FISÍCA MODERNA Y APLICACIONES Luis Alberto Clementi

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1 Editorial d la Univrsidad Tcnológica Nacional FISÍCA MODERNA Y APLICACIONES Luis Albrto Clmnti ISBN CDD dutcn, 13 1a d. Bunos Airs 198 páginas ; 97x1 cm. Disño d tapa: Carlos Busqud Editorial d la Univrsidad Tcnológica Nacional dutcn dutcn@utn.du.ar [Copyright] La Editorial d la U.T.N. rcurda qu las obras publicadas n su sitio wb son d libr accso para fins académicos y como un mdio d difundir l conociminto gnrado por autors univrsitarios, pro qu los mismos y dutcn s rsrvan l drcho d autoría a todos los fins qu corrspondan.

2 Univrsidad Tcnológica Nacional Rpública Argntina Rctor: Ing. Héctor C. Brotto Vicrrctor: Ing. Carlos E. Fantini dutcn Editorial d la Univrsidad Tcnológica Nacional Coordinador Gnral: Ing. Uliss J.P. Cjas Dirctor d Edicions: Ing. Eduardo Cosso Coordinación dl Comité Editorial: Dr. Jaim A. Moragus Ára Pr Prnsa y Producción: Tco. Brnardo H. Banga, Ing. Carlos Busqud, Nicolás Mauro Ára Promoción y Comrcialización: Frnando H. Cjas Prohibida la rproducción total o parcial d st matrial sin l prmiso xprso d dutcn

3 FISÍCA MODERNA Y APLICACIONES Luis Albrto Clmnti dutcn Bunos Airs, 13

4 Física Modrna y Aplicacions Luis Albrto Clmnti Disño d tapa: Carlos Busqud Clmnti, Luis Albrto Física modrna y aplicacions. - 1a d. - Bunos Airs : Edutcn, p. ; 97x1 cm. ISBN Física.. Ensñanza Univrsitaria. I. Título CDD Imprso n Argntina Printd in Argntina ISBN Quda hcho l dpósito qu marca la ly dutcn, 13 Sarminto 44, Piso 6 (C 141AAJ) Bunos Airs, Rpública Argntina

5 A mi sposa Victoria, y a mis padrs Alicia y Luis

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7 CONTENIDO PREFACIO CAPÍTULO 1. CAPÍTULO. CAPÍTULO 3. CAPÍTULO 4. APÉNDICE A. APÉNDICE B. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA NÚCLEO ATÓMICO Y DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA INTERACCIÓN DE LA RADIACIÓN CON LA MATERIA APLICACIONES DE LA FISÍCA NUCLEAR OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DE CORRIMIENTO DE COMPTON LINEAMIENTOS PARA LA RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER EN COORDENADAS ESFÉRICAS ÍNDICE BIBLIOGRAFÍA

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9 PREFACIO En st libro s prsntan y dscribn algunas d las principals tmáticas incluidas n l campo d la física modrna. S ncuntra ddicado a studiants d ingniría con conocimintos prvios d cinmatica, lctricidad y magntismo. El objtivo principal d sta obra s l d srvir d guía d studios n l abordaj d las tmáticas incluidas n los cursos d física modrna d carrras d ingniría. En l Capítulo 1 s cubrn algunos concptos d la física cuántica y la física atómica. S prsntan n primr lugar los principals fnómnos físicos qu drivaron n la toría cuántica. S analiza n particular l fnómno d misión d radiación por un curpo ngro y algunas d las difrnts torías propustas para intntar xplicarlo. S dscribn los xprimntos n gass nrarcidos, los qu prmitiron caractrizar al lctrón y a partir d los cuals s dtrminó la cuantización d la carga léctrica. Postriormnt, s prsntan l fcto fotoléctrico y l fcto Compton, fnómnos cuyas torías drivaron n los concptos d cuantización d la luz. Finalmnt, s dscrib l fnómno d misión d spctro discrto n gass y los modlos atómicos propustos para intntar xplicarlos n forma tórica. S culmina l capítulo con un jmplo d aplicación práctica: l lásr. El contnido dl Capítulo s nmarca n l campo d la física nuclar. En la primra mitad dl capítulo s aborda n dtall al núclo atómico. S dscribn las furzas nuclars, la nrgía d amarr por nuclón y s brindan las dirctivas principals para dtrminar la stabilidad d los núclos atómicos. Adicionalmnt, s dscribn brvmnt algunos modlos nuclars propustos para xplicar n forma tórica las nrgías d amarr nuclar. Postriormnt, s prsntan los divrsos mcanismos d dcaiminto d los núclos instabls: dcaimintos alfa, bta, gamma, captura lctrónica, transición isomérica y convrsión intrna. La sgunda mitad dl capítulo s ddica a la dscripción d las lys matmáticas qu rign l dcaiminto o la dsintgración d los núclos radioactivos. S prsnta también una aplicación práctica d gran intrés: l fchado por Carbono- 14. En la primra mitad dl Capítulo 3 s dscribn n dtall los mcanismos d intracción d los difrnts tipos d radiacions ionizants con la matria. S analiza principalmnt l alcanc o pntración n l mdio d los difrnts tipos d radiacions (alfa, bta, gamma y nutrons). S dfinn también, los coficints d atnuación para partículas bta y fotons gamma o X, y la scción ficaz qu caractriza a la intracción d los nutrons con la matria. En la sgunda mitad dl capítulo s aborda la mtrología d las radiacions. S dscribn los dtctors d radiación gasosos, smiconductors y cntlladors. Finalmnt, s studia n dtall la spctromtría d radiación gamma mdiant dtctor d cntllo. El Capítulo 4 cubr ntramnt algunas d las divrsas aplicacions d la física nuclar. En particular s aborda n dtall la gnración nucloléctrica d nrgía, principalmnt a partir d la fisión 9

10 controlada dl Uranio. S dscribn los difrnts lmntos constitutivos d una cntral nuclar y s analizan las configuracions d los principals tipos d ractors nuclars. Admás, s prsnta una dscripción brv d las divrsas plantas nuclars para gnración nucloléctrica d la Rpública Argntina. Postriormnt s prsntan algunas d las aplicacions d la física nuclar n l campo d la mdicina. S dscribn los principios físicos d funcionaminto d los quipos d radiografía, tomografía computada, tomografía por misión d positrons y por misión d fotón único. Finalmnt, s prsntan los fundamntos físicos d la rsonancia magnética nuclar y s dscrib l mcanismo d gnración d imágns n los quipos rsonadors magnéticos. Finalmnt, l apéndic A prsnta l dsarrollo matmático complto a partir dl cual s obtin la cuación d corriminto d Compton y l apéndic B dscrib los linamintos gnrals para la rsolución d la cuación d Schrödingr n coordnadas sféricas aplicada a átomos d un solo lctrón. Dso xprsar mi más profundo agradciminto a los rvisors d st libro, la Magistr Maria Virginia Walz, l Dr. Jorg Rubn Vga, l Téc. Rubn Ignacio Plotnic y l Sr. Julian Aldcoba, quins dsintrsadamnt invirtiron su timpo n la lctura d sta obra y compartiron sus comntarios, críticas y sugrncias. Admás, dso agradcr al Prof. Rafal Pérz dl Viso, cuyos scritos furon d gran ayuda para l dsarrollo d algunos d los parrafos d st libro.

11 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA 1.1. INTRODUCCIÓN En l siglo XIX la gran mayoría d la comunidad cintífica pnsaba qu las lys físicas qu gobrnaban los principals fnómnos d intrés ya staban compltamnt dsarrolladas. Por jmplo, las lys d moviminto y d gravitación d Nwton, la toría d Maxwll d unificación d la lctricidad y l magntismo, las lys trmodinámicas, los conocimintos d óptica y d cinética, ran suficints n s ntoncs para xplicar la mayoría d los fnómnos físicos d intrés. Sin mbargo, hacia finals dl siglo XIX y principios dl XX, una gran varidad d nuvos fnómnos físicos furon obsrvados durant la ralización d xprimntos, los cuals no pudiron xplicars a partir d concptos nwtonianos, maxwllianos o d la poca. Es así qu furon aparcindo nuvas significacions y concptos, los cuals inspiraron nuvas torías principalmnt n los campos d la física atómica y nuclar. En particular, n 19, Max Planck n un intnto por xplicar l fnómno d la radiación térmica d un curpo ngro stablc una d las idas básicas qu llvaron al dsarrollo d la toría cuántica. Los postriors aports d Einstin, Compton, Bohr, Schrödingr, y otros, jugaron un papl crucial n l dsarrollo d la toría cuántica y d los modlos atómicos. En st Capítulo, s prsntan y dscribn algunos d los principals fnómnos físicos qu drivaron n l dsarrollo d la toría cuántica y los modlos atómicos. En primr lugar s analizan los fnómnos d radiación térmica d un curpo ngro, la conducción n gass nrarcidos, l fcto fotoléctrico y l fcto Compton. Postriormnt, s studia l fnómno d misión n gass y los corrspondints modlos atómicos propustos para xplicar st fnomno. Finalmnt, s cirra l Capítulo con una aplicación práctica: l lásr. 1.. RADIACIÓN TÉRMICA Es bin conocido l fnómno por l cual todos los curpos a tmpraturas por ncima dl cro absoluto (T = [K] = [ºC]) mitn radiación lctromagnética. Las caractrísticas d dicha radiación s ncuntran n íntima rlación con la tmpratura dl curpo, y las propidads y caractrísticas d su suprfici. Si la tmpratura dl curpo s lo suficintmnt alta ést s vulv incandscnt, s dcir, la radiación mitida s produc principalmnt n l spctro visibl (longitud d onda,, comprndida ntr 4 [nm] y 7 [nm]) como l conocido caso dl filamnto incandscnt d Tungstno n un foco ncndido. A tmpraturas bajas, los curpos continúan irradiando pro a una potncia mnor y n longituds d onda prtncints al spctro 11

12 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA infrarrojo ( > 7 [nm]) y por lo tanto, dicha radiación no s dtctada por l ojo humano. La potncia irradiada por un objto y su composición spctral (rango d longituds d onda mitidas) dpndrá principalmnt d las propidads y l stado d la suprfici dl objto, y fundamntalmnt d la tmpratura dl mismo. El studio dl procso d misión térmica d un objto pud sr muy complicado, dbido a qu a la nrgía térmica mitida s suma la radiación mitida por los objtos circundants y la rfljada por l objto n studio. Por sta razón, para simplificar l studio d las lys d radiación térmica, pud considrars un curpo idal, l cual absorb toda la radiación incidnt sin rfljar nada. Est curpo idal s dnomina curpo ngro por l aspcto ngro opaco qu prsnta al sr iluminado con luz visibl. D sta manra, al considrar la radiación qu sal dsd la suprfici d un curpo ngro no xist l problma d distinguir ntr la radiación mitida o rfljada. Una buna aproximación a un curpo ngro pud obtnrs n forma práctica cubrindo la suprfici d un objto con ngro d humo (carbón pulvrizado). Altrnativamnt, otra manra d ralizar n forma práctica un curpo ngro s mdiant l llamado radiador d cavidad. La Figura 1.1 mustra un squma d un radiador d cavidad, l cual consta d una cavidad mplazada n l intrior d un bloqu d cualquir matrial qu s mantin a tmpratura uniform T. Un orificio o vntana d pquño tamaño comparada con las dimnsions d la cavidad prmit intrcambiar nrgía con l xtrior n la forma d ondas lctromagnéticas. Toda la radiación lctromagnética provnint dsd l xtrior qu ingrs a la cavidad a través dl orificio sufrirá múltipls rflxions dntro d la cavidad hasta sr totalmnt absorbida, dado qu la probabilidad qu la radiación incidnt puda rtornar al xtrior rsulta xtrmadamnt baja dbido al pquño tamaño dl orificio. El orificio s comporta ntoncs como un absorbnt idal y a su vz, como un misor prfcto, pus mirando la cavidad dsd afura, l orificio s vrá como un punto brillant. Bajo las condicions dtalladas antriormnt, la radiación mitida dsd l intrior d la cavidad a través dl orificio tndrá la potncia y la composición spctral dl curpo ngro idal. Por lo tanto l orifico s comportara como un curpo ngro indpndintmnt d la forma d la cavidad. Figura 1.1: radiador d cavidad 1

13 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES Para studiar l fnómno d radiación térmica, dbn dfinirs algunas d las magnituds utilizadas n la dscripción d st fnómno. A tal fin, s dfin la radiancia spctral, R ( ), d la suprfici d un objto a la nrgía mitida por unidad d timpo y d ára n todo l smispacio dlant dl plano misor y por unidad d ancho spctral. D sta forma, la potncia, P, mitida por unidad d ára dntro dl intrvalo d longituds d onda comprndido ntr y d vin dada por: P R ) d (1.1) ( Las unidads d la radiancia spctral, n l sistma intrnacional, son [J / s m m] = [W / m 3 ]. La radiancia spctral d un curpo (y por lo tanto la potncia irradiada por ést) dpnd dirctamnt d la composición dl curpo, d y d T. Por otro lado, para un curpo ngro o un radiador d cavidad la radiancia spctral s solo función d y T. Para difrnciar ambos casos s dsignará a partir d ahora a la radiancia como R y a la radiancia dl curpo ngro como Exist una rlación d importancia ntr R y R, T R,. T, la cual s driva d considracions ntamnt trmodinámicas. Para dtrminar tal rlación considérs l squma d la Figura 1.. S obsrva un curpo ngro (A) y un curpo no-ngro (B) situados n l vacío, n l intrior d una cavidad d pards prfctamnt rflctoras para las ondas lctromagnéticas. Ambos curpos s ncuntran a la misma tmpratura T (mayor al cro absoluto) sin contacto ntr llos. Bajo sta ultima hipótsis, l intrior d la cavidad s halla atravsado continuamnt, n todas dirccions, por las radiacions lctromagnéticas d orign puramnt térmico producidas por los curpos A y B. Dbido a qu ambos curpos s hallan a la misma tmpratura, la cavidad s ncuntra n quilibrio trmodinámico y db cumplirs qu: a) La dnsidad d nrgía lctromagnética (nrgía lctromagnética por unidad d volumn) n l spacio atravsado por las ondas s la misma n todos los puntos dntro d la cavidad. b) La composición spctral d la radiación lctromagnética s la misma n todos los puntos dntro d la cavidad. c) El campo d radiación s isotrópico, s dcir, la intnsidad d las ondas para cada frcuncia s la misma n cualquir dircción. Tnindo n cunta a), b), y c), si s considra una suprfici d pruba hipotética, d ára ds, ubicada n cualquir lugar dntro d la cavidad, la nrgía qu atravisa dicha suprfici por unidad d timpo n un sntido db sr igual a la nrgía qu atravisa la suprfici n l sntido contrario. Más aun, si s muv la suprfici a otro punto d la 13

14 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA cavidad, la nrgía qu atravisa la suprfici srá la misma. Si la suprfici d pruba s ubica sobr la suprfici dl curpo no-ngro B la nrgía total por unidad d ancho spctral y por unidad d timpo, E T,B, qu atravisa la suprfici n l sntido salint dl curpo B srá igual a: E T, B ds R E r (1.a) dond E r s la nrgía rfljada por l curpo B. Si s rpit l análisis ubicando la suprfici d pruba sobr la suprfici dl curpo ngro A, s obtin: E T,A ds R, T E r ds R, T (1.b) dond s ha considrado E r = para l curpo ngro dbido a qu la nrgía rfljada s nula para l mismo. Comparando las Ecs. (1.a) y (1.b), y considrando qu E T, A = E T, B dbido al quilibrio trmodinámico, s concluy qu: R R, T (1.c) Es dcir, indpndintmnt d su forma o composición, l curpo nongro mit mnos nrgía por unidad d timpo y por unidad d ára qu un curpo ngro a la misma tmpratura. En conclusión, d todos los curpos con igual tmpratura, l curpo ngro s l qu irradia con mayor potncia. Figura 1.: curpo ngro y no-ngro n una cavidad d pards prfctamnt rflctoras S dfin la misividad spctral,, como: R 1 (1.3) R, T 14

15 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES Es sncillo vr qu para un objto cualquira, dpndint d la composición dl curpo, d y d T; y también rsulta = 1 para l curpo ngro o la cavidad radiant. Intgrando la radiancia spctral sobr la totalidad dl spctro, s dcir, dsd = hasta =, s obtin la radiancia intgral R o simplmnt radiancia. R R d (1.4) R rprsnta la potncia total mitida por unidad d ára por un objto a la tmpratura T, y tin unidads d [W /m ]. Para l curpo ngro o la cavidad radiant, la radiancia intgral R T sólo s función d la tmpratura T. A partir d la Ec. (1.3) pud dfinirs la misividad intgral,, o simplmnt misividad, mdiant: R R T R R, T d 1 d (1.5) A partir d la Ec. (1.5) s sncillo razonar qu la radiancia intgral dl curpo ngro rsulta mayor qu la radiancia d cualquir otro curpo. Lummr y Pringshim, n 1899, furon los primros n ralizar mdicions d la radiancia spctral dl curpo ngro. Sus mdicions s prsntan cualitativamnt n la Figura 1.3 para difrnts tmpraturas y n unidads arbitrarias. Pud vrs fácilmnt qu a mdida qu la tmpratura aumnta, la potncia mitida (ára bajo la curva R T quivalnt a la radiancia intgral) también aumnta. Admás, a mayor tmpratura l pico d la radiancia spctral s muv a longituds d onda mnors. Est hcho xplica por qué los curpos a mayor tmpratura mitn principalmnt n la zona dl spctro visibl, mintras qu a mnors tmpraturas la radiación s ncuntra n l infrarrojo. Figura 1.3: radiancia spctral d curpo ngro 15

16 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA Ly d Stfan-Boltzmann Años ants qu Lummr y Pringshim ralizaran sus mdicions, Josf Stfan, n 1879, obtuvo una xprsión mpírica para la radiancia intgral, dada por: 4 R σ T (1.6a) dond s la misividad y σ s una constant conocida como la constant d Stfan-Boltzmann cuyo valor s σ = [W / m K 4 ]. La Ec. (1.6a) pud rscribirs para l curpo ngro, rcordando qu = 1, como sigu: 4 R T σ T (1.6b) Pocos años dspués dl stablciminto d las Ecs. (1.6a) y (1.6b), Ludwid Boltzmann dmostró mdiant razonamintos trmodinámicos qu R T dbía sr proporcional a T 4 y por llo la ly s conoc como ly d Stfan-Boltzmann Ly d Win Al igual qu Boltzmann, mdiant considracions trmodinámicas, n 1893 Win dmostró qu la radiancia spctral dl curpo ngro, R, T, dbía sr d la forma: f ( T ) (1.7) 5 R, T dond f ( T ) s una función dl producto T. La ly d Win para la radiancia spctral dl curpo ngro staba d acurdo con la ly d Stfan-Boltzmann para la radiancia intgral dl curpo ngro. Para vr sto, s intgra la Ec. (1.7) sobr todo l spctro (dsd = hasta ): f ( T ) RT R, T d d (1.8) 5 Tnindo n cunta qu para T = ct s tin rscribirs la Ec. (1.8) mdiant: d ( T ) T d, pud R T f ( T ) 5 T T 1 d ( T ) T T 4 f ( T ) d ( T ) ( T ) 5 (1.9) 16

17 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES 5 Notando qu f ( T )/( T ) d ( T ) ct, rsulta la ly d Stfan- Boltzmann. Adicionalmnt, la ly d Win logró xplicar un hcho conocido xprimntalmnt, l cual pud obsrvars n la Figura 1.3, a sabr: al aumntar la tmpratura dl curpo l pico d misión s corr a longituds d onda mas bajas. Para obtnr l valor d dond la misión s máxima, m, a una tmpratura T dada, s procd aplicando cálculo difrncial. La longitud d onda corrpondint al máximo d la radiancia R, T s obtin drivando la Ec. (1.7) igualando a cro. Es dcir: dr T 5, d [ f ( T )/( T ) ] 1 1 f ( T ) 5f ( T ) d (1.1) d T T 6 Si s multiplica por T 5 y por, s rmplaza por m, y s iguala a cro (condición d máximo), s obtin: m T f ( m T ) 5 f ( m T ) (1.11) La Ec. (1.11) s una cuación para la variabl ( m T ), cuya solución s: m T b ct (1.1) dond b tin l valor [m K]. La cuación (1.1) xplica por qué al aumntar la tmpratura d un objto, l máximo d la radiancia s corr hacia longituds d onda mas cortas (vr Figura 1.3). S conoc normalmnt a sta como la ly d corriminto d Win. Finalmnt, fu l mismo Win quin propuso n 1896 una xprsión para f ( T ), la cual concordaba bastant bin con los rsultados xprimntals n la rgión dl spctro corrspondints a longituds d onda cortas. Sin mbargo, su cuación prsntaba srios dsacurdos a longituds d onda largas. La xprsión propusta por Win vin dada por: f ( T ) c 1 c T (1.13a) dond c 1 y c son constants, y por lo tanto: R, T c T c1 (1.13b) 5 17

18 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA Ly d Rayligh-Jans y la catástrof dl ultraviolta A finals dl siglo XIX y principio dl XX, cualquir intnto por xplicar la radiación térmica mitida por un curpo ngro dbía podr dscribir la forma d las curvas obsrvadas xprimntalmnt por Lummr y Pringshim (Figura 1.3), y dbía sr consistnt con las idas plasmadas n las lys d Stfan-Boltzmann y la ly d corriminto d Win. En l año 19, Lord Rayligh y Sir Jams Jans, n un intnto por xplicar l fnómno d radiación térmica n un curpo ngro considraron una cavidad radiant cúbica como la squmatizada n la Figura 1.4, d pards mtálicas conductoras y a tmpratura uniform. Dntro d la cavidad s mitn ondas lctromagnéticas n todas las dirccions dbido a la radiación térmica mitida por las pards d la cavidad. Sin mbargo, solo las ondas o modos stacionarios, s dcir aqullas ondas qu xhiban nodos sobr las pards d la cavidad, prduraran n l timpo. Figura 1.4: cavidad radiant y modos stacionarios Bajo stas hipótsis, Rayligh y Jans obtuviron una xprsión para l númro d modos stacionarios dntro d la cavidad comprndidos n l intrvalo [, d ], N ( ). La xprsión obtnida por Rayligh y Jans vin dada por: 8π ( ) = V d (1.14) N 4 dond V s l volumn d la cavidad. Dividindo la Ec. (1.14) por l volumn d la cavidad y por d, y multiplicando por la nrgía promdio, ε, d los osciladors n las pards d la misma, s obtin una xprsión para la dnsidad spctral d nrgía μ, T dntro d la cavidad, s dcir: 8π ε (1.15) μ, T 4 18

19 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES Considrando qu la dnsidad spctral d nrgía s rlaciona con la radiancia spctral mdiant ( c / 4 μ, sindo c la vlocidad R, T ), T d la luz n l vacío, Rayligh y Jans llgaron finalmnt a una xprsión para la radiancia spctral dl curpo ngro: π c ε (1.16) R, T 4 Sgún la mcánica probabilística clásica los osciladors armónicos n las pards d la cavidad mitn continuamnt radiación lctromagnética con una nrgía promdio dada por ε k BT, sindo k B la constant d Boltzmann ( [J / K]). Por lo tanto, la xprsión final obtnida por Rayligh y Jans rsultó d la forma: R, T π c k BT (1.17) 4 La cuación (1.17) concurda con la forma prdicha por Win, s dcir: R, T π c π c k B f ( T ) k BT T (1.18) La xprsión (1.17) concurda también con los datos xprimntals a largas longituds d onda, pro dsafortunadamnt no prsnta ningún máximo, y la radiancia intgral dl curpo ngro obtnida a partir d la Ec. (1.17) tind a infinito, s dcir: R T π c k 4 B T d (1.19) Figura 1.5: radiancia spctral d curpo ngro. Datos xprimntals vs. ly d Rayligh-Jans para T=1,646 [K] 19

20 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA La Ec. (1.19) s ncuntra n total dsacurdo con los datos xprimntals (Figura 1.3). Est fracaso d la física clásica n xplicar l fnómno d radiación d curpo ngro s conoció como la catástrof dl ultraviolta. La Figura 1.5 mustra una comparación ntr datos xprimntals y las prdiccions obtnidas mdiant la ly d Rayligh- Jans [Ec. (1.17)] a una tmpratura dada. Pud vrs qu a longituds d onda largas, ambas curvas tindn a coincidir Ly d Planck. Cuantización d la nrgía La discrpancia ntr los datos xprimntals y las prdiccions tóricas (ya sa a altas longituds d onda n la ly d Win o a bajas n la ly d Rayligh-Jans) fu rsulta n 191, cuando Max Planck prsntó su toría cuántica, la cual prdcía xitosamnt la radiancia spctral para l curpo ngro. Sin mbargo, la toría dsarrollada por Planck s basaba n dos postulados n abirta oposición con la física clásica, los cuals son: - Un oscilador armónico no pud tnr cualquir nrgía, sino solamnt valors múltiplos d una cantidad ε. - Un oscilador no gana o pird nrgía n forma continua, sino bruscamnt n saltos d amplitud ε. A partir d stos postulados, pud obtnrs una xprsión para la nrgía d los osciladors n función d la cantidad ε, d la forma: ε n ε (1.) dond n s un númro ntro. Bajo stas hipótsis, l análisis d Planck difrirá dl propusto por Rayligh-Jans n la nrgía promdio d los osciladors, ε. Mintras qu l cálculo d la física clásica stipula ε k T, a partir dl nuvo planto d Planck s obtin: B ε ε ε k BT 1 (1.1) Si s utiliza ahora la nuva xprsión para la nrgía promdio ε [Ec. (1.1)] y s la rmplaza n la Ec. (1.16), s obtin: R, T π c 4 ε ε k BT 1 (1.) Adicionalmnt, para compatibilizar sus rsultados con la ly d Win [Ec. (1.7)], Planck dbió introducir un último postulado:

21 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES c ε = h ν = h (1.3) dond ν s la frcuncia d la radiación lctromagntica y h s una constant univrsal conocida como constant d Planck, cuyo valor s: h = [J sg.]. Nots qu s ha utilizado la rlación ν = c / n la Ec. (1.3). Por lo tanto, la ly d Planck para la radiancia spctral d curpo ngro finalmnt quda como: R, T π h c 5 hc 1 k B T 1 (1.4) La Ec. (1.4) pud rscribirs como: R, T c c T 1 (1.5) con c 1 = [W m ] ; y c = [m K]. Nóts la smjanza ntr la xprsión obtnida por Planck [Ec. (1.5)] y la corrspondint a la ly d Win [Ec. (1.13)]. S mustra n la Figura 1.6 la comparación ntr datos xprimntals y las prdiccions obtnidas mdiant la cuación d Planck [Ec. (1.5)] para una tmpratura dada, obsrvándos gran concordancia n todo l rango d longituds d onda considrado. Figura 1.6: radiancia spctral d curpo ngro. Datos xprimntals vs. ly d Planck para T=1,646 [K] Analizando n dtall la xprsión obtnida por Planck, pud vrs qu para valors pquños dl producto T (longituds d onda cortas), 1

22 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA l valor d la xponncial n la Ec. (1.4) rsulta muy suprior a la unidad, por lo qu sta última pud dsprciars, s dcir, c T c T / / 1, rsultando la xprsión corrspondint a la ly d Win [Ec. (1.13b)]. Por otro lado, para altos valors dl producto T (longituds d onda largas), l valor d la xponncial s pquño y pud aproximars acptablmnt por los dos primros términos dl c dsarrollo n sri d Taylor, s dcir, / T 1 c / T. S obtin así la xprsión corrspondint a la ly d Rayligh-Jans [Ec. (1.17)]. El nuvo nfoqu propusto por Planck, qu logró prdcir satisfactoriamnt los datos xprimntals d la radiancia spctral dl curpo ngro sobr la bas dl postulado d cuantización d la nrgía d los osciladors dio lugar al naciminto d la física cuántica RAYOS CATÓDICOS La conducción d lctricidad a través d gass nrarcidos (gass somtidos a baja prsión) también fu un fnómno ampliamnt studiado n la sgunda mitad dl siglo XIX. Los studios ralizados sobr st tipo d fnómnos diron lugar a dscubrimintos notabls n l campo d la física, como por jmplo, l dscubriminto dl lctrón por part d Thomson. En la Figura 1.7 s mustra un squma típico d un clásico tubo d rayos catódicos utilizado comúnmnt para l studio dl fnómno d conducción n gass. Figura 1.7: tubo d rayos catódicos En l tubo d rayos catódicos d la Figura 1.7, una alta tnsión aplicada ntr l ánodo (positivo) y l cátodo (ngativo) produc la circulación d una corrint léctrica a través dl tubo llno d algún gas nrarcido. Esta corrint léctrica produc un xtraño patrón d capas luminosas y obscuras n l gas (no s intnción d st txto xplicar st fnómno). Si la prsión dl gas dntro dl tubo s disminuy a un valor muy bajo (crcano a.1 [mmhg]), l brillo dl gas dsaparc (dbido a qu la cantidad d gas n l tubo rsulta xtrmadamnt baja). Sin mbargo, l amprímtro continúa indicando la xistncia d una corrint léctrica. Adicionalmnt, otra indicación d qu algo continúa

23 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES sucdindo n l intrior dl tubo s la xistncia d un punto luminoso (S) sobr la suprfici intrior dl tubo n l xtrmo opusto al cátodo. El tamaño y la posición dl punto S sobr l xtrmo dl tubo s vn influnciados por l tamaño y la localización d los orificios n los diafragmas D y D, sugirindo qu l punto luminoso S s ocasionado por partículas provnints dl cátodo viajando n lína rcta a través dl tubo. Adicionalmnt, la posición dl punto S s v influnciada también por la prsncia d campos léctricos o campos magnéticos crcanos al tubo, indicando qu las partículas mitidas dsd l cátodo stán léctricamnt cargadas. El moviminto dl punto S n prsncia d campos magnéticos o léctricos sugir qu los rayos stán constituidos por partículas d carga ngativa y s los dnominó como rayos catódicos (por l simpl hcho d sr mitidos por l cátodo). Actualmnt, s d conociminto qu tals rayos catódicos son mitidos por l cátodo como rsultado dl bombardo d ést por los átomos d gas dntro dl tubo y stán constituidos por lctrons Rlación carga / masa para l lctrón En 1897, Thomson, con l fin d caractrizar los rayos catódicos, ralizó mdicions prcisas d la rlación carga / masa (q / m) d las partículas n los rayos catódicos. La Figura 1.8 mustra un squma dl dispositivo utilizado por Thomson. Figura 1.8: tubo d rayos utilizado por Thomson para mdir q/m En l squma d la Figura 1.8, las partículas d carga ngativa q y masa m son mitidas n l cátodo, pasan por l ánodo, l cual actúa como l primr diafragma (D), y por l sgundo diafragma (D ). Ambos diafragmas limitan a las partículas a un haz puntual. Lugo, las partículas atravisan la zona ntr dos placas mtálicas parallas d longitud l y sparación d. Finalmnt, incidn sobr la suprfici final dl tubo producindo un punto d luz (S 1 ). Si s aplica un voltaj V sobr las placas parallas, las partículas xprimntaran una furza F d amplitud: q V F (1.6) d 3

24 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA Esta furza actúa n la dircción prpndicular a la vlocidad v d las partículas y producirá una aclración n dircción prpndicular a las placas, la cual pud obtnrs aplicando la sgunda ly d Nwton: q V a (1.7) m d Esta aclración actúa durant l timpo t qu la partícula s ncuntr atravsando las placas parallas d longitud l. Est timpo pud calculars mdiant un simpl análisis cinmático: l t (1.8) v dond v s la vlocidad d las partículas. Inmdiatamnt lugo d mrgr d la zona d las placas, las partículas xhibiran una dflxión δ como conscuncia d la furza F aplicada [Ec. (1.6)]. Dicha dflxión pud calculars mdiant: δ 1 a t 1 q m V l d v (1.9a) Si la dflxión d las partículas s pquña, l valor δ s vrá amplificado sobr l final dl tubo n una magnitud L / l, dond L s la distancia dsd l cntro d las placas a la zona d impacto. Por lo tanto, la distancia ntr los puntos S 1 y S ( S 1 S ) vndrá dada por: S S L q V l 1 l m d v (1.9b) Finalmnt, l valor q / m pud sr dspjado d la Ec. (1.9b), obtniéndos: l d v 1 q S S m L V l (1.3) En la Ec. (1.3), todavía rsta conocr la vlocidad v d las partículas. Para obtnrla, Thomson añadió al dispositivo d la Figura 1.8 un campo magnético con dircción prpndicular al campo léctrico aplicado y al j mayor dl tubo d rayos. Con sta orintación d los campos léctrico y magnético, las furzas lctrostática y magnética jrcida sobr las partículas srán opustas; d hcho, para cirto valor (H) dl campo magnético, ambas furzas pudn canclars (lo cual pud vidnciars obsrvando una dflxión nula dl haz). Esta situación d quilibrio pud scribirs como: 4

25 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES q V d H q v (1.31) El mimbro izquirdo n la Ec. (1.31) corrspond a la furza léctrica y l mimbro drcho a la furza magnética. Dspjando pud obtnrs una xprsión para la vlocidad v, mdiant: V v (1.3) H d Utilizando las Ecs. (1.3) y (1.3) Thomson pudo obtnr un valor crcano al actualmnt acptado: q / m = [coulombs / gramos]. El valor obtnido por Thomson para la rlación q / m rsultó mas d mil vcs mayor al obtnido n sa época para átomos ionizados. Est último valor podía sr calculado mdiant mdicions n xprimntos d lctrólisis d solucions contnindo átomos ionizados; a tal fin, s opra una clda lctrolítica por un priodo d timpo y s mid la carga total dpositada por los átomos, así como también la masa total d los átomos dpositada. Postriormnt, una simpl cunta prmit obtnr la rlación carga / masa. El mayor valor q / m para un ión había sido obtnido para l átomo ionizado d Hidrógno. Pro, l valor obtnido por Thomson para los rayos catódicos xcdía n 1,836 vcs l corrspondint al ión d Hidrógno. Por lo tanto, a partir d las mdicions d Thomson s concluía qu la carga d las partículas n los rayos catódicos ra mucho mayor a la carga d un átomo d Hidrógno ionizado o qu la masa d las mismas dbía sr mucho mnor a la dl ión Hidrógno. En xprimntos postriors ralizados por Millikan y Fltchr s dtrminaría qu la sgunda opción ra la corrcta. Admás, Thomson dtrminó qu la rlación q / m rsultaba indpndint dl gas utilizado y dl mtal dl cátodo. Por otro lado, dtrminó también qu las partículas cargadas mitidas rsultaban iguals a las mitidas a conscuncia dl fcto fotoléctrico (dscrito n la scción siguint) dscubirto por Hrtz años ants. Estos rsultados llvaron a Thomson a concluir qu stas partículas cargadas (hoy conocidas como lctrons) dbían sr parts constitutiva d toda la matria. En 196 Millikan y Fltchr ralizaron una sri d xprimntos y dtrminaron la cuantización d la carga, s dcir, qu todas las partículas cargadas xhibn una magnitud d carga léctrica qu rsulta un múltiplo ntro d cirta unidad d carga básica. A partir d sus mdicions Millikan y Fltchr stimaron l valor d sta magnitud d carga léctrica básica como: = [coulombios] (muy crcano al acptado actualmnt como la carga dl lctrón). S asumió admás, qu sta unidad básica d carga corrspondía también a la carga léctrica d las partículas n los rayos catódicos. Postriormnt, utilizando la rlación q / m obtnida por Thomson, s logró calcular la masa d las mismas n un valor crcano al actualmnt acptado d m = [gramos]. 5

26 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA Como conscuncia d los xprimntos d Millikan y Fltchr, nuvamnt surgió l concpto d cuantización plantada por Planck años ants para los osciladors n una cavidad radiant, pro n st caso aplicado a la carga léctrica Efcto fotoléctrico En l año 1887, Hrtz dscubrió un fnómno producido durant la conducción n gass nrarcidos qu tardaría muchos años n sr xplicado. El dispositivo mplado por Hrtz para llvar a cabo sus xprimntos s mustra n la Figura 1.9 y consist básicamnt n un tubo d rayos catódicos. Figura 1.9: tubo d rayos utilizado por Hrtz El dispositivo d Hrtz consta d una ampolla d vidrio n la qu s gnra vacío. Dos lctrodos mtálicos s ncuntran n su intrior; l cátodo (dnominado comúnmnt fotocátodo) constituido por un mtal altamnt pulido y l ánodo n forma d plato prforado. Ambos lctrodos s mantinn a una difrncia d potncial d unos cuantos volts (con l ánodo positivo rspcto dl cátodo). Cuando luz ultraviolta pasa a través dl ánodo prforado incid sobr la suprfici pulida dl fotocátodo, una corrint léctrica cominza a obsrvars a través dl tubo, la cual s vidncia n l amprímtro. A st fcto s l conoc como fcto fotoléctrico. El fcto prsist aun n condicions d alto vacío, lo cual implica qu la corrint no pud sr dbida a ions d átomos gasosos. Lnard, n 19, comprobó qu la corrint léctrica s dbía a las mismas partículas constitutivas d los rayos catódicos (lctrons), al obtnr para llas l mismo valor q / m mdido por Thomson. Los xprimntos ralizados por Lnard sirviron para aclarar la idntidad d las partículas mitidas, pro dmostraron algunas propidads dl fnómno fotoléctrico qu no pudiron sr xplicadas mdiant la física clásica. En la Figura 1.1 s obsrvan algunas d las mdicions obtnidas por Lnard. D stas mdicions pudn concluirs algunas propidads importants dl fnómno fotoléctrico: i) a valors suficintmnt altos d V, todos los lctrons mitidos dsd l 6

27 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES fotocátodo llgan al ánodo (vidnciado por la saturación d la corrint I); ii) aun a voltajs V ngativos xistn lctrons qu llgan al ánodo (a psar d la furza d rpulsión qu xprimntan), con lo cual algunos lctrons son mitidos dl fotocátodo con nrgía cinética suficint para vncr sta rpulsión; y iii) indpndintmnt d la intnsidad d luz, por dbajo d cirto valor ngativo d V, la corrint csa, indicando qu la nrgía cinética máxima d los lctrons mitidos por l fotocátodo s E max = V max. Figura 1.1: corrint I n l tubo n función d la tnsión aplicada, V, ntr ánodo y fotocátodo, para dos intnsidads d luz incidnt Las mdicions d Lnard contradcían las prdiccions obtnidas mdiant la física clásica, las cuals s basaban n l modlo ondulatorio d la luz. S comntan a continuación las prdiccions clásicas comparándolas con las obsrvacions xprimntals: Dpndncia d la nrgía cinética dl fotolctrón n rlación a la intnsidad d luz: sgún la toría clásica los lctrons dbn absorbr nrgía continuamnt d las ondas lctromagnéticas. Así, a mdida qu la intnsidad d la luz incidnt aumnta, la nrgía máxima d los lctrons dbría aumntar dado qu la tasa d transfrncia d nrgía rsulta mayor. Sin mbargo, las mdicions xprimntals contradicn st hcho. La nrgía máxima d los fotolctrons s indpndint d la intnsidad d la luz incidnt. Esto s fácilmnt obsrvabl n la Figura 1.1 dado qu las curvas corrspondints a intnsidads d luz difrnts s cortan n l mismo valor ngativo d voltaj aplicado. Intrvalo ntr la incidncia d la luz y la misión d fotolctrons: sgún la toría clásica, dbido a qu los lctrons ganan nrgía n forma continua, a bajas intnsidads d luz incidnt s ncsario un cirto intrvalo d timpo ntr la aplicación d luz y l momnto n qu los lctrons son mitidos dl fotocátodo. Sin mbargo, xprimntalmnt s obsrva qu indpndintmnt d la intnsidad d la luz los lctrons son mitidos casi instantánamnt (1-9 [sg.]). Dpndncia d la misión d lctrons con la frcuncia d la luz: sgún la toría clásica los lctrons dbn sr mitidos por l fotocátodo a cualquir valor d frcuncia d la luz incidnt, 7

28 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA simpr y cuando la intnsidad d luz sa suficintmnt alta. Sin mbargo, los xprimntos dmustran qu por dbajo d cirto valor d frcuncia, dnominada frcuncia d cort, no xist misión d lctrons. Admás, sta frcuncia d cort rsulta dpndint dl matrial dl fotocátodo. Dpndncia d la nrgía máxima d los fotolctrons con la frcuncia d la luz: la toría clásica no da rlación alguna ntr la frcuncia d la luz incidnt y la nrgía máxima d los fotolctrons. Sin mbargo, los xprimntos mustran qu a mdida qu la frcuncia d la luz incidnt aumnta, la nrgía máxima d los fotolctrons aumnta también. En fcto, al aumntar la frcuncia d la luz incidnt, la tnsión ngativa ncsaria para frnar los fotolctrons db sr mayor. No fu hasta 195 qu l cintífico almán Albrt Einstin aportó una xplicación xitosa dl fnómno fotoléctrico. En su toría, Einstin amplió los concptos d Planck d cuantización d la nrgía a las ondas lctromagnéticas. Años ants, Planck había propusto su concpto d cuantización d la nrgía d los osciladors, y n la misión y absorción d nrgía radiant, pro simpr mantnindo l concpto clásico d la radiación lctromagnética como una onda distribuida n l spacio. Einstin xtndió l concpto cuántico postulando qu la nrgía d las ondas lctromagnéticas s ncuntra n la forma d paquts concntrados o cuantos d luz, los cuals s conocn n la actualidad como fotons. La nrgía asociada a cada fotón sta dada por: E h ν (1.33) dond h s la constant d Planck y ν s la frcuncia d la radiación lctromagnética. En l modlo d Einstin dl fcto fotoléctrico, un fotón d luz incidnt transfir toda su nrgía (h ν) a un único lctrón n l fotocátodo. Entoncs, la absorción d la nrgía no s un procso continuo como lo dscrib la física clásica, sino un procso n l cual la nrgía s ntrgada a los lctrons n paquts discrtos. Aqullos lctrons librados, y qu no transfirn ninguna porción d su nrgía a los átomos dl fotocátodo mdiant choqus, posrán una nrgía cinética máxima dada por: E max h ν φ (1.34) dond φ s dnomina función d trabajo dl matrial dl fotocátodo y rprsnta la nrgía mínima con la cual l lctrón s ncuntra unido al mtal. Algunos otros lctrons intractúan con l matrial dl fotocátodo lugo d sr arrancados, prdindo nrgía, y por lo tanto xhibirán nrgías cinéticas mnors a E max. Con l nuvo planto d Einstin s posibl xplicar los fnómnos xprimntals obsrvados por Lnard (Figura 1.1). 8

29 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES Dpndncia d la nrgía cinética dl fotolctrón n rlación a la intnsidad d luz: la nrgía cinética máxima rsulta indpndint d la intnsidad d luz (la cual s proporcional a la cantidad d fotons n l haz d luz incidnt). Para un matrial dado dl fotocátodo la nrgía máxima d los fotolctrons dpndrá solo d la frcuncia y d la función d trabajo dl matrial como pud vrs n la Ec. (1.34). Si s duplica la intnsidad d luz s duplica la cantidad d fotons n l haz d luz incidnt lo cual producirá un incrmnto n la cantidad d fotolctrons arrancados y por lo tanto un aumnto n la corrint mdida (vr Figura 1.1). Intrvalo ntr la incidncia d la luz y la misión d fotolctrons: la misión instantána d fotolctrons s consistnt con l nuvo modlo fotónico d la luz. Dbido a qu un solo fotón intractúa con un lctrón n l fotocátodo, n l instant qu los primros fotons arribn al cátodo s producirá la misión d lctrons, simpr y cuando su frcuncia sa lo suficintmnt alta. Dpndncia d la misión d lctrons con la frcuncia d la luz: a partir d la Ec. (1.34) pud vrs qu xistirá una frcuncia a la cual no xistirá arranqu d lctrons dl fotocátodo (frcuncia d cort). Si la frcuncia d los fotons s tal qu su nrgía no supra la función d trabajo dl matrial, ntoncs, sin importar la intnsidad d luz, no habrá misión d fotolctrons. Est valor d frcuncia rsulta función solo dl matrial dl fotocátodo y vndrá dado por: φ ν (1.35) h Dpndncia d la nrgía máxima d los fotolctrons con la frcuncia d la luz: fácilmnt pud vrs d la Ec. (1.34) qu la nrgía máxima d los fotolctrons dpnd d la frcuncia d la luz incidnt. Sgún la toría propusta por Einstin, la nrgía cinética máxima d los fotolctrons db sr una función linal d la frcuncia d la luz incidnt, tal como lo indica la Ec. (1.34). Esta prdicción fu xprimntalmnt dmostrada por Millikan n 1916, quin midió E max para numrosas frcuncias d radiación incidnt, comprndidas n l rango d 6 [sg. -1 ] hasta 1 14 [sg. -1 ]. La Figura 1.11 prsnta algunas mdicions similars a las obtnidas por Millikan y a partir d las cuals pud obsrvars la dpndncia linal ntr E max y la frcuncia ν d la luz incidnt, n dos matrials difrnts dl fotocátodo. 9

30 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA Figura 1.11: dpndncia linal ntr la nrgía máxima d los fotolctrons, Emax, y la frcuncia d la radiación, ν, para dos matrials d fotocátodo S mustran n la figura qu a partir d mdicions utilizando difrnts matrials dl fotocátodo s obtinn rctas parallas. D acurdo con la Ec. (1.34), la pndint d dichas rctas db sr igual a la constant d Planck h. A partir d sus mdicions, Millikan calculó la constant d Planck con un rror mnor al.5%. Est rsultado obtnido no solo sirvió para validar l dsarrollo propusto por Einstin para xplicar l fcto fotoléctrico, sino también para rforzar l concpto d cuantización propusto por Planck años ants Efcto Compton Para l año 1919, Einstin había llgado a la conclusión d qu un fotón d nrgía E h ν pos un momnto d valor: E h ν h p (1.36) c c En 193 Arthur Holly Compton dsarrolló xtnsamnt la ida dl momnto dl fotón. Ants d 19 s había acumulado vidncia d qu la toría ondulatoria clásica no podía xplicar l fnómno d disprsión d los rayos X producido n láminas mtálicas. Compton dscubrió qu cuando un haz d rayos X d longitud d onda bin dfinida s disprsado a un ángulo θ por una lámina mtálica, la radiación disprsada pos componnts d longitud d onda 1. Postriormnt, s dnominó a st fnómno fcto Compton. El studio d st fcto brindó vidncia xtrmadamnt convincnt d la xistncia d los cuantos (fotons) lctromagnéticos propustos por Einstin años ants. 3

31 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES Figura 1.1: diagrama squmático dl dispositivo utilizado por Compton Figura 1.13: intnsidad d rayos X disprsados n función d la longitud d onda Compton, utilizando radiación X incidnt d longitud d onda = [cm], obsrvó qu la longitud d onda d la radiación disprsada 1 rsultaba dpndint dl ángulo d disprsión θ, y no dl matrial d la lámina irradiada. S mustra n la Figura 1.1 un squma dl dispositivo mplado por Compton para llvar a cabo sus mdicions y n la Figura 1.13 un conjunto d mdicions obtnidas. Para xplicar las mdicions obsrvadas Compton considró a los fotons como partículas, las cuals posn nrgía E h ν h c / y momnto p h ν / c h /, y analizó la intracción ntr los fotons incidnts y los lctrons dl matrial blanco como una colisión lástica ntr dos partículas. Para comprndr l dsarrollo propusto, 31

32 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA considérs l squma d la Figura 1.14, l cual rprsnta un choqu lástico fotón-lctrón. Figura 1.14: colisión lástica ntr un fotón y un lctrón libr La cantidad d moviminto asociada al lctrón n moviminto (postrior al choqu) con vlocidad v sta dada por: p m v m v 1 c v (1.37) dond s utiliza la masa rlativista, m, para l lctrón dbido a qu las vlocidads implicadas pudn rsultar crcanas a la vlocidad d la luz. Para st mismo lctrón la nrgía cinética vin dada por: E m c m c m v 1 c c m c (1.38) Aplicando ahora la ly d consrvación d la nrgía al choqu fotón-lctrón, s obtin: h c h c 1 m v 1 c c m c (1.39) Altrnativamnt, aplicando la consrvación d la cantidad d moviminto n la dircción paralla y prpndicular rspcto a la dircción d la vlocidad dl fotón incidnt, s obtin: h h 1 cos θ m v 1 c v cos φ (1.4) 3

33 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES h 1 sin θ m v 1 c v sin φ (1.41) Eliminando las variabls ν y φ d las Ec. (1.39), (1.4), y (1.41) s llga lugo d algunos cálculos algbraicos (los cuals s dtallan n l Apéndic A) a la xprsión obtnida por Compton, la cual prdic corrctamnt las mdicions xprimntals obsrvadas: h 1 cosθ (1.4) m c 1 dond la constant h / m c.43 1 [m] s dnomina longitud d onda Compton. La Ec. (1.4) s comúnmnt conocida como la cuación d corriminto d Compton y prmit prdcir l corriminto obsrvado n la longitud d onda d la radiación disprsada por un blanco a un ángulo θ rspcto d la longitud d onda incidnt. La cuación d Compton pud utilizars también para xplicar la prsncia a todos los ángulos d mdición dl pico no dsplazado d longitud d onda (vr Figura 1.13). Est pico s db a la intracción o choqu d los fotons incidnts con lctrons furtmnt ligados a los átomos dl matrial blanco. Considérs por jmplo l caso particular d un blanco d grafito, compusto básicamnt por átomos d Carbono. La intracción ntr un fotón y un lctrón furtmnt ligado pud tratars como si n fcto l choqu dl fotón s produjra contra un átomo d Carbono, cuya masa s aproximadamnt 3, vcs la masa dl lctrón. Rmplazando l valor m n la Ec. (1.4) por l valor corrspondint para l átomo d Carbono (aproximadamnt 3,m ) s obtndrá 1 y por lo tanto 1. El éxito n la xplicación tórica dl fcto Compton brindó vidncia adicional a la proporcionada por l fcto fotoléctrico, d la xistncia d la cuantización d la radiación lctromagnética MODELOS ATÓMICOS Espctros atómicos d los gass Cuando s studió la radiación térmica, s vio qu todos los objtos mitn radiación lctromagntica caractrizada por una distribución continua d longituds d onda. En contrast con st spctro continuo s ncuntra l spctro d línas discrto obsrvado cuando un gas a baja prsión s somt a dscarga léctrica. Esta dscarga s produc cuando l gas s somt a una difrncia d potncial mayor qu su rsistncia diléctrica produciéndos dscargas léctricas a través dl gas. 33

34 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA En la Figura 1.15 s obsrva un squma simplificado d un dispositivo ddicado al studio d los spctros d misión d gass. Figura 1.15: squma d un dispositivo d mdición d spctros d misión n gass La funt d misión provin d una dscarga léctrica la cual pasa a través d un gas monoatómico. Dbido a colisions con lctrons o ntr los mismos átomos dl gas, algunos d stos átomos son pustos n stados xcitados. Estos átomos, al volvr a su stado d nrgía fundamntal, mitn radiación lctromagnética. La radiación mitida dsd l gas s colimada n un diafragma, disprsada por un prisma (o una rd d difracción), y sparada n su spctro constitutivo. Finalmnt, la radiación incid sobr una placa fotográfica rvlando un patrón d línas sobr una scala graduada. La Figura 1.16 mustra la porción visibl dl spctro atómico para l gas monoatómico d Hidrógno. Figura 1.16: spctro d misión visibl para l átomo d Hidrógno La gran rgularidad dl spctro atómico dl Hidrógno motivó a numrosos cintíficos a buscar una fórmula mpírica para rprsntar las longituds d onda las línas spctrals. En 1885, Johan Balmr obtuvo una xprsión qu rprodujo con éxito las primras nuv línas spctrals (las cuals ran las únicas conocidas n s momnto). La cuación d Balmr tin la siguint forma: n (Å) 3,646 ; n = 3, 4, 5, (1.43) n 4 34

35 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES Para n = 3 s obtin la lína H α, n = 4 produc la lína H β, tc. S l dio l nombr d sri d Balmr a st conjunto d línas spctrals. Est dscubriminto motivó a otros invstigadors a ncontrar xprsions similars para las línas obsrvadas n otras porcions dl spctro o n spctros d otros lmntos. Gran part d st trabajo d invstigación fu llvado a cabo por Rydbrg, quin dtrminó qu trabajar con l númro d onda k 1/ rsultaba más convnint para caractrizar las línas qu la misma longitud d onda. En términos d sta cantidad, la Ec. (1.43) s rscrib como: RH ; n = 3, 4,.. (1.44) n dond R H s conocida como la constant d Rydbrg para l Hidrógno y su valor s [m -1 ]. Una xprsión más gnral prmit obtnr las línas spctrals dl Hidrógno y d algunos otros lmntos, como por jmplo los mtals alcalinos (corrspondints a la primra columna d la tabla priódica). Esta xprsión rsulta muy similar a la Ec. (1.44) y vin dada por: 1 1 R m 1 n ; m > n ntros (1.45) dond R s conocida como la constant d Rydbrg y pos un valor particular para cada lmnto. Para l Hidrógno, la Ec. (1.45) pud utilizars para obtnr las línas spctrals utilizando R = R H = [m -1 ] y m = 1 para las línas dl spctro ultraviolta (UV), m = para las línas dl spctro UV crcano y visibl, y m = 3, 4 y 5 para las línas dl spctro infrarrojo. Algunas d las cuacions para las línas spctrals dl Hidrógno qudan xprsadas como s indica a continuación: UV: 1 R H n ; n =, 3, 4, UV crcano y visibl: 1 R H 1 1 n ; n = 3, 4, 5, Infrarrojo: 1 R H n ; n = 4, 5, 6, Modlo atómico d Thomson En la época d Nwton l átomo staba modlado como una diminuta sfra, indivisibl. Est simpl modlo proporcionó una buna bas para 35

36 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA l dsarrollo d algunas torías, como la toría cinética d los gass. Sin mbargo, cuando los xprimntos rvlaron la naturalza léctrica d los gass, fu ncsario dsarrollar modlos más compljos qu prmitiran xplicar tals fnómnos. Para finals dl siglo XIX, s conocían cirtos aspctos dl átomo n rlación a su structura: i) la rlación carga / masa para algunos átomos ionizados, incluido l átomo d Hidrógno, s había podido mdir mdiant lctrólisis; ii) Thomson había dscubirto l lctrón, n 1897, mdiant xprincias n gass nrarcidos y había dtrminado la rlación carga / masa para l lctrón rsultando crca d 1,8 vcs mayor a la dl átomo d Hidrógno; iii) Millikan y Fltchr habían podido dtrminar la carga léctrica y la masa dl lctrón; iv) Barkla y colaboradors, mdiant disprsión d rayos X obtuviron una stimación para l númro Z d lctrons n un átomo, como Z = A /, dond A s l pso atómico n scala química dl átomo n custión; v) la nutralidad léctrica d los átomos ra también un hcho conocido n sa época; y vi) para finals dl siglo XIX las dimnsions aproximadas dl átomo ran conocidas, rsultando dl ordn dl Å. Todas stas considracions llvaban a una prgunta: D qué forma s distribuyn las cargas positivas y ngativas n un átomo? Thomson propuso uno d los primros modlos d la composición dl átomo, tomando n considración los hchos dtallados n l párrafo antrior. El modlo atómico d Thomson considraba una masa d carga léctrica positiva distribuida n todo l volumn asignado al átomo, con lctrons (d carga léctrica ngativa) incrustados. Dbido a la rpulsión lctrostática, los lctrons s ncontraban uniformmnt distribuidos n la masa d carga positiva. S conoció a st modlo como l modlo dl budín con pasas. S prsnta un squma dl modlo d Thomson n la Figura Figura 1.17: modlo d Thomson para l átomo En su modlo, los lctrons s ncontraban ligados al átomo por furzas d atracción lctrostática y la ionización dl átomo s produciría por arranqu d lctrons, qudando un ión positivo. Dsafortunadamnt, a psar d los intntos d Thomson, st modlo no pudo xplicar los spctros d misión obsrvados xprimntalmnt. 36

37 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES Modlo atómico d Ruthrford A cominzos dl siglo XX, Ruthrford había logrado stablcr la naturalza d las radiacions mitidas por sals d Radio y sus drivados. Así, había dmostrado qu las partículas mitidas, dnominadas partículas alfa, posn una rlación carga / masa igual a la mitad d la dl protón (ión d Hidrógno) y postriormnt las idntificó como átomos d Hlio ionizado. En l año 1911, Ernst Ruthrford, junto a sus studiants Hans Gigr y Ernst Mardsdn, ralizó una sri d xprimntos qu dmostraron qu l modlo d Thomson rsultaba incorrcto, y qu n ralidad l átomo ra un sistma prácticamnt vacío. El xprimnto s ncuntra squmatizado n la Figura Figura 1.18: xprimnto d Ruthrford En su xprimnto Ruthrford bombardó, con hacs d partículas alfa, láminas dlgadas d difrnts lmntos y obsrvó mdiant cristals d Zinc (los cuals producn un cntllo luminoso al sr impactado por una partícula alfa d alta nrgía) las disprsions producidas por la intracción ntr l matrial d la lámina y las partículas alfa. Los rsultados obtnidos mostraron qu, dbido a lo xtrmadamnt dlgado d la lámina irradiada, la mayoría d las partículas alfa atravsaban la lámina sufrindo muy pquños cambios n su vlocidad y disprsions a ángulos muy pquños. Sin mbargo algunas pocas partículas s dsviaban a ángulos norms, inclusiv a 18º. Utilizando las lys d la mcánica clásica y la ly d Coulomb, s pudn prdcir las trayctorias d las partículas alfa, simpr y cuando la distribución d cargas n los átomos d la lámina sa conocida. D sta forma, para la distribución d cargas propusta por Thomson n su modlo atómico, s posibl calcular los rsultados sprados dl xprimnto. Lugo d sus xprincias, Ruthrford obsrvó con asombro qu l modlo d Thomson no podía xplicar las norms disprsions obsrvadas n las partículas alfa. En un intnto por xplicar sus obsrvacions, Ruthrford propuso un nuvo modlo atómico. Est nuvo modlo supuso a toda la carga positiva dl átomo (y por lo tanto a la mayoría d su masa) concntrada n un volumn muy pquño n comparación al volumn total dl átomo, volumn al cual 37

38 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA dnominó núclo atómico. Todos los lctrons s ncuntran distribuidos por fura dl núclo, y para xplicar porqu los lctrons no son atraídos por su carga positiva los supuso n órbitas alrddor dl mismo. S conoció a st modlo como l modlo plantario dl átomo por su similitud con l sistma solar. Si bin l modlo d Ruthrford constituyó un gran avanc, xistían dos dificultads básicas: i) no pudo xplicar los spctros d misión discrtos obsrvados xprimntalmnt; y ii) dbido a qu n st nuvo modlo l lctrón s ncuntra sujto a aclración cntrípta, sgún la física clásica (lys d lctromagntismo d Maxwll), l átomo dbía mitir radiación lctromagnética continuamnt con frcuncia ν igual a la frcuncia d rvolución dl lctrón. Sgún st hcho, cuando l lctrón irradia, s mit nrgía dl átomo, l lctrón pird nrgía y l radio d la órbita disminuy gradualmnt aumntando su frcuncia d rvolución. Esto provocaría un aumnto constant d la frcuncia d la radiación mitida y l colapso final dl átomo cuando lctrón s prcipitas sobr l núclo Modlo atómico d Bohr para átomos con un lctrón Los inconvnints sin rsolvr dl modlo atómico d Ruthrford djaban l scnario prparado para qu Nils Bohr propusira n 1913 un nuvo modlo atómico aplicabl al átomo d Hidrógno y lugo gnralizado a átomos d un lctrón (s dcir, al átomo d H, l ión d H, tc.). En su modlo, Bohr combinaba las idas cuánticas d Planck, l concpto dl fotón d Einstin, y la ida dl núclo atómico d Ruthrford. Las idas básicas dl modlo propusto por Bohr para l átomo d Hidrógno son: - El lctrón s muv n órbitas circulars alrddor dl núclo bajo la influncia d la furza lctrostática d atracción ntr la carga positiva dl núclo y la ngativa dl lctrón. - Solo cirtas órbitas dl lctrón son stabls. Cuando l lctrón s ncuntra n alguna d stas órbitas, a las qu Bohr dnominó stados stacionarios, no mit radiación lctromagnética. En conscuncia, la nrgía total dl átomo prmanc constant y pud utilizars la mcánica clásica para dscribir l moviminto dl lctrón. Nóts qu st postulado s ncuntra n clara oposición con la física clásica, pus supon qu una carga léctrica aclrada no mit radiación lctromagnética. - La radiación lctromagnética s mitida por l átomo solo cuando l lctrón hac una transición d un stado stacionario d mayor nrgía hacia uno d mnor nrgía. Esta transición no pud tratars d manra clásica. Bohr postuló qu como conscuncia d la transición, s mit un fotón cuya frcuncia ν s rlaciona con l cambio d nrgía involucrado n la transición: E E h ν (1.46) i f 38

39 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES dond E i y E f son la nrgía dl stado inicial y final dl átomo; y E i > E f. Adicionalmnt, Bohr postuló qu la nrgía d un fotón incidnt pud sr absorbida por l átomo producindo una transición d un stado d baja nrgía a uno d mayor nrgía. Esto solo pud sucdr si la nrgía dl fotón incidnt iguala a la difrncia d nrgía ntr los stados stacionarios involucrados n la transición. - Por ultimo, Bohr postuló qu las órbitas prmitidas son aqullas para las cuals la magnitud d la cantidad d moviminto angular órbital dl lctrón n rlación con l núclo s ncuntra cuantizada y s igual a un múltiplo ntro d h / π : L m v r n ; n = 1,, (1.47) dond L s la magnitud d la cantidad d moviminto angular dl lctrón, m s su masa, v su vlocidad y r s l radio d la órbita. En ralidad, ésta condición d cuantización dl momnto angular no s un postulado, sino qu s dtrminó a partir dl principio d corrspondncia (también atribuido a Bohr), sgún l cual al considrar órbitas muy grands las prdiccions clásicas y las cuánticas dbn coincidir. Bajo sta hipótsis, s llga a dmostrar qu las órbitas prmitidas son aqullas qu cumpln la Ec. (1.47). S considra a continuación l análisis d un átomo con un núclo d carga atómica q = Z y masa M, y un solo lctrón d carga y masa m. Ejmplos particulars d st caso son l átomo nutro d Hidrógno dond Z = 1, l Hlio simplmnt ionizado dond Z =, y l Litio doblmnt ionizado dond Z = 3. Sgún l postulado d Bohr, l lctrón rota n órbitas circulars alrddor dl núclo. S supon como primra aproximación qu l lctrón pos una masa dsprciabl n comparación con l núclo atómico (M >> m ) con lo qu pud considrars qu l núclo prmanc fijo. Aplicando la sgunda ly d Nwton, considrando la furza lctrostática d atracción ntr l lctrón y l núclo, s tin: F 1 4πε Z r m v r m a (1.48) dond ε s la prmitividad dl vacío ( [C / N m ]). El mimbro izquirdo d la Ec. (1.48) corrspond a la furza coulombiana y l mimbro drcho al producto d la masa dl lctrón y la aclración cntrípta. D la Ec. (1.48) pud obtnrs una xprsión para la vlocidad con la qu l lctrón órbita alrddor dl núclo, la cual rsulta: 39

40 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA v Z (1.49) 4π ε m r La nrgía cinética corrspondint pud calculars a partir d la Ec. (1.49), mdiant la cuación d nrgía cinética clásica: K 1 Z m v (1.5) 8π ε r Por otro lado, la nrgía potncial lctrostática rspond a: Por lo tanto la nrgía total dl átomo srá: 1 Z U (1.51) 4π ε r Z Z Z E K U (1.5) 8π ε r 4π ε r 8π ε r Obsérvs qu la nrgía total s ngativa, lo cual indica qu s db aportar nrgía al átomo para rmovr o arrancar un lctrón. Para obtnr una xprsión para l radio r al cual orbita l lctrón s utiliza la condición d cuantización dl momnto angular [Ec. (1.47)]. Combinando las Ecs. (1.47) y (1.49) pud razonars qu: v n m r Z 4π ε m r ; n = 1,, (1.53) D dond pud dspjars una xprsión para r rcordando qu h / π : r ε h n ; n = 1,, (1.54) π m Z A partir d la Ec. (1.54), considrando Z = 1 y n = 1 s obtin l llamado radio d Bohr, corrspondint a la primr órbita dl átomo d Hidrógno, cuyo valor s r =.53 [Å], lo cual concurda acptablmnt con las stimacions dl tamaño dl átomo. Rmplazando la Ec. (1.54) n la Ec. (1.5) s obtin una xprsión para la nrgía total dl átomo: 4 m Z 1 E ; n = 1,, (1.55) 8 ε h n 4

41 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES Si s rmplazan los valors d las constants y s considra al átomo d Hidrógno (Z = 1) s llga a la xprsión: E 13.6 [V ] ; n = 1,, (1.56) n D la Ec. (1.56) s obtin E 1 = [V] para l primr nivl d nrgía, corrspondint a la órbita mas pquña n l átomo d Hidrógno; E = [V] para l sgundo nivl; E 3 = [V] para l trcro; tc. Estos valors corrspondn a la cantidad d nrgía qu s ncsita aportar al átomo d Hidrógno para ionizarlo, sgún l stado nrgético n l qu s ncuntr. Cuando n tind a infinito la Ec. (1.56) prdic qu la nrgía tind a cro, lo cual s corrspond con órbitas tan grands qu s pud considrar al lctrón como dsligado dl átomo. Utilizando la Ec. (1.55) pud obtnrs la nrgía dl fotón mitido cuando l átomo d Hidrógno raliza una transición dsd un nivl con nrgía E n a otro nivl con nrgía E m : E m ε h m n 8 π ε r m n 4 (1.57) Est valor d nrgía para l fotón mitido pud scribirs n términos dl númro d onda k 1/ sabindo qu E h ν : 1 8 π ε h c r 1 m 1 n (1.58) Un hcho notabl s qu la Ec. (1.58), obtnida mdiant considracions puramnt tóricas, rsulta idéntica a las xprsions mpiricas d Balmr y Rydbrg para prdcir los spctros d misión dl Hidrógno. D hcho, la Ec. (1.58) prmit calcular n forma tórica la constant d Rydbrg para l Hidrógno, mdiant: 7 1 R H [m ] (1.59) 8 π ε h c r La Ec. (1.58) prmit intrprtar la sri d Balmr como producida por aqullas transicions dl átomo d Hidrógno qu culminan n l nivl corrspondint a m =. Cuando Bohr prsntó su toría, también s conocía la sri corrspondint a transicions qu culminan n l nivl m = 3 (sri d Paschn, n honor a su dscubridor). Admás, la toría prdijo con éxito otras línas spctrals dl átomo d Hidrógno qu lugo furon halladas. Así, n 1916 Lyman halló las línas corrspondints a transicions a m = 1; n 19 Bracktt dscubrió la sri d línas corrspondints a transicions qu trminan n l nivl m = 4; y n 193 Pfund halló las línas qu trminan n m = 5. La Figura

42 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA rprsnta un squma d alguna d las transicions dl átomo d Hidrógno junto a sus sris corrspondints. Figura 1.19: diagrama d los nivls d nrgía para l átomo d Hidrógno Influncia dl moviminto dl núclo Las xprsions obtnidas n l apartado antrior s hiciron bajo la suposición d qu la masa dl núclo (M) s mucho mayor a la masa dl lctrón ( m ), s dcir, suponindo al núclo prmancindo fijo. Sin mbargo, para l átomo d Hidrógno M s sólo 1,836 vcs mayor a m, y por lo tanto la hipótsis d un núclo fijo s ncuntra algo aljada d la ralidad. Tanto l núclo como l lctrón dscribn órbitas alrddor dl cntro d masa. Un studio dtallado prmit obtnr una xprsión más xacta para la nrgía n los nivls stacionarios d un átomo con un solo lctrón, como: E 8 ε m h Z 4 m 1 M n 1 (1.6) Esta nuva xprsión sirvió para xplicar las difrncias n las línas spctrals d los isótopos d algunos lmntos; por jmplo n las línas spctrals dl Dutrio, l cual s un isótopo dl Hidrógno con una masa n su núclo qu duplica a la dl núclo d Hidrógno. Si bin la toría d Bohr rsultó xitosa n cuanto a qu coincidía con algunos rsultados xprimntals n átomos con un solo lctrón, también sufría d algunas inconsistncias. El primr indicio s prsntó cuando s utilizaron técnicas spctroscópicas compljas para analizar las línas spctrals dl Hidrógno, dscubrindos qu n su mayoria staban constituidas por grupos d línas muy crcanas ntr si. Otra inconsistncia surgió al obsrvars qu muchas d las línas n l 4

43 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES spctro s dsdoblaban n numrosas línas al somtr a los átomos a campos magnéticos podrosos. El modlo d Bohr no logro xplicar stos fnómnos Modlo cuántico dl átomo En su modlo atómico, Bohr considró al lctrón como una partícula n órbita alrddor dl núclo n nivls d nrgía cuantizados no radiants, a los qu llamo stados stacionarios. Est modlo llvo a un análisis qu combinaba concptos d física clásica y física cuántica. Admás, prmitió xplicar con éxito cirtas obsrvacions xprimntals, pro no fu capaz d xplicar otros fnómnos obsrvados xprimntalmnt, como por jmplo, l dsdoblaminto d línas spctrals n átomos sujtos a campos magnéticos furts. Estas dificultads s liminan cuando s utiliza un modlo puramnt cuántico qu incluya la rsolución d la cuación d Schrödingr para la función d onda. Est nuvo planto, l cual s ngloba n la rama d la física dnominada mcánica cuántica, no considra al lctrón moviéndos n órbitas prfctamnt dfinidas (como planta Bohr), sino más bin planta l moviminto dl lctrón n una rgión difusa alrddor dl núclo dnominada nub lctrónica. A continuación, s dscribn n más dtall los principals concptos dl modlo atómico propusto por la mcánica cuántica. La función d onda Sgún la mcánica cuántica, con cada partícula s ncuntra asociada una función d onda, Ψ ( x, y, z, t). La intrprtación d la función d onda s tal qu la probabilidad por unidad d volumn d hallar a la partícula n una rgión dl spacio s proporcional al cuadrado d su función d onda. Más prcisamnt, sindo la función d onda una función d variabl complja s cumpl qu dicha probabilidad, dnotada por P, s obtin mdiant: P R Ψ x, y, z, t dr (1.61) dond R s la rgión dl spacio cuya probabilidad d ncontrar a la partícula n su intrior s P. Para cualquir sistma n qu la nrgía potncial sa indpndint dl timpo y dpnda solo d la posición d las partículas dntro dl sistma, la función d onda srá también indpndint dl timpo, s dcir, Ψ Ψ ( x, y, z). En l año 196, Erwin Schrödingr propuso una cuación d onda la cual dscrib la manra n qu la función d onda varía n l spacio. Al analizar l comportaminto d un sistma cuántico (como por jmplo l átomo) s ncsario dtrminar la solución d sta cuación y aplicarl las condicions d contorno apropiadas. Así, la solución proporciona las funcions d onda para las partículas n l sistma (como por jmplo, los lctrons) y los nivls d nrgía prmitidos. 43

44 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA La cuación d Schrödingr n coordnadas cartsianas, aplicada a una partícula d masa m qu intractúa con su ntorno por mdio d una función d nrgía potncial U ( x, y, z), s: Ψ m x Ψ y Ψ U Ψ z E Ψ (1.6a) dond E s la nrgía total dl sistma. En l studio dl átomo d Hidrógno, la función nrgía potncial s solo una función dl radio r dada por: U r 1 4 π ε r (1.6b) Dbido a la simtría sférica dl problma, s convnint tratar con la cuación d Schrödingr n coordnadas sféricas. S mustra una rprsntación dl sistma d coordnadas sféricas n la Figura 1.. Figura 1.: sistma d coordnadas sféricas La transformación d coordnadas ncsaria s xtrmadamnt complja y scapa al intrés d st txto. S prsnta dirctamnt la cuación d Schrödingr indpndint dl timpo n coordnadas sféricas: 1 m r r r Ψ r r 1 sn θ Ψ φ r 1 snθ Ψ snθ U E (1.63) θ θ La rsolución d la cuación d Schrödingr no srá llvada a cabo dbido a su compljidad, aunqu s brindan los linamintos gnrals d su rsolución n l Apéndic B. En cambio s procdrá a xplicar las solucions ya conocidas. Así, la solución a la cuación d Schrödingr n coordnadas sféricas rsulta sparabl n variabls y por lo tanto la función d onda Ψ Ψ ( r, θ, φ ) pud rprsntars mdiant la forma: 44

45 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES Ψ ( r, θ, φ) R( r ) Θ( θ ) Φ( φ) (1.64) dond R, Θ y Φ son funcions d una sola variabl, r, θ y φ, rspctivamnt. Rmplazando la Ec. (1.64) n la cuación (1.63) s obtinn trs cuacions difrncials para las funcions R, Θ y Φ. Rsolvindo stas trs cuacions difrncials y aplicando las condicions d contorno adcuadas, s obtinn las solucions para las funcions R, Θ y Φ. Estas solucions s ncuntran caractrizadas por trs númros cuánticos n, l, y m l, difrnts para cada stado nrgético dl átomo. Intrprtación d los númros cuánticos Como s comntó antriormnt, a difrncia dl modlo d Bohr, la mcánica cuántica no considra al lctrón moviéndos n órbitas dfinidas. En cambio, lo considra moviéndos n una zona difusa dl spacio, dnominada comúnmnt nub lctrónica. La forma y distribución d la nub lctrónica s ncuntra dtrminada ntramnt por la función d onda Ψ ( r, θ, φ) y por lo tanto por los númros cuánticos (n, l, y m l ). Sólo a manra d jmplo, s mustran n la Figura 1.1 dos configuracions particulars d la nub lctrónica obtnidas a partir d difrnts combinacions d (n, l y m l ). Figura 1.1: distribucions d la nub lctrónica para difrnts configuracions d los númros cuánticos (n, l y m l ) Númro cuántico principal (n) S ncuntra asociado con la cuación radial R (r ). Esta cuación llva a funcions radials qu prmitn calcular la probabilidad d ncontrar l lctrón a una cirta distancia radial dl núclo. A partir d la cuación radial, las nrgías d los stados prmitidos n l átomo d Hidrógno pudn sr obtnidas n función dl númro cuántico principal n: E n [V] [V]; n = 1,, 3, (1.65) 8 π ε r n n 45

46 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA Nóts qu los stados nrgéticos prmitidos obtnidos a partir d la mcánica cuántica coincidn con los stados obtnidos por l modlo d Bohr [vr Ecs. (1.55) y (1.56)]. Númro cuántico órbital (l) D acurdo con la mcánica cuántica un átomo cuyo númro cuántico principal s n no pud tomar cualquir valor d magnitud d momnto angular, sino solamnt cantidads discrtas dtrminadas por l númro cuántico órbital l, sgún: L l ( l 1) ; l =, 1,,, n - 1 (1.66) Nóts qu l solo pud tomar valors ntros dsd hasta n 1. Dados stos valors prmitidos d l, pud vrs qu L = (corrspondint a l = ) s un valor factibl d momnto angular órbital. Est stado pud intrprtars como un moviminto con simtría sférica dl lctrón pro sin un j d rotación fundamntal, sino mas bin con un moviminto caótico alrddor dl núclo atómico. Númro cuántico magnético órbital (m l ) La cantidad d moviminto angular (cuantizada n magnitud por l númro cuántico órbital l) s una cantidad vctorial. Dado qu l lctrón s una carga n moviminto alrddor dl núclo gnra un momnto magntico, l cual s dnota como μ. Para ntndr l rol qu juga l númro cuántico m l db rcordars qu cirtas línas spctrals d algunos lmntos s dsdoblan n varias línas al somtr a los átomos a campos magnéticos. Ahora, supóngas qu s somt a los átomos a un campo magnético xtrno. Sgún la mcánica cuántica, xistirán dirccions prmitidas para l vctor d momnto magnético, μ, con rspcto a la dircción dl campo magnético aplicado, B. S dnota a la dircción dl campo B como z. Dado qu l vctor d momnto magnético y l d momnto angular s rlacionan mdiant μ =( / m ) L, pud razonars qu las dirccions dl vctor d momnto angular s ncuntran también cuantizadas. El númro cuántico magnético órbital dtrmina la cuantización d la proycción dl vctor d momnto angular L sobr la dircción z, qu dnotamos L z y rspond a: L ; m l = -l,,, 1,,, l (1.67) z m l En la Figura 1. s squmatiza l vctor d momnto angular para l caso l =. S obsrva qu, la proycción n la dircción z (dircción dl campo magnético aplicado) dl vctor L toma valors cuantizados por l númro cuántico m. l 46

47 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES Figura 1.: squma dl vctor d momnto angular, L, para l = El dsdoblaminto d las línas spctrals n prsncia d campos magnéticos pud xplicars a partir dl modlo atómico obtnido sgún la mcánica cuántica. Al colocar l átomo n un campo magnético d amplitud B y dircción z, la nrgía total dl átomo aumnta. El aumnto d nrgía corrspond a la nrgía adicional drivada d la intracción dl campo magnético B y l momnto magnético μ, la cual vin dada por: E m l μ B L B ml B (1.68) m m Por lo tanto, la nrgía total dl átomo n prsncia d un campo magnético sta dada por la suma d la Ec. (1.65) y la Ec. (1.68). E n, m l 1 m l B (1.69) 8 π ε r n m Entoncs, n prsncia d un campo magnético, para un mismo stado nrgético bas dtrminado por n s tndrán n ralidad l + 1 stados nrgéticos difrnts, lo qu dará lugar a l + 1 línas spctrals. Rglas d slcción para transicions ntr stados La mcánica cuántica también spcifica la forma n qu las transicions ntr stados nrgéticos difrnts tinn lugar. Aunqu no s darán mayors dtalls, s dirá qu no todas las transicions ntr stados nrgéticos stán prmitidas. Solo aqullas transicions qu cumplan las condicions l = 1 y m l =, 1 son posibls. 47

48 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA Númro cuántico d spin Los trs númros cuánticos qu s analizaron hasta ahora surgn dirctamnt d la solución d la cuación d Schrödingr aplicada al átomo. Sin mbargo, xprimntos subscunts dmostraron qu stos trs númros no son suficints para caractrizar l stado nrgético total d un átomo. Entr 191 y 194, Strn y Grlach, ralizaron una sri d xprimntos con la finalidad d comprobar la cuantización spacial (cuantización dl momnto magnético, m l ). Sus rsultados prsntaron cirtas difrncias cuantitativas rspcto d los rsultados tóricos sprados. En sus xprimntos, un haz d átomos d Plata dirigidos a través d un campo magnético no uniform s dividía n dos componnts discrtas. S mustra n la Figura 1.3 un squma dl dispositivo utilizado por Strn y Grlach. Figura 1.3: dispositivo utilizado por Strn y Grlach El haz d átomos nutros d Plata s gnrado vaporando Plata n un horno. El haz s colimado n l diafragma y nviado a través dl campo magnético no uniform para impactar finalmnt n una placa fotográfica. Dbido a qu los átomos son nutros, la única furza actuando sobr llos s la dbida a la intracción ntr l momnto magnético μ y l campo magnético aplicado. El haz dntro dl campo magnético no uniform xprimnta una furza dbido a la intracción dl momnto magnético μ y l campo aplicado, cuya magnitud dpnd d la orintación d μ. En conscuncia, l haz dbía dsdoblars n una cantidad igual al númro d orintacions posibls dl momnto magnético, al atravsar la rgión d campo magnético. Sgún la mcánica cuántica, l númro d línas qu dbían visualizars sobr la placa fotográfica corrspondría a la cantidad ( l + 1), la cual coincid con l númro d cuantizacions dl momnto magnético μ. Dado qu l s un ntro, l valor ( l + 1) simpr s impar. Sin mbargo, Strn y Grlach obsrvaron un númro par d línas. Admás, cualquira sa l valor d l, l caso m l = dbría star simpr prsnt. A partir d sto, ra d sprars una lína sobr la placa fotográfica corrspondint a átomos qu no sufriran dflxión. Sin mbargo, sto no s obsrvó n l xprimnto. Los xprimntos furon rptidos por Phipps y Taylor n l año 197 pro con átomos d 48

49 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES Hidrógno. Los rsultados furon nuvamnt coincidnts con los d Strn y Grlach. Para intntar xplicar stas obsrvacions Goudsmit y Uhlnbck propusiron qu l lctrón pos una cantidad d moviminto angular propio, un spin intrínsco, admás d su momnto angular órbital. En otras palabras, l lctrón n un stado nrgético dado por l númro cuántico n contin tanto una contribución órbital L como una contribución d spin S. D las xprincias y considracions tóricas, s concluyó qu l momnto magnético d spin pud tomar dos valors para la dircción z (corrspondint a la dircción dl campo magnético aplicado): 1 S z (1.7) Esto da lugar al cuarto númro cuántico dnominado númro cuántico d spin, m s, qu pud tomar los valors m s = 1/. Notación spctroscópica y principio d xclusión Por razons históricas, s dic qu todos los stados qu posn l mismo númro cuántico principal forman una capa. Las capas s idntifican con las ltras K, L, M,., qu dsignan los stados para los cuals n = 1,, 3, D igual manra, s dic qu todos los stados qu posn los mismos valors d n y l forman una subcapa. Las ltras s, p, d, f, g, h, s utilizan para dsignar las subcapas para las cuals l =, 1,, 3, 4, Por jmplo l stado 3p corrspond a n = 3 y l = 1, y l s corrspond a n = y l =. La spcificación d los valors n y l para un lctrón atómico s dnomina configuración lctronica. La configuración lctrónica d los lctrons n un átomo s caractriza a partir dl llamado principio d xclusión propusto por Wolfgang Pauli y d la rgla d Hund propusta por Fridrich Hund. El principio d xclusión postula qu: no pud habr dos lctrons n l mismo stado cuántico; por lo tanto, dos lctrons dl mismo átomo no pudn tnr l mismo conjunto d númros cuánticos (n, l, m l, m s ). Por otro lado, la rgla d Hund stablc la forma n qu los lctrons s distribuyn alrddor dl átomo. A partir d sta rgla pud considrars la structura lctrónica d los átomos como una sucsión d nivls nrgéticos. Los lctrons s ubican n la capa d mnor nrgía. A mdida qu las capas infriors s llnan, los lctrons ocupan las capas subsiguints. Cuando una capa s llna, l siguint lctrón s coloca n la subcapa d mnor nrgía dsocupada RADIACIÓN LÁSER Emisión spontána y stimulada S ha studiado n las sccions prcdnts qu un lctrón n cirto stado nrgético absorb y mit radiación lctromagnética solo dntro d las frcuncias qu corrspondn a la difrncia d nrgía ntr los 49

50 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA stados prmitidos. Para vr sto con más dtall, considérs un átomo con los nivls d nrgía prmitidos E 1 y E, con E 1 < E. En condicions normals la mayoría d los átomos n un matrial s ncuntran n l stado bas (E 1 ). Cuando incid radiación sobr l átomo, solo aqullos fotons cuya nrgía ( h ν ) sa xactamnt igual a la difrncia d nrgía ntr los dos nivls dl átomo podrán sr absorbidos por l mismo. Est procso s conocido como absorción stimulada y s rprsnta squmáticamnt n la Figura 1.4. Nóts qu, las línas horizontals rprsntan stados nrgéticos. Figura 1.4: absorción stimulada d un fotón y xcitación dl átomo Una vz qu l átomo s ncuntra n stado xcitado (E ), quda instabl y pud ralizar una transición a un stado mas stabl d mnor nrgía mitindo un fotón n l procso, tal y como s squmatiza n la Figura 1.5. Est procso s conocido como misión spontána, ya qu s produc d forma spontána sin rqurir d una stimulación xtrna qu produzca dicha transición. Figura 1.5: misión spontána d un fotón y dsxcitación dl átomo Altrnativamnt a la misión spontána, también pud dars l fnómno d misión stimulada. Para ntndr st procso d dsxcitación, considérs la Figura 1.6. En st squma s obsrva un átomo inicialmnt n stado xcitado. Imagíns qu durant l intrvalo d timpo n l qu l átomo s ncuntra n st stado un fotón d nrgía h ν E E E1 incid sobr l átomo. Pudn dars dos situacions posibls: i) si la nrgía dl fotón incidnt s suficint 5

51 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES pud arrancar l lctrón, ionizando l átomo; o ii) la intracción ntr l fotón y l átomo provoca qu st último vulva al stado bas, mitindo n l procso un nuvo fotón d nrgía h ν E E E1. En st ultimo procso, l fotón incidnt no s absorbido; por lo tanto lugo d la misión stimulada, xistirán dos fotons, l mitido a raíz d la dsxcitación y l incidnt, ambos d igual nrgía. La particularidad dl procso d misión stimulada, radica n qu ambos fotons (l incidnt y l mitido) no solo posn igual nrgía ( E E E1), sino qu admás ambos fotons viajan n fas, n la misma dircción y s ncuntran idénticamnt polarizados. Figura 1.6: misión stimulada y dsxcitación dl átomo Equilibrio térmico invrsión d población La distribución d stados nrgéticos n un sistma compusto por un conjunto d átomos n ausncia d una funt d nrgía xtrna s ncuntra gobrnada ntramnt por la tmpratura dl sistma d acurdo a la distribución d Boltzmann. Sgún Boltzmann, n un sistma atómico, l númro N 1 d átomos n l stado nrgético E 1 s rlaciona con l númro N d átomos n stados E, sgún: N N 1 E1E kb T (1.71) dond k B s la constant d Boltzmann. La distribución d Boltzmann [Ec. (1.71)] prdic qu a una tmpratura dada, l númro d átomos n un stado nrgético dca xponncialmnt con l valor d nrgía dl stado. Un sistma qu cumpl la cuación d Boltzmann s dnomina sistma n quilibrio térmico. En un sistma d st tipo, l númro d átomos n stados nrgéticos bas s simpr mayor al númro d átomos n stados xcitados. Considérs ahora, la situación n dond s inycta nrgía a un sistma n quilibrio térmico para causar un xcso d átomos n stados xcitados. Esta situación dond l númro d átomos n stados xcitados xcd l númro d átomos n stados bas s dnomina condición d invrsión d población. Normalmnt, para lograr la 51

52 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA condición d invrsión d población, l stado xcitado db sr un stado mtastabl, s dcir, db posr un timpo d vida mucho mayor al timpo d un stado xcitado d vida corta (aproximadamnt 1-8 [sg.]) d modo d prmitir cirta acumulación d átomos n stados xcitados. El procso d aport d nrgía para lograr la invrsión d población s dnomina bombo. Existn numrosas formas d bombo, por jmplo léctrico, óptico, térmico, químico, tc., n función d la forma d aportar nrgía al sistma atómico Lásr La luz lásr [por sus siglas n inglés: Light Amplification by Stimulatd Emissión of Radiation (amplificación d luz por misión stimulada d radiación)] pos cirtas caractrísticas spcials qu la hacn útil para divrsas aplicacions. Estas caractrísticas son: - Cohrncia: los ondas individuals d luz n un lásr consrvan una rlación d fas fija ntr si, con lo cual no xist intrfrncia dstructiva ntr las distintas ondas lctromagnéticas. - Monocromaticidad: tin un rango muy limitado d longituds d onda. - Pquño ángulo d divrgncia: aun a grands distancias, l haz lásr s disprsa muy poco. - Polarización. El procso por l cual s gnra la luz lásr subyac n l mcanismo d misión stimulada. Supóngas qu un átomo s ncuntra n un stado xcitado E (como s squmatiza n la Figura 1.6) y qu sobr l incid un fotón d nrgía h ν E E E1. Como s dscribió n las sccions antriors, l fotón incidnt pud stimular al átomo para qu vulva al stado bas, mitindo un fotón d igual nrgía, fas, dircción y polarización qu l fotón incidnt. El fotón incidnt no s absorbido, por lo qu al trminar la misión stimulada s tinn dos fotons. A su vz, stos fotons pudn stimular a otros átomos a mitir, producindo un procso n cadna qu gnr una amplificación n l númro d fotons d igual longitud d onda, fas, frcuncia y polarización. S mustra un squma basico d producción d luz lásr n la Figura 1.7. Figura 1.7: amplificación d luz por misión stimulada d radiación (Lásr) 5

53 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES Básicamnt, un lásr consta d un tubo o una cavidad dntro d la cual s sitúan los átomos constituynts dl mdio activo. Para studiar las condicions n las qu s llva a cabo l fnómno d amplificación d fotons, dbn dfinirs las siguints cantidads: r 1 abs B1 N ρ (1.7a) r B1 N m ρ (1.7b) r A N (1.7c) sp 1 dond r abs [fotons / sg.] s la tasa d absorción stimulada d fotons; r m [fotons / sg.] s la tasa d misión stimulada; r sp [fotons / sg.] s la tasa d misión spontána; B 1 y B 1 son las constants d proporcionalidad para la absorción y misión stimulada rspctivamnt; N 1 y N son l númro d átomos n stado bas y n l stado xcitado; ρ s l númro d fotons dntro d la cavidad con nrgía h ν E E E1; y A 1 s la constant d proporcionalidad para la misión spontána. Normalmnt, s cumpl B 1 = B 1 = B, s dcir, los fnómnos d absorción y misión stimulada son quiprobabls. El fnómno d amplificación d fotons ocurr si s cumpln las siguints dos condicions: r r m abs B N B N 1 ρ N ρ N 1 1 (1.73a) r r m sp B N A 1 N ρ B ρ A 1 1 (1.73b) La Ec. (1.73a) rsulta una condición ncsaria qu s logra a partir d la condición d invrsión d población. La rstricción n la Ec. (1.73b) s rlaciona con l timpo d vida dl stado xcitado. Para stados mtastabls la rlación B / A 1 aumnta rspcto a stados d vida corta. Adicionalmnt, para lograr grands valors d la rlación r m / r sp s utilizan spjos d modo d hacr pasar numrosas vcs l flujo d fotons por dntro d la cavidad, gnrando grands valors d ρ. Db cumplirs una condición adicional d sintonización con l objtivo d gnrar ondas stacionarias dntro d la cavidad con nodos n los xtrmos d la misma. S vita así la intrfrncia dstructiva d las ondas qu viajan longitudinalmnt dntro d la cavidad. Esto s logra mdiant la rstricción: L α (1.74) 53

54 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA dond s la longitud d onda dl lásr y α s un númro ntro. La dscripción antrior prmit razonar l modo d opración d un lásr. En primra instancia, s logra la condición d invrsión d población mdiant l bombo producido por una funt d nrgía xtrna. Las primras misions spontánas n los átomos dl mdio activo gnran fotons, los qu producn la misión stimulada n otros átomos xcitados. Los fotons qu s muvn n la dircción longitudinal s ncuntran sintonizados con la cavidad por lo qu s rfljan sucsivamnt n los spjos d los xtrmos, gnrando cada vz mayor cantidad d misión stimulada. Por l contrario, los fotons qu s muvn n dirccions difrnts a la longitudinal, s xtingun con l timpo. En conclusión, s gnra amplificación d fotons solo n la dircción longitudinal d la cavidad. Si bin part d los fotons pudn sr absorbidos por los átomos n l stado nrgético bas, la rlación r m / r abs rsulta mayor a la unidad por lo qu xist simpr una mayor cantidad d fotons qu s gnran por misión stimulada rspcto d los qu s absorbn. D igual forma, y dbido a qu la rlación r m / r sp s mayor a la unidad, xist también una mayor cantidad d fotons qu s gnran por misión stimulada rspcto d los gnrados mdiant la misión spontána. Por lo tanto, l fcto nto s l d amplificación d los fotons d igual dircción, nrgía, polarización y fas. Finalmnt, l spjo d rflxión parcial prmit la transmisión d cirta cantidad d fotons hacia l xtrior d la cavidad, los cuals constituyn l haz lásr propiamntdicho Lásr gasoso d Hlio-Nón El lásr d H-N consist básicamnt d un tubo d vidrio dntro dl cual s sitúa una mzcla d Hlio y Nón a baja prsión (aproximadamnt.1 [atm.]). El bombo s raliza mdiant un sistma d dscarga léctrica. S aplica una difrncia d potncial d alrddor d 1,5 [V] al tubo gnrando una dscarga léctrica al sobrpasars la rsistncia diléctrica dl gas. La dscarga léctrica xcita los átomos d Hlio y d Nón a difrnts stados xcitados. Figura 1.8: transicions nrgéticas involucradas n la amplificación d fotons n l lásr d H-N 54

55 FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES Algunos átomos d Hlio xcitados (aqullos con nrgía spcifica d.61 [V], configuración s) no pudn volvr al stado bas mitindo un fotón, dbido simplmnt a qu tal transición no cumpl la rgla d slcción ( l = 1). Por lo tanto, stos átomos solo pudn volvr al stado bas colisionando con los átomos d Nón y transfirindo su nrgía a stos últimos. Est procso xcita los átomos d Nón hacia un nivl d nrgía suprior (l objtivo s xcitar los lctrons n l stado p y alcanzar l nivl 5s dl Nón d nrgía.66 [V]). S mustra n la Figura 1.8 un squma d los nivls nrgéticos involucrados. S obsrva n la figura qu l fcto d amplificación s logra con la misión stimulada dsd l nivl 5s hasta l nivl 3p (transición prmitida, l = 1). La nrgía dl fotón mitido s E = ( ) [V] = [J] y su longitud d onda = 63.8 [nm]. 55