REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

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1 8 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 86 Descripción de una gráfica. Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta función sobre unos ejes coordenados dibujados en papel cuadriculado. (La solución está en el propio ejercicio). Página 87. Traza unos ejes coordenados sobre papel cuadriculado y representa una curva, lo más sencilla posible, que cumpla las siguientes condiciones: f () f () f () f () + + f (0) ; f'(0) 0 f ( 5) 0; f (,75) 0 f es derivable en todo Á, salvo en. 5 Unidad 8. Representación de funciones

2 . Describe, con la menor cantidad de datos y de forma similar a la de los apartados anteriores, la siguiente función: f () f () f () + f () + + f ( 9) 0; f (0) 0; f (8) 0 f'(0) 0 f () ; f'() 0. Representa sobre unos ejes en papel cuadriculado una gráfica inventada por ti. Descríbela en papel aparte. Dale la descripción a tu compañera o compañero para que la represente. Representa tú la suya. Comparad cada representación con la curva original. Discutid las diferencias que observéis. Hay algún error en la representación? Hay, acaso, error en la descripción? Es todo correcto? Por ejemplo: f () ; f () f () ; f () + + f ( ) 0; f'( ) 0 f () 0; f'() 0 f (0) Unidad 8. Representación de funciones

3 5. Observa esta gráfica: Halla la ordenada para las siguientes abscisas: 0,,, 7,, 00,, 99 En qué puntos no está definida esta función? Qué tramo de la función te bastaría conocer para hacerte una idea eacta de cómo es la gráfica? Te sugiere esta curva algún tipo de simetría o periodicidad? f (0) 0; f () ; f () ; f ( 7) f () 0; f ( 00) 0; f () ; f ( 99) (En general, f (k) 0; f (k + ) f (k ) y no eiste f () en k +, con k Z). La función no está definida en los puntos de la forma k +, con k Z. Bastaría con conocer la función para [0, ), si supiéramos que es par y que es periódica de periodo. Simetría Es una función par (simétrica respecto al eje Y ). Periodicidad Es periódica de periodo. Página 88. Halla el dominio de estas funciones: a) y b) y + 5 c) y 5 + a) D Á b) ± ± 9 D Á {, } c) + 0 para todo D Á 5 ± + +. Halla el dominio de: a) y b) y ln ( + ) c) y ln ( ) d) y a) 0 D (, 0] U [, + ) e Unidad 8. Representación de funciones

4 b) + > 0 para todo D Á c) > 0 D (, ) U (, + ) d) 0 0 D Á {0} Página 89. Halla las posibles simetrías y periodicidades, di dónde son continuas y dónde derivables: a) y 5 b) y c) y d) y e) y sen + / (sen ) a) f ( ) ( ) 5( ) 5 f () Es una función par: simétrica respecto al eje Y. No es periódica. Es continua y derivable en Á. b) Dominio (, 0] U [, + ) f ( ). No es par ni impar; no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al centro de coordenadas. No es periódica. Es continua en su dominio. Es derivable en (, 0) U (, + ). c) Dominio Á {, } f ( ) f (). Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas. No es periódica. Es continua y derivable en su dominio. d) Dominio Á {0} f ( ). No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen de coordenadas. No es periódica. Es continua y derivable en su dominio. e) Dominio Á f ( ) sen ( ) + (sen ( )) sen (sen ()) f () Unidad 8. Representación de funciones

5 Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas. Es periódica de periodo π. Es continua y derivable en Á. Página 90. Halla las ramas infinitas de: a) y 5 0 b) y c) y d) y 8 +7 e) y ln ( + ) f) y ( ) a) y 5 0 f () f () + b) y Dominio Á {, } f () f () + ; f () f () + ; + Ramas parabólicas Ramas parabólicas f () + ; f () + f () ; f () + + Asíntotas verticales: ; c) y ( ) Dominio Á {} f () ; f () + y + es una asíntota oblicua. 6 + Unidad 8. Representación de funciones 5

6 f () ( + ) f () + f () es asíntota vertical f () ( + ) > 0 si f () ( + ) < 0 si d) y 8 +7 f () + f () + Ramas parabólicas e) y ln( + ) Dominio Á f () + f () ln( + ) 0 + f () + f () ln( + ) 0 + No hay asíntotas verticales. Ramas parabólicas f) y > 0 para todo. Dominio Á f () 0 y 0 es asíntota horizontal cuando. Unidad 8. Representación de funciones 6

7 f () f () + ; + No hay asíntotas verticales. Página 9 5. Halla los puntos singulares y los puntos de infleión de: a) y b) y ln ( + ) a) y Dominio Á f'() + 9 f'() 0 ( + ) 0 ± 6 ± Signo de f'(): ± f' < 0 Hay un máimo en (, 9) y un mínimo en (, 5). f''() 6 f''() Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 Hay un punto de infleión en (, 7). b) y ln( + ). Dominio Á f'() + f'() f''() < 0 para < 0 f''() > 0 para > 0 Hay un mínimo en (0, 0). f''() ( + ) + + ( + ) ( + ) ( + ) Unidad 8. Representación de funciones 7

8 f''() Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 f'' < 0 Hay un punto de infleión en (, ln ) y otro en (, ln ). 6. Halla los puntos singulares de: a) y 5 0 b) y c) y d) y ( ) a) y 5 0. Dominio Á f'() 5 60 f'() 0 5 ( ) 0 Signo de f'(): 0 f' < 0 f' < 0 0 Hay un máimo en (, 6), un mínimo en (, 6), y un punto de infleión en (0, 0). b) y. Dominio Á {, } f'() ( ) ( ) ( ) f'() Signo de f'(): ( ) f' < 0 f' < 0 0 Hay un máimo en (0, 0). c) y. Dominio Á {} ( ) f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Unidad 8. Representación de funciones 8

9 6 ( ) f'() 0 ( 6) 0 Signo de f'(): 6 ( ) 0 6 f' < Hay un punto de infleión en (0, 0) y un mínimo en ( 6, ). d) y. Dominio (, 0] U [, + ) f'() f'() 0 0 Dominio. No hay puntos singulares. 7 Página 9. Representa estas funciones: a) y b) y + 6 c) y + a) y Simetrías: f ( ) f (). Es par: simétrica respecto al eje Y. Ramas infinitas: f () + ; f () + Puntos singulares: f'() 6 f'() 0 ( ) 0 0 Puntos singulares: (0, 7); (, 9); (, 9) Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y 7 Punto (0, 7) Con el eje X y Unidad 8. Representación de funciones 9

10 8 ± ± 6 8 ± 6 Puntos: ( 7, 0); (, 0); (, 0); ( 7, 0) 7 ± 7 ± Puntos de infleión: f''() 6 f''() ± ± Puntos ( ) (, 7 y 7, 9 9 ) 7 b) y Simetrías: f ( ) 6. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen de coordenadas. Ramas infinitas: f () + ; f () + Puntos singulares: f'() + 7 f'() 0 ( + 6) 0 Puntos: (0, 0); (, 6); (, 89) 0 ± + ± 5 Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y 0 Punto (0, 0) Con el eje X y 0 ( + 6) ± 6 + ± Puntos: (0, 0); (,86; 0); (,9; 0),86,9 Unidad 8. Representación de funciones 0

11 Puntos de infleión: f''() f''() 0 ( + 6) 0 ± + 7 ± ,,79 Puntos: (,;,8) y (,79; 07,) c) y + Simetrías: f ( ) +. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen de coordenadas. Ramas infinitas: f () + ; f () + Puntos singulares: f'() + f'() 0 ( + ) 0 ( )( + )( ) 0 Puntos (, 7); (, 9); (, 9) Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y 0 Punto (0, 0) Con el eje X y 0 ( + ) ( )( 6) 0 Puntos: (0, 0); (, 0); (,65; 0); (,65; 0),65,65 Unidad 8. Representación de funciones

12 Puntos de infleión: f''() f''() 0 ( 6 ) 0 6 ± ± 8 6 6,5 0,5 Puntos: (,5;,8) y ( 0,5;,7) 7 9. Representa las siguientes funciones: a) y 6 b) y c) y (/) a) y 6 Simetrías: f ( ) + 6. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen de coordenadas. Ramas infinitas: f () + ; f () + Puntos singulares: f'() f'() 0 ( ) 0 0 Puntos: (0, 6); (, 7) Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y 6 Punto (0, 6) Con el eje X y Unidad 8. Representación de funciones

13 tiene una sola raíz, que está entre y ; pues, si g() , g( ) 6 < 0 y g( ) > 0. Puntos (, 0) y (k, 0), con k entre y. Puntos de infleión: f''() 6 f''() 0 ( ) 0 8 Puntos: (0, 6) y (, 7 ) 0 0 b) y Simetrías: f ( ) + f (). Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas. Ramas infinitas: f () ; f () + Puntos singulares: f'() f'() 0 ( ) 0 Puntos: (, ); (, ) Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y 0 Punto (0, 0) Con el eje X y 0 0 ( ) 0 0 Puntos: (0, 0); (, 0); (, 0) Unidad 8. Representación de funciones

14 Puntos de infleión: f''() 6 f''() Punto (0, 0) c) y Simetrías: f ( ) f (). Es par: simétrica respecto al eje Y. Ramas infinitas: f () + ; f () + Puntos singulares: f'() f'() 0 ( ) 0 0 Puntos: (0, 0); (, ); (, ) Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y 0 Punto (0, 0) Con el eje X y 0 ( ) Puntos: (0, 0); (, 0); (, 0) Puntos de infleión: f''() Unidad 8. Representación de funciones

15 f''() 0 0 Puntos: ( ) (, 0 ; 0, 9 9 ) Página 95. Representa: a) y b) y 8 a) y +. Dominio Á {, } Simetrías: f ( ) f (). Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas. Asíntotas verticales: f () + Asíntota vertical en. f () + f () + f () + Asíntota vertical en. Asíntota oblicua: + y es asíntota oblicua. Posición de la curva respecto a la asíntota: Unidad 8. Representación de funciones 5

16 f () ( ) > 0 si (curva por encima) f () ( ) < 0 si (curva por debajo) Puntos singulares: f'() ( ) ( ) + ( ) ( ) f'() 0 ( + ) 0 0 Puntos: (0, 0); ( ), ( ;, ) + ( ) Cortes con los ejes: Corta a los ejes en (0, 0). b) y 8 8. Dominio Á {0} Simetrías: f ( ) + 8. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen. Asíntotas verticales: f () + 0 Asíntota vertical en 0. f () 0 + Asíntota oblicua: 8 8 y es asíntota oblicua. Posición de la curva respecto a la asíntota: f () ( ) > 0 si (curva por encima) f () ( ) < 0 si (curva por debajo) Unidad 8. Representación de funciones 6

17 Puntos singulares: f'() + 8 > 0 para todo del dominio. La función es creciente en todo su dominio. No tiene puntos singulares. Cortes con los ejes: Con el eje X y Puntos: (, 0) y (, 0) No corta el eje Y, pues no está definida en 0.. Representa: a) y 9 b) y + + a) y 9. Dominio Á {, } Simetrías: f ( ) 9 f (). Es par: simétrica respecto al eje Y. Asíntotas verticales: f () f () + Asíntota vertical en. + f () + f () Asíntota vertical en. + Asíntota horizontal: 9 5 y es asíntota horizontal. Posición de la curva respecto a la asíntota: f () < 0 si (curva por debajo) f () < 0 si (curva por debajo) Unidad 8. Representación de funciones 7

18 Puntos singulares: ( f'() ) ( 9) ( + 9) ( ) ( ) f'() Punto ( ) 0, 9 Cortes con los ejes: 9 Con el eje Y 0 y Punto ( ) 0, 9 0 ( ) Con el eje X y Puntos: (, 0) y (, 0). b) y +. Dominio Á + Simetrías: f ( ) + f (). Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas. No tiene asíntotas verticales. Asíntota oblicua: y es asíntota oblicua. Posición de la curva respecto a la asíntota: f () < 0 si (curva por debajo) f () > 0 si (curva por encima) Puntos singulares: ( f'() + )( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + + ( + ) Unidad 8. Representación de funciones 8

19 f'() ± 8 No tiene solución. No hay puntos singulares. Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y 0 Punto (0, 0) Con el eje X y ( + ) 0 0 Punto (0, 0) Puntos de infleión: ( f''() + )( + ) ( + + ) ( + ) ( + ) ( + )( + ) ( + + ) 6 ( + ) ( + ) ( ) ( + ) 0 f''() 0 Puntos: (0, 0); ( ) (, 5 ; 5, ) Página 97. Representa: a) y e b) y e c) y ln ( + ) a) y e Dominio: Á Simetría: f ( ) e f (). Es una función par: es simétrica respecto al eje Y. Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f () f () 0 Unidad 8. Representación de funciones 9

20 y 0 es asíntota horizontal. Además, como e > 0 para todo, la curva se sitúa por encima de la asíntota. Puntos singulares: f'() e f'() Punto (0, e) Puntos de infleión: f''() e +( ) ( )e ( + )e Puntos de infleión: ( 0,7;,65), (0,7;,65) f''() 0 ± 0,7 f ( ) e/,65 b) y e Dominio: D Á {0} No es simétrica. Asíntotas verticales: f () + 0 f () Asíntota vertical: 0 f () 0. Además f () > 0 para todo del dominio. y 0 es una asíntota horizontal cuando f () + ; f () +. Rama parabólica. Puntos singulares: e f'() e e ( ) f'() 0 Punto ( ), e e ( ) Unidad 8. Representación de funciones 0

21 c) y ln ( + ) Dominio: Como + > 0 para todo, D Á. Simetrías: f ( ) ln ( + ) f(). Es par: simétrica respecto al eje Y. No tiene asíntotas verticales. Ramas infinitas: f () f () + f () ln ( + ) + 0 Por tanto, no tiene asíntotas de ningún tipo. Tiene ramas parabólicas. Puntos singulares: f'() + f'() Punto (0, ln ) Puntos de infleión: f''() ( + ) + 8 ( + ) ( + ) 8 ( + ) f''() Puntos: (, ln 8) y (, ln 8) Unidad 8. Representación de funciones

22 . Representa: a) y ln ( ) b) y sen + cos a) y ln ( ) Dominio: > 0 D (, ) U (, + ) Simetrías: f ( ) ln ( ) f (). Es par: simétrica respecto al eje Y. Asíntotas verticales: f () ; f () + y son asíntotas verticales. f () f () + f () ln ( ) 0 Tiene ramas parabólicas. Puntos singulares: f'() f'() No tiene puntos singulares, pues la función no está definida en 0. Puntos de infleión: f''() ( ) ( ) ( ) ( ) No tiene puntos de infleión. Puntos de corte con los ejes: Con el eje X y 0 ln ( ) 0 No corta al eje Y, pues no eiste f (0). Puntos: (, 0) y (, 0) Unidad 8. Representación de funciones

23 b) y sen + cos Está definida, y es continua y derivable en todo Á. Es periódica de periodo π solo la estudiamos en [0, π]. No eiste f () no tiene asíntotas ni ramas parabólicas. ± Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y 0 f (0) Punto (0, ) Con el eje X y 0 sen + cos 0 5π tg + 0 tg o 6 5π Puntos (, 0) ( ; π, 6 6 0) Puntos singulares: π 6 f'() cos sen f'() 0 cos sen 0 tg 0 tg Puntos de infleión: π π Punto ( ), π π Punto (, ) f''() sen cos f () f''() 0 f () 0 Los puntos de infleión son los de corte con el eje X. π π π π π π π π Unidad 8. Representación de funciones

24 Página 0 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Representa una función continua y derivable en Á tal que: f () +, f (), f'() 0 f (), f'() 0 para cualquier. Representa una función que no esté definida en y tal que: f () + y f () + ± f () si, f () < si, f () > No tiene puntos singulares y es creciente. De una función y f () tenemos esta información: D Á {, }; f () + ; f () + f () ; f () + ; f () 0 + ± (si, f () > 0; si, f () < 0) f'() 0, f () ; f'( ) 0, f ( ) Represéntala. Dibuja la gráfica de una función de la que se S conocen las siguientes propiedades: f (), f () + f'() 0 si, 0,, f ( ) ; f (0) 0; f () 5; f () 5 Unidad 8. Representación de funciones

25 5 Dibuja la gráfica de una función que cumpla las siguientes propiedades: S f(), f(), f() 5 f ( 8), f (0) 0 es el único punto donde f () se anula. f'( 8) 0 y la derivada no se anula en ningún otro punto. Además, f'() < 0 para todo positivo. La función es continua en toda la recta real, salvo en los puntos 5 y Describe las siguientes funciones indicando sus asíntotas y ramas infinitas, sus puntos singulares y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. a) b) c) d) y a) Asíntota vertical: 0. Asíntotal horizontal: y f () ; f () (si, f() < ; si, f () < ) f () ; 0 f () 0 + f () no tiene puntos singulares. Decrece en (, 0) y crece en (0, + ). Unidad 8. Representación de funciones 5

26 b) Asíntota vertical:. Asíntotal horizontal: y f () ; f () (si, f() > ; si, f () > ) f () + ; f () + Puntos singulares: f'(0) 0; f (0). Máimo en (0, ) Creciente en (, ) U (, 0) y decreciente en (0, + ). c) Asíntota horizontal si : y 0 f () + ; f () 0 (si, f() > 0) Puntos singulares: f'(0) 0; f (0) 0. Mínimo en (0, 0) f'() 0; f (). Máimo en (, ) Decreciente en (, 0) U (, + ) y creciente en (0, ). d) Asíntota vertical: Asíntota oblicua: y (si, f () > ; si, f () < ) f () + ; f () + Puntos singulares: no tiene. Creciente en (, ) U (, + ). 7 Se considera la función f () + +. Tiene máimos y/o mínimos? S Tiene algún punto de infleión? Haz una gráfica aproimada de esta función. f () + + f'() + f'() 0 no tiene solución. f'() > 0 para todo f () es creciente. No tiene máimos ni mínimos. f''() 6 f''() Signo de f''(): Unidad 8. Representación de funciones 6

27 f'' < 0 0 f'' > 0 Hay un punto de infleión en (0, ). Además, f () ; f () + 8 Dada la función y +, se pide: S a) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Etremos relativos. b) Concavidad y conveidad. Puntos de infleión. c) Dibuja la gráfica a partir de los resultados anteriores. a) f'() f'() 0 0 Signo de f'(): f' < 0 f () es creciente en (, ) U (, + ) es decreciente en (, ) tiene un máimo en (, ) y un mínimo en (, ) b) f''() 6 f''() Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 0 f () es convea en (, 0) es cóncava en (0, + ) tiene un punto de infleión en (0, ) Unidad 8. Representación de funciones 7

28 c) 9 En las siguientes funciones, estudia su dominio, asíntotas y posición de la curva respecto de estas, y represéntalas a partir de los resultados obtenidos: a) y b) y c) y + d) y e) y f) y + a) y Dominio: Á {, } Asíntotas: f () 0; f () 0 y 0 es asíntota horizontal. (si, f () > 0; si, f () > 0) f () + f () + f () f () + + es asíntota vertical es asíntota vertical b) y + Unidad 8. Representación de funciones 8

29 Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f () 0; f () 0 (si, f () < 0; si, f () < 0) c) y Dominio: Á {, } Asíntotas: f () 0; f () 0 (si, f () < 0; si, f () > 0) y 0 es asíntota horizontal. f () f () + es asíntota vertical + f () f () + + es asíntota vertical d) y Dominio: Á {0} Unidad 8. Representación de funciones 9

30 Asíntotas: f () + 0 f () es asíntota vertical y es asíntota oblicua. (si, f () > ; si, f () < ) e) y + Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f () 0; f () 0 (si, f () < 0; si, f () > 0) f) y Dominio: ± No tiene solución. D Á Unidad 8. Representación de funciones 0

31 Asíntotas: f () ; f () (si, f () > ; si, f () < ) y es asíntota horizontal. Página 05 0 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones estudiando ramas infinitas, máimos y mínimos y puntos de infleión: a) y + b) y c) y d) y a) y + Ramas infinitas: f () ; f () + Máimos y mínimos: f'() f'() 0 ( ) 0 Signo de f'(): f' < 0 Máimo en (, ). Mínimo en (, ). Puntos de infleión: f''() 6 f''() Signo de f''(): f'' < 0 0 f'' > 0 Punto de infleión en (0, ). Unidad 8. Representación de funciones

32 b) y Ramas infinitas: f () + ; f () + Máimos y mínimos: f'() f'() 0 ( ) 0 Signo de f'(): 0 0 f' < 0 f' < 0 0 Máimo en (0, 0). Mínimos en (, ) y en (, ). Puntos de infleión: f''() f''() 0 ± ±,5 Signo de f''(): f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0,5,5 Puntos de infleión: ( ),5; 0 ( ) ;,5; Unidad 8. Representación de funciones

33 c) y Ramas infinitas: f () ; f () + Máimos y mínimos: f'() f'() 0 ( ) 0 0 / Signo de f'(): f' < 0 0 Máimo en (0, 0) y mínimo en (, 7 ). Puntos de infleión: f''() 6 f''() Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 Punto de infleión: (, 7 ),5 0,5 d) y Ramas infinitas: f () ; f () + Máimos y mínimos: f'() f'() 0 ( ) 0 Unidad 8. Representación de funciones

34 Signo de f'(): f' < 0 Máimo en (, ) y mínimo en (, ). Puntos de infleión: f''() 6 f''() Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 0 Punto de infleión en (0, 0). S Representa las siguientes funciones determinando previamente sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento y sus máimos y mínimos: a) f () + 6 b) f () + c) f () + 60 a) f () + 6 f'() f'() Signo de f'(): f' < 0 f () es creciente en (, ); es decreciente en (, + ). Tiene un máimo en (, ). Unidad 8. Representación de funciones

35 Gráfica: b) f () + f'() ± ± 6 f'() Signo de f'(): 8 ± 6 f' < 0 6 f () es creciente en (, ) U (, + ); es decreciente en (, ). Tiene un máimo en (, ) y un mínimo en (, 0). Gráfica: 7 c) f () + 60 f'() f'() 0 6( 7 + 0) 0 Signo de f'(): 7 ± 9 0 f' < f () es creciente en (, ) U (5, + ); es decreciente en (, 5). Tiene un máimo en (, 0) y un mínimo en (5, 7). Gráfica: Unidad 8. Representación de funciones 5

36 Estudia las ramas infinitas y los puntos singulares de las siguientes funciones. Con la información obtenida, represéntalas: a) y b) y c) y + + d) y e) y + f ) y ( ) ( ) a) y + Dominio: Á { } Ramas infinitas: f () 0 y 0 es asíntota horizontal. f () 0 (f () > 0 si, f () < 0 si ) + f () f () + es asíntota vertical. Puntos singulares: f'() < 0 f () es decreciente en su dominio. No tiene máimos ni mínimos. ( + ) b) y + Dominio: Á Ramas infinitas: f () 0 y 0 es asíntota horizontal. f () 0 (f () > 0 la curva está por encima de la asíntota). No tiene asíntotas verticales. Unidad 8. Representación de funciones 6

37 Puntos singulares: f'() ( + ) f'() Signo de f'(): Máimo en ( 0, ). c) y Dominio: Á {, } Ramas infinitas: 0 f' < 0 0,5 0,5 f () 0 y 0 es asíntota horizontal. f () 0 (f () < 0 si y si ) + f () f () + es asíntota vertical. + f () + f () es asíntota vertical. Puntos singulares: f'() ( ) f'() Signo de f'(): f' < 0 f' < 0 0 Mínimo en ( ) 0,. Unidad 8. Representación de funciones 7

38 d) y ( ) Dominio: Á {} Ramas infinitas: f () 0 y 0 es asíntota horizontal. f () 0 (f () > 0 la curva está por encima de la asíntota). + f () + f () + es asíntota vertical. Puntos singulares: f'() ( ) f'() 0. Signo de f'(): No tiene puntos singulares. f' < 0 e) y + + Dominio: Á {0} Ramas infinitas: f () f () + 0 es asíntota vertical. Unidad 8. Representación de funciones 8

39 y es asíntota oblicua. (f () < si ; f () > si ) Puntos singulares: f'() f'() 0 0 Signo de f'(): f' < 0 0 f' < 0 Máimo en (, ) y mínimo en (, ). f) y ( ) Dominio: Á {} Ramas infinitas: f () f () y es asíntota horizontal. (f () < si ; f () > si ) + f () + f () + es asíntota vertical Puntos singulares: f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f'() ( ) Signo de f'(): f' < 0 0 f' < 0 Mínimo en (0, 0). Unidad 8. Representación de funciones 9

40 En las siguientes funciones se pide: dominio de definición, cortes con los S ejes, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los posibles máimos o mínimos. Con la información obtenida, represéntalas: + a) y b) y c) y ( ) d) y e) y ( + ) f) y a) y + Dominio: Á {} Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y Punto ( ) 0, Con el eje X y Punto (, 0) Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f'() ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) f'() 0 para todo f'() < 0 f () es decreciente en todo su dominio. Ramas infinitas: f () y es asíntota horizontal. f () (f () < si ; f () > si ) + f () f () + es asíntota vertical. Unidad 8. Representación de funciones 0

41 b) y Dominio: Á {} Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y 0 Punto (0, 0) Con el eje X y 0 0 Punto (0, 0) Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f'() ( ) ( ) f'() 0 para todo. f'() < 0 f () es decreciente en todo su dominio. No tiene máimos ni mínimos. Ramas infinitas: f () f () y es asíntota horizontal. (f () < si ; f () > si ) + f () f () + es asíntota vertical. 6 c) y ( ) Dominio: Á {} Unidad 8. Representación de funciones

42 Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y 0 Punto (0, 0) Con el eje X y 0 0 Punto (0, 0) Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f'() 0 0 Signo de f'(): f' < 0 f' < 0 f () es decreciente en (, ) U (, + ), crece en (, ). Tiene un mínimo en (, ). Ramas infinitas: f () 0 f () 0 y 0 es asíntota horizontal. (f () < 0 si ; f () > 0 si ) + f () + f () + es asíntota vertical. d) y + Dominio: ± No tiene solución. Por tanto: Dominio: Á Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y Punto ( ) 0, Con el eje X y 0 Como y 0, no corta al eje X. Unidad 8. Representación de funciones

43 Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f'() ( ) ( + ) f'() 0 0 Signo de f'(): f' < 0 f () es creciente en (, ), es decreciente en (, + ). Tiene un máimo en (, ). Ramas infinitas: f () 0 y 0 es asíntota horizontal. f () 0 (f () > 0 la curva está por encima de la asíntota). No tiene asíntotas verticales. e) y ( +) + Dominio: Á Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y Punto (0, ) Con el eje X y 0 Punto (, 0) Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f'() ( + )( + ) ( + ) ( + )[ + ( + )] ( + ) ( + ) ( + )( + ) ( + )( ) ( + ) ( + ) f'() 0 ( + )( ) 0 Signo de f'(): f' < 0 f' < 0 Unidad 8. Representación de funciones

44 f () es decreciente en (, ) U (, + ) ; es creciente en (, ). Tiene un mínimo en (, 0) y un máimo en (, 5). Ramas infinitas: f () f () y es asíntota horizontal. (f () < si ; f () > si ) No tiene asíntotas verticales. 5 f) y + + Dominio: Á {0} Cortes con los ejes: No corta al eje Y, pues 0 no está en el dominio. No corta al eje X, pues + 0 para todo. Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f'() ( + ) 9 f'() 0 0 Signo de f'(): f' < 0 f' < 0 0 f () es creciente en (, ) U (, + ); es decreciente en (, 0) U (0, ). Tiene un máimo en (, ) y tiene un mínimo en (, ). Ramas infinitas: f () f () + 0 es asíntota vertical. y es asíntota oblicua. Unidad 8. Representación de funciones

45 (f () < si ; f () > si ) PARA RESOLVER Representa las siguientes funciones estudiando previamente: S Dominio de definición, asíntotas y posición de la curva respecto de estas. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y etremos relativos. 8 a) y + b) y ( + ) c) y d) y + e) y f) y ( ) ( ) ( ) g) y h) y i) y + j) y k) y l) y + ( ) 9 ( ) m) y n) y + ( ) a) y + 8 Dominio: Á {0} Asíntotas: f () 0 f () es asíntota vertical Unidad 8. Representación de funciones 5

46 y es asíntota oblicua. (si, f () < ; si, f () > ) Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() 8 f'() Signo de la derivada: f' < 0 f' < 0 0 f () es creciente en (, ) U (, + ) es decreciente en (, 0) U (0, ) tiene un máimo en (, 8) tiene un mínimo en (, 8) 8 b) y ( + ) Dominio: Á { } Asíntotas: f () 0; f () 0 (si, f () < 0; si, f () > 0) y 0 es asíntota horizontal. f () f () + es asíntota vertical Unidad 8. Representación de funciones 6

47 Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() ( + ) ( + ) ( + )( + ) ( + ) ( + ) f'() ( + ) Signo de f'(): f' < 0 f' < 0 f () es decreciente en (, ) U (, + ) es creciente en (, ) tiene un máimo en ( ), c) y + Dominio: Á {, } Asíntotas: f () es asíntota vertical f () + + f () f () + + es asíntota vertical y es asíntota oblicua. (si, f () < ; si, f () > ) Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() ( ) ( ) ( ) ( ) f'() 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) Unidad 8. Representación de funciones 7

48 Signo de f'(): f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f () es creciente en (, ) U (, + ) 0 es decreciente en (, ) U (, ) U (, ) tiene un máimo en (, ) tiene un mínimo en (, ) d) y + + Dominio: Á {} Asíntotas: f () f () + + es asíntota vertical y es asíntota oblicua. (si, f () < ; si, f () > ) Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f'() 0 ( ) 0 0 Unidad 8. Representación de funciones 8

49 Signo de f'(): f' < 0 f' < 0 0 f () es creciente en (, 0) U (, + ) es decreciente en (0, ) U (, ) tiene un máimo en (0, ) tiene un mínimo en (, ) e) y ( ) Dominio: Á {} Asíntotas: f () 0; f () 0 (si, f () < 0; si, f () > 0) y 0 es asíntota oblicua. f () f () + es asíntota vertical Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 6 ( ) f'() Unidad 8. Representación de funciones 9

50 Signo de f'(): f' < 0 f' < 0 f () es decreciente en (, ) U (, + ) es creciente en (, ) tiene un máimo en (, ) f) y ( ) Dominio: Á {} Asíntotas: f () 0; f () 0 (si, f () < 0; si, f () > 0) y 0 es asíntota horizontal. f () + f () + es asíntota vertical + Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f'() 0 0 Signo de f'(): f' < 0 f' < 0 f () es decreciente en (, ) U (, + ) es creciente en (, ) ( ) tiene un mínimo en, 8 Unidad 8. Representación de funciones 50

51 0, 0, ( )( ) g) y + Dominio: Á {} Asíntotas: f () + es asíntota vertical f () + y es asíntota oblicua. (si, f () > ; si, f () < ) Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() + ( ) f'() 0 ( ) + 0 no tiene solución f () no tiene etremos relativos. f'() > 0 para todo f () es creciente en todo su dominio. h) y 9 Dominio: Á {, } Asíntotas: f (), f () (si, f () < ; si, f () < ) y es asíntota horizontal. Unidad 8. Representación de funciones 5

52 f () f () + + f () + f () + es asíntota vertical es asíntota vertical Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() (9 ) ( ) (9 ) (9 ) (9 ) f'() Signo de f'(): f' < 0 f' < 0-0 f () es decreciente en (, ) U (, 0) es creciente en (0, ) U (, + ) tiene un mínimo en (0, 0) i) y + + Dominio: Á {0} Asíntotas: f () f () + 0 es asíntota vertical y es asíntota oblicua. (si, f () < ; si, f () > ) Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() Unidad 8. Representación de funciones 5

53 f'() 0 0 Signo de f'(): f' < 0 f' < 0 0 f () es creciente en (, ) U (, + ) es decreciente en (, 0) U (0, ) tiene un máimo en (, ) tiene un mínimo en (, ) j) y ( ) Dominio: Á {} Asíntotas: f () ; f () (si, f () < ; si, f () > ) y es asíntota horizontal. f () + f () + es asíntota vertical + Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 ( ) ( ) f'() Unidad 8. Representación de funciones 5

54 Signo de f'(): f' < 0 f' < 0 0 f () es decreciente en (, 0) U (, + ) es creciente en (0, ) tiene un mínimo en (0, 0) k) y + Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. y es asíntota oblicua. (Si, f () > ; si, f () < ). Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() 6 ( + ) ( + ) ( + ) f'() 0 ( + ) 0 0 Signo de f'(): f'() > 0 para todo 0 f () es creciente en todo Á ( + ) Unidad 8. Representación de funciones 5

55 l) y Dominio: Á {, } Asíntotas: f () + es asíntota vertical f () + + f () f () + es asíntota vertical f () f () + ; f () f () + ; + Ramas parabólicas Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8) ( ) f'() 0 ( 8) 0 Signo de f'(): f' < 0 f' < 0 f' < f () es decreciente en (, 8) U (0, ) U (, 8) es creciente en ( 8, ) U (, 0) U ( 8, + ) tiene un mínimo en ( 8, 6) y otro en ( 8, 6) tiene un máimo en (0, 0) Unidad 8. Representación de funciones 55

56 m) y + Dominio: Á { } Asíntotas: f () + f () + es asíntota vertical f () f () + ; f () f () + ; + Ramas parabólicas Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) f'() 0 ( + ) 0 0 Signo de f'(): f' < 0 0 f () es decreciente en (, ) es creciente en (, ) U (, + ) tiene un mínimo en (, 7) tiene un punto de infleión en (0, 0) ( ) n) y + Unidad 8. Representación de funciones 56

57 Dominio: Á {} Asíntotas: f () es asíntota vertical f () + + y es asíntota oblicua. (Si, f () < ; si, f () > ). Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() ( ) ( ) ( ) ( ) f'() 0 ( ) 0 Signo de f'(): 0 f' < 0 f' < 0 0 f () es creciente en (, 0) U (, + ) es decreciente en (0, ) U (, ) tiene un máimo en (0, ) tiene un mínimo en (, 0) 5 a) Halla las asíntotas de la gráfica de la función definida para > 0 por S + f (). b) Halla las regiones de crecimiento y de decrecimiento de f indicando sus máimos y mínimos locales y globales, si los hay. c) Esboza la gráfica de f. a) f () + 0 es asíntota vertical. 0 + Unidad 8. Representación de funciones 57

58 f () + y es asíntota oblicua. (Si, f () > ) b) f'() (no vale) f'() 0 0 ( no vale, pues f () está definida solamente para > 0) Signo de f'(): f' < 0 0 f () es decreciente en (0, ) es creciente en (, + ) tiene un mínimo (local y global) en (, ) no tiene un máimo c) 6 Dada la función f (), se pide: + a) Dominio de definición, asíntotas y posición de la curva respecto a estas. b) Máimos y mínimos relativos, e intervalos de crecimiento y de decrecimiento. c) Dibuja la gráfica de f. a) Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f () 0 y 0 es asíntota horizontal. f () 0 (f () > 0 la curva está por encima de la asíntota). Unidad 8. Representación de funciones 58

59 b) f'() ( + ) f'() 0 0 Signo de f'(): f' < 0 0 f () es creciente en (, 0); es decreciente en (0, + ). Tiene un máimo en (0, ). c) Página 06 7 S Representa gráficamente la función: p () + / + Cuántas raíces reales tiene este polinomio p ()? p() + + p() + ; p() + p'() + + ( + + ) p'() 0 0 Hay un punto singular en (0, ). p''() ( + + ) p''() 0 ± 6 no tiene solución. p() no tiene puntos de infleión. f () tiene dos raíces reales. Unidad 8. Representación de funciones 59

60 8 Dadas las siguientes funciones, halla sus asíntotas, estudia el crecimiento y la eistencia de máimos y mínimos. Dibuja su gráfica: e a) y b) y + + c) y + d) y + 8 ( ) e a) y + Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f () 0 y 0 es asíntota horizontal cuando (f () >0) f () f () + ; + Rama parabólica Crecimiento, máimos y mínimos: f'() e ( + ) e ( + ) e ( + ) ( + ) f'() ±. No tiene solución. f'() > 0 para todo f () es creciente en todo Á. No tiene máimos ni mínimos. Corta al eje Y en ( 0, ). 6 b) y + Dominio: Á (/) + Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. y es asíntota oblicua. (Si, f () > ; si, f () < ) Unidad 8. Representación de funciones 60

61 Crecimiento, máimos y mínimos: f'() ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) f'() 0 ( + ) 0 0 (0, 0) f'() > 0 si 0 f () es creciente (tiene un punto de infleión en (0, 0)) 0,5 c) y + ( ) Dominio: Á {} Asíntotas: f () + f () + + es asíntota vertical y es asíntota oblicua. (Si, f () > ; si, f () > ). Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() 8 ( ) ( ) 8 ( ) f'() 0 ( ) 8 Signo de f'(): f' < 0 f () es creciente en (, ) U (, + ) es decreciente en (, ) tiene un mínimo en (, ) Unidad 8. Representación de funciones 6

62 d) y + 8 Dominio: Á {} Asíntotas: + f () f () + es asíntota vertical. f () y es asíntota horizontal. f () (f () < si ; f () > si ) Crecimiento, máimos y mínimos: f'() ( ) ( + 8) ( 8) ( ) ( ) f'() Signo de f'(): f'() < 0 f () es decreciente en su dominio. (Tiene un punto de infleión en (0, 8)). 7 ( ) 8 9 Estudia los máimos, mínimos y puntos de infleión de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente: a) y e e b) y e + e c) y sen + cos para 0 π Unidad 8. Representación de funciones 6

63 a) y e e senh. Esta función se denomina seno hiperbólico de. f'() e + e f'() 0 e + e 0 no tiene solución no hay máimos ni mínimos f'() > 0 para todo f () es creciente f''() e e f''() 0 e e 0 e 0 e 0 e 0 0 y 0 Signo de f''(): e f'' < 0 0 f'' > 0 Hay un punto de infleión en (0, 0). b) y e + e cosh. Esta función se denomina coseno hiperbólico de. f'() e e f'() 0 e e 0 0 y Signo de f'(): f' < 0 Hay un mínimo en (0, ). f''() e + e f''() 0 no tiene solución no hay puntos de infleión Unidad 8. Representación de funciones 6

64 c) y sen + cos para 0 π f'() cos sen f'() 0 cos sen tg π 5π Signo de f'(): f' < 0 0 π 5π π π 5π Hay un máimo en (, ) y un mínimo en (, ). f''() sen cos f''() 0 sen cos tg π 7π Signo de f''(): Hay un punto de infleión en (, 0) y otro en (, 0). f'' < 0 f'' > 0 f'' < 0 0 π 7π π π 7π π 7π π Unidad 8. Representación de funciones 6

65 0 Representa las siguientes funciones: ln a) y b) y c) y ln d) y ( )e e) y e + f) y e g) y h) y ln ( ) ln a) y e e Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f () f() ; + Rama parabólica f() e e 0 y 0 es asíntota horizontal cuando (f () > 0). Puntos singulares: e f'() e e ( ) e f'() 0 0 Signo de f'() e e f' < 0 f () es creciente en (, ) es decreciente en (, + ) tiene un máimo en ( ), e Corta a los ejes en el punto (0, 0). Unidad 8. Representación de funciones 65

66 ln b) y Dominio: (0, + ) Asíntotas: 0 + f () 0 es asíntota vertical / f() 0 y 0 es asíntota horizontal cuando (f () > 0). Puntos singulares: f'() (/) ln ln f'() 0 ln e Signo de f'(): f' < 0 0 e f () es creciente en (0, e) es decreciente en (e, + ) tiene un máimo en ( ) e, e Corta al eje X en (, 0). c) y ln Dominio: (0, + ) Asíntotas: ln ln / ( ) / 0 + / 0 + No tiene asíntotas verticales. Unidad 8. Representación de funciones 66

67 f () f() + ; + Rama parabólica Puntos singulares: f'() ln + ln + f'() 0 ln e Signo de f'(): f () es decreciente en ( ) 0, e es creciente en (, + ) tiene un mínimo en (, e e ) Corta al eje X en (, 0). 0 e f' < 0 e e d) y ( )e Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f() ( )e 0 y 0 es asíntota horizontal cuando (f () < 0). f () f() + ; + Rama parabólica Puntos singulares: f'() e +( )e e ( + ) e e e Unidad 8. Representación de funciones 67

68 f'() 0 0 Signo de f'(): f' < 0 0 f () es decreciente en (, 0) es creciente en (0, + ) tiene un mínimo en (0, ) Corta al eje X en (, 0). e) y e + Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f () 0 y 0 es asíntota horizontal cuando. (f () < 0 si ) f () f () + ; + Rama parabólica Puntos singulares: f'() e + + e + ( + )e + f'() 0 Signo de f'(): f' < 0 f () es decreciente en (, ) es creciente en (, + ) tiene un mínimo en (, ). Corta a los ejes en el punto (0, 0). Unidad 8. Representación de funciones 68

69 f) y e Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f () f() + ; Rama parabólica e f() + ; 0 y 0 es asíntota horizontal cuando (f () > 0). e e Puntos singulares: y e f'() e e e ( ) e f'() 0 0 ( ) 0 Signo de f'(): e e 0 f' < 0 f' < 0 0 f () es decreciente en (, 0) U (, + ) es creciente en (0, ) tiene un mínimo en (0, 0) tiene un máimo en (, ) e Unidad 8. Representación de funciones 69

70 g) y ln Dominio: ln 0. Además, ha de ser > 0. Dominio: (0, ) U (, + ) Asíntotas: f () f () f () + es asíntota vertical. f () f () + ; + Rama parabólica Puntos singulares: ln f'() ln (ln ) (ln ) (ln ) (ln ) f'() 0 (ln ) 0 Signo de f'(): 0 (no vale) ln e / f' < 0 f' < 0 e / f () es decreciente en (0, ) U (, e / ) es creciente en (e /, + ) tiene un mínimo en (e /, e) h) y ln( ) Dominio: (, ) U (, + ) Asíntotas: Unidad 8. Representación de funciones 70

71 f() es asíntota vertical f() es asíntota vertical + f () f() + ; 0 f () f() + ; 0 Puntos singulares: Ramas parabólicas f'() f'() No hay puntos singulares ( 0 no pertenece al dominio). Puntos de corte con el eje X: ln( ) 0 Puntos: (, 0) y (, 0) 6 6 Estudia y representa las siguientes funciones: a) y b) y c) y d) y a) y Dominio: [, ] Asíntotas: No tiene. Puntos singulares: f'() f'() 0 0 Signo de f'(): f' < 0 0 Unidad 8. Representación de funciones 7

72 f () es creciente en el intervalo (, 0) y decreciente en el intervalo (0, ). Tiene un máimo en (0, ). Corta al eje X en (, 0) y en (, 0). b) y Dominio: (, ] U [, + ) Simetría: f ( ) f () Es par Simétrica respecto al eje Y. Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f () + f () [f () ] [ ] ( )( + ) y es asíntota oblícua cuando. (f () < ) Por simetría (pues f () es par), deducimos que: y es asíntota oblícua cuando. (f () < ) Puntos singulares: f'() f'() 0 0 (que no está en el dominio) No tiene puntos singulares. f () es decreciente en (, ) y es creciente en (, + ). Unidad 8. Representación de funciones 7

73 Pasa por (, 0) y (, 0). c) y / Dominio: Á Simetría: f ( ) f (). Es par: simétrica respecto al eje Y. No tiene asíntotas. Ramas infinitas: f () f () + f () 0 Ramas parabólicas Puntos singulares: f'() / No eiste f'(0) f () no es derivable en 0. f () es decreciente en (, 0) y creciente en (0, + ). Pasa por (0, 0). d) y Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. Unidad 8. Representación de funciones 7

74 f () f () f () f () 0 Ramas parabólicas Puntos singulares: f'() ( ) f () no es derivable en ni en. f'() Signo de f'(): f' < 0 f' < 0 0 f () es creciente en (, 0), es decreciente en (0, + ); tiene un máimo en (0, ). Corta al eje X en (, 0) y en (, 0). Estudia el dominio de definición, las asíntotas y los etremos de cada una de las siguientes funciones y, con esa información, trata de encontrar su gráfica entre las que están representadas a continuación: a) y sen b) y e c) y sen π π π π π π Unidad 8. Representación de funciones 7

75 d) y e) y + f) y sen 5 6 π π π a) y sen Dominio: sen 0 D Á {πk}, k Z Asíntotas: πk, k Z son asíntotas verticales. No hay más asíntotas. Etremos: f'() cos sen π/ + πk f'() 0 cos 0 (k Z) π/ + πk Signo de f'() en (0, π): f () es periódica de periodo π. f () es decreciente en ( ) 0, π ( U π, π) π es creciente en (, π) ( ) U π, π π tiene un mínimo en (, ) π tiene un máimo en (, ) Gráfica 0 + πk; k Z f' < 0 f' < 0 0 π π π π b) y e Dominio: Á Unidad 8. Representación de funciones 75

76 Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f() e 0 y 0 es asíntota horizontal cuando (f () < 0). f () f() + ; + Rama parabólica Etremos: f'() e + e e ( + ) f'() e e Signo de f'(): f' < 0 f () es decreciente en (, ) es creciente en (, + ) e tiene un mínimo en (, ) Gráfica 6 c) y sen Dominio: Á Asíntotas: No tiene. Etremos: f'() cos π f'() 0 cos 0 + πk π + πk f () es periódica de periodo π. Signo de f'(): f' < 0 0 π π π f () es creciente en (0, π) U (π, π) es decreciente en (π, π) tiene un máimo en (π, ) tiene un mínimo en (π, ) Unidad 8. Representación de funciones 76

77 Gráfica 5 d) y Dominio: Á Asíntotas: No tiene. f () f() ; 0 Ramas parabólicas f () f() + ; 0 Etremos: f'() f () no es derivable en 0 f'() > 0 para todo 0. f () es creciente. Gráfica e) y + Dominio: Á Simetría: f ( ) f () f () es par: simétrica respecto al eje Y. Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f() + f () + + [f() ] [ ] ( + )( + + ) y es asíntota oblicua cuando (f () > ). Unidad 8. Representación de funciones 77

78 Por simetría: y es asíntota oblicua cuando (f () > ). Etremos: f'() + + f'() 0 0 Signo de f'(): f' < 0 0 f () es decreciente en (, 0) es creciente en (0, + ) tiene un mínimo en (0, ) Gráfica f) y sen Dominio: Á Asíntotas: No tiene. Etremos: f'() sen cos sen π f'() 0 sen πk k, k Z f () es periódica de periodo π. Signo de f'() en (0, π): 0 f () es creciente en ( ) 0, π π es decreciente en (, π) π tiene un máimo en (, ) π f' < 0 π tiene un mínimo en (0, 0) y otro en (π, 0) Gráfica Unidad 8. Representación de funciones 78

79 La recta y + 6 es una asíntota oblicua de la función f () +. Halla el valor de k y representa la función. S k Hallamos k: Si y + 6 es asíntota oblicua, tenemos que: f () ; [ f () ] 6 Por tanto: f () f () + ; + k [ f () ] [ ] k k k k + k 6 k k Luego: f () + Dominio: Á {} Asíntotas: f () f () + + es asíntota vertical y + 6 es asíntota oblicua. (Si, f () < + 6; si, f () > + 6) Puntos singulares: f'() ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) f'() 0 0 Signo de f'(): ± + 8 6,08 0,08 f' < 0 f' < 0 0,08 6,08 f () es creciente en ( ; 0,08) U (6,08; + ) es decreciente en ( 0,08; ) U (; 6,08) Unidad 8. Representación de funciones 79

80 tiene un máimo en ( 0,08; 0,) tiene un mínimo en (6,08;,) Una partícula se mueve a lo largo de la gráfica de la curva y para S >. En el punto P (, ) la deja y se desplaza a lo largo de la recta tangente a dicha curva. a) Halla la ecuación de la tangente. b) Si se desplaza de derecha a izquierda, halla el punto en el que la partícula encuentra a la asíntota vertical más próima al punto P. c) Si el desplazamiento es de izquierda a derecha, halla el punto en el que la partícula encuentra el eje OX. a) f'() ( ) ( ) + ( ) ( ) 0 f'() 9 La ecuación de la recta tangente en P es: 0 0 y + ( ) y ( ) b) La asíntota vertical más próima a P es. Tenemos que hallar el punto de intersección de con la recta tangente anterior: 0 y 9 9 El punto es (, ) c) Tenemos que hallar el punto en el que la recta anterior corta al eje OX: 0 y 9 9 y 0 y y 0 9 El punto es ( 6, 0 5 ) Unidad 8. Representación de funciones 80

81 5 S Dada la función f () halla: a) Los puntos en los que f no es derivable. b) Calcula sus máimos y mínimos. c) Represéntala gráficamente. a) f () ( + ) si < + si < ( ) si si Si ±, tenemos que: f () es derivable. Su derivada es: f'() + 6 si < 6 si > Por tanto: f'( ) 9 f' ( + ) 9 f'( ) f'( + ) f () no es derivable en (Punto (, 0)). b) f'() si < 0 (0, 0) ( + ) 0 (, ) 6 0 si > ninguno Como f () 0 para todo, tenemos que: f () tiene un mínimo en (0, 0) y otro en (, 0), y tiene un máimo en (, ). c) f () + ; f () + Uniendo todo lo anterior, llegamos a la gráfica: Página 07 6 Halla los puntos de corte, los máimos y mínimos, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los puntos de infleión de las siguientes funciones definidas en el intervalo [0, π]. Utilizando la información obtenida, represéntalas gráficamente: a) y cos b) y + sen c) y sen cos d) y (sen ) Unidad 8. Representación de funciones 8

82 a) y cos Dominio: [0, π] (nos la definen en este intervalo). Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y Punto (0, ) Con el eje X y 0 cos 0 cos π 5π Máimos, mínimos, crecimiento y decrecimiento: f'() sen f'() 0 sen 0 π 5π Puntos (, 0) y (, 0) 0 π π Signo de f'(): f' < 0 0 π π f () es creciente en el intervalo (0, π) y es decreciente en el intervalo (π, π). Tiene un máimo en (π, ), un mínimo en (0, ) y otro mínimo en (π, ). Puntos de infleión: f''() cos f''() 0 cos 0 π π Signo de f''(): f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 0 π π π Puntos de infleión: (, ) y (, ) π π π π π π Unidad 8. Representación de funciones 8

83 b) y + sen Dominio: [0, π] (está solo definida en este intervalo). Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y Punto (0, ) Con el eje X y 0 + sen 0 sen 7π 6 7π π Puntos (, 0) y (, π 6 6 0) 6 Máimos, mínimos, crecimiento y decrecimiento: f'() cos π f'() 0 cos 0 π Signo de f'(): f' < 0 0 π π π f () es creciente en ( 0, ) U (, π) ; es decreciente en (, ). π π π π Tiene un máimo en (, ) y un mínimo en (, ). π π Puntos de infleión: f''() sen f''() 0 sen 0 Signo de f''(): 0 π π f'' < 0 f'' > 0 0 π π Puntos de infleión en (0, ), (π, ) y en (π, ). π π π π Unidad 8. Representación de funciones 8

84 c) y sen cos Dominio: [0, π] (nos la definen en este intervalo). Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y Punto (0, ) Con el eje X y 0 sen cos 0 π π 5π tg Puntos (, 0) y (, 5π 0) Máimos, mínimos, crecimiento y decrecimiento: f'() cos + sen f'() 0 cos + sen 0 + tg 0 tg π 7π Signo de f'(): f' < 0 0 π 7π π f () es creciente en ( 0, ) U (, π) ; es decreciente en (, ). π π 7π 7π Tiene un máimo en (, ) y un mínimo en (, ). Puntos de infleión: f''() sen + cos (sen cos ) f () Los puntos de infleión son los puntos de corte con el eje X. π 7π π π π π d) y (sen ) Dominio: [0, π] (nos la definen en este intervalo). Unidad 8. Representación de funciones 8

85 Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y 0 Punto (0, 0) Con el eje X y 0 sen 0 0 π π Puntos (0, 0), (π, 0) y (π, 0). Máimos, mínimos, crecimiento y decrecimiento: f'() sen cos f'() 0 sen cos 0 sen 0 cos 0 0 π π π/ π/ Signo de f'(): f' < 0 f' < 0 0 π π π π π f () es creciente en ( 0, ) U ( π, ) ; es decreciente en (, π) U (, π). π Tiene un máimo en (, ) (, otro en π, ) π otro en (π, 0) y otro en (π, 0). Puntos de infleión: f''() [cos sen ] f''() 0 cos sen 0 tg 0 π π, y tiene un mínimo en (0, 0), tg tg tg π/ 7π/ π/ 5π/ π Puntos de infleión: (, ), (, ), (, ) y (, ). π 5π 7π π π π π Unidad 8. Representación de funciones 85

86 7 Dada la gráfica de la función f (), determina: S f () X a) Dominio de la función. b) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. c) Intervalos donde la derivada es positiva. d) Puntos donde no es derivable. e) Ecuaciones de las asíntotas. a) (, + ) b) Es creciente en (, ) U (, ) y es decreciente en (, + ). c) f'() > 0 en (, ) U (, ). d) No es derivable en, ni en, ni en. e) Asíntota vertical: Asíntota horizontal: y 0 8 Dada la función f () b con b 0, se pide: S + a) Determina las asíntotas de la función para cualquier valor del parámetro b. b) Determina el valor del parámetro b para que la función tenga un máimo en el punto (, ). a) Dominio: Á No tiene asíntotas verticales. f () f () 0 y 0 es asíntota horizontal. b b) f () b 6 f () 6 + Comprobemos que, en efecto, hay un máimo para : f'() 6( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Unidad 8. Representación de funciones 86

87 f'() Signo de f'(): f' < 0 Como a la izquierda de, y f' < 0 a su derecha, en hay un máimo. 9 Comprueba que la función f () + distintas. tiene dos asíntotas horizontales si < 0 + f () si 0 + Por tanto: f () + y es asíntota horizontal cuando f () + y es asíntota horizontal cuando 8 0 Dada la función f () a + b +, calcula a y b para que la gráfica de f pase por el punto (, 6) y tenga, en ese punto, tangente horizontal. Para ese valor de a y b, representa la función. 8 f () a + b + ; f'() a 8 Pasa por (, 6) a + b 6 a + b Tangente horizontal f'( ) 0 a 0 a Para estos valores, queda: f () + + Dominio: Á {0} 8 a ; b Asíntotas: f () 0 f () es asíntota vertical Unidad 8. Representación de funciones 87

88 8 f () + + y + es asíntota oblicua (Si, f () < + ; si, f () > + ) Puntos singulares: f'() 8 8 f'() Signo de f'(): f' < 0 f' < 0 0 f () es creciente en (, ) U (, + ) es decreciente en (, 0) U (0, ) tiene un máimo en (, 6) tiene un mínimo en (, 0) Estudia y representa y tg indicando su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y etremos, si los hubiere. y tg Como es una función periódica de periodo π, basta con estudiarla en el intervalo [0, π]. Dominio: Á { π + kπ } Asíntotas: π En el intervalo [0, π] tiene una asíntota vertical en : Unidad 8. Representación de funciones 88

89 (π/) f () ; f () + (π/) + (De la misma forma, hay asíntotas verticales en Intervalos de crecimiento y etremos: f'() ( + tg ) < 0 f () es decreciente. No tiene máimos ni mínimos. π + kπ). Corta al eje X, en el intervalo [0, π], en los puntos: tg 0 tg π π π π π π π π π CUESTIONES TEÓRICAS Qué podemos decir del grado de una función polinómica que tiene dos máimos y dos mínimos relativos? En esa función, puede estar uno de los mínimos más alto que el máimo? Si tiene dos máimos y dos mínimos relativos, y es polinómica, su derivada tiene, al menos, cuatro raíces; es decir, f'() será, al menos, de grado. Por tanto, f () será, al menos, de grado 5. Sí, podría haber un mínimo más alto que un máimo. Por ejemplo: está más alto que el má- El mínimo de imo de 0. 0 Unidad 8. Representación de funciones 89

90 Cuántos puntos de infleión puede tener como máimo una función polinómica de cuarto grado? Si f () es un polinomio de cuarto grado, f'() será un polinomio de tercer grado y f''() será un polinomio de segundo grado. Así, f'() tendrá, a lo sumo, dos raíces. Por tanto, f () tendrá, como máimo, dos puntos de infleión. La función f () + no está definida en ni en ; sin embargo, tiene solo una asíntota vertical. Justifica esta información. f () + f () f () ( + )( ) f () es asíntota vertical En hay una discontinuidad evitable, no hay una asíntota. 5 Cuántas asíntotas verticales puede tener una función? Y horizontales? Asíntotas verticales puede tener infinitas. (Como ejemplo, podemos considerar la función y, cuya gráfica está representada en el ejercicio, es la gráfica ). sen Asíntotas horizontales puede tener, como máimo, dos: una cuando y otra cuando. 6 Da un ejemplo de una función que tenga un mínimo en y que no sea S derivable en ese punto. Represéntala. y + si < si f () 0 f () > 0 para Hay un mínimo en, en (, 0). f () no es derivable en, pues f'( ) f'( + ). Unidad 8. Representación de funciones 90

91 La gráfica es: 7 Da un ejemplo de una función que sea derivable en con f'() 0 y S que no tenga máimo ni mínimo en ese punto. Por ejemplo, y ( ). f'() ( ) f'() 0 f'() > 0 para f () es creciente En hay un punto de infleión. La gráfica es: Si es posible, dibuja una función continua en el intervalo [0, ] que tenga, al S menos, un máimo relativo en el punto (, ) y un mínimo relativo en el punto (, ). Si la función fuera polinómica, cuál habría de ser, como mínimo, su grado? f () debe tener, al menos, dos máimos y dos mínimos en [0, ], si es derivable. Si f () fuera un polinomio, tendría, como mínimo, grado 5 (pues f'() se anularía, al menos, en cuatro puntos). Unidad 8. Representación de funciones 9