La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.

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1 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul. L simologí que se utiliz pr representr ls prtes fundmentles de l hipérol es l siguiente: * L letr represent l distnci que hy desde el centro hst cd extremo centrl de cd rm de l hipérol. Ver l figur 7.1. eje imginrio * L letr represent un distnci imginri, l cul está regid por l relción de ls constntes, y c, que un poco más delnte se definirá. * L letr c represent l distnci que hy desde el centro hst cd foco. ldo recto V 1 V f f 1 eje rel centro Ls crcterístics de un hipérol mostrds en l figur 7.1 son: * L distnci de su centro los focos, llmd c (minúscul). * L distnci de su centro los vértices, llmd. * Eje rel: Es l distnci de un vértice hst el otro. * Distnci focl: Es l distnci de un foco hst el otro. figur 7.1 c

2 Págin 1 LA HIPÉRBOLA * Eje imginrio: Es l distnci. El vlor de sle de un relción pitgóric entre ls constntes y c, dd más delnte. * L posición del centro dd, como en tods ls cónics nteriores que poseen l menos un término l cudrdo, por ( h, k ). * Ldo recto: Es l cuerd perpendiculr l eje rel y que ps por lo focos. * Eje focl: Es el eje por donde psn los dos focos y los dos vértices. Hy dos posiiliddes de otener un hipérol: horizontl o verticl. Tods ess crcterístics están dds en l ecución prticulr de l hipérol, que de hecho son dos, según se trte de un hipérol horizontl o de un hipérol verticl. Podrá verse que hy vrios spectos que son muy semejntes l elipse, inclusive en l ecución prticulr existen muchs similitudes. Existe un relción entre ls tres constntes, y c, que por el teorem de Pitágors está dd por l relción c = + de donde, despejndo cd literl, se otiene: c = + = c = c A prtir de ls coordends del centro h, k, de l longitud del semieje rel y de l longitud del semieje imginrio se pueden otener o deducir tods ls crcterístics nteriores, ls cules están dds en l ecución prticulr de l hipérol, que de hecho son dos, según se trte de un hipérol horizontl o de un hipérol verticl. Pr ser si se trt de un hipérol horizontl o verticl, st oservr ls dos frcciones de l ecución prticulr, ls cules un dee ser positiv y l otr negtiv. L que qued positiv indic l vrile sore l que está el eje focl.

3 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 13 L ecución prticulr de l hipérol es: o ien ( x h) ( y k) ( y k) ( x h) si el eje focl es horizontl si el eje focl es verticl Como en ls nteriores cónics con términos l cudrdo, h signific el desplzmiento horizontl del centro y k el desplzmiento verticl del centro. El significdo de ls letrs y de los denomindores están definidos en l figur 7.1. L hipérol tiene socids dos línes rects ls cules prece irse pegndo más y más l curv, sin llegr jmás cruzrse. A ess rects, mostrds en l figur 7., se les llm síntots. En generl, se le d el nomre de síntot 5 tod líne rect que, prolongd, se cerc continumente un curv sin llegr jmás encontrrl. figur 7. Ls síntots tienen por ecuciones: y k = ± x h y k = ± x h si el eje rel es prlelo l eje X. Osérvese que l pendiente es m = si el eje rel es prlelo l eje Y. Osérvese que l pendiente es m = 5 Asíntot viene del griego sumptutoz, que signific que no coincide.

4 Págin 14 LA HIPÉRBOLA Otr crcterístic interesnte de l hipérol es l longitud de su ldo recto, el cul mide, igul que en l elipse, lr = en donde ls letrs y que precen, son ls misms definids nteriormente. 7. TRANSFORMACIONES Dr, por medio de un regl, como se hizo en el cso de l circunferenci y de l práol, el procedimiento pr trnsformr de l ecución generl l prticulr, en el cso de l hipérol result muy extenso; de mner que, por es rzón, se v mostrr dicho proceso trvés de un ejemplo. Ejemplo 1: L ecución generl de un hipérol es 4x - 9y - 16x - 18y - 9 = 0. Trnsformrl su ecución prticulr. Solución: Pr trtr de dr clridd l explicción, se hrá por psos l trnsformción pedid. PASO 1: Se grupn en el ldo izquierdo los términos que contengn ls mism vriles y se escrie en el ldo derecho l constnte sol: ( x x) ( y y) = 9 PASO : Se fctoriz en cd grupo el coeficiente del término l cudrdo: ( x x) ( y y) = 9 PASO 3: Se complet un trinomio cudrdo perfecto en cd grupo, ñdiendo l ldo derecho l mism cntidd gregd en el izquierdo: ( x x ) ( y y ) ( x x ) ( y y ) = = 36 NOTA: PASO 4: Se gregó 16 en el ldo derecho porque es el 4 que se gregó dentro del primer préntesis, el cul está multiplicdo todo por 4; de l mism form, en el segundo préntesis se gregó dentro un 1, pero como está multiplicdo por - 9, en relidd fue - 9 en totl lo que se gregó. Se fctorizn los dos préntesis:

5 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 15 ( x ) ( y ) = 36 PASO 5: Se dividen mos ldos de l iguldd entre 36 ( pr otener del ldo derecho igul 1 como está en l ecución prticulr ) y se simplific: ( x ) ( y + ) = ( x ) ( y + 1) 9 4 donde = 9 (por ser el primer denomindor) y = 4 (por ser el segundo denomindor); por lo tnto, se trt de un hipérol horizontl, y que l frcción positiv contiene l vrile X. De est ecución se otienen los vlores de: h = ; k = 1; = 3 ; =. Y por l relción de ls constntes, y c, se otiene que c = + c = 9+ 4 c 36. Es decir, se trt de un hipérol cuyo centro está en r 7.3 de l págin siguiente. O (, 1), como lo muestr l figu- Si = 3 es l distnci del centro los vértices, ls coordends de los vértices se otienen contndo tres uniddes l izquierd y tres l derech prtir del centro: (, ) = (, ) V 3 1 V ( +, ) = (, ) V 3 1 V 5 1 L longitud del eje rel es igul = 3 = 6 ; l del eje imginrio es = 4. Si c 36. es l distnci del centro los focos, ls coordends de los focos se otienen contndo 3.6 uniddes l izquierd y 3.6 l derech prtir del centro: (. ) = (. ) f 3 6 ; 1 f 1 6 ; 1 1 1

6 Págin 16 LA HIPÉRBOLA ( +. ) = (. ) f 3 6 ; 1 f 5 6 ; f 1 f - = eje imginrio = 3 c = 3.6 figur 7.3 Ejemplo : Trnsformr su ecución generl l siguiente ecución prticulr de un hipérol: ( x + 4) ( y ) 49 4 Solución: Pr eliminr los denomindores, dee multiplicrse tod l iguldd por el producto de los dos denomindores, es decir, por 196. Hciéndolo, se otiene: ( x + 4) ( y ) = ( x ) ( y ) = 196 elevndo l cudrdo los inomios indicdos: 4 x + 8x y 4y + 4 = hciendo ls multiplicciones indicds:

7 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 17 4x + 3x y + 196y 196 = 196 finlmente, escriiendo todo en el lzo izquierdo, reduciendo términos semejntes y ordenndo conforme l form de l ecución generl, se lleg : 4x + 3x y + 196y = 0 4x 49y + 3x + 196y 38 = 0 Ejemplo 3: Hllr ls coordends de los vértices y los focos, ls ecuciones de sus síntots, sí como l longitud de sus ejes rel e imginrio de l siguiente hipérol. Esozr su gráfic. ( y 1) ( x + ) 9 5 Solución: L frcción positiv contiene l vrile Y, lo que signific que el eje focl es prlelo l eje Y. Por los denomindores, se tiene que = 9, = 5 de donde = 3 = 5 por lo tnto c = + c = demás h = k = 1 ; Si ls coordends del centro son ( 1) O, que se trt de un hipérol verticl) el vlor de de los focos, o se, sumándole y restándole su ordend (por- c = 583., se otienen ls coordends

8 Págin 18 LA HIPÉRBOLA ( +. ) = (. ) f ;1 583 f ; (. ) = (. ) f ;1 583 f ; De l mism form, si ls coordends del centro son ( 1) O, su ordend (porque se trt de un hipérol verticl) el vlor de coordends de los vértices, o se (, + ) = (, ) V 1 3 V (, ) = (, ) V 1 3 V, sumándole y restándole = 3, se otienen ls L longitud del eje rel es = 5 = 10. = 3 = 6; mientrs que l longitud del eje imginrio es Ls ecuciones de sus síntots se clculn con es prlelo l eje Y. Pr l primer síntot se tiene que 3 y 1= + 5 ( x ) ( y ) = ( x + ) y 5 = 3x + 6 y k = ± x h por ser el eje rel 3x 5y + 11= 0 Pr l segund síntot se tiene que 3 y 1= + 5 ( x ) ( y ) = ( x + ) y 5 = 3x 6 3x + 5y + 1= 0

9 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 19 L gráfic correspondiente se muestr en l figur 7.4: Y 8 c = 5.83 X síntot f V eje imginrio 1 - V -3-4 f -5 = 5 Y figur síntot = 3 X Ejemplo 4: Un hipérol con eje focl horizontl tiene por síntots ls rects 7x + 6y 6 = 0. Hllr su ecución. 7x 6y + 6 = 0 y Solución: Como el punto de intersección de ls síntots es el centro de l hipérol, entonces resolviendo por simultánes ls ecuciones de dichs síntots se otienen los vlores de h y de k. 7x 6y + 6 = 0 por simultánes 7x + 6y 6 = 0 Resolviendo el sistem con l clculdor se otiene que x = 0 y y = 1 ; pero est equis es relmente el vlor de h y est ye es el vlor de k por ser ls coordends del centro, sí que h = 0 y k = 1. Psndo su ecución prticulr l primer de ls síntots: 7x 6y + 6 = 0 6y = 7x 6

10 Págin 130 LA HIPÉRBOLA 6y 7x 6 = y = x Como l pendiente de ls síntots es (un es positiv y l otr negtiv), en este cso por trtrse de un hipérol horizontl se deduce que = 7 y que = 6. Por lo tnto, l ecución de est hipérol es ( x h) ( y k) ( x 0) ( y 1) 6 7 ( y ) x

11 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 131 EJERCICIO 10 Trnsformr l form prticulr ls siguientes ecuciones de hipérols: 1) 4x - y + 8x - 6y - 1 = 0 ) 5x - 4y - 150x - 8y + 11 = 0 3) x - 4y + 4x - 3y - 4 = 0 4) 5x - 64y - 350x - 104y = 0 5) 9x - 16y + 16x + 3y = 0 6) x - 5y - x - 150y - 79 = 0 7) 5x - 36y + 100x - 7y = 0 8) x - 4y - x - 48y = 0 Trnsformr su ecución generl ls siguientes hipérols: x + 5 y + 9) 10) 16 4 x 4 y ) 1) 36 4 y + 8 x 4 13) 14) 9 4 y x + 15) 7 = 1 16) ( x + 1) ( y 8) 16 9 ( x + 9) ( y 1) 5 49 ( y 11) ( x 1) 9 4 ( y ) x + 3 = ) Ls coordends de los vértices de un hipérol son V 1 (1, 11) y V (1, - 15) y ls coordends de sus focos son f 1 (1, 1) y f (1, - 16). Hllr su ecución. 18) Ls coordends de los vértices de un hipérol son V 1 (- 10, ) y V (16, ) y ls coordends de sus focos son f 1 (- 1, ) y f (18, ). Hllr su ecución. 19) Ls coordends de los vértices de un hipérol son V 1 (- 4, 0) y V (16, 0) y ls coordends de sus focos son f 1 (- 7, 0) y f (19, 0). Hllr su ecución. 0) Ls coordends de los vértices de un hipérol son V 1 (-, 8) y V (-, - ) y ls coordends de sus focos son f 1 (-, 11) y f (-, - 5). Hllr su ecución. 1) Ls coordends de los vértices de un hipérol son V 1 (13, 0) y V (- 17, 0) y l longitud de su eje imginrio es 8. Hllr su ecución. ) Ls coordends de los vértices de un hipérol son V 1 (- 9, 1) y V (17, 1) y l longitud de su eje imginrio es. Hllr su ecución. 3) Ls coordends de los vértices de un hipérol son V 1 (4, 15) y V (4, - 5) y l longitud de su eje imginrio es 6. Hllr su ecución. 4) Ls coordends de los focos de un hipérol son f 1 (1, 5) y f (1, - 5) y l longitud de su eje imginrio es 8. Hllr su ecución. 5) Ls coordends de los focos de un hipérol son f 1 (- 10, - ) y f (0, - ) y l longitud de su eje imginrio es 6. Hllr su ecución.

12 Págin 13 LA HIPÉRBOLA 6) Ls coordends de los focos de un hipérol son f 1 (- 5, 0) y f (5, 0) y l longitud de su eje imginrio es 8. Hllr su ecución. 7) Ls coordends del centro de un hipérol son O (3, - 1) y l de uno de sus focos es f (16, - 1). Si l longitud de su eje imginrio es 4. Hllr su ecución. 8) Ls coordends del centro de un hipérol son O (0, ) y l de uno de sus focos es f (5, ). Si l longitud de su eje imginrio es 6. Hllr su ecución. 9) Ls coordends de los focos de un hipérol son f 1 (1, 10) y f (1, - 16) y l longitud de su eje imginrio es 4. Hllr ls coordends de sus vértices. 30) Ls coordends de los focos de un hipérol son f 1 (- 10, - ) y f (0, - ) y l longitud de su eje imginrio es 6. Hllr ls coordends de sus vértices. 31) Ls coordends de los focos de un hipérol son f 1 (- 5, 0) y f (- 31, 0) y l longitud de su eje imginrio es 10. Hllr ls coordends de sus vértices. 3) Ls coordends del centro de un hipérol son O (1, - 1) y l de uno de sus focos es f (14, - 1). Si l longitud de su eje imginrio es 10, hllr ls coordends de sus vértices. 33) Ls coordends del centro de un hipérol son O (0, ) y l de uno de sus focos es f (15, ). Si l longitud de su eje imginrio es 18, hllr ls coordends de sus vértices. 34) Ls coordends de los focos de un hipérol son f 1 (-, - 10) y f (-, 0) y l longitud de su eje imginrio es 8. Hllr l ecución de sus síntots. 35) Ls coordends de los focos de un hipérol son f 1 (0, - 5) y f (0, 5) y l longitud de su eje imginrio es 8. Hllr l ecución de sus síntots. 36) Ls coordends del centro de un hipérol son O (3, - 1) y l de uno de sus focos es f (16, - 1). Si l longitud de su eje imginrio es 10, hllr l ecución de sus síntots. 37) Ls coordends del centro de un hipérol son O (0, ) y l de uno de sus focos es f (5, ). Si l longitud de su eje imginrio es 6, hllr l ecución de sus síntots.