Universidad de Buenos Aires Instituto Libre de Segunda Enseñanza MATEMÁTICA

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1 Universidad de Buenos Aires Instituto Libre de Segunda Enseñanza MATEMÁTICA CUARTO AÑO QUINTO AÑO - 016

2 1) Hallar la órmula de unción cuadrática g, que cumple las dos condiciones simultáneamente: 1) g(1) = g(6) = 8 ) g (0) = 0 ) Se quiere que el conjunto imagen de la unción g del ejercicio anterior sea 0;+ Modiique solo la segunda condición (ordenada al origen de g) para que esto [ ) ocurra 3) Completar de acuerdo al gráico: Dom = Im = C + = C - = C 0 = crece en decrece en :, 1 biyectiva 1 ( ) [ ) { } : 0; 1 biyectiva 4) Determinar la ecuación de la recta perpendicular a la recta y = x + 3, que pase 3 por el punto de intersección de ( x) = x + x 3x + 4 con g ( x) = x + 5, sabiendo que la abscisa del punto de intersección es un número natural 5) Dada g ( x) = x + x 3, se pide: a) Determinar la unción homográica (x) tal que la asíntota vertical sea el eje de simetría de la unción cuadrática g (x) ; la asíntota horizontal corta al eje de las

3 ordenadas en y = 1 ; además se pide que la unción homográica (x), pase por la menor de las raíces de g (x) b) Representar gráicamente la unción homográica (x) 6) Sea (x) una unción polinómica de grado 3 tal que ( 1) = 6 Sabiendo que el gráico de (x) pasa por el origen de coordenadas y que los ceros de g ( x) = x 3x 10 son también ceros de (x), hallar (x) Determinar el conjunto de positividad, de negatividad de (x) ) Determinar el valor real de a, tal que (0) =, sabiendo que ( x) = + a x 7 Para el valor de a hallado, dar las ecuaciones de las asíntotas de (x) 5 x 8) Dada : R R / (x) = e, deinir 1 ( x ) la unción inversa, dominio y conjunto imagen de 4x 8x + 1 9) Dada ( x) =, determinar el valor real de a, de manera que la recta de ax 10 ecuación y = sea asíntota horizontal de (x) Para el valor de a encontrado, 5 escribir las ecuaciones de todas las asíntotas verticales de (x) 10) Determinar el valor real de a, tal que el máximo de π :[ 0; 4π] R / ( x ) = 4sen x a sea 3 Para el valor de a encontrado, determinar todos los valores del dominio para los cuales (x) alcanza su valor máximo 11) Determinar el conjunto de positividad de x) = sen( x) 5 0 ; π ( en el intervalo 1) Se está estudiando la evolución de una colonia de 100 roedores que habitan en una isla A los 4 meses de comenzado el estudio se realiza un conteo y se detectan 560 roedores Dadas las condiciones del medio se establece que no podrán convivir más de 000 ejemplares a) Qué órmula modela la situación? 3

4 R ( t) = R ( t) = R ( t) = 1+ 19e 1+ 19e 1+ 19e 1 5 t 0,5 t 3 0,5 t b) La población de roedores superará los 000 individuos? π 13) Determinar los ceros de :[ 0; π] R / ( x ) = 4 cos x π 14) Dada ( x) = a cos x + 5, determinar el valor real de a, tal que Im = [ ;8] Con el valor de a > 0 encontrado, hallar un x sabiendo que ( x) = 15) Dada la unción polinómica 4 3 g( x) = x 3x + x 15x 45, se pide: a) Teniendo en cuenta que g se puede escribir de la orma: ( ) g(x) = x + 5 (x) Hallar (x) b) Proponga una unción polinómica h que veriique simultáneamente las siguientes condiciones: grado 4 h 1 + (7) = 0 h ( ) = 0 C = C 3 c) Sabiendo que las gráicas de g y ( x) = x + ax 59x 9 se intersecan en un punto de abscisa y otro de abscisa -4, hallar a y las coordenadas de todos los puntos de intersección d) Hallar x R / g( x ) > ) La órmula de uno de los gráicos que se muestran es y = sen x Determinar las coordenadas del punto D y una órmula que corresponde al otro gráico h g 4

5 17) Se muestran los gráicos de una unción exponencial, una unción logarítmica de base 1/4 y sus respectivas asíntotas con línea punteada Dar la órmula de cada unción 18) El gráico muestra dos rectas perpendiculares y una hipérbola con sus asíntotas Determinar las coordenadas del punto P 19) Hallar la ecuación de la recta que cumple simultáneamente: - su abscisa al origen es - interseca a la gráica de y = x + x 1 en un solo punto 5

6 0) Dada : D R / ( x) = 4 3 x 3x + 5x 3x x x a- Dar la expresión simpliicada de b- Hallar el conjunto de positividad y el conjunto imagen de b- Graicar 1) A continuación se muestra el gráico de una unción polinómica de grado 3 y una parábola Determinar la órmula de la unción polinómica ) Resolver las siguientes ecuaciones: a) ( ) log x x+ x+ 1 x 5 8 = b) log 9 = 0 3 x log7 x c) ( cos3x ) ( ) ( ) 0 [ 0 π] e e ln senx = x, 6

7 RESPUESTAS 1) ) 7 9 g( x) = x 39 g (0) = 5 + 3) a) Dom = R { 1; 1} ; Im = ( ; 1] ( 1; ) ; = ( ; 1) ( 1; ) 0 C = ( 1;1 ) ; C = Crece: ( ; 1) ( 1;0 ) ; Decrece: ( 0 ;1) ( 1; ) : (, 1) ( 1; + ) :[ 0; ) { 1 } ( ; 1] ( 1; + ) 1 4) y = x + C ; 5) x + 3 ( x) = x ) ( x) = x ( x 5) ( x + ) C = ( ;0) ( 5; ) C = ( ; ) ( 0;5) 7) a = 8 ; A V : x = 7 ; A H : y = 8 8) 1 ( x) = ln( x + ) + 5 ; 1 = ( ;) 9) a = 10 ; A V : x = 1; x = 1 10) a = 1 ; x = π ; x = 3π + π π 5 11) C = 0; ; π 1) a) R 3 b) No superará los 000 roedores Dom ; Im R 1 = 13) 0 C = π; π; π; π ) a = 3 o a = 3 ; x = π 4 15) b) ( ) = + ( 3) ( + ) h x x x x c) a = 5 (;-63) ; 4 3 d) x ; ( 3; + ) ) D = π ;1 ( x) = 3sen 3x π o ( x) = 3cos ( 3x ) 3 (-4;735) 7

8 ) y = log 1 4 x y = ) P = 4; 4 19) y = -4x + 8 0) a) : R { 0;3 } R / ( ) = + 3 1) x x x x C + = R { 0;1} Im = ( ; + ) ( x ) = x x + 4 ) a) S = { 3;3} b) = { 3} S c) π S = ; π; π; π; π; π

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