: ± ± L ± ± ± ± La función no tiene asíntotas horizontales Oblicua: y m n m n ( ) f ± ± ± ( f ( ) m) ± ± ( ) ± ± ± ± 4

5 Asíntota oblicua: y Posición relativa. ± ± ( f ( ) ( m n) ) ( ) ± ± ± La función se aproima a la asíntota por debajo. La función se aproima a la asíntota por encima. Otra forma: ( ) ( ) ± Para estudiar la posición relativa sin tener que hacer límites, se puede dar valores a la función y a la oblicua. y f ( ) y Ob Comparación ( ) 999, y f < yob,... y f > y Ob Cuando, la función se acerca a la asíntota por debajo, cuando, la función se acerca a la asíntota por encima. Junio 9. Ejercicio B. (Puntuación máima: puntos) Se considera la función real de variable real definida por: f ( ) a a) Determínense las asíntotas de f, especificando los valores del parámetro real a para los cuales f tiene una asíntota vertical, dos asíntotas verticales, o bien no tiene asíntotas verticales. a. Asíntotas verticales. En los puntos ecluidos del dominio en los que el límite vale infinito. [ ( ) ] { R / a } ( ) ± ( ) 4 ( a) D f ± 4a a : 4a : a 4 Discusión. i. Si a >, el denominador tendrá dos soluciones reales, y en ellas la función tendrá 4 asíntotas verticales. ii. Si a, el denominador tendrá una solución real doble, que coincide con un factor del 4 numerador, la función tendrá una única asíntota vertical. 5

6 iii. 4 f ( ) 4 Si a <, el denominado no tiene soluciones reales, la función no tendrá asíntotas 4 verticales. Asíntota horizontal. y L : L f ( ) Por que el numerador es de ± ± a menor grado que el denominador. Para cualquier valor que tome a, la función tiene una asíntota horizontal sobre el eje OX (y ). Asíntota horizontal. Por tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua. Septiembre 8. Ejercicio B. (Puntuación máima: puntos) Se considera la función real de variable real definida por: a) Determínense las asíntotas de f. f ( ) a. Asíntotas verticales. Son rectas de la forma o tales que o D y f ( ) 4 o Posibles asíntotas verticales: ± Asíntota vertical Asíntota vertical K Asíntota horizontal. y L, donde L f ( ) finito ± 4 ( ) ± ± 4 4 y Asíntota oblicua. No tiene por tener horizontal. Junio 8. Ejercicio B. (Puntuación máima: puntos) Se considera la función real de variable real definida por: a) Determínense las asíntotas de f. a. Asíntotas de la función: f ( ) 6

7 - Verticales. En los puntos o Dominio y que se cumplan f ( ) D [ f ( ) ] R { } o f ( ) R : En, la función presenta una discontinuidad no evitable de salto infinito, asíntota vertical. - Horizontal. Una función tiene asíntota horizontal si el limite cuando tiende a infinito es finito ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ± ± ± ± ± La función no tiene asíntota horizontal. - Oblicua. Recta de la forma y m n f ( ) m ± ± ± ( ) ( ) n ( f ( ) m) ± ± La función tiene asíntota oblicua: y. Otra forma muy sencilla de calcular la asíntota oblicua es mediante la división polinómica. k ± ( ) ± ( ) ± Modelo 8. Ejercicio. (Puntuación máima: puntos) Dada la función real de variable real definida por f ( ) 4 (a) Calcular sus asíntotas y esbozar su gráfica. a. Asíntotas verticales. Son rectas verticales de la forma o se producen en puntos donde el valor de la función tiende a ±, por lo que la función no está definidos en ellos y por tanto, se buscan en los puntos ecluidos del dominio donde el límite valga ±. [ ( ) ] { } D f R / 4 : D R { } ± 4 : ± 4 ± 4 Los posibles puntos de asíntota vertical son ±, para comprobarlo calculamos el límite en ellos. Teniendo en cuenta el apartado b, estudiaremos también los límites laterales. En : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 : 4 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 En eiste una asíntota vertical. 7

8 En : ( ) ( ) ( ) : 4 4 ( ) ( ) ( ) En eiste una asíntota vertical. ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 Asíntota horizontal. Son rectas de la forma y L, donde L f ( ) R ± 4 ± En y la función tiene una asíntota horizontal. ± Para esbozar la gráfica de la función es conveniente estudiar la posición relativa de la función respecto de la asíntota horizontal. Recuerda ± ( f ( ) L) : : La función por encima de la asíntota : La función por debajo de la asíntota ± 4 ± : Por encima ( ) : Por encima ± 4 4 Asíntota oblicua. No tiene por tener horizontal. Puntos de corte. OX (y ). : (, ) 4 OY ( ). (, ). Si uno de los puntos de corte de la función con el eje OX es el (, ), y teniendo en cuenta que al eje OY solo lo puede cortar una vez, el punto de corte con OY será (, ). Gráfica de la función: Septiembre 7. Ejercicio A. (Puntuación máima puntos) Dada la función real de variable real definida por f ( ) c. Calcular sus asíntotas, si las hubiera. 8

9 c. Asíntotas verticales. Una función tiene asíntotas verticales en los puntos ecluidos del dominio k donde se cumpla que f ( ). o El único punto donde se cumplen estas condiciones es. Asíntota vertical: : ( ) ( k ) f ( ) f f ( ) Asíntotas horizontales: Una función tiene asíntota horizontal si el límite en el infinito es finito. ( ) ± ± ± ± ( ± ) Asuntota horizontal y Asuntota oblicua. No tiene. Una función no puede tener simultáneamente asíntotas horizontales y oblicuas. Junio 7. Ejercicio. (Puntuación máima puntos) Dada la función real de variable real definida por ( ) ( ) f a) Determinar las asíntotas de la función a) Asíntotas verticales. Se buscan entre los puntos ecluidos del dominio de la función, debiendo cumplir la condición de que el límite en esos puntos sea infinito. D { R / } : D[ f ( ) ] R { } : ( ) ( ) 6 R En eiste una asuntota vertical. Tendencias laterales: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 Asíntota horizontal. La condición de asíntota horizontal es que el límite de la función cuando la variable tiende a infinito sea finito. ( ) 6 9 ± ± ± ± ± La función no tiene asuntota horizontal. Asíntota oblicua. Tiene la forma: y m n, donde: ( ) f ( ) ( ) 6 9 m ± ± ± ± ± ( ( ) ) n f m 9 ± ± ± ± 9

10 Asíntota oblicua: y 9 Toda función racional en la que el polinomio del numerador sea de un grado mayor que el polinomio del denominador tendrá asíntota oblicua, y otra forma de calcular la asíntota es por división polinómica, siendo el cociente de la división igualado a y su epresión. Septiembre 6. Ejercicio A. (Puntuación máima puntos) Dada la función real de variable real definida por f ( ) (a) Encontrar las asíntotas de la función. - Verticales Las asíntotas verticales de eistir estarán en los puntos ecluidos del dominio y donde el límite valga infinito. D f R / 4 R ± 6 4 ( ( )) { } { } Los posibles puntos de asíntota vertical son y. Para comprobarlo se calcula el límite en ellos. 6 ( ) 6 : : 4 ( ) 4 En eiste una asíntota vertical. 6 6 : : 4 4 En eiste una asíntota vertical ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - Horizontales Una función tiene asíntota horizontal si el límite en el infinito es finito. 6 6 ( ) 6 ( ± ) ± 4 ( ) ± 4 4 ( ± ) En y eiste una asíntota horizontal Oblicuas No tiene por tener asíntota horizontal. Una función no puede tener simultáneamente asíntotas horizontales y oblicuas, si tiene de una no tiene de la otra.

11 Junio 6. Ejercicio B. (Puntuación máima: puntos) Se considera la curva dé ecuación cartesiana: y Se pide: a) Calcular las coordenadas del punto en el que la recta tangente a la curva es paralela a la recta y Si dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales. Por definición, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Sea o la coordenada del punto donde la tangente es paralela a la recta y (pendiente m ), se debe cumplir: f ( o ) f () 8 ; f ( o ) o 8 ; o : y o () 8 () 5 La curva y 8 tiene una tangente paralela a y en el punto (, 5 ). Septiembre 5. Ejercicio A. (Puntuación máima puntos) Se considera la curva de ecuación y. Se pide: (a) Hallar las asíntotas de la curva. Asíntotas verticales: Teniendo en cuenta que para todo R, su Dominio es todo R, y por tanto no tiene asíntotas verticales. Asíntotas horizontales: y f ( ) ± (por ser el grado del numerador mayor ± ± que el del denominador). La función no tiene asíntotas horizontales Asíntotas oblicuas: y m n. f ( ) m n f La función tiene una asíntota oblicua sobre la recta y 8 ( ( ) m) Otra forma de calcular la asíntota oblicua, totalmente válida, es dividiendo los polinomios por el método de la caja, el cociente igualado a y es la asíntota oblicua. Septiembre 5. Ejercicio B. (Puntuación máima: puntos) Se considera la función real de variable real definida por: (a) Hallar sus asíntotas. f ( ) 9 Asíntotas verticales. De eistir asíntotas verticales estarán en puntos ecluidos del Dominio de D R / 9 R ±. la función en los que el límite sea infinito. { } { }

12 : 9 : : 9 : Asíntota vertical : 9 : Asíntota vertical 9 9 Y Asíntota horizontal ± ± 9 Asíntota oblicua. No tiene por tener horizontal. Una ecluye a la otra. Asíntota horizontal. y f ( ) : Junio 4. B. (puntuación máima: puntos). Se considera la función real de variable real definida por f ( ) (a) Determinar su dominio de definición. (b) Obtener sus asíntotas. a. Por tratarse de una función irracional de índice par: 4 D R / Para resolver la inecuación se tienen en cuenta los ceros y los polos de la epresión: 4 Ceros : 4 ± : Polos : ± 4 D (, ] (,) [, ) b. - Asíntotas verticales La función presenta asíntotas verticales en y en. 4 ( ) ( ) 4 ( ) - Asíntotas horizontales ( ) 4 4 Asíntota vertical Asíntota vertical 4 4 y Asíntota horizontal ± ± - Asíntotas oblicuas Por tener asíntota horizontal, la función no presenta asíntotas oblicuas Modelo 4. B. (Puntuación máima: puntos) Para cada valor de a se considera la función f () a c. Hallar las asíntotas. Observación: La notación ln representa el logaritmo neperiano. 4 ln()

13 c. Asíntotas: D,. La función presenta una asintota vertical en. Verticales ( ) Horizontales: ( a 4Ln() ) 4 Ln( ) 4 ( ) ( a 4Ln() ) a No tiene Oblicuas: (y m n) a 4Ln() 4Ln 4Ln m a a No tiene. Septiembre. Ejercicio A. (Puntuación máima puntos) Se considera la función f () e. a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f () en el punto de abscisa. a. La ecuación de la recta tangente a una función f () en un punto o se puede epresar de la siguiente forma: y f ( o ) f '( o ) ( o ) teniendo en cuenta que la derivada de una función en un punto representa la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto donde f ' () f () e e e e Recta tangente en o : ( ) y f () f '() ( ) f () e e f ' () e ( ) e sustituyendo y e e ( ) ordenando y e e Septiembre. Ejercicio B. (Puntuación máima: puntos) Sea la función f () Se pide: c. Calcular las asíntotas si las hubiera. c. Asíntotas Verticales. La condición necesaria y suficiente para una función tenga una asíntota vertical en un punto o es: f ( ) ± en y la función tiene asíntotas verticales o 8 7 Horizontales. Una función tiene asíntotas horizontales si:

14 ( ) L R f ± en este caso ± ± por ser el numerador de mayor grado que el denominador. La función no tiene asíntota horizontal. Oblicua. Las asíntotas oblicuas tienen la forma y m n, siendo f ( ) m 6 n ( f ( ) m) la función presenta una asíntota oblicua y Junio. B. (puntuación máima: puntos). Dada la función f ( ) b. Calcular sus asíntotas. b. Verticales. Son recta de la forma o, donde o son puntos ecluidos del dominio en los que el límite de la función vale infinito. D f () R ± Para ( ) en eiste una asíntota vertical [ ] { } : ( ) ( ) Para : ( ) ( ) 4

15 en eiste una asíntota vertical Horizontales. Don rectas de la forma y l, donde l es: l ± ± en y (eje OX) la función tiene una asíntota horizontal Oblicuas. No tiene por tener asíntotas horizontales. Septiembre. Ejercicio A. (Puntuación máima puntos) a Para cada valor de a, se considera la función f (). Se pide: b. Hallar las asíntotas de la curva y f() para el valor a Solución: b. f () Asíntotas verticales. Para que en un punto eista una asíntota vertical, en ese punto el límite es infinito. De eistir, estarán en los puntos ecluidos del dominio. D f () R / R [ ] { } { } Para comprobar si en eiste una asíntota vertical, se calcula el límite cuando tiende a ( ) ( ) 8 f () ( ) en eiste una asíntota vertical. Las tendencias en el punto se estudian mediante los límites laterales en. ( ) ( ) 8 f () ( ) ( ) ( ) 8 f () ( ) Asíntotas generales. Horizontales. Una función tendrá asíntotas horizontales, si el límite de la función en el infinito es finito. f () ± ± ± la indeterminación resuelve dividiendo numerador y denominador por la de mayor grado del denominador ± ± ( ) La función no presenta asíntotas horizontales. Oblicuas. Son rectas el tipo y m n, donde: m lím n lím ± ± f () [ f () m ] 5

16 m lím ± lím ± 9 n lím lím ± ± La función presenta una asíntota oblicua y 9 { } Junio. Ejercicio A. (Puntuación máima: puntos) Si Se considera la función f () ² Si > c. Calcúlense sus asíntotas oblicuas. Solución: c. Hacia la función presenta una asíntota horizontal ya que: f () y si tiene asíntota horizontal no puede tener oblicua. lím ± 9 ± { } lím 9 Hacia la función presenta una asíntota oblicua del tipo del tipo y m n, donde: f () m 8 n f () m 8 sustituyendo, se obtiene como asíntota oblicua hacia la recta: y 8 6

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