CAPÍTULO III LÍMITES Y CONTINUIDAD. Y decimos que el límite de f(x), al tender x hacia c, es L. 2 lim. 3 x

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1 CAPÍTULO III LÍMITES Y CONTINUIDAD. DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE La idea de límite que teemos e uestro diario vivir, es la que o maor propiedad os puede aerar al oepto de límite, así por ejemplo, hablamos de la apaidad límite de u reipiete, del máimo peso que puede sosteer u apoo, del límite de veloidad e ua zoa esolar, del ite de toleraia de ua persoa, et. Todo esto sugiere que el límite es u tipo de ota que puede alazarse uas vees otras o. Deimos que el umero L es el límite de f() uado tiede a ua vez que el úmero f() pueda aerarse a L uato os plaza, simplemete esogiedo lo sufiietemete era, auque o sea igual al úmero. Por tato si f() queda arbitrariamete era de u úmero L al teder haia desde ualquier lado, esribimos etoes: f ( ) L Y deimos que el límite de f(), al teder haia, es L Ua forma mu simple de determiar u límite osiste e estableer valores de que se aproime al valor límite ver la tedeia de f() Ejemplo. Hallar 6 -, -, -, -, - -,999 -,99 -,9 -,8 f() -, -, -, -,? -,999 -,99 -,9 -,8 Claramete se puede observar que f() tiede a - por tato 6 Esta forma de álulo permite ooer resultados de límites ates de iiiar las operaioes de reduió de las epresioes algebraias, e oasioes ooer el resultado o aterioridad puede ser de muha utilidad.

2 . DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LÍMITE La euaió f ( ) L sigifia que para ada ε > eiste u δ > tal que f() - L < ε siempre que < - < δ L + ε f() L L - ε - δ + δ Para ada ε > eiste u δ >, esto quiere deir que si elegimos u valor partiular de ε para tal eleió de ε ha u δ apropiado. No eigimos que eista el mismo δ para más de ua eleió de ε. Además el úmero δ o es úio, puesto que si vale u δ, tambié sirve ualquier úmero positivo que sea meor.. FORMAS INDETERMINADAS Y DETERMINADAS So formas idetermiadas las epresioes o u límite que o es evidete por ispeió, estos geeralmete odue a las formas /, /, -,,,. Las formas determiadas so aquellas e las uales luego de haberse efetuado las reduioes algebraias eesarias se preseta las formas: L,,,, e uo aso el límite es ero L LARSON HOSTETLER, Cálulo Geometría Aalítia, M.Graw Hill 987 Pag.89

3 o bie: L L,,,, e uo aso el límite es ifiito. LÍMITES LATERALES La aproimaió de a, a través de valores maores que se deomia ite por la izquierda la aproimaió a través de valores meores a, límite por la dereha; se deota por f( ) (izquierda) f( ) (dereha) Si f es ua fuió, L so úmeros reales, etoes f ( ) L si sólo si f ( ) L f ( ) L. PROPIEDADES DEL LÍMITE Si b,,, A B so úmeros reales, siedo f g fuioes tales que, f ( ) A g( ) B, etoes: ) b b ) ) b f ( ) b A ) f ( ) g( ) A B ) f ( ) g( ) A B 6) 7) f ( ) A B g( ) B 8) ( ) e 9) e ) l a Hallar los siguietes límites: a

4 6 Ejemplo 9 Soluió ( )( ) ( ) 6 Ejemplo Respuesta: ( )( ) ( ) Ejemplo Respuesta: Reuérdese que: - = ( - ) ( + + ² + ) Etoes - = ( / - )( / + / + / + / + ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) Ejemplo Soluió:

5 7 9 7 Ejemplo. Soluió: / / / / Ejemplo 6 Si ( ) ε=, Hallar δ Como f() - L < ε siempre que < - < δ ( + ) - <, siempre que < - < δ - 6 <, siempre que < - < δ - <, siempre que < - < δ - <, siempre que < - < δ por tato δ =, Ejemplo 7. Para ualquier ε >, hallar u δ > tal que; f() - L < ε siempre que < - < δ si ( ) 9 ( + ) - 9 < ε siempre que - < δ - 8 < ε siempre que - < δ - < ε/ siempre que - < δ Etoes δ = ε/

6 8 Ejemplo 8 Respuesta. Como quiera que el límite tiede a uo por izquierda, sigifia que tomará u valor ligeramete meor a uo haiedo que e el deomiador prevaleza el sigo de -, por tato el deomiador es u ifiitésimo egativo el límite será igual a: Ejemplo 9. Sea t si ; ; t t t t t e Ejemplo. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

7 ( ) Ejemplo l(os ) l(os ) l ( si ) l(os ) l / ( ) ( / / ) ( l si ) e si si si 9 l e si l e si si l e l e NOTA.- El estudiate debe resolver los problemas al de la prátia págias CONTINUIDAD Ua fuió es otiua e si se da estas tres odiioes Puto de disotiuidad ) f() está defiido ) f ( ) eiste. ) f ( ) f ( )

8 Se die que ua fuió es otiua e u itervalo (a, b) si es otiua e ada puto del itervalo. [] Ua fuió poliómia de la forma f() = a + a a - + a (a ) Es otiua para todo úmero real Ua fuió raioal f() = g() / h() es otiua e todos los valores reales de su domiio ( h() )..7 PROPIEDADES Si las fuioes f, g so otiuas e, las siguietes fuioes so tambié otiuas e : ) f ± g ) a f, dode a es ua ostate arbitraria. ) f g ) f /g, si g(). ) f(g()) supuesta f otiua e g() [].8 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO Si f es otiua e [a, b] k es u úmero ualquiera etre f(a) f(b), eiste al meos u úmero etre a b, tal que f() = k f(a) k f(b) a b.9 LÍMITES Y ASÍNTOTAS Asítota es la posiió límite, si eiste, a la ual tiede la reta tagete a ua líea plaa uado ua o ambas oordeadas, del puto de otato tiede [][] LARSON HOSTETLER, Cálulo Geometría Aalítia M. Graw Hill 987 Pag. 6-69

9 haia ifiito..9. ASÍNTOTAS VERTICALES Eiste uatro lases de límites laterales ifiitos:.- f( ).- f( ).- f( ).- f( ) E ada uo de estos asos, la reta = se llama asítota vertial de f(). Tambié impar par Si la fuió F() = f()/g() es tal que f(), g() =, tato f omo g so otiuas e u itervalo abierto que otiee a, la gráfia de F tiee ua asítota vertial e =. [].9. ASÍNTOTAS HORIZONTALES Si L es u úmero real : f ( ) L f ( ) L Etoes, e ambos asos, la reta = L se llama asítota horizotal de f(). [6].9. LÍMITES EN EL INFINITO Si r es positivo u úmero real ualquiera, etoes r r Si r está defiido para < [] [6] LARSON HOSTETLER, Cálulo Geometría Aalítia M. Graw Hill 987 Pag. 7

10 Ejemplo. Determiar asítotas vertiales, horizotales grafiar Asítotas vertiales: 6 ( )( ) Asítota horizotal: + = = - / - = = / por tato, la reta = es ua asítota horizotal de la fuió. /7 / -/ - / - -6/

11 .9. LÍMITES EN EL INFINITO DE FUNCIONES RACIONALES Para la fuió raioal f()/g(), dode [8] teemos que: m m f ( ) a a... a m g( ) b b... b m f( ) a g ( ) b m si m si m si m Ejemplo. Hallar el siguiete límite: E este aso se tiee que < m por tato el límite es ero. Ejemplo Como > m etoes el límite es ifiito. Ejemplo E este aso el grado del umerador es igual al grado del deomiador, por tato, el límite es igual al oiete de los oefiietes de las maores poteias de, e este aso 8/. [8] LARSON HOSTETLER, Cálulo Geometría Aalítia M. Graw Hill 987 Pag.8

12 Ejemplo. Hallar La maor poteia de es /, el problema puede resolverse dividiedo todo etre la raíz uadrada de, si embargo u método más simple osiste e omparar las poteias del umerador deomiador, omo so iguales se tiee: Ejemplo Ejemplo APLICACIONES A SUCESIONES Ua suesió {a }, es ua fuió uo domiio orrespode al ojuto de los eteros positivos tiee ua le de formaió. Ua suesió es moótoa reiete si todo térmio es maor o igual al térmio aterior moótoa dereiete e aso otrario, fiita si eiste u primer último térmio e ifiita si falta uo de ellos o ambos. Ejemplo ; ; ; ;... Esta suesió es moótoa dereiete e ifiita. a

13 .9.. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN La suesió {a } tiee límite fiito L uado tiede a ifiito, si a todo úmero positivo ε por pequeño que sea, le orrespode u úmero atural N tal que: a L a L N N es el úmero a partir del ual se umple la desigualdad a L límite eiste la serie es overgete, aso otrario es divergete.. Si el Ejemplo Hallar Las poteias de e el umerador deomiador so iguales, por tato: Ejemplo De maera similar a la aterior el límite orrespode al oiete de los oefiietes de las maores poteias de Ejemplo Hallar el límite de la suesió a ; ; ;...

14 6 Ejemplo Ejemplo 8 8 Diverge.9. ASÍNTOTAS OBLICUAS Sea ua fuió raioal de la forma F() = f()/g() dode el grado del umerador es maor e ua uidad que el grado del deomiador, etoes al dividir, se obtiee. f ( ) R F( ) ( m b) g( ) g( ) Dode R es el residuo de la divisió. Puesto que R g ( ) Etoes uato maor sea la fuió F() = f()/g() será más pareida a la euaió de la reta m +b, es deir f()/g() tiede a la reta = m + b uado tiede a. Esta reta se llama asítota obliua de la fuió. Los valores de m b de la euaió de la reta que represeta a la asítota obliua puede ser hallados tambié de la siguiete maera: F( ) ( m b) R g( ) F( ) m b) F() b F( ) m ( F( ) m) m ordeada absisa F( )

15 m F( ) b ( F( ) m) 7 Ejemplo. Determiar asítotas grafiar Esta fuió tiee ua asítota vertial e =, o tiee asítota horizotal puesto que el límite de la fuió uado es, tiee asítota obliua puesto que el grado del umerador es maor e ua uidad que el grado del deomiador, efetuado diha divisió obteemos: Por tato, la asítota obliua será = Esta fuió es además simétria respeto al orige a que al reemplazar por -, por - se obtiee ua euaió equivalete, por lo ual es sufiiete hallar la gráfia e u solo lado del eje por simetría trazar el otro. /

16 8 Ejemplo. Determiar asítotas, simetría grafiar 8 ( ) ( ) 8 o es simétria al eje 8 o es simétria al eje ( ) ( ) 8 es simétria al orige ² - 8 = ===> ² = ===> = ± asítotas vertiales o eiste asítota horizotal asítota obliua

17 Ejemplo. Determiar asítotas, simetría grafiar. Asítotas vertiales Asítota horizotal No eiste asítota horizotal Simetría ( ) ( ) Es simétria al eje Asítota Obliua m 9 La euaió de la asítota obliua será: m b Por simetría al eje la otra asítota obliua será: Campo de eisteia ( )( ) (, ) (, )..6..6

18 6 Ejemplo. Grafiar determiado simetría asítotas No eiste asítotas vertiales i obliuas. Asítota horizotal = es la asítota horizotal Simetría ( ) Es simétria al eje ( ).6.8 NOTA. Determiar asítotas simetría grafiar los problemas al de la prátia, págia 7. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS Los límites trigoométrios o puede verifiarse usado la defiiió de límite diretamete sio que requiere para su demostraió de alguos artifiios. Ejemplo. Demostrar que si Demostraió Puesto que se trabajará o el límite de la epresió al teder el aro a ero, el segmeto de aro PQ puede igualarse al aro, etoes se tiee. si ta

19 si ta si si si 6 A C si os B D si os AB = si CD = ta por tato si Ejemplo. Demostrar que os Demostraió os os os si os ( os ) ( os ) si si os. LEY DEL EMPAREDADO Se ooe tambié o los ombres de, teorema de estriió o teorema de eaje epresa lo siguiete: Si h() f() g() para todo e u itervalo abierto que otiee a eepto posiblemete el mismo si; Etoes h( ) L g( ) f ( ) L

20 6 Ejemplo Ejemplo Ejemplo si sisi 9 9()() 9 si 7 si 7 7 os6 os6 6 (6)() 6 Ejemplo os Ejemplo ()() 6 6()() 6 si si si si si si () ( )

21 Ejemplo 6 si Sea t = / etoes si ; t, por tato 6 si t si si t t t t t Ejemplo 7. Utilie la le del emparedado para hallar si Etoes Ejemplo 8. Hallar Soluió sea: si si si si si g( ) si g( ) ( ) ( ) g( ) ( ) ( ) g( ) ( ) f ( ) ( ) h( ) ( ) f ( ) h( )

22 6 Por la le del emparedado Ejemplo 9. Resolver f ( ) g( ) h( ) g ( ) si si (si si )(si si ) si si si si ( )( ) ( ) ( si os si si( ) si si os( ) ( ) os( ) si si os si( ) si os Ejemplo arta() si( ) arta( ) arta( ) si() si() Para el límite del umerador sea arta( ) t ; tat tat ; t

23 t t tat si() t t tat si() 6 Ejemplo sih e ( e e ) sih e e e e e l e l( e ) l e l( e) Ejemplo Utilizado la defiiió de límite para ualquier tal que f ( ) L siempre que si: ( ( ( )( )( ) ) ) ( ) Cosiderado el itervalo (,) halle u

24 66 ( ) Por tato mi(, ( Ejemplo Grafiar hallar el límite de ada parte de: ) ) f ( ) si si si ( ( ) ) El límite uado tiede a o eiste por que los dos límites laterales so diferetes. NOTA. El estudiate o debe olvidar resolver los problemas al de la prátia, págia 8. CÁLCULO DE LÍMITES CON APOYO DE DERIVE Puede hallarse el límite de ua epresió u uado la variable tiede al puto a itroduiedo la epresió LIM(u,, a). Por defeto, se osidera que a vale. Por ejemplo, para alular el límite que permite obteer la derivada de ², debe hallarse el límite: f ( ) f ( ) ( ) Para ello haga Δ = h e iserte e la Barra de Etrada de Epresioes LIM(((+h)^-^)/h, h, )

25 Barra de Etrada de Epresioes 67 Utilie el íoo ( h) h h itroduir simplifiar para obteer: Para hallar el límite por la dereha de Itroduza la epresió LIM(/,,, ) se simplifia a + (mas ifiito) Para hallar el límite por la izquierda de Itroduza la epresió LIM(/,,, -) se simplifia a - (meos ifiito).. APLICACIONES PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES CON DERIVE Los siguietes resultados se obtiee al apliar derive al álulo de límites, de auerdo a las idiaioes del iiso aterior, la vetaa de álgebra del derive mostrará: 6 # # - # ( ) # e 9 #

26 68 #6-6 #7 #8 #9 # # # PARA HALLAR δ CUANDO ( ) ε =. SE PUEDE RESOLVER EL SIGUIENTE SISTEMA DE INECUACIONES. # SOLVE ( X., ) #. DERIVE TAMBIÉN PERMITE RESOLVER LÍMITES LATERALES COMO: # - ) ( #6 - #7 ) ( #8 #9 ( ( ( ) ) ) ) #

27 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS CON DERIVE si( ) # # os( ) # # si() # #6 9 #7 si(7 ) #8 7 os(6 ) #9 # # os # 6 si( ) # # # si #6 #7 si #8? OBSERVE QUE ESTE ES UN LÍMITE QUE DERIVE NO PUDO RESOLVER, FUE RESUELTO ANTES UTILIZANDO LA LEY DEL EMPAREDADO. 69

28 7 si( ) si( ) #9 # si( ). GRÁFICAS CON DERIVE Ua desripió e detalle puede eotrarse e el aterior apítulo, a otiuaió mostramos gráfias ostruidas o apoo del derive. HALLAR ASÍNTOTAS Y GRAFICAR # 6 PARA HALLAR LAS ASINTOTAS VERTICALES # SOLVE( 6 +, ) # DESPUÉS DE REPRESENTAR ESTAS RECTAS SE PUEDEN GRAFICAR # # PARA HALLAR LA ASÍNTOTA HORIZONTAL #6 6 #7

29 7 HALLAR ASINTOTAS Y GRAFICAR LA SIGUIENTE FUNCIÓN #8 LA ASÍNTOTA VERTICAL ES = PARA HALLAR LA ASÍNTOTA OBLICUA DEBE DIVIDIRSE EL NUMERADOR ENTRE EL DENOMINADOR, LO CUAL PUEDE HACERSE MEDIANTE: EXPAND permite epadir ua epresió o subepresió o respeto de alguas (o todas) de sus variables. Si ua epresió poliómia se epade, se obtiee justamete la epasió de ese poliomio. Si se epade ua epresió raioal, se obtiee su desomposiió e fraioes simples. Notemos que la fuió EXPAND o otrola epasioes epoeiales, logarítmias i trigoométrias. Debe prestarse espeial ateió a ésta orde del derive a que al apliarse debe busarse el oiete e la epresió que otiee la variable e el umerador, las demás fraioes simples o tedrá esta araterístia. #9 EXPAND,

30 7 # POR TANTO, LA ASÍNTOTA OBLICUA ES: # = EJEMPLO. DETERMINAR ASÍNTOTAS Y GRAFICAR LA SIGUIENTE FUNCIÓN # 8 ASÍNTOTAS VERTICALES # SOLVE( 8, ) # = - o = # = # = - ASÍNTOTA OBLICUA

31 #6 EXPAND, 8 #7 #8 7

32 7