GEOMETRÍA ANALÍTICA LA HIPÉRBOLA. 1. Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen

Transcripción

1 LA HIPÉRBOLA CONTENIDO. Ecución de l hipérol horizontl con centro en el origen. Análisis de l ecución. Asíntots de l hipérol Ejemplo 3. Ecución de l hipérol verticl con centro en el origen Ejemplo 4. Hipérols conjugds equiláters o rectngulres con centro en el origen Ejemplo 3 5. Ecución de l hipérol horizontl con centro fuer del origen 6. Ecución de l hipérol verticl con centro fuer del origen 7. Form generl de l ecución de l hipérol horizontl verticl con centro fuer del origen 8. Ecuciones de l hipérol equiláter referid sus propis síntots 9. Posición generl de l hipérol su ecución 0. Ejercicios Un hipérol es l curv que se otiene intersectndo un cono un plno; si el plno está inclindo, cort ms secciones del cono no ps por el vértice del mismo. Ver l Figur. Definición. Est curv está definid como el lugr geométrico de todos los puntos contenidos en un plno, que tienen l propiedd común reltiv de que l diferenci de sus distncis dos puntos fijos llmdos focos es un constnte, que representremos por. De l Figur, se puede ver que los puntos M, F F son los vértices de un triángulo como en todo triángulo l diferenci entre dos de sus ldos es menor que el tercero, entonces: F M F < M F F Figur 7

2 Y dd l definición se puede escriir que: F F M F MF Y que l distnci focl es: c.. Ecución de l hipérol horizontl con centro en el origen. Pr este tipo de curv ls coordends de los focos son: F (c,0) F (c,0). L condición de movimiento del punto M(, ) según definición es: M F M F Constnte...() Pero de cuerdo l epresión pr l distnci entre dos puntos tenemos: M F ( + c ) + ( + 0 ) M F ( c ) + ( + 0 ) Sustituendo en (), tenemos: ( + c ) + ( + 0 ) ( c ) + ( + 0 ) Despejndo l primer rdicl: ( + c ) + + ( c ) + Elevndo l cudrdo mos miemros desrrollndo: ( ( + c ) + ) ( + ( c ) + ) + c + c Reduciendo términos semejntes: ( c ) + + c + c + 4 c 4 4 ( c ) + Dividiendo entre 4, elevndo l cudrdo reduciendo términos semejntes: 7

3 ( c ) ( ( c ) + ) c c c + Fctorizndo: 4 c GEOMETRÍA ANALÍTICA 4 c + ( c ) ( c )...() Pr trnsformr más est ecución, tomremos en cuent, refiriéndonos l triángulo F MF de nuestr Figur, que cd ldo es mor que l diferenci de los otros dos; esto nos permite escriir que: F F > M F M F c + Pero como F F c tomndo en considerción l ecución (), se tiene: c > Dividiendo entre dos elevndo l cudrdo. c > c > Por tnto: c > 0 Como l últim desiguldd epres que l diferenci c es constnte positiv, podemos epresrl de l siguiente mner por otr constnte : c Sustituendo en l ecución () qued:...(3) Que es l ecución definitiv de l hipérol, l que tmién, l dividir entre, puede epresrse en l siguiente form: Simplificndo:...(I) Ecución llmd SIMÉTRICA. 73

4 .. Análisis de l ecución. Previmente, necesitmos despejr ls dos vriles,, de l ecución (3). Pr tenemos: ( + + ) Etrendo ríz cudrd: ( + ) ± +...(α) Pr se tiene: ( ) Etrendo ríz cudrd: ( ) ±...(β) Ahor hremos ls siguientes considerciones: Primer L simple oservción de ls ecuciones (α) (β), nos permite segurr que l curv es simétric con relción los ejes del sistem l origen. Segund Cundo 0, en (α) result ±. De cuerdo con esto vemos que l hipérol cort l eje de ls sciss en los puntos A (,0) A (,0). Tercer Cundo 0, en (β) result ± i. Este resultdo nos permite segurr que l curv no cort l eje de ls ordends. L mism ecución (β) nos hce comprender que l curv no eiste entre, sino que solmente se etiende desde hci l izquierd desde 74

5 hci l derech, o se que tiene dos rms seprds, ms controlds por l mism ecución. Se trt pues de un curv discontinu. Curt L curv es iert porque medid que ument independientemente, tmién hce lo propio. En conclusión, l hipérol tiene l form proimd que se muestr en l Figur 3. son: Est es un hipérol horizontl con centro en el origen, cuos elementos principles A A, sus vértices. F F, sus focos. C D D E, sus ldos. P Q R S, sus síntots. A A, su eje trnsverso o focl. B B, su eje conjugdo o no focl. F F c, su distnci focl El ldo recto (L.R.) es el segmento de rect Q Q, cuos etremos son puntos de l curv, perpendiculr l eje focl que ps por uno de los focos, cu ecución es. L.R. L ecentricidd se define tmién como c e. Pero como en l hipérol c >, entonces e >. De los ejes menciondos, pueden ser indistintmente uno mor que otro o hst igules, sin que l hipérol deje de ser horizontl. De ls mgnitudes de ellos, solmente depende l mor o menor ertur de ls rms de l curv. Quint Demostrremos hor que ls rms de l hipérol se cercn indefinidmente ls síntots, sin que jmás lleguen tocrls. Pr esto, st hcer ver que, pr todo punto de l hipérol, el producto de sus distncis ls síntots es constnte, lo que representremos con l letr q. Entonces, de cuerdo con l Figur 3 tenemos: MN TM Constnte q...(4) Aplicndo l epresión pr l distnci entre un rect un punto ddo, tendremos (el signo negtivo, pr l primer epresión es porque el punto está jo de l rect): 75

6 MN + + TM Sustituendo en (4): MN T M De cuerdo con l ecución de l hipérol, epresión (3): Tenemos que: M N T M + constnte q Quedndo demostrdo que ls rms de l hipérol nunc tocn ls síntots.. Asíntots de l hipérol Pr encontrr sus ecuciones, prtimos de l ecución conocid, es decir: Despejndo, tenemos: Multiplicndo por ( ) :, que es l ecución (3) vist 76

7 Etrendo ríz cudrd en mos miemros: ± ± ± ± ( ) Considermos que l rm derech de l hipérol se prolong indefinidmente, cundo crece indefinidmente tmién, se tiene que el cociente tiende cero, por lo que, el surdicl tiende tomr el vlor de l unidd. De est mner l epresión nterior tom l form. ±...(II) Que es l ecución de ls síntots de l hipérol. Ests ecuciones pueden presentrse en l siguiente form: 0 Dividiendo entre se tiene: () De l mism mner l otr ecución: + 0 Dividiendo entre tenemos:

8 + 0...() De cuerdo con esto, l ecución simétric (I) de l hipérol: Oservmos que su primer miemro es l diferenci de dos cudrdos que se puede epresr, como el producto de inomios conjugdos si igulmos cero, tendremos sí ls ecuciones de ls síntots, en este cso l hipérol horizontl, es decir. + 0 Este procedimiento, será plicle pr ls demás posiciones de l hipérol. Ejemplo. Determinr,, c, L.R., e hcer l gráfic de l hipérol, cu ecución es: L ecución dd corresponde l form:, por lo que: 64. Por tnto: Por tnto: 0 Como en l hipérol c +, tenemos que: c SOLUCIÓN Por lo tnto: c 64 4 (6.40).8 De esto, se otiene: Los focos: F ( 4, 0 ) F ( 4, 0 ) Los vértices: A ( 8, 0 ) A ( 8, 0 ) El ncho focl: ( 00 ) L.R. 5 8 L ecentricidd: Ls ecuciones de ls síntots: e ; 78

9 En ls cules, sustituendo los vlores de, tenemos: ± 5 4 Con estos dtos se procede hcer l gráfic, mostrd en l Figur Ecución de l hipérol verticl con centro en el origen. Cundo un hipérol es de este tipo, sus focos son F (0.c) F (0,c) están sore el eje de ls, como se puede ver en l Figur 5. Otendremos su ecución procediendo igulmente que otros csos vistos, es decir, representmos medinte un ecución l condición de movimiento que deen stisfcer todos los puntos de l curv según su definición. Se M(, ) un punto culquier su condición de movimiento es: F M F...() M Pero: M F + ( + c ) ; M F + ( c ) Sustituendo en l ecución () se tiene: + ( + c ) + ( c ) Despejndo el primer rdicl: + ( + c ) + + ( c ) Elevndo l cudrdo, simplificndo términos semejntes dividiendo entre 4: c + ( c ) Elevndo l cudrdo de nuevo: c c 4 79

10 Fctorizndo: ( c ) ( c ) Pero según l Figur 3 plicndo el teorem de Pitágors se tiene: c + c Sustituendo, otenemos l ecución: Dividiendo entre, se tiene l form simétric de l ecución de l hipérol de este tipo: (III) L curv tiene l form proimd de l Figur 6. En este cso el eje focl o trnsverso coincide con el eje el eje conjugdo con el eje. Ls ecuciones de ls síntots son:. Ls ecuciones otenids son:...(i)...(iii) Muestrn que l curv es simétric con respecto l eje coordendo l origen. En cd hipérol, c están ligdos por l relción c Se especifico que pr l elipse, el vlor soluto de los denomindores nos indicn donde están los focos, si sore el eje de ls o sore el eje de ls. En el cso de l hipérol este concepto no es plicle, que en dich curv se puede tener indistintmente que: > ; < o En l hipérol según sus ecuciones podemos oservr, que l colocción de los denomindores no cmi, los que cmin son ls vriles cudrátics o. 70

11 Si el eje focl es prlelo l eje de ls entonces su divisor están precedidos del signo positivo (+). Si el eje focl es prlelo l eje de ls, entonces su divisor están precedidos por el signo positivo (+). L crcterístic que distingue l hipérol de ls curvs, circunferenci, práol elipse es que el producto (A) (C) < 0, por lo cul l grfic es un hipérol o un pr de rects que se intersectn. EJEMPLO. Determinr l ecentricidd, el ldo recto ls ecuciones de ls síntots de l hipérol cu ecución es:. 5 4 SOLUCIÓN Multiplicndo por () mos miemros de l ecución dd: Se oserv que: Por tnto Por tnto : : 5 Como c +, sustituendo vlores: c Por tnto : c 3 L ecentricidd el ldo recto están dds por: c 3 e L.R. ( 5 ) 5 Ls ecuciones de ls síntots son: 5 ; 5 7

12 4. Hipérols conjugds equiláters o rectngulres con centro en el origen. Ests hipérols se producen cundo los ldos son igules, es decir, cundo los dos semiejes tienen l mism mgnitud () consecuentemente ls síntots se cortn en ángulo recto. Ls ecuciones respectivs son: Hipérol horizontl: Su ecución es Si se tiene. Multiplicndo por :... (IV) Hipérol verticl: Su ecución es: Como ; tenemos: Multiplicndo por :... (V) 5. Ecución de l hipérol horizontl con centro fuer del origen. Se C(h, k) el centro de un hipérol cuo eje trnsverso es prlelo l eje, ver Figur 7. Trcemos otro sistem de coordends '', cuo origen coincid con C(h, k). L ecución de l hipérol con respecto este nuevo sistem de coordends es: 7

13 Refiriéndol l sistem de coordends originl, tendremos que recurrir ls ecuciones de trnslción prlel de ejes. Ests epresiones son: ' h k Hciendo l sustitución, tenemos: ( h ) ( k ) (VI) Que es l ecución de l hipérol horizontl con centro fuer del origen. Ls coordends de los vértices A A se otienen prtir del centro, sí como los etremos de los ejes, después de her determindo los vlores, c. Ver l Figur 8. Ls ecuciones de ls síntots son: ( k ) ( k ) ( h ) ( h ) EJEMPLO 3. Determinr ls coordends del centro, vértices, focos, ecuciones de ls síntots, ldo recto (L.R) ecentricidd de l hipérol cu ecución es: ( 5 ) ( + 3 ) 9 6 SOLUCIÓN ( h ) ( k ) L form de l ecución es:. Por comprción se tiene: h 5, k 3 Por tnto ls coordends del centro son: C(5,3). 9. Por tnto: 3 6. Por tnto: 4 73

14 Entonces según l epresión: c Por tnto: c 5 c 5 Ecentrici dd e 3 ( 6 ) 3 L.R. 3 3 Ls ecuciones de ls síntots son: ( 5 ) 3 ( 5 ) Ecución de l hipérol verticl con centro fuer del origen. En se l Figur 9, se oserv que un proceso similr l cso nterior estlece que l ecución correspondiente es: ' ' Pero semos que: h k Sustituendo en l ecución nterior se tiene: ( k ) ( h )... (VII) Que es l ecución representtiv de l hipérol verticl con centro fuer del origen. 74

15 7. Form generl de l ecución de l hipérol horizontl verticl con centro fuer del origen. Desrrollndo l form común de ls ecuciones de l hipérol. ( h ) ( k ) ( k ) ( h ) Procediendo igulmente que en los csos de l práol l elipse culquier de ests dos últims ecuciones puede epresrse en l siguiente form generl de l hipérol suprimiendo los denomindores, desrrollndo los inomios, reduciendo términos semejntes ordenndo l ecución. Es decir que se otiene l form generl de l ecución de l hipérol en l cul su eje es prlelo culesquier de los ejes coordendos: A + C + D + E + F 0... (VIII) Que en el cso respectivo, se reconocerá como representtiv de l hipérol, porque los coeficientes de deen tener signos contrrios. Si l hipérol es horizontl el coeficiente de es positivo si l hipérol es verticl el coeficiente de es el positivo. 8. Ecuciones de l hipérol equiláter referid sus propis síntots. De cuerdo l Figur 0, ls síntots están como ejes de coordends semos que: M N Q M constnte q Pero: M N Q M Sustituendo: q (IX) Cundo l constnte q es positiv, ls rms de l curv están contenids en el primer tercer cudrntes; cundo es negtiv se encuentr en el segundo curto cudrntes. Pr el cso de l hipérol equiláter cus síntots son prlels los ejes de coordends de cuerdo l Figur. L ecución es: ( h ) ( k ) q... (X) 75

16 9. Posición generl de l hipérol su ecución. De l Figur se tiene: ( m + m ) ( m + m )... (XI) Est ecución tmién puede epresrse en l siguiente form generl: A + B + C + D + E + F 0 0. Ejercicios. Determínense ls ecuciones de ls hipérols cuo centro es el punto C(,) cuos semiejes prlelos 0 0 miden 4, respectivmente. SOLUCIÓN ( h ) ( k ) L ecución de l hipérol horizontl es de l form:. Sustituendo vlores: ( ) ( + ) 6 ( k ) ( h ) L ecución de l hipérol verticl es de l form:. Sustituendo vlores: 76

17 ( + ) ( ) 6. Oténgse l ecución de l hipérol cuo centro es el punto C(,), tiene sus ejes prlelos los de coordends ps por los puntos P(0,) Q(,4). SOLUCIÓN Suponiendo que l hipérol es horizontl, su ecución es de l form: ( h ) ( k ). Sustituendo ls coordends del centro C; nos qued: ( + ) ( ) Ls coordends de los puntos P Q deen verificrl. Pr el punto P: 4...() Pr el punto Q: () Multiplicndo () por 5: (3) Restndo l ecución () de l (3): 9 4. Por tnto : 9 4 Sustituendo en ():

18 Despejndo : 9 5 Finlmente, l ecución de l hipérol es: ( + ) 9 4 ( ) Determínense los elementos de l hipérol hllr los puntos donde cort l hipérol SOLUCIÓN Completndo trinomios cudrdos perfectos fctorizndo l primer ecución: ( ( + ) ( + ) 6 ( 4 ) ( + ) ( + ) ) +6 0 De l ecución se oserv que 6 6. Por tnto: 4 4. L ecución represent un hipérol equiláter verticl con centro en C(,). Semi ejes trnsverso conjugdo 4 De l epresión: c + c. Despejndo c se tiene: c ± + ± 6 ± 4 ± 5.66 Por lo que: Distnci focl c.3 Vértices : A (, 6 ), A Focos : F (, 7.66 ), F (, ) (, 3.66 ) Pr ls ecuciones de ls síntots: ( + ) ( )

19 Etrendo ríz cudrd. ( + ) ± +. ( + ) ( + ) ± ( + ) + +. Por tnto : Por tnto : 4 Ahor pr ls intersecciones de ls dos hipérols, hcemos simultánes sus ecuciones: () () Restndo l ecución () de l (), se tiene: Despejndo : (3) Sustituendo (3) en () reduciendo términos semejntes: (3 8 ) (3 8) Por solución rápid ls ríces son:, 3 Sustituendo en l ecución (3): Los puntos de intersección son: P (, ), Q (, 3 ) 4. Demuéstrese que 3 es l ecución de un hipérol equiláter determinr su centro, sus ejes sus síntots. SOLUCIÓN Necesitmos llevrl l form: ( h ) ( k ) q ; pr logrrlo lo más conveniente es determinr los prámetros h, k q, por comprción de l ecución dd en l form tipo 79

20 desrrolld, o se: k h + h k q Por comprción, se encuentr que: k, h 3, h k q 0 Sustituendo los vlores de h k pr otener el vlor de q, se otiene: () ( 3) q 0 6 q 0. Por tnto L ecución será: : q 6 ( + 3 ) ( ) 6 Centro : C ( 3, ) Ecución del eje trnsverso Ecución del eje conjugdo Ecuciones de ls síntots : : : ( (, + 3 ). Por tnto + 3 ). Por tnto : 3 : + 5 L Figur 3 muestr gráficmente los resultdos otenidos. 5. Determínese l ecución de l hipérol que ps por el punto P(3,4) cus síntots son ls rects:,. Semos que: SOLUCIÓN Q MR M constnte q...() L distnci de un punto un rect está dd por: d m + m, entonces: + Q M + R M + 70

21 Sustituendo en (): + ( ) q Ls coordends del punto P deen stisfcer est ecución (3 ) q q L ecución es: + ( ) Quitndo denomindores desrrollndo: ( +) ( ) + Simplificndo: L Figur 4 muestr gráficmente los resultdos otenidos: 7

22 Nomre de rchivo: hiperol Directorio: C:\Geometri_nlitic Plntill: C:\WINDOWS\Appliction Dt\Microsoft\Plntills\Norml.dot Título: LA HIPÉRBOLA Asunto: Autor: Plo Fuentes Rmos Plrs clve: Comentrios: Fech de creción: 5/03/0 09:5 A.M. Cmio número: 45 Gurddo el: 05/06/0 :5 P.M. Gurddo por: Plo Fuentes Rmos Tiempo de edición:,766 minutos Impreso el: 05/06/0 07:05 P.M. Últim impresión complet Número de págins: Número de plrs:,838 (pro.) Número de crcteres: 6,78 (pro.)