MODELO JUNIO 2004 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Transcripción

1 MODLO JUNIO MTMÁTICS PLICDS LS CINCIS SOCILS II INSTRUCCIONS GNRLS Y VLORCIÓN INSTRUCCIONS: l eaen resenta dos ociones: B. l aluno deberá elegir una de ellas resonder, raonadaente a los cuatro ejercicios de que consta dicha oción. Para la realiación de esta rueba uede utiliarse calculadora científica, siere que no disonga de caacidad gráfica o de cálculo sibólico. TIMPO MÁXIMO: Una hora treinta inutos. CLIFICCIÓN: Cada ejercicio lleva indicada su untuación áia. OPCIÓN. (Puntuación áia: untos) Se considera el siguiente sistea lineal de ecuaciones. Deendiente del aráetro : ) ( a) Discutir el sistea ara los distintos valores de. b) Resolver el sistea ara. a. n todo sistea con igual núero de ecuaciones que de incógnitas si el deterinante de la atri de coeficientes es distinto de cero, el sistea es coatible deterinando, udiéndose obtener la solución, or el étodo de Craer. Teniendo en cuenta lo anterior, se discute el sistea ara los valores del aráetro que anulan el deterinante de la atri de coeficientes.. det ; ; Discusión; I) Si sistea coatible deterinado. II) Si licando el étodo de Gauss: F F 8 : S Sistea coatible indeterinado. b. Para ; Sistea coatible deterinado. Método de Craer: 8; 6 - ; 6

2 . (Puntuación áia: untos) Se considera la función real de variable real definida or f a) Hallar las coordenadas de sus áios ínios relativos. b) Deterinar los intervalos de concavidad conveidad. c) sboar la gráfica f(). a. La condición necesaria suficiente ara que una función f () alcance en un etreo relativo (áio o ínio) es que la riera derivada sea distinta de cero, con el siguiente criterio. Si f ''( ) < (, f ( )) eiste un áio relativo Si f '( ) Si f ' '( ) > (, f ( )) eiste un ínio relativo f f ' ( ) f ' ' ( ) Igualando a cero la riera derivada, se localian los osibles etreos relativos, la segunda derivada, confira diferencia los etreos relativos. f() (, ) f ' : : : ; ± : f( ) (, ) f ''() > (, ) Mínio f ''( ) < (, ) Máio b. La curvatura de una función se estudia con el signo de la ª derivada según el siguiente criterio. f '' > la curva estará or encia de la tangente. CONCV Si, Si '', f < la curva esta or debajo de su tangente. CONVX f '' Si : Si < f > f '' '' < convea > concava c. f () Doinio: D R {} Corte con los ejes: OX: : : : R La función no corta al eje OX OY:. La función no está definida en cero. La función no corta al eje OY.

3 síntotas: Lí -Vertical: Lí : Lí - Horiontal: Lí Lí No eisten asíntotas horiontales. - Oblicuas: n f () Lí Lí Lí Lí n Lí( f () ) Lí Lí. (Puntuación áia: untos) Un rosal no está en buen estado, or tanto, sise riega tiene la isa robabilidad de antenerse que de secarse. La robabilidad de que se antenga si no se riega es,. La robabilidad de no regar el rosal es /. Si el rosal se ha secado. cuál es la robabilidad de no haberlo regado? Se define los siguientes sucesos. Regar el rosal. B l rosal se antiene. Datos: ( B ) B B ' ;

4 Se ide: B licando el teorea de Baes: B ( B) ( B) ( B) [( B) ( B) ] ( ) ( B) ( B) Se conocen todos los valores eceto `B, ero teniendo en cuenta que: Sustituendo B B Sucesos coleentarios B B ' '7 '7 B La robabilidad de que no se halla regado si al final se ha secado es del 7%. Otra fora de resolver el roblea es or un cuadro de contingencia: ( ) B ( ) B B Mantenerse (B) No antenerse ( B ) Regar () No regar ( ) Base de cáculo Base de cálculo. Puede servir cualquier núero, si se escoge con criterio salen valores que resultan bastante lógicos. ( B) B ( B). (Puntuación áia: untos) Se suone que los ingresos diarios en una eresa siguen una distribución noral con edia euros desviación tíica euros. a) Cóo se distribue la edia uestral aleatoria de taaño n? b) Se disone de una uestra aleatoria de observaciones. Calcular la robabilidad de que el roedio de ingresos esté entre euros. Variable continua. Ingresos diarios. N, a. Si te toan uestras de taaño n de cada uestra se saca la edida (edia uestral),se obtiene una distribución de edias uestrales ( ) N, n b. Para uestras de taaño, las edias uestrales siguen una distribución noral: n ; N, N(,) ( ) < < tiificando la variable.

5 : Si Si ' ' ( < < ) ( ' < < ') ( < ') ( ') ( < ' ( ' ) ) Fila :' Colunas : ' < < 68'6 ( < ') ( ( < ') ) ( < ') φ( ') '8 ' 686 %

6 OPCIÓN B. (Puntuación áia: untos) Un centro dedicado a la enseñana ersonaliada de idioas tiene dos cursos, uno básico otro avanado, ara los que dedica distintos recursos. sta lanificación hace que ueda atender entre 6 estudiantes del curso básico entre estudiantes del curso avanado. l núero áio de estudiantes que en total uede atender es. los beneficios que obtiene or cada estudiante en el curso básico se estia en euros en euros or cada estudiante del curso avanado. Hallar qué núero de estudiantes de cada curso roorciona el áio beneficio. Definición de variables: - núero de estudiantes en el curso básico. - núero de estudiantes en el curso avanado. Función objetivo: Se ide otiiar los beneficios que se obtienen or los cursos B (, ) Restricciones que resenta la función de beneficios: Región factible Vértices de la región factible: : C : (,) B : (,) ( 6,) D : ( 6,) 6 : 6 ( 6,) Otiación: X Y B (, ).9 B 8.9 C 6.7 D La función de beneficio soetida a las restricciones rouesta se hace áia con 6 alunos en el curso básico alunos en el curso avanado.

7 . (Puntuación áia: untos) Para cada valor de a se considera la función f () a ln() a) Calcular el valor del aráetro real a sabiendo que la función tiene un etreo relativo en el unto de abscisa. calificar el etreo. b) studiar los intervalos de creciiento decreciiento ara a. c) Hallar las asíntotas. Observación: La notación ln reresenta el logarito neeriano. a. Si una función resenta un etreo relativo en, entonces la derivada de la función en ese unto es nula. f ' a f '() ; a desejando a f () Ln() b. Los intervalos de creciiento decreciiento de una función se estudia en el signo de la riera derivada, con el siguiente criterio. Si f ' ( ) > f ( ) es creciente Si f ' < f es decreciente Derivando: Ceros de f ' Polos de f ' ; f ' f lu 6 ( ) 6 ; : Teniendo en cuenta que el doinio de la función es (, ) debido a la eresión Ln(), el único unto donde uede cabiar de signo es : Si (, ) f ' < f decreciente Si (, ) f ' > f creciente c. síntotas: D,. La función resenta una asintota vertical en. Verticales ( a Ln() ) Ln( ) ( ) Lí Horiontales: Lí ( a Ln() ) a No tiene Oblicuas: ( n) a Ln() lu lu Lí Lí a a No tiene.

8 . (Puntuación áia: untos) Sobre los sucesos B se conoce las siguientes robabilidades: P() '7 P(B) ' P( B) ' Calcular: a) P(B /) b) P( C B C ) Nota: C reresenta el suceso coleentario del suceso. a. Según Baes: ( B ) ( B ) ' 9 '6 '7 b. Teniendo en cuenta la le de Morgan que dice: B B B B B Siendo B son sucesos coatibles ( B ) ( B) ( B) ( B). Sustituendo: ( B) ( B) ( B) ( '7 ' ') '. (Puntuación áia: untos) l salario de los trabajadores de tina ciudad siguen una distribución noral con desviación tíica euros. Se quiere calcular un intervalo de confiana ara el salario edio, con un nivel de confiana del 9%. Deterinar cuál es el taaño ínio de la uestra que se necesitaría recoger ara que el intervalo de confiana tenga una alitud de 6 euros. Salario edia de una uestra de n salarios c alitud ε : N µ ( µ,); : N, n Se ide calcular el taaño uestral ara que el error áio eritido no eceda de 6 con un nivel de confiana(α) del 9%. l error áio eritido de una variable edia uestral viene eresado or: σ ε Zα n cuación de la que se uede desejar el ínio, taaño uestral. σ n Zα ε 6 α σ ; ε ; Zα φ α α '9 α ' '97 Zα φ ( '97) ' 96 n > '96 n 97 96'