2º Bachillerato: ejercicios modelo para el examen de las lecciones 11, 12 y 13

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1 º Bachillrato: jrcicios modlo para l amn d las lccions, y 3 Sa la unción F ( ) t dt a) Calcular F (), studiar l crciminto d F() y hallar sus máimos y mínimos. b) Calcular F () y studiar la concavidad y convidad d F(). Esbozar su gráica con los datos obtnidos. a) Llamarmos t ( t) y G(t) va a sr una primitiva cualquira d (t): G (t) (t). Por la rgla d Barrow, F() G( ) G() Drivando, F () [G( )] [G()] G ( ). ( ). ( ) Para studiar l crciminto d F() hay qu analizar l signo d F (). Como simpr, l único punto singular [F ()] s. El squma s: F F - + t t Hay un mínimo n. F() dt. El mínimo stá n l punto (,). b) Como F (). Al igual qu ants, como t F () 3 +. ( ) >, F () ¼ ½ F F - + -½ ½ -

2 La gráica d F() podría sr así:

3 Calcular las asíntotas, concavidad, convidad y puntos d inlión d la unción y ) ( Asíntotas horizontals: lim lim Hay dos asíntotas horizontals dirnts, una por - (y, s dcir l j OX, y la gráica s aproima a sa rcta por ncima) y otra por + (la rcta y, a la qu la gráica d la unción s acrca por dbajo). Asíntotas vrticals: no hay ninguna pusto qu l dominio d dinición d () s todo R, dado qu l dnominador nunca pud valr ( - > simpr). Asíntotas oblicuas: no pud habr pusto qu hay horizontals. Para studiar su curvatura ncsitamos la sgunda drivada. ) ( y ) ( ' ) "( 3 Como - >, también srá + - >, por lo qu l único término qu pud cambiar d signo s Así, () Si <, - > - > > () > srá cóncava En cambio, si >, - < - < < () < srá conva Y n hay un punto d inlión: (, ½ ).

4 La gráica rsulta así: Esta gráica s una vrsión muy sncilla d la curva logística, modlo matmático dl crciminto d una población.

5 a) Dibujar las parábolas y 5 ; y b) Dtrminar l ára dl rcinto acotado qu limitan dichas parábolas. Tanto para dibujarlas como para hallar l ára pdida nos intrsa calcular los puntos d cort d ambas parábolas: ( 6 ) ( + ) 6, - a) Para rprsntarlas harmos una tabla d valors conjunta: y y b) El ára pdida s calculará así: A 6 y y d y y G() - ⅔ G(6) - ⅔ G(-) ⅔ ⅔ A 6 y y d ⅔ + ⅓ u

6 Calcular ln d, dond ln indica logaritmo npriano. Utilizarmos l método d intgración por parts para calcular una primitiva G(): u ln ( + ) ; dv d du d ; v Por tanto G(). ln ( + ) - d. ln ( + ) - d. ln ( + ) - d d. ln ( + ) + d. ln ( + ) + ½ ln + Aplicando ahora la rgla d Barrow: ln d G() G() ln 3 + ½ ln 3 ( + ½ ln ),5 ln 3 (),5 ln 3 -

7 3 Rprsntar gráicamnt la unción ( ), hallando sus asíntotas 9 horizontals y vrticals, intrvalos d crciminto y dcrciminto, trmos rlativos, concavidad, convidad y puntos d inlión. Asíntotas horizontals: 3 lim ( ) lim Por tanto la rcta y (l j OX) s asíntota horizontal 9 d la gráica d. Por + la unción stá por ncima dl j OX mintras qu por - la gráica quda por dbajo dl j OX. Asíntotas vrticals: Obviamnt los valors a considrar son ±3 3 lim ( ) lim lim ( ) lim Por lo tanto las rctas - 3, 3 son asíntotas vrticals. Estudio d la primra drivada: 3. 9 () 9.3 d (dntro dl dominio d ) < para cualquir valor Sgunda drivada: ()

8 Los actors ( +7) y ( - 9) son positivos para cualquir valor d (dntro dl dominio d ), por lo qu los puntos singulars ( ) son,, ± 3. Analizando l signo d n cada uno d los cuatro intrvalos qu rsultan, s obtin: Sólo hay punto d inlión n, y ; n ± 3 no ist la unción.

9 Calcular l valor d la intgral sn d Simpr qu aparzca tndrmos qu sparar la intgral propusta n otras dos, una para > (dond ) y otra para < (dond - ). I sn d sn d + sn d - sn d + sn d La prsión subintgral s la misma n ambas; sólo hará alta calcular una primitiva: G() sn d [por parts*] - cos - cos d - cos + sn [*]: u, dv sn d du d, v - cos Hará alta calcular G(-π) π cos (-π) + sn (-π) π. (-) + -π G() G(π) - π cos π + sn π - π. + - π Lugo, I - [ G()-G(-π)] + [G(π) G()] G(-π) + G(π) -π - π - 3π

10 a) Dtrminar las uncions (dinidas sobr toda la rcta ral y qu toman valors rals) qu satisacn la condición d qu la pndint d la rcta tangnt n un punto gnérico (,y) d su gráica vin dada por la prsión. b) Hallar los máimos y mínimos locals y los intrvalos d crciminto y dcrciminto d aquélla d las uncions dl apartado antrior qu pasa por l punto (,). a) La pndint d la rcta tangnt a una curva [a la gráica d una unción y ()] n un punto cualquira (,y) s l valor d la drivada para s valor d la : (). Por tanto lo qu nos stán dicindo, con una rdacción muy ormalista, s qu ncontrmos todas las uncions () d orma qu (). O sa qu hallmos una primitiva cualquira d.. Pus a llo: (). d [*por parts]. - d. ( ) + C [*]: u, dv d du d, v b) Ahora hay qu hallar l valor d la constant d intgración C para ncontrar cuál d sas uncions () pasa por l punto (,). Db sucdr qu (), pro () - + C - + C C Y la unción pdida s () ( ) + Pro, n ralidad, todo sto no nos hac ninguna alta, pusto qu para studiar l crciminto d () lo qu tnmos qu hacr s analizar l signo d su drivada (). Rsulta qu, con indpndncia dl valor concrto d la constant d intgración C, () simpr tinn qu sr igual a.. En rsumidas cuntas, hay qu studiar l signo d ().. Como > simpr, l único punto singular (y ) s : - + La unción () ( ) + C (valga lo qu valga C) dcrc n (-,), crc n (, ) y tin un mínimo (rlativo y absoluto) n. Para lo qu sí hac alta l valor d C ants calculado s para dtrminar dónd stá s mínimo, para hallar lo qu val (): () (-) El mínimo stá n l punto (,).

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