3.3. Observar que el punto de acumulación de A no necesariamente pertenece a A.
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- Montserrat Roldán Guzmán
- hace 7 años
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1 Escribirmos: f( L ε > δ > / Dom(f, < - < δ f( - L < ε Límit d fucios u vribl rl Lo cuál dic pr qu f( dist dl vlor L u úmro rbitrrimt uño ddo ε dbmos tr qu sté t crc d u rdio mor qu δ. Gométricmt: y L ε f( y f( L.. LÍMITE, TEOREMAS FUNDAMENTALES. L-ε Dfiició.. Llmmos vcidd birt co ctro y rdio δ > l cojuto coformdo por los rls qu stá t crc d u rdio mor qu δ. -δ δ Ó s V δ ( { lr / - < δ } { lr / - δ < < δ } Torm.. (mb mb V δ( Dmostrció: Usmos l dfiició..?? - δ δ El cojuto V ( V ( -{ } s llmdo vcidd birt rducid. δ δ Dfiició.. U puto lr s u puto d cumulció d A lr sí tod vcidd birt rducid d itrcptd co A s distit dl vcío. lr s puto d cumulció d A δ >, V δ ( A φ Obsrvr qu l puto d cumulció d A o csrimt prtc A. Ejmplo: A,], ½, so putos d cumulció d A. Dfiició.. S f : lr lr u fució y u puto d cumulció d Dom( f s dic qu l úmro rl L s límit d f( cudo s proim hci sí solo sí ε > δ > tl qu Dom( f,, V δ ( f( V ε (L Escribirmos:
2 Límit d fucios u vribl rl i Si m por dmostrr b b O s ε > δ > / lr, < - < δ b - b < ε Pr lo cul bst cosidrr culquir δ > ii Si m por dmostrr (mb mb O s ε > δ > / lr, < - < δ mb - (mb < ε Ddo ε > pr qu mb - (mb m( - m - < ε S db tr qu - <. Por lo qu dbmos lgir δ m m Por lo tto si < - < δ mb - (mb < ε m Obsrvció: Si dsmos probr f( L. O s ε > δ > / Dom( f, < - < δ f(-l < ε Es fudmtl hllr l vcidd V δ( qu vrifiqu l límit: Si l búsqud dl δ l proimr hci obtmos f(-l h( - Dbmos cotr l fució h( co u costt positiv dcud : Si h( o s rciol Cosidrmos dcudmt δ / - < δ Rcomdció: < δ A prtir d llí obtmos l cot pr h( ó s h( < k Lugo prosguimos co ustr búsqud cosidrdo h( - < k - < ε El δ > buscdo db cosidrrs δ mi. { δ, δ ε/k } Si h( s cocit d dos poliomios Procdmos como ts st cso pr lgir δ dcudo s rcomid: Hllr tods ls sítots d h( ;,,,... Lugo cosidrr δ mi {,,... } Ejmplo: Vrifiqumos: ( -. S quir: ε > δ > / Dom(f, < - < δ - < ε Como - -. Dbmos cotr h( Sgú l obsrvció s δ, - < - < - < < < Etocs - < < < Lugo pr qu - - < - < ε Dbmos tr qu - < δ Ahor si cosidrmos δ mi. { δ, δ } y s fácil vrificr: Sí < - < δ - < ε Ejmplo Vrifiqumos: S quir: ε > δ > / Dom(f, < - < δ < ε - 6 -
3 Límit d fucios u vribl rl Como ( ( L sítot d h( s -, y δ mi { --, - } 5 Lugo - < - < - < < < < < < 5 < - < < < < Pr qu Dbmos tr qu - < ε < - < ε ( ( δ Pr tr l rsultdo bstrá cosidrr: δ mi { δ, δ } Torm.. (Uicidd d Límits Si f( L f( L L L Dmostrció: Por hipotsis pr > δ > / Dom( f, < - < δ f( - L < > δ > / Dom( f, < - < δ f( L < Sí δ mi { δ, δ } y < - < δ Etocs L - L (L - f( ( f( - L L f( f( - L < ε, ε > Etocs L L < ε, ε >. ( * Sbmos L L Supogmos qu L L > Cosidrdo (* ε L L > s ti u bsurdo L L L L L L Torm.. (D rducció dl límit u vcidd Si f, g so fucios tls qu f( g(, V r ( y f( L g( L Dmostrció: Como f( L ε > δ > / Dom( f, < - < δ f( - L < ε (* S quir g( L ε > δ > / Dom( f, < - < δ f( - L < ε Y f( g(, V r ( usdo (* bst cosidrr δ mi{r, δ} Obsrvció: El torm d rducció u vcidd pud sr tdido u subcojuto dl domiio qu coti l puto d cumulció y rú ls codicios dl torm. Ejmplo: Vrifiqumos [[ ]] - 7 -
4 Límit d fucios u vribl rl Cosidrmos f ( [[ ]] sí stá próimo ti [[ ]]. Rstrigido l domiio d f [,. Bstrá probr dbmos cotr S rcomid: < δ < ¼ por jmplo δ /8 por l drch izquird s ¼ < δ < 7/8 < (/ < 9/8 > > Filmt lgimos: δ mi { δ, δ ε } Torm.. ( D cotció Locl Sí f( L(fiito ist u itrvlo - δ, δ y u úmro M > tl qu f( < M - δ, δ, Dmostrció: Por hipótsis pr ε > δ > / Si Dom( f, < - < δ f( - L < (Si - δ < - < δ f( - L < (Si - δ < < δ f(-l < - δ, δ / - δ, δ, f( - L < f( - L f( - L < f( < L M(fiito, M > Corolrio.5. Sí f( L, g( tocs f( g( Dmostrció: Por dmostrr: Ddo ε > δ > / Si Dom( f.g, < - < δ f( g( < ε Como f( L por l torm trior M >, δ > tl qu f( < M, - δ, δ Como g(. Pr > δ > / - δ, δ s ti g( < M M Cosidrdo δ mi { δ, δ }. Ahor si Dom( fg, - δ, δ, tocs f( g( f( g( < M. ε M Torm.6. Sí f( L y g( L y f( g(, - r, r, Etocs L L. Dmostrció: L L Sí L > L Lugo por hipótsis >
5 Límit d fucios u vribl rl L L L Pr ε > δ > / < - < δ f( - L < L L Pr ε > δ > / < - < δ g( - L < Cosidrdo: δ mi. { δ, δ ; r } - δ, δ, L L L L L L L < g( < L Obtmos: L L L L L L L < f( < L Etocs g( < f( Lo cuál s u cotrdicció pus f( g( Por lo tto L L L L Corolrio.7. ( Dl Sádwich S f, g, h fucios tls qu f( g( h(, - r, r, Sí ist f( h( L tocs g( L Dmostrció: S obti imditmt dl torm(.6. Torm.8. ( Oprcios co Límits S f, g fucios tls qu f( L y g( L tocs: ( f ± g ( L ± L ( f. g ( L.L ( sí L g L f L ( sí L g L Dmostrció: Rlicmos l dmostrció d (. D ( ( f( L, ( g( L g([ f( - L ], f([ g( - L ] L Por ( f( g( [ f(( g( - L L ( f( - L L.L ] L.L Corolrio.9. i Sí f i ( L i ; i,,... (f...f ( L... L (f... f ( L... L ii Sí f( L (f( [ f( ] L ; Z Dmostrció: i Usr ( y ( dl torm(.8 iducció mtmátic. ii Sí usr (i ó si < usr ( iducció mtmátic - 9 -
6 Límit d fucios u vribl rl Ejmplos:, Torm.. Dmostrció:, Sí,...,,..., > tocs,, Vrmos ε > δ > / Sí Dom(f(, < - < δ < ε Como Dbmos cotr g( Y qu g( o ti sítots s < δ < por jmplo δ > Así - < δ - < - < < < < > > > < k. Elgir δ mi { δ, δ ε } S ti qu sí Dom( ; < - < δ < ε Ejrcicios Probr Sugrci: Cosidrr trs csos, >, <. b Si Usr b ( b Probr Z, impr Dod ó b Z, pr Torm.. ( Límit d l Composició d Fucios S f, g fucios tls qu Rg(f Dom(g φ. Sí g( L, f(t Etocs (g o f(t L t b Dmostrció: hipótsis: Ddo ε > δ > / Dom(g, < - < δ g( - L < ε t b Ddo δ > δ > / t Dom(f, < t - b < δ f(t - < δ Pr t Dom(g o f s ti qu f(t [ Rg(f Dom(g ] y Dom(g tl qu f(t Por tto ddo ε > δ > / sí t Dom(g o f, < t - b < δ f(t- < δ - 5 -
7 Límit d fucios u vribl rl - < δ g( - L < ε g(f(t - L < ε Obsrvció: Est torm s d gr importci torí d límits tmbié s llmdo torm d cmbio d límits sto dbido qu: g( (g(f(t L Corolrio.. Sí f ( L f ( L Dod L si tro positivo pr. Dmostrció: Bstrá usr l torm(. y l jrcicio trior prt (.. LÍMITES LATERALES. Dfiició.. S f dfiid, c, s dic qu D s l límit ltrl d f cudo s proim hci por l drch dotdo: f( D f( ε > δ > / Sí Dom(f, < - < δ f( - D < ε Dfiició.5. S f dfiid c,, s dic qu I s l límit ltrl d f cudo s proim hci por l izquird dotdo: f( I f( t b ε > δ > / Sí Dom(f, < - < δ f( - I < ε Torm.. f( L f( L f( - Dmostrció: [f( L ε > δ > / Si Dom(f, < - < δ f( - L < ε], [f( - L ε > δ > / Si Dom(f, < - < δ f( - L < ε] [ ε > δ > / Sí Dom(f, - δ < - < δ f( - L < ε ] ε > δ > / Sí Dom(f, < - < δ f( - L < ε f( L Obsrvció: El torm d oprcios d límits y sus coscucis tmbié vl pr límits ltrls Grlmt los límits ltrls so csrios f( cudo f( tom difrts corrspodcis pr > y <. - sí > Ejmplo: S g( sí Alizr g( -- sí < L fució g tom distits corrspodcis pr > y < Usdo límits ltrls: g( ( - -, g( - (-- - Por l torm: g( g( - - g(
8 ( f( g( ( f( ( g( L.M ± ± ± Límit d fucios u vribl rl f ( f ( ± L, M ± g( g( M ±.. LÍMITES CUANDO LAS VARIABLES, y f( TIENDEN AL INFINITO. Dfiició Ejmplo: Probr:.6. (Límit cudo. l Simbólicmt vribl tid : l ( ifiito S f u fució L lr ± s dic qu L s l límit d f cudo tid hci ± si: ε > N(tro > / Sí Dom(f, > N f( - L < Prub: ε > M > / Sí Dom(f, > M ε < ε S scrib: f ( L ε > N(tro > / Sí Dom(f, > N f( - L < ε Pr qu < ε ó s < < ε > Cosidrr M > O s ε > M > > / Sí y Dom(f, > M > > < ε y f( Ejmplo: r ±, Z Usr jmplo trior y torm cmbio d límit. f( L-ε L L ε N Dfiició.7. S f u fució L lr s dic qu L s límit d f cudo tid hci - si: ε > M(tro > / Sí Dom( f, < -M f( - L < ε S scrib: f ( L ε > M(tro > / Sí Dom(f, < -M f( - L < ε Torm.. S f, g ls fucios tls qu f( L, g( M tocs: ± c f( c f( cl dod c s costt. ± ± ( f( ± g( f( ± g( L ± M ± ± ± ( f( g( ( f( ( g( L.M ±
9 Límit d fucios u vribl rl Dfiició.8. (Límit cudo l fució yf( tid l ( ifiito S dic qu l límit d f( s cudo s proim hci si: K > δ > / Sí Dom(f, < < δ f( > K S scrib: f( K > δ > / Sí Dom(f, < < δ f( > K y f( y f( K -δ δ Dfiició.9. S dic qu l límit d f( s - cudo s proim hci si: K > δ > / Sí Dom(f, < < δ f( < -K S scrib : f( - K > δ > / Sí Dom(f, < < δ f( < -K Ejmplo:, ; f( Sí K > δ > / Sí Dom(f, < < δ > K K K b Sí K > > / Sí Dom(f, - δ - δ < < < -K K K Torm.5. Si f(, g( c tocs: i ii Sí c > tocs Sí c < tocs g( f ( g( f ( g( f ( g( f ( c c c c si: f( trvés d vlors positivos si: f( trvés d vlors gtivos si: f( trvés d vlors positivos si: f( trvés d vlors gtivos Ejmplo: Ddo h( Hllr h(, h( - Como >, -- (-( Bstrá trbjr l vcidd V ( Pr < s ti - >, > - 5 -
10 Límit d fucios u vribl rl Lugo (-( tid cro sgú vlors positivos. h( - Pr > s ti - <, > Lugo (-( tid cro sgú vlors gtivos. h( - Torm.6. Sí f, g so dos fucios tls qu; i f( ±, g( ± ii (f(g( ±, f(g( f( L >, g( ± (f(g( ±, f(g( ± iii f( L <, g( ± (f(g( ±, f(g( ± iv f( -, g( f(g( - v f( L, g( ± f( g( Est proposició s prs simbólicmt como sigu : i L ( ii L (- - iii ( ( iv (- (- - v ( ( vi (- (- L vii ( (- - viii ± Obsrvció: (Forms idtrmids Ls siguits forms com límits so llmd forms idtrmids: ±,,, (, ± ± ± ±, (, ( ± ± Obsrvció: Si l clculo dl límit prc u d sts los csos qu l límit ist, s pud ittr hllrlo lvtdo l idtrmició sgú procsos dcudos ó rtificios, los culs irmos studido. 7 Ejmplo: Idtrmido, simplificdo obtmos: 6 7 ( ( (6 ( 9 6 ( - 5 -
11 Límit d fucios u vribl rl.. LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y ARCOS. p Obsrvció: S, [ s > cos > ] Cosidrmos l gráfico: B D A C (, OA. AB ( ( CD ( Ar? (OAB < Ar sctor(obc < Ar? (OCD; < < (. AB ( ( Ar? (OBC < Ar sctor(obc: < s s D ( s.cos < < cos < <... (* cos cos D ( : < s < ( s <,, π... ( Torm.7. i s ii cos s iii Dmostrció: (i D ( s ti < s <,, π / Lugo usdo l torm dl Swich s (ii Y qu cos s,, π / cos s (iii D ( cos < <,, π / cos s Cosidrdo ( Por l Torm dl Swich y (ii s f Por otro ldo si cmbimos -y Si y / Etocs como (i s s y y como (ii cos cos y y s s y como (iii y y s cos s
12 Límit d fucios u vribl rl Ejmplo: Alicmos cos Sbmos qu si tocs cos cos. s s cos i cos cos s ii s cos Por lo tto d (i y (ii o ist s cos s Ejrcicio: Probr i s s ii cos cos cos cos Vmos(i.- Usdo l dfiició: primrmt otr qu si lr tocs s( Ahor ddo ε > hllmos δ > qu cumpl co l dfiició Pr qu s(-s( cos s ( s - < ε. Podmos lgir δ ε Vrificció: ε >, δ ε / Si Dom(s(, < - < δ ε s(-s( < ε.- Usdo cmbio d it: s y [ y ] s( s(y [s(ycos( s( cos(y] s( y y s s Torm.8. i rcs ii rccos π/ Dmostrció: (i Hcmos t rcs s t Dod - π/ t π/, - Ahor s t t D llí qu rcs t t (ii Pr rccos π/ s álogo Ejrcicio: i ii rcs rcs, rccos rccos
13 Límit d fucios u vribl rl Pr (i cosidrmos y - lugo [ y ] rcs rcs(y rcs( y rcs y y.5. LÍMITES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICOS. Obsrvció: (El úmro D ustros studios d cojutos cotdos tmos qu l sucsió s cotd y < tocs por l iom dl N suprmo ist: sup N Por otro ldo st sucsió s crcit co lo cuál s ti: 9 : 6... sup 7 N :... Por lo qu Ejrcicio: (,, ( Torm.9. S f : lr lr / f ( ± Dmostrció: Sbmos f ( stá dfiido solo si > O s -, -,. Primrmt cosidrmos: Cd vlor d s cutr tr dos úmros turls positivos O s Tmbié s ti Aplicdo it E ( cmbimos it m [ m ]
14 Límit d fucios u vribl rl Etocs m m m m ( - Ddo qu si plicmos l corolrio dl sádwich: Ahor cosidrmos - Cmbimos -t s dcir -(t. Lugo - t m t t t t t ( t t t m t t t m t t t t Obsrvció: E l torm(.9 sí y s ti y ( y y r Corolrio.. r, ( r r ± Bstrá cosidrr ry rspctivmt y r. Usr proposició Torm.. Limits d l form [f(] g(, f( A > r Cso : f( A, g( B fiitos tocs [ f( ] g( A B do Cso : f( A, g( ± tocs r Cso : f( A, g( A Sí A > [ f( ] g( Sí < A < Sí < A < A - Sí A > ± S sugir l cmbio: α( f( - s ti α( ( g ( g( g( [ f ( ] [ ( ] [ ( ] ( ( ( Sgú l Cso y Cso s ti:
15 Límit d fucios u vribl rl [ f( ] g( ( g ( tl qu α( f(- Ejmplo: Hllmos s cos Cosidrmos tocs sí y y Lugo s cos Cosidrdo f(y s y cos y, g(y y Y qu f(y, g(y α(y f(y- s y cos y - y y ( s y cos y y y s y cos y y yo ( y s y cos y y y Torm.. ( Límits d logritmos Si > tocs l( l( Dmostrció: Cosidrr y tocs [ y l( ]. Por lo tto l( y l( y l( log b ( yo Imditmt log ( pus log l( ( l( b Corolrio.. Si f ( > tocs l( f ( l[ f ( ] Dmostrció: Bstrá rlizr u cmbio d límit y l torm trior. b ( s y cos y y Ejmplo: Vrifiqumos l ; >,. l( r Si r, log (r [ r ] l r Etocs l l( l( l( r l( r r r r l r l ( r r b
16 Dmostrció: Es imdito d l dfiició. Límit d fucios u vribl rl Torm.6. Dd l rct L: y mb, m L s u sítot oblicu drch d l curv y f( sí solo si:.6. ASINTOTAS f ( AL GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN. m [ f ( m] b Rcordr u rct L srá llmd u sítot u curv. Sí distci d tr l rct L y b u L s puto u A sítot qu s oblicu muv izquird l curv d tid l curv y cudo f( sí solo l distci si: dl orig hci l puto P tid f ( l m. [ f ( m] b Dmostrció: y P El cso ( s dircto si tommos cut l obsrvció trior. L f ( b d m m [ f ( m] [( m b m] b Aálogmt s ti pr l cso (b. Obsrvció: Si l trtr d clculr los vlors d m y b cudo ( uo d los límits o ist l curv o prst sítot oblicu drch Obsrvció: Si l figur l curv rprst l gráfico d y f( tocs l rct L rprstd por y mb s u sítot l gráfico d y f( si solo si cudo s ti qu f( (mb. Torm.. L rct L: s u sítot vrticl l curv y f( si s cumpl: f ( ± ó b f( ± ó c f( - ± Dmostrció: Es imdito d l dfiició. Torm.5. Dd l rct L: y k s cumpl: L s u sítot horizotl drch d l curv y i f ( k b L s u sítot horizotl izquird d l curv y f( si f ( k Dmostrció:
17 Límit d fucios u vribl rl Rsultdo similr s ti pr ( - izquird. Si l curv ti sítot horizotl drch tocs y o tdrá sítot oblicu drch. Rsultdo similr s ti izquird. Ejmplo: Hllmos ls sítots d: f( ( Asítots vrticls: ; rctg ; < Y qu rctg No hy sítots vrticls - (b Asítots horizotls Y qu rctg - π/ y - π/ s A.Horizotl - (c Asítots oblícus No ivstigmos sítot oblicu izquird pus y hy horizotl izquird. Y qu Obtiédos y sítot oblicu drch El gráfico d f( s u porció d : Hipérbol y d Arco tgt - 6 -
18 Límit d fucios u vribl rl.7. RELACIÓN DE EJERCICIOS : I. Ddos los límits hllr l vlor δ pr ε ddo: ;.5 ;. II. Aplicdo l dfiició d límit dmostrr: 8 [[ ]] III. Clculr los siguits límits: IV. Límits ltrls: Alizr los siguits límits ; f ( ; f ( 8 ; > ; f ( ; f ( ; < ; > V. 5 Hllr los límits sí ist: ( ( ( b 9 [[ ]] 6 [[ ]] VI. Hllr los siguits límits trigoométricos ivrsos: s sp s tg s rcs( 5 rcs5 ( rcs. tg 6 rctg csc ctg VII. Hllr los siguits límits Epocils y Logrítmicos: - 6 -
19 Límit d fucios u vribl rl cos ( l 5 cos 6 Asítots( Hllr ls sítots y trzr l gráfico ( ( 9 ( ( ; ;. ( ; ; ( ( ; ( 5 b s s s b f f f f f < < > VII
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