DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL MANUAL DE INVESTIGACION DE OPERACIONES II. Autores: Barbara Rodriguez Morera Dr. C. Fernando Marrero Delgado

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1 DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL MANUAL DE INVESTIGACION DE OPERACIONES II Autores: Barbara Rodriguez Morera Dr. C. Fernando Marrero Delgado Santa Clara, 0

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3 A: Mis padres por el apoyo que me han brindado durante toda mi vida. Mis hermanos por su preocupación y sacrificio en todo momento. Mi esposo Raúl por brindarme su amor y confianza y por incentivarme cada día a seguir adelante. Mis sobrinos Cristian y Kevin por hacerme reir en los momentos que más lo necesitaba. Mi abuelo Alfredo y a la memoria de mi abuela Inocencia por la formación que de ellos recibí.

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5 Mis más sinceros agradecimientos: A mi tutor Dr. C. Fernando Marrero Delgado por su interés, dedicación y exigencia en la realización de la investigación. A todos los profesores del departamento de Ingeniería Industrial, en especial a Andrey Vinagera Zamora por sus enseñanzas y por toda la ayuda brindada. A Reinier por sacarme de bastantes apuros. A mi tía Isora y mis primos por su apoyo en la medida de lo posible. A todos mis compañeros de estudio, por tener paciencia conmigo. A todos los que me proporcionaron tiempo de máquina. En general a todos por existir.

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7 PRÓLOGO La Investigación de Operaciones, hoy más que nunca, juega un papel primordial en las contribuciones que pueden hacer las técnicas y métodos de la matemática aplicada a la mejora del desempeño de las organizaciones productoras de bienes y servicios. Así, como la programación lineal, sus extensiones y casos particulares, pasando por la programación discreta y los problemas de camino y árbol extremal, resultan valerosas herramientas en manos de la gerencia empresarial, existen otras técnicas y métodos no estudiados en la Investigación de Operaciones I del plan de estudio D del Ingeniero Industrial en Cuba que requieren ser enseñados a estos profesionales. En este sentido, un manual para la asignatura Investigación de Operaciones II de esta especialidad contribuiría a lograr en los estudiantes los conocimientos necesarios sobre otras técnicas y métodos como la Teoría de Colas, los Sistemas y modelos de inventario, la Programación dinámica, la Teoría de la decisión, la Gestión de proyectos, los Métodos de clasificación y las Rutas de distribución. Si a esto se le añade el cómo utilizar herramientas informáticas para aplicar los métodos de solución, se logra un material docente de incuestionable valor. Sirva entonces el presente manual de Investigación de Operaciones II como una excelente referencia para aquellos que necesiten o deseen adentrarse en este campo de las matemáticas en función del perfeccionamiento del proceso de toma de decisiones en la gestión empresarial. Dr. C. Fernando Marrero Delgado

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9 ÍNDICE INTRODUCCIÓN... CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS Introducción Fundamentación teórica de la teoría de colas Modelos matemáticos de la teoría de colas Análisis económico de los modelos de cola Utilización del WinQSB para resolver problemas de teoría de colas Aplicaciones de la teoría de colas Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Preguntas de autoevaluación Bibliografía consultada...36 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS Introducción Conceptos básicos de inventario Conceptos básicos de gestión de inventario Modelo de inventario determinístico para un solo producto Modelo de inventario estocástico para un solo producto sin costo de lanzamiento Utilización del WinQSB para resolver problemas de teoría de inventarios Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Preguntas de autoevaluación Bibliografía consultada...7 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA Introducción Fundamentación teórica de la programación dinámica Elementos de un problema de programación dinámica Problema del camino óptimo Problema de asignación de recursos El problema de producción con inventarios para un determinado período Utilización del WinQSB para resolver problemas de camino óptimo y producción con inventario Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Preguntas de autoevaluación Bibliografía consultada...06 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN Introducción Fundamentación de la teoría de la decisión Decisiones bajo certeza Decisiones bajo riesgo Decisiones bajo incertidumbre Decisiones en conflicto Métodos multicriterios vs métodos monocriterios Utilización del WinQSB para resolver problemas de teoría de juegos y árboles de decisión...34

10 4.4.. Decisiones en conflicto: teoría de juegos Decisiones bajo riesgo: árboles de decisión Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Preguntas de autoevaluación Bibliografía consultada...57 CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS Introducción Fundamentación teórica de la gestión de proyectos Utilización del WinQSB para resolver problemas de PERT/CPM Administración de proyectos: CPM Administración de proyectos: PERT Ejercicio resuelto Ejercicios propuestos Preguntas de autoevaluación Bibliografía consultada...78 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN Introducción Fundamentación teórica de los métodos de clasificación Conceptos básicos del análisis cluster Procedimiento de aplicación del método de conglomerados Elaboración del perfil de los cluster y validación de conglomerados obtenidos Uso del SPSS para el trabajo con cluster Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Preguntas de autoevaluación Bibliografía consultada...5 CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN Introducción Fundamentación teórica de las rutas de distribución Casos particulares del VRP Métodos fundamentales para resolver el problema de ruteo de vehículos (VRP) Ejercicio resuelto Ejercicios propuestos Preguntas de autoevaluación Bibliografía consultada...4 APÉNDICE. GENERALIDADES DEL MODELADO...44 APÉNDICE. TABLAS DE P 0 Y L PARA MODELOS DE COLA: M/M/S,...46 APÉNDICE 3. TABLAS DE DISTRIBUCION NORMAL...48 APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS...50

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12 INTRODUCCIÓN Este libro surge como respuesta a la necesidad que tienen los estudiantes de la carrera de Ingeniería Industrial de un manual para la asignatura Investigación de operaciones II del plan de estudio D que integre el sistema de conocimientos previstos de acuerdo con el plan de estudio. El hecho de escribir esta obra se justifica debido a que la bibliografía para los temas: Teoría de Colas, Teoría de Inventario, Programación Dinámica y Teoría de la Decisión se encuentra muy dispersa y además algunos temas como: Rutas de Distribución, Gestión de proyectos y Métodos de Clasificación no cuentan con bibliografía al alcance de los estudiantes. El manual consta de siete capítulos: Teoría de Colas, Teoría de Inventario, Programación Dinámica, Teoría de la Decisión, Rutas de Distribución, Gestión de proyectos y Métodos de Clasificación. En el capítulo uno se tratará los conceptos fundamentales, la estructura básica y el análisis económico de modelos de cola, además se utiliza el software WinQSB para resolver problemas de este tipo a través de la opción Queuing Analysis. En el capítulo dos se abordan los conceptos fundamentales de inventario, así como los modelos de inventario determinístico para un solo producto y el modelo estocástico para un solo producto sin costo de lanzamiento, utilizando además la opción Inventory Theory and System del software WinQSB para resolver problemas de este tipo. El capítulo tres trata el tema de la programación dinámica, en el cual se estudiará la fundamentación teórica de esta técnica, así como los problemas de camino óptimo, asignación de recursos y producción con inventarios para un determinado período. Se explica cómo utilizar el software WinQSB para resolver problemas de camino óptimo y producción con inventarios empleando la opción Dinamic Programming. El cuarto capítulo abarca el tema de teoría de la decisión, en el cual se estudiarán los conceptos fundamentales así como las decisiones bajo riesgo, incertidumbre y conflicto. Se incluye la utilización de la opción Decision Analysis para resolver problemas de teoría de juegos y árbol de decisión con el software WinQSB. En el capítulo cinco se estudiará la fundamentación teórica de las técnicas de

13 INTRODUCCIÓN administración de proyectos (PERT y CPM). El capítulo concluye explicando como emplear el WinQSB, a través de la opción PERT - CPM para resolver problemas de este tipo. El capítulo seis aborda el tema de los métodos de clasificación, en el cual se tratarán los conceptos fundamentales del análisis de conglomerados (análisis cluster), además se utiliza el software SPSS para Windows para resolver problemas usando análisis de conglomerados. En el capítulo siete se estudian los conceptos fundamentales de las rutas de distribución, así como los casos y métodos fundamentales para resolver el problema de ruteo de vehículos (VRP), en particular el método de la margarita. Finalmente se ofrece un conjunto de apéndices donde el lector podrá profundizar sobre como recolectar datos y trabajar con escalas y herramientas desarrolladas con este fin. En este apartado se incluyen también tablas para la determinación de algunos parámetros de los modelos de teoría de colas, así como una tabla de la distribución normal para apoyar la solución de problemas de PERT y CPM.

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15 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS.. Introducción El presente capítulo aborda el tema Teoría de Colas, en el cual se tratarán los conceptos fundamentales, la estructura básica y el análisis económico de modelos de cola. Los objetivos que se persiguen con este capítulo son:. Identificar los elementos que caracterizan la teoría de colas.. Solucionar manualmente problemas relacionados con la teoría de colas. 3. Analizar e interpretar económicamente la solución matemática de dichos problemas. 4. Aplicar el software existente a estos tipos de problemas. 5. Conocer las posibilidades prácticas del uso de esta técnica en esferas de la producción de bienes y servicios en condiciones reales, preparando a los estudiantes en las variantes y alternativas que se puedan presentar. Como prerrequisitos para este tema se exigen: El estudiante debe tener conocimientos de matemática básica, cálculo diferencial e integral, teoría de las probabilidades, e Informática... Fundamentación teórica de la teoría de colas El origen de la teoría de colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca, ) en 909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada - salida. El estudio de las colas es importante porque proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que se puede esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes. La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los clientes llegan a un lugar demandando un servicio a un 3

16 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS servidor, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera. Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un balance económico entre el costo del servicio y el costo asociado a la espera por ese servicio. La teoría de colas en sí no resuelve este problema, sólo proporciona información para la toma de decisiones..3. Modelos matemáticos de la teoría de colas Estructura básica de los modelos de cola Para analizar un sistema de colas, se hace necesario tener en cuenta la estructura siguiente: Proceso básico de colas El proceso básico supuesto por la mayor parte de los modelos de colas es el siguiente. Los clientes que requieren un servicio se generan a través del tiempo en una fase de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, después de lo cual el cliente sale del sistema de colas. Fuente de entrada (población potencial) Una característica de la fuente de entrada es su tamaño. El tamaño es el número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, es decir, el número total de clientes potenciales distintos. Esta población a partir de la cual surgen las unidades que llegan se conoce como población de entrada. Puede suponerse que el tamaño es infinito o finito (de modo que también se dice que la fuente de entrada es ilimitada o limitada). Como los cálculos son mucho más sencillos para el caso infinito, esta suposición se hace muy seguida aún cuando el tamaño real sea un número fijo relativamente grande, y deberá tomarse como una suposición implícita en cualquier modelo que no establezca otra cosa. El caso finito es más difícil analíticamente, pues el 4

17 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS número de clientes en la cola afecta el número potencial de clientes fuera del sistema en cualquier tiempo; pero debe hacerse esta suposición finita si la tasa a la que la fuente de entrada genera clientes nuevos queda afectada en forma significativa por el número de clientes en el sistema de líneas de espera. También se debe especificar el patrón estadístico mediante el cual se generan los clientes a través del tiempo. La suposición normal es que se generan de acuerdo a un proceso Poisson, es decir, el número de clientes que llegan hasta un tiempo específico tiene una distribución Poisson. En el caso estudiado corresponde a aquel cuyas llegadas al sistema ocurren de manera aleatoria pero con cierta tasa media fija y sin importar cuántos clientes están ya ahí (por lo que el tamaño de la fuente de entrada es infinito). Una suposición equivalente es que la distribución de probabilidad del tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas es exponencial. Se hace referencia al tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas como tiempo entre llegadas. Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas: Determinístico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble, en donde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo (conocido como ciclos de tiempo). Probabilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas probabilístico se describen mediante una distribución de probabilidad. En el caso probabilístico, la determinación de la distribución real, a menudo, resulta difícil. Sin embargo, una distribución, la distribución exponencial, ha probado ser confiable en muchos de los problemas prácticos. La función de densidad, para una distribución exponencial depende de un parámetro, גּ y está dada por: F( t) * e t (.) Donde λ es el número promedio de llegadas en una unidad de tiempo. Con una cantidad, T, de tiempo se puede hacer uso de la función de densidad para calcular la probabilidad de que el siguiente cliente llegue dentro de las siguientes T unidades a partir de la llegada anterior, de la manera siguiente: 5

18 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS P (tiempo entre llegadas T) = t e (.) Cola Una cola se caracteriza por el número máximo permisible de clientes que puede admitir. Las colas pueden ser finitas o infinitas, según si este número es finito o infinito. La suposición de una cola infinita es la estándar para la mayor parte de los modelos, incluso en situaciones en las que de hecho existe una cota superior (relativamente grande) sobre el número permitido de clientes, ya que manejar una cota así puede ser un factor complicado para el análisis. Los sistemas de colas en los que la cota superior es tan pequeña que se llega a ella con cierta frecuencia, necesitan suponer una cola finita. Disciplina de la cola La disciplina de la cola es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son: La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado. La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último. La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a los clientes de forma aleatoria. Mecanismo de servicio El mecanismo de servicio consiste en una o más instalaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más canales paralelos de servicio, llamados servidores. Si existe más de una instalación de servicio, puede ser que sirva al cliente a través de una secuencia de ellas (canales de servicio en serie). En una instalación dada, el cliente entra en uno de estos canales y el servidor le presta el servicio completo. Un modelo de colas debe especificar el arreglo de las instalaciones y el número de servidores (canales paralelos) en cada una. Los modelos más elementales suponen una instalación, ya sea con un servidor o con un número finito de servidores. 6

19 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS El tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación en una instalación se llama tiempo de servicio (o duración del servicio). Un modelo de un sistema de colas determinado debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor (y tal vez para los distintos tipos de clientes), aunque es común suponer la misma distribución para todos los servidores. Como en el caso del proceso de llegada, este tiempo puede ser determinístico o probabilístico. Con un tiempo de servicio determinístico, cada cliente requiere precisamente de la misma cantidad conocida de tiempo para ser atendido. Con un tiempo de servicio probabilístico, cada cliente requiere una cantidad distinta e incierta de tiempo de servicio. Los tiempos de servicio probabilísticos se describen matemáticamente mediante una distribución de probabilidad. En la práctica resulta difícil determinar cuál es la distribución real, sin embargo, una distribución que ha resultado confiable en muchas aplicaciones, es la distribución exponencial. En este caso, su función de densidad depende de un parámetro, µ y está dada por: t S( t) * e (.3) Donde: µ = número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo, de modo que / µ = tiempo promedio invertido en atender a un cliente Un proceso de colas elemental La teoría de colas se aplica a muchos tipos diferentes de situaciones. El tipo que más prevalece es el siguiente: una sola línea de espera (que puede estar vacía en ciertos lapsos de tiempos) se forma frente a una instalación de servicio, dentro de la cual se encuentran uno o más servidores. Cada cliente generado por una fuente de entrada recibe servicio de uno de los servidores, quizá después de esperar un poco en la cola (línea de espera). Papel de la distribución exponencial Las características operativas de los sistemas de colas están determinadas en gran parte por dos propiedades estadísticas: la distribución de probabilidad de los tiempos entre llegadas y la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio. Para los 7

20 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS sistemas de colas reales, estas distribuciones pueden tomar casi cualquier forma (la única restricción es que no pueden ocurrir valores negativos). Sin embargo, para formular un modelo de teoría de colas como una representación del sistema real, es necesario especificar la forma supuesta de cada una de estas distribuciones. Para que sea útil, la forma supuesta debe ser lo suficientemente realista como para que el modelo proporcione predicciones razonables y al mismo tiempo debe ser lo suficientemente sencilla para que sea matemáticamente manejable. Con estas consideraciones en mente, la distribución de probabilidad más importante en la teoría de colas es la distribución exponencial. Medidas de rendimiento para evaluar un sistema de colas Existen muchas medidas de rendimiento diferentes que se utilizan para evaluar un sistema de colas en estado estable, algunas de las cuales se describen en la presente sección. Para diseñar y poner en operación un sistema de colas, por lo general, los administradores se preocupan por el nivel de servicio que recibe un cliente, así como el uso apropiado de las instalaciones de servicio de la empresa. Algunas de las medidas que se utilizan para evaluar el rendimiento surgen de hacerse un conjunto de preguntas como se detalla a continuación. Preguntas relacionadas con el tiempo, centradas en el cliente, como: a. Cuál es el tiempo promedio que un cliente recién llegado tiene que esperar en la fila antes de ser atendido? La medida de rendimiento asociada es el tiempo promedio de espera, representado con Wq. b. Cuál es el tiempo que un cliente invierte en el sistema entero, incluyendo el tiempo de espera y el de servicio? La medida de rendimiento asociada es el tiempo promedio en el sistema, denotado con W. Preguntas cuantitativas relacionadas al número de cliente, como: a. En promedio cuántos clientes están esperando en la cola para ser atendidos? La medida de rendimiento asociada es la longitud media de la cola, representada con Lq. b. Cuál es el número promedio de clientes en el sistema? La medida de rendimiento asociada es el número medio en el sistema, representado con L. 8

21 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS Preguntas probabilísticas que implican tanto a los clientes como a los servidores, por ejemplo: a. Cuál es la probabilidad de que un cliente tenga que esperar a ser atendido? La medida de rendimiento asociada es la probabilidad de bloqueo, que se representa por, pw. b. En cualquier tiempo particular, cuál es la probabilidad de que un servidor esté ocupado? La medida de rendimiento asociada es la utilización, denotada con U. Esta medida indica también la fracción de tiempo que un servidor está ocupado. c. Cuál es la probabilidad de que existan n clientes en el sistema? La medida de rendimiento asociada se obtiene calculando la probabilidad Po de que no haya clientes en el sistema, la probabilidad Pi de que haya un cliente en el sistema, y así sucesivamente. Esto tiene como resultado la distribución de probabilidad de estado, representada por P n, n = 0, d. Si el espacio de espera es finito, Cuál es la probabilidad de que la cola esté llena y que un cliente que llega no sea atendido? La medida de rendimiento de trabajo se necesitan para lograr mayor efectividad asociada es la probabilidad de negación del servicio, representada por Pd. Preguntas relacionadas con los costos, como: a. Cuál es el costo por unidad de tiempo por operar el sistema? b. Cuántas estaciones en los costos? El cálculo específico de estas medidas de rendimiento depende de la clase de sistema de colas. Algunas de estas medidas están relacionadas entre sí. Conocer el valor de una medida le permite encontrar el valor de una medida relacionada. Relaciones entre L, W, Lq y Wq Suponga que λ n es una constante para toda n. Se ha demostrado que en un proceso de colas en estado estable: L * W (.4) Dado que John D. C. proporcionó la primera demostración rigurosa, con el nombre de fórmula de Little, la misma demostración prueba que: 9

22 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS Lq * Wq (.5) Ahora suponga que el tiempo medio de servicio es una constante / μ, para toda n. Se tiene entonces que: W Wq (.6) Diferentes modelos que se utilizan para la resolución de problemas Cada modelo de los que a continuación se analizan se describe en términos de la notación extendida por Kendall, como la deducción de p n es completamente independiente de la disciplina de la línea de espera, es apropiado usar el símbolo DG (disciplina general) en la notación de Kendall. Características claves n cantidad de unidades en el sistema El sistema está compuesto por el área de la cola y el área de servicio. Notación del modelo //3:4,5 Donde:. Distribución del tiempo entre arribos.. Distribución del tiempo de servicio. 3. Número de canales o estaciones de servicio (; S). 4. Tamaño de la población y la cola. 5. Disciplina de servicio. Distribución del tiempo entre arribos o del tiempo de servicio M: Exponencial. D: Determinística o constante. Ek: Erlang. GI: Independiente general cualquiera. G: General. Tamaño de la población y la cola : Cola y población infinitas. CF: Cola finita, población infinita. 0

23 FL: Población limitada o finita (cola finita). CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS Disciplina de servicio FIFO: Por orden de llegada primero en llegar, primero en entrar (del inglés: First In, First Out). LIFO: Último en llegar, primero en entrar (del inglés: Last In, First Out). Prioritaria. Aleatoria. En este texto solamente se estudiarán modelos cuyos tiempos entre arribos y tiempo de servicio siguen una distribución exponencial y la disciplina de servicio sea por orden de llegada. MODELOS DE COLA INFINITA CON ENTRADAS POISSON. Modelo de estación única: M/M/:, FIFO Dados λ y µ, se determinan las medidas de rendimiento siguientes: Factor de utilización del sistema: (.7) Probar que ; para que el sistema sea estable Probabilidad de que no haya unidades en el sistema: P 0 (.8) Probabilidad de que haya n unidades en el sistema: n n n P n * P0 (.9) Número medio de unidades en el sistema: L W * n * (unidades físicas) (.0) n 0 Número medio de unidades en la cola. P n Lq Wq * L L P0 L* ( n s)* P n (unidades físicas) ( ) Tiempo medio de estancia de una unidad en el sistema. n s (.) L W (unidades de tiempo/unidad física) (.)

24 Tiempo medio de estancia de una unidad en la cola. Wq Lq ( ) L (unidades de tiempo/unidad física) Probabilidad de que una unidad arribe al sistema y tenga que esperar. CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS (.3) P T 0 P0 Pn P T 0 (.4) n Donde T es el tiempo de espera de una unidad. Probabilidad de que una entidad llegue al sistema y no tenga que esperar P T 0 P0 P T 0 (.5). Modelo de estación múltiple: M/M/S:, FIFO Este modelo es una extensión del primero para el caso en que hay múltiples canales o estaciones de servicio en paralelo. Dados λ, µ y S se determinan las medidas de rendimiento siguientes: Factor de utilización del sistema: S * (.6) Probar que ; para que el sistema sea estable Intensidad de tráfico por estación (.7) Probabilidad de que no haya unidades en el sistema: P 0 S (.8) S n 0 n! n S! * Probabilidad de que haya n unidades en el sistema: ( / ) n! P n * 0 Si 0 n S (.9) n P n = ( / ) * P0 Si n S (.0) n S S!* s

25 Número medio de unidades en el sistema: CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS L W * *( Wq ) Lq (unidades físicas) (.) Número medio de unidades en la cola. ( / ) ( ) P * S * * / (unidades físicas) (.) S! 0 Lq Wq L Tiempo medio de estancia de una unidad en el sistema. L W Wq (unidades de tiempo/unidad física) (.3) Tiempo medio de estancia de una unidad en la cola. Lq L Wq W (unidades de tiempo/unidad física) (.4) Probabilidad de que una unidad arribe al sistema y no tenga que esperar. S P( T 0) P T 0 (.5) n Pn 0 Probabilidad de que una unidad arribe al sistema y tenga que esperar. P (T > 0) = ( / ) S * 0 S!( ) S n P P T 0 Pn Pn 0 n S (.6) (.7) Donde T es el tiempo de espera de una unidad. MODELOS DE COLA FINITA CON ENTRADAS POISSON Para este tipo de modelo M es la cantidad de clientes en el sistema, que se puede calcular como la cantidad de estaciones de servicio más los espacios totales que hay para la espera. 3. Modelo de Estación Única: M/M/: CF, FIFO Expresiones para ρ Dados λ, μ y M se determinan las medidas de rendimiento siguientes: 3

26 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS ρ= λ / μ ρ (.8) Probabilidad de que no haya unidades en el sistema: P 0 M M n 0 n Probabilidad de que haya n unidades en el sistema. (.9) n n P ( ) * n M P * Para n =,, 3,, M (.30) 0 Número medio de unidades en el sistema. L ( M ) M M n M n * P Número medio de unidades en la cola. 0 n (unidades físicas) (.3) Lq L ( Po) (unidades físicas) (.3) Tiempo medio de estancia de una unidad en el sistema. W L (unidades de tiempo/unidad física) (.33) Tiempo medio de estancia de una unidad en la cola. Wq Lq (unidades de tiempo/unidad física) (.34) Donde: M n n n n 0 n 0 M * P * P * P (.35) Probabilidad de que una unidad llegue y se pueda incorporar (no tenga que esperar). M P T 0 P n (.36) n 0 Fracción de clientes potenciales que se pierden o probabilidad de que una unidad llegue al sistema y no se pueda incorporar. M * M P M Pn P (.37) 0 n 0 4

27 Probabilidad de que una unidad arribe al sistema y tenga que esperar. CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS M M P P n 0 (.38) n P( T 0) * Donde T es el tiempo de espera de una unidad. Si ρ= (λ = μ), nótese que se indefinen algunas de las expresiones anteriores (P n y L). Por tanto, cuando ρ = (λ = μ) las expresiones para el cálculo cambian, según se muestran seguidamente. Expresiones para ρ = Dados λ, μ y M se determinan las medidas de rendimiento siguientes: (.39) Probabilidad de que haya n unidades en el sistema. P n M Para n = 0,,, 3,, M (.40) Número medio de unidades en el sistema. L M n M n M * n n * Pn (unidades físicas) (.4) 0 Número medio de unidades en la cola. M M Lq * ( n ) ( n s)* Pn M n 0 Tiempo medio de estancia de una unidad en el sistema. n s (unidades físicas) (.4) W L (unidades de tiempo/unidad física) (.43) Tiempo medio de estancia de una unidad en la cola. Wq Lq (unidades de tiempo/unidad física) (.44) Donde: M ( ) ( PM ) M Probabilidad de que una unidad arribe al sistema y tenga que esperar. (.45) 5

28 M M P( T 0) ( M )* Pn P0 ( ) M n CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS (.46) Donde T es el tiempo de espera de una unidad. Fracción de clientes que se pierden (Probabilidad de que una unidad arribe al sistema y no se pueda incorporar). P M M (.47) Para n = M Para n M P P (.48) M M n P P * M 0 (.49) Probabilidad de que una unidad llegue al sistema y no tenga que esperar. M P n n P T 0 P T 0 (.50) 4. Modelo de estación múltiple: M/M/S: CF, FIFO Dados λ, μ, S y M se determinan las medidas de rendimiento siguientes: ρ= λ / (S * μ) Cualquier ρ (.5) Probabilidad de que no haya unidades en el sistema P 0 s n s M ( / ) ( / ) * ( ) n! s! s* n n s Probabilidad de que haya n unidades en el sistema P n = ( ( S!* S / ) n! / n ) n S n * P * P para n > M n s (.5) para n =,,, s- (.53) para n = s, s+,, M (.54) Número medio de unidades en el sistema. S n 0 S L npn Lq S * ( Pn) (unidades físicas) (.55) n 0 6

29 Número medio de unidades en la cola. CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS S P0 * ( / ) * M S M S Lq ( M S) * * ( ) (unidades físicas) S!( ) Tiempo medio de estancia de una unidad en el sistema. (.56) W L Wq (unidades de tiempo/unidad física) (.57) Tiempo medio de estancia de una unidad en la cola. Wq Lq (unidades de tiempo/unidad física) (.58) Donde: ( ) (.59) PM Fracción de clientes potenciales que se pierden o probabilidad de que una unidad llegue al sistema y no se pueda incorporar. M PM P n (.60) n Para n = M 0 P P (.6) M n Probabilidad de que una unidad llegue al sistema y no tenga que esperar. S P ( T 0) (.6) Pn n 0 Probabilidad de que una unidad arribe al sistema y tenga que esperar. M P ( T 0) (.63) Pn n S Donde T es el tiempo de espera de una unidad. MODELOS DE FUENTE LIMITADA CON ENTRADAS POISSON M es el tamaño de la población y si se le resta el valor correspondiente a las unidades en el sistema, daría la cantidad de unidades que hay fuera del sistema. 5. Modelo de Estación Única: M/M/: FL, FIFO Dados λ, μ y M se determinan las medidas de rendimiento siguientes: Factor de servicio: 7

30 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS (.64) Probabilidad de que no hayan unidades en el sistema. P 0 n M 0 M! M n *! Probabilidad de que haya n unidades en el sistema. n M! Pn * * P ( M n )* * P M n! n 0 n n =,,, M Número medio de unidades en el sistema. (.65) (.66) L M * P 0 (unidades físicas) (.67) Número medio de unidades en cola. M Lq M * P n * P L ( P ) (unidades físicas) (.68) 0 n 0 n Tiempo medio de estancia de una unidad en el sistema. L W (unidades de tiempo/unidad física) (.69) Tiempo medio de estancia de una unidad en cola. Lq M Wq * (unidades de tiempo/unidad física) (.70) Donde: P 0 M L (.7) Probabilidad de que una unidad arribe al sistema y tenga que esperar. P T M 0 P P n n 0 (.7) Donde T es el Tiempo de espera de una unidad. 6. Modelo de estación múltiple: M / M / S: FL, FIFO 8

31 Dados λ, μ, S y M se determinan las medidas de rendimiento siguientes: CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS Probabilidad de que no hayan unidades en el sistema. P 0 S n 0 n M M! M! * * n S M n!* n! M n!* S!* S n S n M n P n (.73) Probabilidad de que haya n unidades en el sistema. P n M! * * n* P0 Si 0 n S M n!* n! M! M n!* S!* S n S n n * * P Si S n M 0 (.74) (.75) 0 Si n M Número medio de unidades en el sistema. S n 0 n S n L n * P Lq S * P (.76) Número medio de unidades en cola. n M S P n 0 n Lq n S * (.77) Tiempo medio de estancia de una unidad en el sistema. L W (.78) Tiempo medio de estancia de una unidad en cola. Lq Wq (.79) Donde: * M L (.80) Probabilidad de que una unidad llegue al sistema y no tenga que esperar. 9

32 S n 0 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS P( T 0) P n (.8) Probabilidad de que una unidad arribe al sistema y tenga que esperar. M P n n S P T 0 (.8) Coeficiente de indisponibilidad por clientes. K Lq (.83) M Coeficiente de inactividad por estación. K S n 0 S S n * P n (.84).4. Análisis económico de los modelos de cola Todo sistema de servicio requiere de un análisis económico para poder tomar la decisión más correcta. Dicho análisis incluye dos elementos:. El nivel del servicio.. El tiempo de espera de las unidades que acuden a recibir servicio. Con el objetivo de reducir el costo de servicio, se recomienda un mínimo nivel de este, mientras que al no ser deseables largos tiempos de espera, es aconsejable un alto nivel de dicho servicio, por lo que se hace necesaria la búsqueda de una solución que satisfaga ambas condiciones. Como primera aproximación se superponen las curvas E(CS) y E(CE), se obtiene la figura.. Donde: E(CS): valor esperado del costo del servicio. E(CE): valor esperado del costo de espera. E(CT): valor esperado del costo total. 0

33 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS Costo del servicio E(CT) E(CS) E(CE) Figura. Costo total del sistema de servicio. Nivel del servicio Las funciones que caracterizan a las curvas de E(CS) y E(CE) no son convexas, pero para E(CT) si se cumple esta propiedad, por ello es posible determinar un punto mínimo en la curva, que da el mejor balance entre el costo por el tiempo de espera y el costo por el servicio. Entonces, suponiendo que ha sido posible estimar el costo por el tiempo de espera, el objetivo a alcanzar se formula como: determinar el nivel de servicio que minimiza el total del valor esperado del costo de servicio y el valor esperado del costo del tiempo de espera para recibir ese servicio. Matemáticamente esto se expresa como: MINIMIZAR E(CT) = E(CS)+ E(CE) (.85) Para el valor del costo total en que se cumpla esta condición, se está garantizando un nivel de servicio tal que se logra un balance en la evaluación económica del sistema. Ecuaciones para el cálculo del análisis económico Para el modelo de cola infinita (Modelo M/M/ ó S;, FIFO): E CT E CS E CE Cs * S Ce * L (.86) Para el modelo de cola finita Modelo M/M/ ó S; CF, FIFO):

34 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS E CT E C S E C E E C P Cs * S Ce * L Cp * * P (.87) M Para el modelo de fuente limitada (Modelo M/M/ ó S; FL, FIFO): E CT E C E C M Cs* S Ce M S E * L (.88) Quizás se le sugiere al lector que investigue en la literatura sobre otros modelos de cola existentes y con aplicación práctica en la gestión empresarial..5. Utilización del WinQSB para resolver problemas de teoría de colas El WinQSB es un software de apoyo para la toma de decisiones, que puede ser utilizado por los estudiantes de la carrera de Ingeniería Industrial para diferentes asignaturas, una de ellas es la Investigación de Operaciones II y dentro de esta, uno de los temas a los cuales se aplica, es la teoría de colas. Usando este software se puede acceder a través del menú Inicio Programas WinQSB - Queuing Analysis. Para solucionar un problema de colas a través del WinQSB, se va a tomar el caso para S = del ejemplo siguiente. Ejemplo. En la sala de urgencias del policlínico Marta Abreu del municipio de Santa Clara, se proporciona atención a las personas que lo requieran. Se conoce que los arribos de los pacientes se producen con una tasa media de 3 por hora, siguiendo una distribución Poisson. La sala cuenta con dos enfermeras las cuales invierten 5 minutos como promedio en cada uno de los pacientes, según una distribución exponencial. En la sala ha surgido un problema por dos planteamientos aparentemente contradictorios: uno del jefe de la sala, el que plantea que los pacientes están teniendo que esperar mucho en la cola para hacer atendidos, por lo que solicita que se adicione una enfermera más a la sala, el otro de la dirección del hospital, que plantea que en ocasiones las dos enfermeras están ociosas y cree que se debe reducir la cantidad de enfermeras a una.

35 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS Considere que una enfermera cobra $.00 por hora y se ha valorado que por cada hora que un paciente permanezca en la sala el costo será de $.00. Proponga cuántas enfermeras debe tener la sala para minimizar el costo total del sistema. Solución del problema: Una ves recorrido el camino de acceso al WinQSB mencionado anteriormente, dar clic en el botón correspondiente en la barra de herramientas, el cual significa, que vas a comenzar a solucionar un nuevo problema (New Problem), la ventana que sale como resultado de esta acción, es la que se muestra en la figura.. Figura.. Ventana de entrada de datos generales de un problema de teoría de colas con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. En esta ventana se pone el título del problema, se establece la unidad de tiempo que por defecto es horas (por tanto todos los datos del problema tienen que estar en horas o la unidad especificada) y también se deja la opción que aparece marcada: Simple M/M System (que es la que contempla los modelos estudiados en este texto); luego se da clic en OK y se obtiene la ventana que se muestra en la figura.3. En esta ventana es donde se introducen los datos del problema, como se muestra a continuación: Number of servers: número de servidores (S), en este caso S =. Service rate (per Server per hour): tasa media de servicio por estación ( ); = 4. 3

36 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS Customer arrival rate (per hour): tasa media de llegada de clientes al sistema ( ); = 3. Queve capacity (maximum waiting space): capacidad de la cola, aparece por defecto M, lo cual significa que el tamaño de la cola es infinita, como en este caso, pero si no fuera así, por ejemplo para el caso de cola finita, se pusiera el tamaño de la cola máxima más los servidores. Customer population: tamaño de la población, al igual que en el caso anterior, aparece por defecto M, lo cual es válido para este caso, porque el tamaño de la población también es infinito, pero si fuera por ejemplo el caso de fuente limitada, se pusiera el tamaño de la población. El costo relacionado con los servidores tiene dos partidas: una primera vinculada al costo del servidor cuando está ocupado (busy server cost per hour) y una segunda al costo del servidor cuando está ocioso (idle server cost per hour). En el caso del ejemplo analizado solamente existe el primero. Para los clientes también existen dos partidas del costo: una primera vinculada al costo que estos tienen cuando están esperando (customer waiting cost per hour) y una segunda vinculada a cuando estos reciben el servicio (customer being served cost per hour). En el caso vinculado al ejemplo tratado solamente existe la primera de estas dos. Cost of customer being balked: costo por la pérdida de clientes, para el caso en que la cola sea finita. Unit queve capacity cost: costo unitario de capacidad de cada unidad de cola. Figura.3. Ventana de entrada de datos de un problema de teoría de colas con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. 4

37 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS Para guardar los resultados se utiliza la opción: File Save Problem As. Al concluir la entrada de datos, para obtener la solución del problema, dar clic en el botón correspondiente de la barra de herramientas o la opción Solve the Problem del menú Solve and Analyze, obteniendo como resultado la figura.4. Figura.4. Ventana de resultados de un problema de teoría de colas con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. Esta ventana muestra todos los resultados que se pueden obtener al solucionar un problema de teoría de colas con el uso del WinQSB. Los cuales se describen a continuación:. Tipo de modelo: en esta notación se obvia la disciplina de servicio así como el tamaño de la población y la cola, pues queda establecido en la entrada de datos.. Razón de arribos de los clientes por hora ( ), 3 pacientes/h. 3. Razón de servicio por servidor por hora ( ), 4 pacientes/h. 4. Razón de arribo efectivo del sistema completo por hora, 3 pacientes/h. 5. Razón de servicio efectivo del sistema completo por hora, 3 pacientes/h. 6. Utilización del sistema completo ( ), %. 5

38 7. Número medio de clientes en el sistema (L), clientes. CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS 8. Número medio de clientes en la cola (Lq),.0.7 clientes. 9. Número medio de clientes en la cola cuando el sistema esté lleno (Lb), Tiempo medio de estancia de un cliente en el sistema (W), h.. Tiempo medio de estancia de un cliente en la cola (Wq), Tiempo medio de estancia de clientes en la cola cuando el sistema está lleno (Wb), 0. h. 3. Probabilidad de que no haya clientes en el sistema, equivalente a la probabilidad de que todos los servidores estén ociosos (Po), %. 4. Probabilidad de que un cliente arribe al sistema y tenga que esperar, equivalente a la probabilidad de que esté ocupado el sistema (P (T>0)), %. 5. Número medio de clientes que abandonan la cola por hora (para el caso de cola finita), en este caso como la cola es infinita es cero. 6. Costo total de que el servidor esté ocupado por hora, $.50/h. 7. Costo total de que el servidor esté desocupado por hora, $0.00/h. 8. Costo total de la espera de los clientes por hora, $0.7/h. 9. Costo total de ser atendido el cliente por hora, $0.00/h. 0. Costo total por los clientes perdidos por hora, $0.00/h.. Costo total del espacio en cola por hora, $0.00/h.. Costo total del sistema por hora, $.67/h. Presionando F en Glossary Queuing Related Cost aparecen las fórmulas utilizadas por el software para calcular los costos. Se le sugiere al lector que resuelva a través del WinQSB los casos para S = y S = Aplicaciones de la teoría de colas La teoría de colas ha gozado de un lugar sobresaliente entre las técnicas analíticas modernas de investigación de operaciones, pero hasta aquí el enfoque se ha limitado a la formulación de una teoría matemática descriptiva. Aquí pues, no concierne a la teoría de colas alcanzar la meta de investigación de operaciones: la toma de decisiones óptimas. En lugar de ello obtiene información sobre el comportamiento del sistema de colas. 6

39 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS Esta teoría proporciona parte de la información necesaria para llevar a cabo un estudio de investigación de operaciones que intenta encontrar el mejor diseño para un sistema de colas. En el contexto de la informática y de las nuevas tecnologías estas situaciones de espera son más frecuentes. Así, por ejemplo, los procesos enviados a un servidor para ejecución forman colas de espera mientras no son atendidos, la información solicitada, a través de Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a la congestión en la red. En logística de los procesos industriales de producción, ingeniería de redes y servicios, ingeniería de sistemas informáticos, elaboración de proyectos sustentables, etc. En la telefonía también tienen gran aplicación. Las redes telefónicas se diseñan para acomodar la intensidad ofrecida del tráfico con solamente una pequeña pérdida. El funcionamiento de los sistemas depende de si la llamada es rechazada, de si está pérdida, etc. Normalmente los sistemas de desbordamiento hacen uso de rutas alternativas e incluso estos sistemas tienen una capacidad de carga finita o máxima de tráfico. Sin embargo, el uso de las colas permite que los sistemas esperen por las peticiones de su cliente hasta que los recursos libres estén disponibles. Esto significa que si los niveles de la intensidad del tráfico exceden de la capacidad disponible, las llamadas del cliente se perderían. La disciplina de colas determina la manera de cómo manejar las llamadas de los clientes. Define la manera en que les servirán, la orden de las cuales se sirven, y la manera en la que los recursos se dividen entre los clientes..7. Ejercicios resueltos. Una tienda TRD que se dedica a brindar servicios gastronómicos, cuenta con un dependiente, el cual atiende a los clientes a una velocidad promedio de 0 clientes por hora, según una distribución exponencial. Además, se conoce, que la razón de llegada de los clientes sigue una distribución Poisson con media de 7 clientes por hora. Se desea conocer: a) La probabilidad de que no halla clientes en la tienda. b) El número medio de clientes en la tienda. c) El número medio de clientes en la cola. d) El tiempo que permanece un cliente en la tienda. 7

40 e) El tiempo de espera de un cliente para ser atendido. f) La probabilidad de que un cliente llegue y tenga que esperar. Solución: Características y datos:. Entradas Poisson. 7clientes/h. Tiempo de servicio exponencial. 0 clientes/h 3. Estación única: un cajero bancario 4. Población infinita, cola infinita. 5. Disciplina de servicios: FIFO. Modelo: M / M / :, FIFO Utilizando la fórmula (.7): CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS a)? Po Utilizando la fórmula (.8): Po La probabilidad de que no haya clientes en la tienda es de 0.3. b) L? Utilizando la fórmula (.0): 0.7 L.33 clientes 0.7 En la tienda hay un promedio de.33 personas. c) Lq? Utilizando la fórmula (.): 7 Lq.63 clientes 0(0 7) En la cola estarán esperando un promedio de.63 personas. d) W? 8

41 Utilizando la fórmula (.): CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS.33 W 0.33 clientes/h 7 El tiempo medio que permanece una persona en la tienda es 0.33 horas. e) Wq? Utilizando la fórmula (.3):.63 Wq 0.3 clientes/h 7 El cliente pasa un promedio de 0.3 horas para ser atendido. f) P (T 0)? Utilizando la fórmula (.4): PT ( 0) La probabilidad de que un cliente llegue a la tienda y tenga que esperar es de un 70 %.. En el área de Contabilidad y Finanzas de la empresa Constructora de Obras de Arquitectura # 44 (ECOA 44) de Villa Clara, hay una oficina donde se realiza el pago a los trabajadores de toda la entidad. Las dimensiones del local son pequeñas, por lo que solamente hay espacio para 3 trabajadores: uno recibiendo el pago y los otros dos esperando. Cuando este espacio está lleno no puede entrar a la oficina ningún trabajador, por lo que cuando concluye la jornada laboral de ocho horas, los trabajadores que no pudieron cobrar, se quedan para el otro día y los turnos se atienden por orden de llegada. Si hay un solo empleado en la oficina, el cual se demora 6 min, como promedio de una distribución exponencial, en atender a cada trabajador y la llegada de los empleados, es de cada 3 min, según una distribución Poisson, determine: a) La probabilidad de que al llegar un trabajador, este no tenga que esperar. b) El número medio de trabajadores en la cola. c) La fracción de trabajadores que se pierden el primer día de pago. Solución: Características y datos: 9

42 M = S + cola Máxima = + M = 3. Entradas Poisson. 3 trabajadores/min. Tiempo de servicio exponencial. 6 min/trabajador CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS 6 trabajadores/min 3. Estación única: S= empleado 4. Población infinita, cola finita. 5. Disciplina de servicios: FIFO. Modelo: M / M / : CF, FIFO Utilizando la fórmula (.8): 3 6 a)? Po Utilizando la fórmula (.9): P o La probabilidad de que al llegar un trabajador este no tenga que esperar es de b) Lq? Utilizando la fórmula (.3): 4 4* L.6 trabajadores 4 Utilizando la fórmula (.3): Lq.6 ( 0.066).33 trabajadores En la cola habrá un promedio de.33 trabajadores. c)? PM 30

43 Utilizando la fórmula (.37): CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS P M * 0.53 El 53 % de los trabajadores que acuden a recibir el cobro el primer día de pago tienen que marcharse y regresar el día siguiente. 3. El taller de moldes y troqueles de la empresa INPUD ro de mayo de Villa Clara, posee 4 equipos y solamente cuenta con un mecánico para repararlos cuando se rompen, el cual requiere de 40 minutos como promedio para realizar cada reparación, según una distribución exponencial. El tiempo de funcionamiento de un equipo, hasta que se rompe, sigue una distribución exponencial con media de 3 horas. Dada esta situación se desea determinar: a) La probabilidad de que no haya ningún equipo roto. b) El número esperado de equipos que están rotos. Solución: Características y datos: M = 4 equipos.. Tiempo entre roturas (arribos) exponencial. (Equivalente a razón de roturas Poisson). 3 h/equipo 3 equipo/h. Tiempo de servicio exponencial. 40 min/equipo 3 min *60min 40 equipos equipo/h 3. Estación única: S = mecánico. 4. Población finita o fuente limitada de tamaño M (M = 4 equipos). 5. Disciplina de servicios: FIFO. Modelo: M / M / : FL, FIFO. 3

44 a)? Po Utilizando la fórmula (.65): P o M n o 4 * (4 n) 3 3 n 0.6 La probabilidad de que no haya ningún equipo roto es de 0.6. b) L? Utilizando la fórmula (.67): 3 L 4 * ( 0.6) 0.64 equipos 3 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS Estarán rotos como promedio 0.64 equipos, es decir, aproximadamente equipo. 4. Resuelva de forma manual el ejemplo. solucionado anteriormente empleando el software WinQSB. Solución: Identificación del modelo. Modelo: M / M / S:, FIFO. Datos: 3 pacientes/h 5 min/paciente 5 pacientes min*60min h 4 pacientes/h S =? (S =,, 3 enfermeras) C s = $.00/h enfermera C E = $.00/h - enfermera Para S = Utilizando la fórmula (.7): Cálculo de L. 3

45 De la tabla del apéndice con el valor de L: L = Utilizando la fórmula (.86): E( CT ).00*.00*3 $5.00 /h Para S = Utilizando la fórmula (.6): 3 * Cálculo de L. De la tabla del apéndice con el valor de L: L = Sustituyendo: Utilizando la fórmula (.86): E( CT ).00*.00*0.873 $4.873 /h Para S = 3 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS 0.75 utilizando la fórmula (.7) y S = se obtiene 0.75 utilizando la fórmula (.7) y S = se obtiene Si el sistema fue estable para S =, lo continuará siendo si S aumenta, por lo tanto no es necesario volver a probar si De la tabla del apéndice con el valor de L: L = Utilizando la fórmula (.86): E( CT ).00*3.00*0.675 $6.675 /h 0.75 utilizando la fórmula.7 y S = 3 se obtiene El costo mínimo es $4.873/h y se obtiene con dos enfermeras, por lo tanto, resulta más económico mantener la misma cantidad de enfermeras que existe actualmente..8. Ejercicios propuestos. Suponga que un cajero bancario puede atender a los clientes a una velocidad promedio de ocho clientes por hora. Además, suponga que los clientes llegan a la ventanilla del cajero a una tasa promedio de 5 por hora. Se considera que las llegadas siguen la distribución exponencial. 33

46 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS Encontrar el tiempo ocioso promedio en el sistema, el número promedio de personas en el banco y la probabilidad de que haya 3 clientes en el mismo, la cantidad promedio de clientes en la cola, el tiempo promedio que permanece una persona en el banco y el tiempo promedio que permanece un cliente en la cola.. En la casa de la cultura del municipio de Placetas, se encuentran instaladas dos líneas telefónicas. Un promedio de 30 personas por hora tratan de llamar a la entidad y la longitud promedio de cada llamada es de min. Si una persona trata de llamar cuando ambas líneas están ocupadas, cuelga y se pierde del sistema. Suponga que el tiempo entre llamadas que tratan de comunicarse, así como los tiempos de servicio, son exponenciales. a) Qué fracción de tiempo están libres ambas líneas? b) Qué fracción de tiempo están ocupadas ambas líneas? c) Qué fracción de tiempo está ocupada exactamente una línea? d) En promedio cuántas solicitudes colgarán por hora. 3. En el parqueo de la fábrica de pastas alimenticias La Pinta solamente hay espacio para tres camiones: uno siendo cargado y dos esperando en la cola. Los camiones arriban al parqueo según una distribución Poisson a razón media de un camión por hora. La fábrica cuenta con un obrero solamente, encargado de la carga de los camiones y esta requiere de 45 min como promedio, según una distribución exponencial, para realizar cada carga. La dirección de la empresa quiere saber: el número promedio de carros en la fábrica y el tiempo medio de estancia de un camión en la cola. 4. Un centro Multiservicio o Tele punto, tiene espacio para cuatro personas: dos recibiendo atención por dos especialistas y dos esperando turno. Cuando hay cuatro clientes no se admite la entrada de otros y los turnos se atienden por orden de llegada. El arribo de los clientes al sistema sigue una distribución Poisson a razón de 30 clientes por día y el tiempo de servicio sigue una distribución exponencial con media de 5 min por cada cliente. Se desea determinar: a) La probabilidad de que al llegar un cliente, este no tenga que esperar. 34

47 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS b) La probabilidad de que llegue un cliente y se encuentre que hay uno esperando. c) El número medio de clientes en el Tele punto. d) El tiempo que permanece un cliente en el Tele punto. e) La probabilidad de que un cliente llegue al Tele Punto y no pueda entrar. 5. En la empresa INDUVILLA la dirección no está conforme con la calidad del producto terminado (croquetas de pescado), por lo cual se quiere conocer si esto se debe a que las cajas de materia prima (Tenca) tienen que esperar para ser procesadas un largo tiempo, lo cual provoca que las mismas no mantengan la temperatura adecuada. En un día de trabajo las cajas llegan a razón de una cada 4 minutos, según una distribución Poisson. En el proceso laboran 5 trabajadores con similar ritmo de trabajo, cada uno invierte aproximadamente 5 minutos en procesar una caja, siguiendo una distribución exponencial y las cajas se van procesando según el orden de llegada. 6. Un Rent Car tiene 6 autos, esta entidad cuenta con un empleado encargado de realizar el servicio de limpieza a los carros, y este requiere de,5 horas, como promedio, según una distribución exponencial, para realizar cada servicio. Los carros sucios arriban a la entidad, según una distribución exponencial, con media de horas. Los autos se atienden por el orden en que llegan. Determine: a) La probabilidad de que no haya ningún auto recibiendo el servicio de limpiado. b) El tiempo que un auto permanece esperando para ser limpiado. c) La probabilidad de que un auto arribe al Rent Car sucio y tenga que esperar para recibir el servicio. 7. La Ronera Central ubicada en el municipio de Santo Domingo, cuenta con 8 rastras para realizar la distribución de sus productos en la provincia de Villa Clara. Las rastras son cargadas por dos obreros, el tiempo que invierte cada obrero en cargar una rastra es aleatorio y sigue una distribución exponencial con media de hora. El tiempo promedio que invierte una rastra en distribuir toda la mercancía y regresar a la empresa, para ser cargada nuevamente, es de horas, según una distribución exponencial. 35

48 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS Si se ha evaluado que el costo por cada hora que un chofer y su rastra no se dediquen a la distribución por estar cargando en la empresa es de $6.00 y el salario de cada obrero es $4.00 por hora. Determine: a) El tiempo que estará esperando una grúa para ser cargada. b) El tiempo promedio que permanece una rastra en la Ronera. c) El costo total del sistema..9. Preguntas de autoevaluación. Qué es un sistema de colas?. Cuál es la estructura básica de los modelos de cola? 3. Qué importancia tiene la distribución exponencial en la teoría de colas? 4. Cómo se clasifica un sistema de colas? 5. Cuáles son los elementos que incluye el análisis económico de un sistema de servicio? 6. Cuál es la importancia del análisis económico en los modelos de cola? 7. Cuál es la aplicación del WinQSB en la teoría de colas? 8. Ponga un ejemplo de la vida práctica en que se pueda aplicar la teoría de colas..0. Bibliografía consultada. Álvarez Buylla Valle, Mercedes (987). Modelos Económico Matemáticos II. Tomo I, Capítulo 3 Sistemas de servicio pp , La Habana, Editora ISPJAE.. Arbonas, M. E. (989). Optimización Industrial (I). Distribución de los recursos. Colección Productica No. 6. Marcombo S.A. 3. Arbonas, M. E. (989). Optimización Industrial (II). Programación de recursos. Colección Productica No. 9. Marcombo S.A. 4. Bose, S. J. (00). Chapter An Introduction to Queueing Systems, Kluwer/Plenum Publishers. 5. Buffa, E. (968) Operations Management: Problems and Models. La Habana, Edición Revolucionaria. 6. Gallagher, Ch. A y Watson, H. J. (005). Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones en Administración. Tomo II, Capítulo 5 Líneas de Espera pp , La Habana, Editorial Félix Varela. 36

49 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS 7. Gazmuri, P. (995). Modelos Estocásticos para la Gestión de Sistemas. Santiago, Ediciones Universidad Católica. 8. Grupo EUMEDNET de la Universidad de Málaga (0). La Teoría de Colas, disponible en: [Consultado el 4 de febrero de 0]. 9. Hillier, F.S y Lieberman, G.J. (007). Introducción a la Investigación de Operaciones. Tomo III, Capítulo 5 Teoría de colas pp , Quinta Edición, La Habana, Editorial Félix Varela. 0. Kaufmann, A. (98). Métodos y Modelos de la Investigación de Operaciones. Capítulo 3 Fenómenos de Espera pp , Cuarta Edición, La Habana, Editorial Pueblo y Educación.. Marrero Delgado, F. (009 [a]). Conferencia Teoría de Colas, disponible en [Consultado el 7 de febrero de 00].. Marrero Delgado, F. (009 [b]). Conferencia Teoría de Colas. Análisis económico, disponible en [Consultado el 7 de febrero de 00]. 3. Martínez Ferreira, M. (005). Teoría de colas, disponible en: [Consultado el 4 de febrero de 0]. 4. Moskowitz, H. y Wright, G. P. (99). Investigación de Operaciones. Prentice_Hall Hispanoamericana S.A. 5. Quesada, V. M. y Vergara, J. C. (003). Análisis cuantitativo con WinQSB. Programa de Administración Industrial, Universidad de Cartagena, Capítulo Programación lineal y entera pp.. 6. República Bolivariana de Venezuela, Universidad Santa María, Facultad de Ingeniería, Cátedra: Investigación de Operaciones (000). Teoría de Colas, disponible en: [Consultado el 7 de febrero de 0]. 7. Tijms, H. C. (003). Algorithmic Analysis of Queues. Capítulo 9 en A First Course in Stochastic Models, Wiley, Chichester. 37

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51 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS.. Introducción El presente capítulo aborda el tema teoría de inventarios, en el cual se tratarán los conceptos fundamentales de inventario, así como los modelos de inventario determinístico para un solo producto y el modelo estocástico para un solo producto sin costo de lanzamiento. Los objetivos que se persiguen con este capítulo son:. Identificar elementos que caracterizan los sistemas de inventario, y los relacionados con los diferentes modelos de inventario, particularizando en el modelo general determinístico para un solo producto y sus casos particulares.. Solucionar manualmente y a través de ordenadores personales, problemas de este tipo. Hacer énfasis en la interpretación económica y analítica de estas soluciones a la luz de las condiciones particulares de los problemas que se presentan. 3. Conocer las tendencias internacionales de la aplicación de estas técnicas en el campo de la ingeniería industrial. Como prerrequisitos para este tema se exigen: El estudiante debe tener conocimientos de matemática básica, cálculo diferencial e integral, teoría de las probabilidades, e Informática... Conceptos básicos de inventario Desde tiempos inmemorables, los egipcios y demás pueblos de la antigüedad, acostumbraban almacenar grandes cantidades de alimentos para ser utilizados en los tiempos de sequía o de calamidades. Es así como surge o nace el problema de los inventarios, como una forma de hacer frente a los períodos de escasez que le aseguraran la subsistencia de la vida y el desarrollo de sus actividades normales. Esta forma de almacenamiento de todos los bienes y alimentos necesarios para sobrevivir, motivó la existencia de los inventarios. La base de toda empresa comercial, es la compra y ventas de bienes y servicios; de aquí viene la importancia del manejo de inventario por parte de la misma. Este manejo contable, permitirá a la empresa mantener el control oportunamente. El inventario, tiene como propósito fundamental, proveer a la empresa de materiales necesarios, tales 38

52 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS como: la materia prima, la producción en proceso, los artículos terminados y otros materiales que se utilicen en el empaque, envase de mercancía o las refacciones para el mantenimiento que se consuman en el ciclo de operaciones para su continuo y regular desenvolvimiento, es decir, el inventario tiene un papel vital para el funcionamiento acorde y coherente dentro del proceso de producción, y de esta forma, afrontar la demanda. Dentro de todo este entorno, se encuentran algunas ventajas y a su vez desventajas, que pueden ratificar esta técnica como la de mayor conveniencia o la de menor eficiencia, estas se pueden resaltar de la siguiente manera: Ventajas Obtención de resultados reales que determinan en cantidad física los bienes de una organización; es decir se determina con lo que se contó, se cuenta o se contará durante un determinado plazo. Diversidad en métodos de ejecución adaptables a las exigencias y formas de trabajo de las distintas organizaciones, permitiendo así un plano exitoso en cuanto la búsqueda de los resultados que se quieren lograr. Estimula el trabajo en equipo, en ejercer funciones diferentes para un fin en común empleando la actitud y el deseo de perfección pero esta vez mediante el compromiso mancomunado. Resume detalle a detalle los bienes de una organización logrando así el conocimiento clave de la mercancía depreciada, mercancía en deterioro, mercancía vencida o simplemente la de óptimo estado. Al comparar un inventario inicial con el inventario final de una organización, se determina un estado de ganancias y pérdidas. Importante a la hora de cálculos que determinen el patrimonio real de la organización. Se evita la malversación de mercancías, el hurto y descontrol en los almacenes. Desventajas El factor tiempo es determinante para la obtención de resultados; si se buscan resultados reales se debe contar con tiempo determinado que tal vez pueda afectar en la operatividad de la organización. 39

53 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS El agotamiento físico puede recalcar durante el procedimiento de inventario; ya que se requiere de esfuerzos extralimitado para la ejecución del mismo. La aplicación del inventario y su mantenimiento genera costos como lo son más personal capacitado, espacio físico, mercancía en deterioro o mercancía vencida, entre otros. Los inventarios están presentes en el aprovisionamiento, la producción y la distribución y cumplen al menos cinco funciones de la empresa: Permiten utilizar economía de escala. Equilibran la oferta y la demanda. Permiten la especialización en la producción. Permiten protegerse de la inseguridad de la demanda y del ciclo de abastecimiento. Actúan como colchón en los diferentes niveles de la cadena logística..3. Conceptos básicos de gestión de inventario La gestión de inventario es el proceso de administración del inventario, de manera que se logre reducir al máximo su cuantía, sin afectar el servicio al cliente, mediante una adecuada planeación y control del mismo. El enfoque tradicional, en lo que respecta a la gestión de inventarios, se basa en los conceptos de punto de pedido y cantidad a pedir, como base para tomar las decisiones de: qué pedir?, cuánto pedir?, cuándo pedir? y cómo pedir? Los sistemas de inventario se clasifican de diversas formas que serán descritas seguidamente.. Clasificación de los sistemas de inventario según la dependencia de la demanda: Sistemas de demanda independiente: la demanda de un artículo no relacionada con otro artículo y afectada principalmente por las condiciones del mercado. Por ejemplo; Sistema de Revisión Continua (Q), Revisión Periódica (P), Sistema MinMax y Sistema para Múltiples Artículos. Sistemas de demanda dependiente: la demanda está determinada por la de otros artículos, no recibiendo una influencia del mercado. Por ejemplo; sistemas de Planeación de los Requerimientos Materiales (MRP). Ejemplo: Automóvil llantas tuercas. 40

54 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS. Clasificación de los sistemas de inventario según el carácter de la demanda: Sistemas determinístico: significa que se conoce con certidumbre la demanda futura de un artículo en inventario. Sistemas Estocásticos: significa que no se conoce con certidumbre la demanda futura de un artículo en inventario o sea es aleatoria. Los inventarios constituyen un beneficio mixto para el administrador. Se incurre en costos al adquirir bienes y mantener el inventario. Por otro lado, se mejora el servicio al cliente cuando se tiene un artículo en almacén siempre que se demande. Los costos asociados con un sistema de inventario son: Costo de Emisión, Lanzamiento y Preparación. Fijos: personal administrativo, almaceneros. Variables: viajes para negociar, teléfono, elaboración de contratos. Cálculo: suma de todos lo costos anteriores por cada pedido. Costo de Posesión, Almacenamiento, Mantenimiento. Costo de oportunidad: dinero inmovilizado no destinado a otros fines (interés medio de beneficios que la empresa puede conseguir con su actividad más lucrativa). Costo de tenencia: alquiler de naves, luz, calefacción, seguros, robos obsolescencia, costos de operación,. Cálculo: costo unitario anual de posesión: h = (% oportunidad + % tenencia) * c = i * c (.) Costo de Ruptura o Rotura del inventario. Costos por lo no vendido. Costos de insatisfacción del cliente, pérdida de imagen. Costos de carencia: cuando se aplaza el suministro hasta que se disponga de existencias, compensándolo mediante un descuento. Cálculo: costo unitario de rotura (carencia): u = (%descuento) * c. (.) Costo de adquisición o de producción. No es un costo del inventario como tal, pero es necesario para el caso del 4

55 cálculo del modelo de descuentos por cantidades. CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS En ocasiones se suele considerar aquí incluido el costo del transporte. Este costo se representa con la letra c. La necesidad de las empresas y productores de mantener inventarios, trajo como consecuencia el estudio de éstos, de manera tal, que se garantizara la forma más económica de mantenerlos. Un buen número de modelos matemáticos que han sido desarrollados, permite mantener, bajo un conjunto de condiciones dadas, la manera óptima de tener inventarios. Dados los objetivos establecidos para esta asignatura, solo se abordarán los modelos determinísticos para un solo producto y el modelo estocástico para un solo producto sin costo de preparación del lote de producción o a ordenar..4. Modelo de inventario determinístico para un solo producto Existen diferentes tipos de modelos de inventario determinístico, donde la demanda es siempre conocida para un período determinado. En este capítulo será estudiado específicamente un tipo de modelo determinístico: modelo general para un solo producto y sus tres casos particulares. Caso general Este modelo considera muchas de las características reales que pueden presentarse en un problema determinístico de inventario, cuyo objetivo es encontrar un valor para el número de unidades que hay que producir en una corrida determinada. La representación gráfica de este modelo se muestra en la figura.. El ciclo de este inventario es el siguiente:. Comienza con el inventario igual a cero.. Comienza la producción con una razón constante Ψ. Habrá una razón de consumo D constante, donde Ψ > D, hasta que se alcance un nivel determinado, deteniéndose la producción (intervalo t ). 3. Después habrá un consumo del intervalo a una razón constante D ocurriendo durante un tiempo t. Entonces se produce la ruptura en dicho inventario, hasta llegar a un déficit determinado (intervalo t 3 ). 4

56 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS 4. Se comienza a producir con una razón r, hasta llegar a cubrir el déficit, repitiéndose de nuevo el proceso (t 4 ). Nivel de inventario I máx Ψ-D D t t 3 t t 4 0 t t D Ψ-D Tiempo Figura.. Representación gráfica del caso general. Para la formulación de este modelo algunos autores definen: r, ψ: razón de producción constante. a, D: demanda constante. S, Imáx: nivel máximo de inventario. d, B: cantidad máxima de unidades en déficit. Q: cantidad de unidades a producir en cada corrida o tamaño del lote. t, t, t 3, t 4 : intervalos de tiempo representados en el gráfico.. Se tendrán además, los siguientes costos: c: costo unitario de producción. h: costo por mantener en inventario. u, π: costo por déficit. k, A: costo de lanzamiento. A los efectos de este texto se utilizarán los términos: ψ, D, Imáx, B, Q, c, h, π, A. Resumen de fórmulas modelo general Dados ψ, D, c, h, π y A: Tamaño óptimo del lote de producción: 43

57 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS Q DA h D h * (unidades físicas) (.3) En el caso de que el valor de Q* de como resultado un valor no discreto y la unidad de medida empleada en el caso estudiado sea discreta, se calcula el costo total del sistema con los valores de Q* para el entero superior y el inferior y se selecciona el Q* de menor costo. Tiempo que transcurre entre dos corridas de producción y frecuencia de las corridas. T * * * * * * Q ( t t t3 t ) (unidades de tiempo) (.4) 4 D * D f (corridas por tiempo) (.5) T * Q * Déficit máximo. DhA( D ) * Dt ( h ) B (unidades físicas) (.6) Nivel de inventario máximo. * 3 * * * I Dt ( D ) t máx (unidades físicas) (.7) Intervalos de tiempo (sus significados están dados por las características del gráfico anterior). t * I máx D * td D * (.8) * A( Dh( h D ) ) t (.9) * 3 ha( D ( h D ) ) t (.0) t B * * 4 (.) Costos D Costo por mantener en inventario 44

58 * CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS * * h ( t t ) C( I) I máx (.) Costo debido al déficit * * * B ( t3 t4 ) C ( D) (.3) Costo de producción * C( P) cq A (.4) Costo total Ejemplo. C ( T) C( I) C( D) C( P) (por período de tiempo) (.5) C( I) C( D) C( P) C ( T ) (por unidad de tiempo) (.6) t t t t * * * 3 * 4 Un taller mecánico especializado en la reparación de televisores recibe piezas de repuesto, las cuales consume a razón de por mes. Las piezas le son suministradas por un taller situado en la misma empresa, cuya capacidad de producción es de piezas al mes. Cada pieza cuesta $4.00 y el costo de preparar una nueva orden de producción es de $ El taller de reparación tiene un pequeño almacén y el costo por mantener una pieza en inventario es de $3.00 por mes; pero si al solicitar una pieza esta no puede ser suministrada, se incurre en un costo de $.00 en un mes. El taller trabaja 4 días al mes. La empresa desea conocer: a) Cantidad óptima de piezas suministradas al taller de reparación en cada corrida de producción. b) Con qué frecuencia se inicia una nueva corrida de producción? c) Cuál es el nivel máximo que se tendrá en inventario y en qué momento se alcanza este? d) En qué momento se produce la ruptura del inventario y cuál es el déficit máximo que puede permitirse? 45

59 Solución: CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS Identificación del modelo. Datos: D = piezas/mes ψ = piezas/mes c = $4.00/pieza A = $00.00 h = $3.00/(pieza mes) π = $.00/(pieza mes) Modelo general de inventario determinístico a) * Q? Utilizando la fórmula (.3): * *3000*00 3 Q * Q piezas Como fue explicado anteriormente, cuando se requiera que el valor de Q* sea discreto, como en este caso, se calcula el costo total del sistema con los valores de Q* para el entero inferior y el superior y se selecciona la opción de menor costo. Utilizando la fórmula (.): 3* 0 (.68) CI ( ) $844.0 Utilizando la fórmula (.0): * 3 /mes *3*00( 3000 ) *(3 ) t días Utilizando la fórmula (.): * 336 t días Utilizando la fórmula (.3): *336(0.0083*0.067) CD ( ) $5.368 /mes 46

60 Para Q* = 894 piezas Utilizando la fórmula (.4): CP ( ) 4* $ /mes Utilizando la fórmula (.5): CT ( ) $ /mes Para Q* = 895 piezas Utilizando la fórmula (.4): CP ( ) 4* $ /mes Utilizando la fórmula (.5): CT ( ) $ /mes El menor costo total se obtuvo con Q* = 894 piezas. b) * f? Utilizando la fórmula (.5): * 3000 f 3.35 veces/mes 894 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS En cada corrida de producción se le suministra al taller de reparación 894 piezas y 3.35 veces por mes se inicia una nueva corrida de producción. c) * I? y t * máx? Utilizando la fórmula (.9): * I máx Dt * t * **00( 3000 ) 8000 d 0.07 mes * *3(3 ) mes Utilizando la fórmula (.7): * I 3000* piezas máx Utilizando la fórmula (.8): t * d 0.04 mes *4.00 mes día días El nivel de inventario es de 0 piezas y se alcanza en un día. * * d) t? y * * t.00 días B? 47

61 t.68 días * * t.68 días * Utilizando la fórmula (.6): *3000*3*00( 3000 ) * (3 ) B piezas CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS La ruptura del inventario se produce a los.68 días y el déficit máximo que puede permitirse es de 336 piezas. El modelo general incluye 3 casos particulares en dependencia de cómo se comporta el reaprovisionamiento y de si se permite déficit o no. Estos casos se verán seguidamente. Caso: no se permite déficit. Lote Económico de Producción (EPQ) Suponga que en un determinado sistema de inventario determinístico no se desea que haya déficit de unidades. El gráfico de este sistema de inventario se representa en la figura.. Nivel de inventario I máx Ψ-D D 0 t t Tiempo Figura.. Representación gráfica del caso. El ciclo de inventario para este caso es el siguiente:. Comienza con el inventario igual a cero.. Comienza la producción con una razón constante Ψ. Habrá una razón de consumo D constante, donde Ψ > D, hasta que se alcance un nivel determinado, deteniéndose la producción (intervalo t ). 48

62 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS 3. Después habrá un consumo del inventario a una razón constante D ocurriendo durante un tiempo t, y se vuelve a repetir el proceso descrito anteriormente. Resumen de fórmulas modelo en que no se permite déficit. Dados ψ, D, c, h, y A: Tamaño óptimo del lote de producción: Q DA h D * (unidades físicas). (.7) Tiempo que transcurre entre dos corridas de producción y frecuencia de las corridas. T * t t * Q D * * ( ) (unidades de tiempo) (.8) D Q * * f (corridas por tiempo) (.9) Nivel de inventario máximo. * * * I Dt ( D ) t máx (unidades físicas) (.0) Intervalos de tiempo (sus significados están daos por las características del gráfico anterior). t * td D * (.) t A( Dh D ) * (.) Costos. Costo por mantener en inventario * * * h ( t t ) C( I) I máx (.3) Costo de producción. * C( P) cq A (.4) Costo total. C ( T) C( I) C( P) (por período de tiempo) (.5) 49

63 * * CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS C( I) C( P) C ( T ) (por unidad de tiempo) (.6) t t Ejemplo. En la UEB Pescasilda se producen minutas de pescados a razón de 670 kg diariamente y la demanda de minutas al mes es de kg. La preparación para una corrida de producción implica un costo de $00.00 y el costo de producir un kg de pescado es de $0.0. Al tener kg de pescado en inventario, se incurre en un costo de $0.40 al mes, y se puede señalar que no se puede detener la producción de minutas por falta de pescado, además que se consideran laborables 4 días al mes. La empresa desea conocer: a) El tamaño óptimo que deben tener las corridas de producción. b) La frecuencia con que se inicia una nueva corrida de producción. c) La máxima cantidad de Kg de pescado que se tendrá en inventario. Solución: Identificación del modelo. Datos: D =5 400 kg/mes ψ = 670 kg/día = kg/mes A = $00.00 c = $0.0/kg h = $0.40/kg Modelo en el que no se permite déficit. a) * Q? Utilizando la fórmula (.7): * *5400*00 Q b) * f? Utilizando la fórmula (.9): kg 50

64 * 5400 f.5 veces/mes CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS El tamaño óptimo de cada corrida de producción es de kg de pescado y la frecuencia con que deben hacerse dichas corridas no debe exceder las.5 veces/ mes. c) Utilizando la fórmula (.): t * 5400 *00( ) *0.40 Utilizando la fórmula (.0): I máx * 5400* Kg La cantidad máxima que puede permanecer en inventario es de Kg de pescado. Caso : reaprovisionamiento instantáneo y no se permite déficit. Modelo de lote económico (EOQ) Este es el caso más sencillo de un problema de inventario determinístico, tiene el mérito de haber servido de base a casi la totalidad de los modelos de administración de inventario existentes. Su representación gráfica, se muestra en la figura.3. Nivel de inventario I máx 0 t Tiempo Figura.3. Representación gráfica del caso. El ciclo de este inventario comienza con un nivel de inventario determinado, después habrá una razón de consumo D hasta que se agota el inventario (intervalo t ); se recibe el lote solicitado y entonces se repite el proceso anterior. 5

65 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS Resumen de fórmulas modelo con reaprovisionamiento instantáneo y sin déficit Dados D, h, y A: Tamaño óptimo del lote de producción: Q DA h * (unidades físicas) (.7) Tiempo que transcurre entre dos corridas de producción y frecuencia de las corridas. T t * Q D * * (unidades de tiempo) (.8) T * D Q * * f (corridas por tiempo) (.9) Nivel de inventario máximo. * * I Q (unidades físicas) (.30) máx Costos. Costo por mantener en inventario * t * h C( I) I máx (.3) Costo de lanzamiento. C ( P) A (.3) Costo total. C ( T) C( I) C( P) (por período de tiempo) (.33) C( I) C( P) C ( T ) (por unidad de tiempo) (.34) t Ejemplo. 3 * La Empresa CUBALUB de Villa Clara es la encargada de abastecer a la provincia de lubricantes. Mensualmente dicha entidad les suministra a los diferentes organismos 400 toneladas. Al llevarse a cabo el pedido de lubricantes, la cantidad exacta es enviada de una vez y no se permite faltante de los mismos, debido a la importancia que poseen en las diferentes organizaciones para el mantenimiento y la puesta en marcha de sus equipos. El costo de adquirir dicha mercancía es de $.00 por tonelada, una vez que se 5

66 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS hace el pedido se incurre en un costo de $5.00 y el costo de almacenamiento es de $.50 por tonelada. La empresa está interesada en conocer: a) La cantidad máxima de lubricantes que habrá en inventario. b) El período de solicitar un nuevo pedido. Solución: Identificación del modelo. Datos: D = 400 toneladas/mes A = $5.00 c = $.00 h= $.5/tonelada Modelo con reaprovisionamiento instantáneo y no se permite Déficit (EOQ). a) Utilizando la fórmula (.7): * * 400*5A Q Utilizando la fórmula (.30): I máx * toneladas toneladas La cantidad máxima de lubricantes que habrá en inventario es de toneladas. b) * T? Utilizando la fórmula (.8): * T meses Se solicitará un nuevo pedido cada 0. meses. Caso 3: reaprovisionamiento instantáneo (EOQ con faltantes) Otro caso especial es aquel sistema de inventario determinístico, cuyo tiempo de reaprovisionamiento es cero, o dicho de otra forma, que tiene reaprovisionamiento instantáneo. Su representación gráfica es la que aparece en la figura.4. 53

67 Para este caso el ciclo de inventario es el siguiente: CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS. Comienza con un nivel de inventario determinado, después habrá una razón de consumo D ocurriendo durante un tiempo t. Entonces se produce la ruptura en dicho inventario, hasta llegar a un déficit determinado (intervalo t ).. Se recibe el lote solicitado repitiéndose de nuevo el proceso. Nivel de inventario I máx D 0 B t t Tiempo Figura. 4. Representación gráfica del caso. Resumen de fórmulas modelo con reaprovisionamiento instantáneo Dados D, h, u y A: Tamaño óptimo del lote de producción: Q DA h h * (unidades físicas). (.35) Tiempo que transcurre entre dos corridas de producción y frecuencia de las corridas. T * t t * Q D * * ( ) (unidades de tiempo) (.36) T * D Q * * f (corridas por tiempo) (.37) Déficit máximo. DhA * Dt ( h ) B (unidades físicas) (.38) Nivel de inventario máximo. * * * * I Q B (unidades físicas) (.39) máx 54

68 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS Intervalos de tiempo (sus significados están daos por las características del gráfico anterior). * A Dh( h t (.40) t * D Costos. ha ( h ) ) * B D Costo por mantener en inventario * t (.4) * h C( I) I máx (.4) Costo debido al déficit. * B * t C ( D) (.43) Costo de lanzamiento. C ( P) A (.44) Costo total. C ( T) C( I) C( D) C( P) (por período de tiempo). (.45) C( I) C( D) C( P) C ( T ) (por unidad de tiempo). (.46) t t Ejemplo. 4 * * En la UEB Carpintería de aluminio se fabrican persianas de aluminio a partir de planchas de este material. La unidad obtiene las planchas de un suministrador externo, que entrega un lote completo cada vez que recibe una orden. El costo por mantener inventario es de $.00/plancha mes y el de poner una orden es de $ Es conocido que en un mes se utilizan 00 planchas y que de faltar alguna se incurre en un costo de $4.00/plancha mes. Es necesario conocer por parte de los directivos: cuál debe ser el tamaño óptimo del lote y con qué frecuencia debe pedirse? Solución: Identificación del modelo. Datos: 55

69 D = 00 planchas/mes A = $50.00 h = $.00/plancha mes CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS π = $4.00 / plancha mes Modelo con reaprovisionamiento instantáneo (EOQ con faltantes). * * Q? y f? Utilizando la fórmula (.35): * *00*50 4 Q.3 planchas 4 Para Q* = planchas CT = Para Q* = 3 planchas CT = El menor costo total se obtuvo con Q* = planchas. Utilizando la fórmula (.37): * 00 f corrida/mes El tamaño óptimo del lote debe ser de planchas y debe pedirse la realización de corrida al mes..5. Modelo de inventario estocástico para un solo producto sin costo de lanzamiento Esta sección trata de los modelos de inventario en los que la demanda de un período es una variable aleatoria, que tiene una distribución de probabilidad conocida. De manera particular se abordará el modelo de período único sin costo de lanzamiento. Características del modelo de período único sin costo de lanzamiento:. Se analiza un solo tipo de producto.. Se considera un período único de planificación. 3. La demanda es aleatoria, con una función de probabilidad conocida y se denota como: (D): función de densidad probabilística de D para distribuciones continuas y función de probabilidad para distribuciones discretas. 56

70 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS D (t): función de densidad acumulada de D para distribuciones continuas y función de probabilidad acumulada para distribuciones discretas, donde como es conocido: D t ( t) ( D) dd (.47) 0 Si D es una variable que sigue una distribución continua. D D t ( t) ( D) (.48) 0 Si D es una variable que sigue una distribución discreta. Los costos para este modelo son: A: costo de lanzamiento = 0. h: costo por mantener unidades en inventario al final del período, es decir, se produce o adquiere más de lo demandado (costo/unidad física). π: costo por déficit de unidades al final del período, es decir, se produce o adquiere menos de lo demandado (costo/unidad física). En h y π como es un solo período, no se expresa en (costo/unidad física período). c: costo unitario de producción (costo/unidad física). Tiene que cumplirse que π c. 4. El objetivo del modelo es encontrar un valor r (tamaño de lote) que haga mínimo el costo total. Valor esperado del costo de mantener inventarios cuando se producen o adquieren r unidades de producto. E H ( r) r 0 h * ( r D) * ( D) ; r > D (.49) r D: unidades en inventario Valor esperado del costo por déficit cuando se producen o adquieren r unidades de producto. E D( r*) *( D r)* ( D) dd; D > r (.50) r E D( r*) *( D r) * ( D) r (.5) D r: unidades en déficit. Valor esperado del costo de producción o adquisición de r unidades de producto. 57

71 E C r*) c * r CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS ( (.5) Valor esperado del costo total cuando se producen o adquieren r unidades de producto. E CT ( r*) r 0 h*( r D)* ( D) dd r *( D r)* ( D) dd c * r (.53) E CT ( r*) r h *( r D) * ( D) *( D r) * ( D) c * r 0 r Derivando respecto a r se obtiene: D (.54) c ( r*) (.55) h Es decir, el valor de r * puede hallarse: Para distribuciones continuas de la demanda: t 0 c ( D) dd (.56) h Para distribuciones discretas de la demanda: t D 0 c ( D) (.57) h En el caso particular que la demanda sea una variable con distribución continua que sigue una distribución normal con media y variancia, se tendrá que encontrar el valor de z que corresponde a una probabilidad con valor c y se planteará entonces: h x Z (.58) Despejando x e igualando al valor de r *, quedará: r * * Z (.59) Probabilidad de déficit (α) P D r * (.60) r* ( D ) dd D r* ( D ) (.6) 58

72 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS Cantidad a pedir cuando la demanda es aleatoria y se realiza una revisión periódica del nivel de inventario. Sean: x: nivel de inventario en el momento de la revisión. r*: nivel óptimo del inventario. Si x r* no se pide. Si x < r* se piden r* - x unidades del producto. c ( r*) (.6) h Inventario de reserva para garantizar una probabilidad de déficit inferior a α con un tiempo de reaprovisionamiento fijo Sean: NI: nivel de inventario. M: consumo del producto por unidad de tiempo. α: probabilidad de déficit. T: tiempo de reaprovisionamiento. r*: nivel de inventario máximo. So: inventario de reserva. En la figura.5 se muestra una representación gráfica del inventario de reserva. NI So T Figura.5. Representación gráfica del inventario de reserva. P ( D M ) (.63) M ( D)dD M ( D) (.64) S0 M * T (.65) 59

73 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS M * Z (.66) Cuando NI = So se piden r* unidades para que la probabilidad de déficit no sea mayor de α durante el tiempo de reaprovisionamiento. Estas unidades arribarán transcurridas T unidades de tiempo. Ejemplo.5 Suponga que la demanda de una pieza de repuesto para aviones tiene la función de probabilidad siguiente: ( a ) 40 0 a e 40 Para todoa Para todoa 0 0 Los costos de producción son de $ por pieza y el costo de existir déficit es de $ por pieza. Si el costo de mantener un producto en inventario es de $ Determine el número óptimo de piezas de repuesto que se deben producir para minimizar el costo total. Solución: Identificación del modelo. Datos: c = $500.00/unidad h = $00.00/unidad π = $ /unidad Demanda aleatoria, con distribución uniforme. Modelo de período único sin costo de lanzamiento. r* =? Utilizando la fórmula (.56): ( r*) Donde: r* ( r *) e D 40 dd 60

74 Y: CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS r* 0 40 e D 40 dd e D 40 r* 0 e r* 40 e 0 Como: 40 e r* e r* 0.88 Aplicando logaritmo neperiano en ambos términos, para despejar r*. ln 40 e r* Pero: ln 0. * 40 * r ln 40 e r y ln 0.. Entonces: r * r* r * 40..* piezas Habrá que producir un lote de 84 piezas para minimizar el costo total..6. Utilización del WinQSB para resolver problemas de teoría de inventarios La teoría de inventarios es otro de los temas dentro de la Investigación de Operaciones II en el cual se aplica el software WinQSB. Para solucionar un problema de inventario a través del WinQSB, se va a tomar el ejemplo siguiente: Ejemplo.6 La planta de Conexiones, perteneciente a la empresa Ciegoplast, se encarga de la fabricación de los codos de 90. La materia prima que se utiliza es suministrada por un proveedor externo y una vez que es pedida llega el lote completo. En la planta se consumen toneladas al año. El costo por mantener en inventario una tonelada es de $0.50, y el costo de ordenar es de $50.00/pedido. Debido a las características de las producciones que se realizan no se permiten faltantes. 6

75 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS Solución del problema: Una vez seleccionada la opción Inventory Theory and System del WinQSB, dar clic en el botón correspondiente en la barra de herramientas, la ventana que sale como resultado de esta acción, es la que se muestra en la figura.6. Figura.6. Ventana de entrada de datos generales de un problema de teoría de inventario con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. En esta ventana se pone el título del problema, se establece la unidad de tiempo que por defecto es año (por tanto todos los datos del problema tienen que estar en año o la unidad especificada) y de todas las opciones que aparecen en: Problem Type, se trabajará en este texto con la primera, que aunque el título de la opción hace referencia al modelo EOQ, en la entrada de datos se puede establecer la información que conlleve al modelo determinista para un solo producto; luego se da clic en OK y se obtiene la figura.7. 6

76 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS Figura.7. Ventana de entrada de datos de un problema de teoría de inventario con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. En esta ventana es donde se introducen los datos del problema, como se muestra a continuación: Demand per year: demanda por período (lo que generalmente se expresa en unidades por año). Order or setup cost per order: costo de ordenar una orden o de preparar un lote. Unit holding cost per year: costo unitario de almacenamiento por período de tiempo. Unit shortage cost per year: costo unitario por déficit por período de tiempo.. Unit shortage cost independent of time: costo unitario por déficit, independiente del tiempo.. Replenishment or production rate per year: razón de producción o de reaprovisionamiento por período de tiempo. Lead time for a new order in year: plazo de entrega para una nueva orden en unidad de tiempo. Unit acquisition cost without discount: costo unitario de adquisición sin descuento. Number of discount breaks (quantities): número de cortes de descuento (cantidad). Order quantity if you known: cantidad a ordenar si se conoce. Al concluir la entrada de datos, para obtener la solución del problema, dar clic en el botón correspondiente de la barra de herramientas o la opción Solve the Problem del menú Solve and Analyze, obteniendo como resultado la figura.8. 63

77 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS Figura.8. Ventana de resultados de un problema de teoría de inventario con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. Esta tabla queda dividida en dos partes, en la primera parte se muestran los datos de la tabla de entrada de datos explicada anteriormente y en la segunda se muestran todos los resultados que se pueden obtener al solucionar un problema de teoría de inventarios con el uso del WinQSB, los cuales se describen a continuación: Cantidad a ordenar (Q*), codos. Inventario máximo (Imáx), codos. Déficit máximo (B*), 0. Intervalo para ordenar por períodos de tiempo (T), 0.58 año. Punto de reorden (ROP), 0. Costo total de preparación o ordenar, $ Costo total de mantener inventario, $ Costo total por déficit, 0. Subtotal (suma de los tres costos anteriores), $ Costo total del material (c*d), 0. Costo total (subtotal + costo total del material), $ Ejercicios resueltos. La empresa de Conservas de Vegetales Los Atrevidos tiene una demanda de pomos de mayonesa al mes y su capacidad de producción es de 7 00 pomos de mayonesa al día. Se conoce que el costo de producción es de 64

78 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS $.00/pomo, el costo de lanzamiento $8.00 y el costo por mantener el inventario es de $0./día. Se sabe además, que dada la política de inventario en la empresa, no se permite déficit y que se trabajan 5 días al mes. La empresa desea conocer: a) El tamaño óptimo que deben tener las corridas de producción y la frecuencia con que se deben hacer dichas corridas. b) La cantidad máxima de pomos de mayonesa que tendrá que tener en inventario. Solución: Identificación del modelo. Datos: ψ = 7 00 pomos/d D = pomos/m = 440 pomos/día A = $8.00 c = $.00/pomo h = $0.0/día Modelo en que no se permite déficit. a) Q *? y f *? Utilizando la fórmula (.7): Q * *36000* pomos 700 Para Q* = 003 pomos CT = 06. Para Q* = 004 pomos CT = 064. El menor costo total se obtiene con Q* = 003 pomos. Utilizando la fórmula (.9): * f.43 días 003 En cada corrida se deben llenar aproximadamente 003 pomos de mayonesa y cada.43 días se debe comenzar la producción de una nueva corrida. b) Utilizando la fórmula (.): 65

79 t * 440 * 8( ) *0. Utilizando la fórmula (.0): * I 440* pomos máx CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS El nivel máximo de inventario será de 807 pomos de mayonesa.. Resuelva de forma manual el ejemplo.6 solucionado anteriormente mediante el software WinQSB. Solución: Identificación del modelo. Datos: D = toneladas/año A = $50.00 h = $0.50/t Modelo con reaprovisionamiento instantáneo y no se permite Déficit (EOQ). * * Q? Y f? Utilizando la fórmula (.7): * *3000*50 Q toneladas 0.50 Utilizando la fórmula (.9): * 3000 f 3.87 veces/año El tamaño óptimo del lote es de 775 toneladas y se debe pedir 3.87 veces al año. 3. En la empresa de bebidas y refrescos se reciben piezas de repuesto para reponer la embotelladora, las cuales son usadas a razón de 000 por mes. Las piezas son suministradas por otra empresa y se piden en una sola partida que demora día a partir del momento de la solicitud. Cada pieza cuesta $4.00 y el costo de ordenar es de $ El costo por mantener una pieza en inventario es de $.00 por mes y si no hay piezas cuando estas se soliciten, se incurre en un costo de $.00/pieza mes. Ante esta situación, el director ha ordenado realizar un estudio para determinar: 66

80 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS a) Cantidad óptima de piezas suministradas a la empresa en cada corrida. b) Frecuencia con que se deben hacer las corridas de producción. c) Déficit máximo que se puede permitir. Solución: Identificación del modelo. Datos: D = 000 piezas/mes A = $80.00 c = $4.00 h = $.00/piezas mes π = $.00/piezas mes Modelo con reaprovisionamiento instantáneo. a) * Q? Utilizando la fórmula (.35): * *000*80 Q 69.8 piezas Para Q* = 69 piezas CT = Para Q* = 693 piezas CT = El valor de Q* es 69 piezas ya que con este se alcanza el menor valor de costo total. b) * f? Utilizando la fórmula (.37): * 000 f En el mes se harán.89 corridas y el tamaño de cada lote será de 69 piezas. c) B *? Utilizando la fórmula (.38): *000***80 * ( ) B piezas El déficit máximo que se puede permitir es de 46 piezas por pedido. 67

81 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS 4. En la planta de Gas Licuado de Petróleo, se realiza el llenado de cilindros para brindar el servicio al sector residencial. En la planta de llenado de dichos cilindros, se tiene que la demanda sigue una distribución uniforme entre 800 y 900 cilindros diarios. Se conoce que el costo por mantener inventario es de $0.0/cilindro y el costo de producción hasta el proceso de llenado, es de $5.6/cilindro. En caso de que la empresa trabajara con déficit de cilindros para llenar, su costo sería de $7.475/cilindro. A partir de lo datos que se conocen acerca del sistema de inventario de la planta de llenado, se desea conocer: a) Qué cantidad de cilindros deben arribar diariamente para minimizar los costos del proceso? b) Si se conoce que el llenado de cilindro es aleatorio y sigue una distribución normal, con media diaria de 788 cilindros y desviación típica de 56 cilindros, además se conoce que el reaprovisionamiento ocurre en el plazo de un día. Cuánto hay que tener en inventario para que en el momento de recomenzar el llenado la probabilidad de déficit no sea mayor del 5%? Solución: Identificación del modelo. Datos: c = $5.60/cilindro h = $0.0/cilindro π = $7.48/cilindro Demanda aleatoria, donde D sigue una distribución uniforme. ( D ) para 800 D para otro valor Modelo de período único sin costo de lanzamiento. a) r*=? Utilizando la fórmula (.55): 68

82 ( r *) Utilizando la fórmula (.56): r* ( r*) dd D ( r *) r * 00 Despejando r*: r * r* cilindros r* CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS Para minimizar los costos del proceso deben arribar al área de llenado 85 cilindros al día. b) a N (788; 56) Utilizando la fórmula (.66): M * cilindros/día Como T = día Utilizando la fórmula (.65): S 0 898* 898 cilindros Se debe tener en inventario 898 cilindros para que la probabilidad de déficit no sea mayor del 5%..8. Ejercicios propuestos. La empresa Súchel S.A. requiere de 50 toneladas por año de glicerina para ejecutar la producción de los tipos diferentes de sus jabones de tocador. El proveedor es capaz de suministrarle el material señalado a una razón de 000 toneladas por año y a un costo de $500/tonelada. De acuerdo a la situación de sus inventarios, la glicerina tiene un costo de almacenamiento de un 30 % al año. La existencia de faltantes pudiera generar costos irrecuperables para la empresa. Si ordenar un lote le cuesta a Súchel S.A. $60.00, determine: a) Tamaño económico del lote a adquirir. 69

83 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS b) Nivel de inventario máximo a alcanzar y el momento en que se alcanza este. c) Frecuencia de pedidos en el año.. Una empresa necesita unidades al año del producto x para realizar el ensamblaje de su producto insignia. Realizar el almacenamiento representa un costo del 5% anual. La empresa presenta opciones para lograr el inventario de este producto x: a) Producirlo a una razón de unidades al año y a un costo de producción de $5/unidad con un costo de lanzamiento de un lote de $ b) Comprarlo a una razón de unidades al año y a un costo de adquisición de 6 $/unidad con un costo de ordenar un lote de $0.00. Se conoce además que la compañía se puede trazar dos políticas de inventario:. Permitir que exista faltante del producto a un costo de 4 $/unidad año.. No permitir la existencia de faltantes. Para cada política de inventario, determine: Cantidad óptima de unidades del producto x a producir o comprar para hacer mínimo el costo total de inventario A cuánto asciende este? Cuántas veces al año se debe realizar la adquisición o producción de un lote de productos x en la cantidad determinada anteriormente? Cuál es el nivel máximo que tendrá el inventario y en qué momento se alcanza este? En qué momento se produce la ruptura del inventario? 3. Un jefe de compras desea conocer la cantidad económica a ordenar de empaques plásticos para su posterior comercialización. La demanda anual se estima en 000 unidades, el costo de una orden es de $30.00/pedido. Cada empaque se compra a $0.00/unidad y el costo de almacenaje asciende al 5% anual. a) Encuentre el tamaño de lote económico. b) Calcule el número de pedidos a comprar en el año. c) Calcule el tiempo entre pedidos. d) Calcule el costo total del manejo de inventarios anual. 70

84 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS 4. Una tienda vende equipos de sonido. La demanda histórica mensual de un reproductor de CD indica que tiene una distribución normal con media de 8 y desviación estándar de 8. Lleva alrededor de tres meses que llegue un pedido, una vez colocada la orden. El costo de un equipo es de $ La tasa de costo de mantener el inventario es de un 30%. La empresa desea conocer qué cantidad de equipos deben arribar mensualmente a la empresa para minimizar los costos totales. 5. En una empresa textil la demanda de telas para una semana sigue una distribución uniforme, entre 70 y 0 m. Cada metro de tela cuesta $30.00 y la tasa de interés anual para evaluar el costo del inventario es del 7%. La existencia de faltante implica un costo de $40.00 por m. Determine: a) La cantidad de metros de tela que deben arribar semanalmente a la empresa para minimizar los costos totales. b) Si se conoce que el reaprovisionamiento ocurre en el plazo de un día a qué nivel de inventario debe hacerse un pedido para que la probabilidad de que ocurra déficit sea de 0.05? 6. Una empresa produce bujes a razón de 000 bujes/día y lo consume en otra línea de producción a razón de 700 bujes/día. Se conoce que el costo de lanzamiento es de $50.00 por pedido y el costo de almacenamiento es de $5.00/unidad. Se sabe además, que la carencia de este producto originaría graves problemas en la empresa. La empresa desea conocer: a) El número óptimo de unidades a producir en cada lote de producción. b) Cada qué tiempo se debe comenzar la producción de un lote? c) Determine los costos totales anuales del inventario..9. Preguntas de autoevaluación. Defina el concepto de inventario y diga algunas ventajas y desventajas del mismo.. Cuáles son las funciones del inventario en una empresa? 3. Defina el concepto de Administración de inventarios. 4. Cómo se clasifican y cuáles son los costos de un sistema de inventario? 5. Diga las características y el ciclo de inventario para el modelo general de inventario determinístico y sus tres casos particulares. 7

85 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS 6. Cuáles son las características del modelo de inventario estocástico para un solo período sin costo de lanzamiento? 7. En una empresa de servicios o de producción, analice las particularidades del sistema de inventarios..0 Bibliografía consultada. Acevedo Suárez, J.A.et al. (00). La logística moderna en la empresa. Capítulo 6 Gestión de inventario pp , La Habana, Editorial Félix Varela.. Álvarez Buylla Valle, Mercedes (987). Modelos Económicos Matemáticos. Tomo II, Capítulo 4 Modelos de inventario pp , La Habana, Editora ISPJAE. 3. Cespón Castro, R. y Amador Orellana, María A. (003). Administración de la cadena de suministros: manual para estudiantes de la especialidad de Ingeniería Industrial. Universidad Tecnológica Centroamericana, San Pedro Sula, Honduras. Parte V, Gestión de inventarios pp Chase, R. B.; Jacobs, F. R; Aquilano, N. J (005). Administración de la producción y operaciones para una ventaja competitiva. Capítulo 4 Control de inventario pp , Editorial Mc. Graw-Hill. Interamericana. 5. Gallagher, Ch. A y Watson, H. J. (005). Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones en Administración. Tomo II, Capítulo 3 Sistemas y modelos de inventarios pp , La Habana, Editorial Félix Varela. 6. Garces, S. (00). Teoría de inventarios, disponible en: 4.html [Consultado el 4 de febrero de 0]. 7. Hillier, F.S y Lieberman, G.J. (007). Introducción a la Investigación de Operaciones. Tomo III, Capítulo 7 Teoría de inventarios pp , Quinta Edición, La Habana, Editorial Félix Varela. 8. Investigación operaciones (0), disponible en: [Consultado el 5 de febrero de 0]. 9. Kaufmann, A. (98). Métodos y Modelos de la Investigación de Operaciones. Capítulo 4 Problemas de inventarios pp , Cuarta Edición, La Habana, Editorial Pueblo y Educación. 7

86 CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS 0. Marrero Delgado, F. (009 [a]). Conferencia Modelos de inventarios determinísticos, disponible en [Consultado el 5 de marzo de 0].. Marrero Delgado, F. (009 [b]) Conferencia Modelos de inventarios estocásticos, disponible en: [Consultado el 5 de marzo de 0].. Quesada, V. M. y Vergara, J. C. (003) Análisis cuantitativo con WinQSB. Programa de Administración Industrial, Universidad de Cartagena, Capítulo 7 Teoría y sistemas de inventario pp Richard, I. L y Kirkpatrick, C. H. Modelos de inventario, disponible en: [Consultado el 5 de febrero de 0]. 4. Sipper, D. y Bulfin, R. L. (999). Planeación y control de la producción. Primera Edición, Primera reimpresión, México D.F, Mc. Graw Hill, pp Sipper, D y Bulfon, R. L. (004). Planeación y control de la producción. Capítulo 6 Inventarios: sistemas de demanda independiente pp Editorial Mc. Graw-Hill. Interamericana. 6. Vargas Martínez, J. E. (0). Administración de inventarios, disponible en: [Consultado el 8 de marzo de 0]. 7. Wiley, J. y Sons, Ltd. (004). Introduction to logistics systems planning and control. 73

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88 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 3.. Introducción El presente capítulo aborda el tema de la programación dinámica, en el cual se tratarán los conceptos fundamentales, así como algunas de las diversas técnicas que incluye, como los problemas de camino óptimo, asignación de recursos y producción con inventarios para un determinado período. Los objetivos que se persiguen con este capítulo son: 6. Conocer los conceptos básicos en los que se basan los problemas de programación dinámica. 7. Solucionar manualmente problemas de este tipo. Hacer énfasis en la interpretación económica y analítica de estas soluciones a la luz de las condiciones particulares de los problemas que se presentan. Como prerrequisitos para este tema se exigen: El estudiante debe tener conocimientos de matemática básica, cálculo diferencial e integral, de la formulación y solución del problema de programación lineal e informática. 3.. Fundamentación teórica de la programación dinámica Muchos problemas de programación matemática determinan soluciones que repercuten en la formulación de los problemas a resolver en el próximo período o etapa. Una alternativa es construir un único modelo completo que tenga un gran conjunto de variables. Sin embargo, esto puede agrandar mucho el tamaño del problema. Surge así la programación dinámica como una alternativa de descomposición en que se resuelven subproblemas más pequeños y luego se complementan. Básicamente, la programación dinámica es esa transformación: analiza un proceso de toma de decisiones secuenciales o de pasos múltiples, que contiene muchas variables de decisión interrelacionadas y lo convierte en una serie de subsistemas de un solo paso, cada uno con pocas variables. Esta trasformación tan importante se basa en el principio de la optimización de la programación dinámica, que fue formulado por Richard E. Bellman como sigue: 74

89 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA Una política óptima tiene la propiedad de que cualquiera que sea el estado y la decisión inicial, las decisiones restantes deben constituir una política óptima con respecto al estado resultante de la primera decisión (Bellman, 957). En este tipo de problemas se pueden obtener varias (incluso infinitas) soluciones distintas. Más que un modelo concreto es una estrategia de resolución, y la solución obtenida está estrechamente relacionada con la situación que se desea modelar. La principal ventaja de esta técnica es que mediante un esquema simple de cálculo, permite obtener la o las soluciones óptimas de un árbol de posibilidades. El óptimo de un problema de programación dinámica se encuentra en la última etapa al ser evaluada la función recursiva para cada una de las etapas o subproblemas en que está dividido un problema de programación dinámica. Los problemas que resuelve la programación dinámica pueden ser determinísticos o estocásticos. En este texto se estudiará la programación dinámica determinística con horizonte finito, es decir, con un número finito de etapas y, dentro de esta, resulta de interés el estudio de tres tipos de problemas en particular: el problema del camino óptimo, el problema de asignación de recursos y el problema de producción con inventarios. Aunque existen otros como por ejemplo, el problema de la mochila. Para cada tipo de problema se plantearán algunos elementos de carácter general; pero debe tenerse en cuenta que cada problema presenta características particulares que se analizarán en el momento de darle solución. De acuerdo a la literatura científica internacional, las principales aplicaciones de la programación dinámica están encaminadas a: Para resolver problemas de camino óptimo. Para resolver problemas de asignación en los cuales se asignen varios recursos a una actividad. Para resolver problemas de producción con inventarios. Para resolver problemas de conformación de cargas Elementos de un problema de programación dinámica Los elementos que caracterizan la programación dinámica son: 75

90 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA. Etapas (n): cada uno de los subproblemas en que puede dividirse el sistema o problema analizado.. Estados (S): cada situación en que puede encontrarse el sistema en una etapa dada y a partir del cual se adopta una política de decisión determinada. 3. Variable de decisión (x n ): alternativa de solución que se le puede dar al sistema en una etapa determinada conociéndose el estado en el cual se encuentra al comenzar dicha etapa. 4. Función objetivo o función recursiva (f n * (S)): función que optimiza la medida de la efectividad elegida. f * n (S) = Máx / Mín [f n (S, x n )] (3.) f n *(S, x n ) = Máx / Mín [f n (x n ) + f* n- (x n )] (3.) Donde: f* n- ( x n ): expresión recursiva que permite encontrar el valor óptimo en la etapa anterior, a partir de la decisión tomada en la etapa n. Para cada tipo de problema se definirán estos elementos de forma específica, pero siempre estos deben reflejarse claramente antes de iniciar la solución matemática del problema Problema del camino óptimo Una definición general para este tipo de problema puede ser: Considerar un conjunto de puntos {Pi}, i =,,..., m, con una matriz de costos asociada C ij, donde C ij es el costo de moverse directamente de P i a P j en un paso y se asume que C ij 0. El problema del camino óptimo consiste en ir del punto P i al punto P m con un costo total mínimo. Igualmente puede ser el de cubrir la distancia mínima o el de minimizar el tiempo requerido para ir de P i a P m. Este tipo de problema puede abarcar otro caso más general. El punto puede representar el estado de un producto en cualquier etapa de producción, o aún más, puede representar el estado de cualquier sistema u objeto en cualquier etapa, durante la transición o transformación de algún estado inicial dado a algún estado final deseado. Dondequiera que haya alternativas entre transiciones intermedias se puede representar el problema como uno de camino óptimo, siempre y cuando las decisiones involucradas 76

91 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA sean equivalentes, en todos los aspectos del modelo, a la selección de hacia que estado moverse. Elementos del problema. Etapas (n): cada una de las partes (tramos, períodos, etc.) en que puede dividirse el sistema.. Estados (S): la posible situación del sistema al inicio de cada etapa. 3. Variable de decisión (X n ): la situación en la que podrá encontrarse el sistema en la etapa n. 4. Función de recursividad f* n (S) = Máx / Mín [f n (S, x n )] (3.3) f* n (S, x n ) = Máx / Mín [f n (x n ) + f* n- (x n )] (3.4) Este planteamiento general variará en dependencia de las características particulares que presenta el problema específico del camino óptimo que se está tratando. El ejemplo siguiente ha sido desarrollado especialmente para ilustrar las características de este tipo de problemas. Ejemplo 3. Encuentre el mejor camino para que un viajante vaya de a 5, si cada nodo representa un pueblo y las ramas las distancias en km. Figura 3.. Posibles rutas a recorrer por el viajante. 77

92 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA Solución:. Etapas (n): tramos del camino que faltan para terminar el recorrido: n = (de 4, 4 y 43 a 5); n = (de 3, 3, 33 y 34 a 4, 4 y 43); n = 3 (de, y 3 a 3, 3, 33 y 34); n = 4 (de a, y 3).. Estados (S): posibles pueblos en que se puede encontrar el viajante en una etapa determinada. 3. Variable de decisión (X n ): ciudad a la que se dirige el viajante cuando le faltan n etapas. 4. Función recursiva. f* n (S) = mín [f n (S, x n )] (3.5) f* n (S, x n ) = mín [D S, x n + f* n- (x n )] (3.6) Donde: D S, x n : distancia en que se incurre cuando se está en el estado S y se decide moverse a x n. Para n =, cuando falta solamente una etapa: Se debe encontrar lo política óptima, por medio de la función de recursividad f* (s), para cuando al viajante le falta solamente una etapa por recorrer. En este caso: f* (S) = min (D S, x ) Y no existen alternativas para la solución, ya que esta está determinada por el destino final del viaje, es decir, la ciudad 5. El resultado de este análisis se expresa en la tabla 3.. Tabla 3.. Resultados para la etapa n = S f* (s) x* Para n =, cuando faltan dos etapas: Cuando faltan dos etapas el procedimiento requiere más cálculos. Por ejemplo, suponga que el viajante está en la ciudad 3 y debe ir a la 4 ó la 4, a una distancia de 4 ó 7 km, respectivamente; si decide ir a la 4 la distancia es de 4 km y 78

93 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA la distancia mínima por ir de ahí al pueblo 5 ya fue determinada en la tabla 3. y es 4, por lo que el costo total de su decisión para esas dos etapas será: = 8 km. De forma similar, la distancia total, si decide ir al pueblo 4 desde el 3, será: = km. Por lo tanto, el viajante debe seleccionar la ciudad 4, x = 4, ya que es la decisión que ofrece el mínimo costo total cuando se parte de la ciudad 3, f* (3) = 8. Procediendo de igual forma para el análisis de los pueblos 3, 33 y 34, se obtienen los resultados que se muestran en la tabla 3.. Tabla 3.. Resultados para la etapa n = S X f (S, x ) = D S, x + f* ( x ) f* (S) x* = = = = ó = = ó = = 4 Para n = 3, cuando faltan tres etapas: Para solucionar este subproblema se hace un análisis semejante al de la etapa anterior, teniendo en cuenta que la expresión recursiva se evalúa con el valor óptimo obtenido para n = ; es decir, con f* (x 3 ). El procedimiento y los resultados obtenidos para cada estado posible se muestran en la tabla 3.3. Tabla 3.3. Resultados para la etapa n = 3 S X 3 f 3 (S, x 3 ) = D S, x 3 + f* ( x 3 ) f* 3 (S) x* = = = = = ó = = = ó 33 Para n = 4, cuando faltan cuatro etapas: En este caso existe un solo estado, el pueblo, de donde parte el viajante. La distancia de las alternativas de solución será el de ir del pueblo al destino inmediato, más el costo mínimo a partir de esa decisión, dado por la expresión recursiva f* 3 (x 4 ), 79

94 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA seleccionándose la alternativa que proporcione la mínima distancia total. En la tabla 3.4 se presentan los resultados de este análisis. Tabla 3.4. Resultados para la etapa n = 4 S X 4 f 4 (S, x 4 ) = D S, x 4 + f* 3 ( x 4 ) f* 4 (s) x* = = = 8 ó Interpretación de la solución Para obtener el resultado del problema se parte de la última etapa, es decir, n = 4 considerando que el problema real se inicia en el pueblo. Para esa etapa, los resultados indican que el viajante debe ir inicialmente a la ciudad ó, ya que para ambas se obtiene el mismo valor óptimo. Suponga que se selecciona x* 4 =. El resultado del subproblema para tres etapas, partiendo del pueblo, será x* 3 = 3. Prosiguiendo el mismo análisis para el subproblema de dos etapas se encuentra que para la ciudad 3 la decisión óptima será x* = 4 y finalmente, cuando falta solamente una etapa, a partir del 4, x* = 5. Si al determinar el nodo destino más de uno cumplen con esta condición, se generan alternativas múltiples (más de una ruta óptima) y entonces seguidamente se muestran las rutas óptimas para el caso analizado Para estas seis alternativas de solución existe una única distancia total a recorrer que es de 8 km, por lo que el viajante podrá seleccionar entonces, cualquiera de las seis rutas obtenidas para ir del pueblo al pueblo 5, a una distancia total mínima de 8 km Problema de asignación de recursos El problema de asignación, se ocupa de la distribución de diferentes tipos de recursos a varias actividades competitivas de diferente naturaleza; de manera que la variable de 80

95 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA decisión está dada por la cantidad de recursos que se asignan a cada actividad, y resulta característico que esta cantidad sea entera. Una definición general para este tipo de problema puede ser: se dispone de una cantidad de medios (recursos) k que deben ser distribuidos entre objetivos económicos O, O,, O m. La inversión de cierta cantidad de medios x en cada uno de los objetivos económicos O j rinde un beneficio que depende de x, es decir, representa una función f i (x) conocida. Por lo que puede formularse la pregunta: cómo se deben distribuir los medios k entre los objetivos económicos para obtener en conjunto un beneficio total máximo? Elementos del problema. Etapas (n): actividades que van a recibir los recursos.. Estados (S): recursos disponibles para asignar en la etapa analizada. 3. Variable de decisión (X n ): cantidad de recursos a asignar en la etapa n. 4. Función de recursividad: f* n (S) = Máx / Mín [f n (S, x n )] (3.7) f* n (S, x n ) = mín [R(i,x n ) + f* n- (S - x n )] (3.8) A continuación se desarrollará un ejemplo para analizar las características de este tipo de problemas. Ejemplo 3. El Grupo empresarial de la construcción de Villa Clara está llevando a cabo la construcción de tres edificios. La empresa dispone de cuatro brigadas especializadas y quiere determinar la forma óptima de asignar éstas a cada edificio en construcción. Los datos de los días que dura la construcción de cada edificio, según el número de brigadas que se asignen, se muestran en la tabla 3.5. Solución:. Etapas (n): cada edificio en construcción n = (edificio ); n = (edificio ); n = 3 (edificio 3).. Estados (S): cantidad de brigadas pendientes por distribuir cuando faltan n etapas. 3. Variable de decisión (X n ): cantidad de brigadas a asignar en la etapa n. 4. Función recursiva. 8

96 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA f* n (S) = mín [f n (S, x n )] (3.9) f* n (S, x n ) = mín [Di, x n + f* n- (S - x n )] (3.0) Donde: D i, x n : cantidad de días de construcción de la obra i (i = 4 - n) cuando se le asignan x n brigadas. Tabla 3.5. Cantidad de días que demora cada construcción de acuerdo con el número de brigadas que se asignen Número de Edificio en construcción brigadas Para n = (Edificio 3) Al analizar los estados posibles se tiene en cuenta que pueden quedar disponibles todas las brigadas para el edificio 3, si no se le asigna ninguna a los edificios y, o que pueden haberse asignado a esos edificios todas las brigadas y que no quede ninguna para el edificio tres. En esta etapa la decisión es única, es decir, se asignan al último edificio todas las brigadas que queden disponibles. Los resultados para esta etapa se muestran en la tabla 3.6. Tabla 3.6. Resultados para la etapa n = S f* (s) x* Para n = (Edificio ) Que falten dos etapas significa que aún falta por distribuir brigadas al edificio y 3. La cantidad máxima de brigadas disponibles para los edificios y 3 es de cuatro, mientras que la cantidad mínima disponible es cero; esto es posible, además, porque tanto el edificio como el tres admiten que se les asignen cero brigadas. Entre estos estados mínimo y máximo están los restantes posibles; por cada uno se pueden evaluar 8

97 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA diferentes alternativas, siempre que se cumpla que x* S, como se muestra en la tabla 3.7. Tabla 3.7. Resultados para la etapa n = X f (S, x ) = D S, x + f* (S - x ) f* (s) x* S = , = 490 = = 460 = 455 = = = = = = = = = = ,, Para n = 3 (Edificio ) En esta etapa solamente hay un estado posible. Es decir, el total de brigadas disponibles, a partir del cual la solución obtenida para cada alternativa y la decisión óptima se presentan en la tabla 3.8. Tabla 3.8. Resultados para la etapa n = 3 X 3 S = 675 f 3 (S, x 3 ) = D S, x 3 + f* (S x 3 ) f* 3 (s) x* = 660 Interpretación de la solución = = = A partir del estado S = 4 en la etapa n = 3 la decisión óptima es x* 3 = 3, y queda una brigada disponible cuando falta por asignar aún en los edificios y 3. La decisión óptima en la etapa n = es x* = 0 ó x* =, o sea, la brigada no se asigna al edificio y queda disponible para el edificio 3 o se le asigna la brigada al edificio y no queda disponible para el edificio 3. La asignación óptima será entonces como se muestra en la tabla

98 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA La cantidad total mínima de días de construcción de los 3 edificios es 650, resultado que se obtiene del valor óptimo de la función recursiva en la última etapa: f* 3 (4) = 650 Tabla 3.9. Asignación de brigadas a los edificios Edificio Número de brigadas asignadas El problema de producción con inventarios para un determinado período Los sistemas de producción con inventarios son muy variados, cada uno presenta un nivel de complejidad diferente y es innegable la importancia que tienen para la planificación y el desarrollo de la economía. Determinar el nivel de inventario para diferentes períodos de forma que se garantice cierto flujo de producción, calcular el tiempo de reaprovisionamiento de materias primas y materiales, estudiar el comportamiento de la demanda, son algunos de los aspectos más importantes analizados por estos sistemas. La programación dinámica da solución a uno de los casos más sencillos: el problema de producción con inventarios de un solo producto para un determinado período, con demanda conocida para cada subperíodo. La descripción general de este tipo de problema es: Se debe producir un producto x en un determinado período; se conoce la capacidad de producción y la demanda del mismo para cada subperíodo y se puede almacenar para ser utilizado posteriormente. Se conocen los costos de producción y de almacenamiento, y se desea determinar la cantidad a producir en cada subperíodo para minimizar los costos totales del período. Elementos que componen un problema de producción con inventario. Etapas (n): cada uno de los subperíodos de tiempo en que se puede dividir el período de planificación.. Estados (S): cantidad de unidades del producto en inventario al inicio de cada etapa. 84

99 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 3. Variable de decisión (X n ): cantidad de unidades a producir en cada uno de los subperíodos de tiempo. 4. Función de recursividad f* n (S) = mín [f n (S, x n )] (3.) f* n (S, x n ) = mín [Cp(x n ) + CI(S) + f* n- (S + x n - d n )] (3.) Para analizar las características de este tipo de problemas se resolverá el ejemplo siguiente. Ejemplo 3.3 La UEB N O de tabaco torcido para la exportación de Santa Clara desea confeccionar su plan de producción para los próximos tres meses, considerando que debe cumplir la demanda mensual y que sus productos son elaborados por lotes. Los tabacos se pueden producir en un mes y almacenarse para ser vendidos posteriormente; al comienzo del trimestre hay un lote en inventario y se desea que al final haya la misma cantidad. Se desea conocer cuánto debe producirse cada mes para minimizar el costo total en el trimestre. Los datos necesarios se muestran en la tabla 3.0. Tabla 3.0. Datos del ejemplo Febrero Marzo Abril Demanda Costo de producción (MP/lote) Costo de inventario (MP/lote) Capacidad de producción (lotes/mes) Capacidad de almacenamiento (lotes/mes) Solución:. Etapas (n): número de meses que faltan para el fin del trimestre n = (abril); n = (marzo); n = 3 (febrero).. Estados (S): cantidad de lotes en inventario al inicio de cada etapa. 3. Variable de decisión (X n ): cantidad de lotes a producir en cada etapa. 4. Función recursiva. f* n (S) = mín [f n (S, x n )] (3.3) f* n (S) = mín [CPx n + CI S + f* n - (S + x n d n )] (3.4) 85

100 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA Para una mejor comprensión del procedimiento de solución para este ejemplo, se muestra las relaciones entre todos sus elementos en la figura Cp 4 0 Ca 6 0 Cp 4 0 Ca 6 0 Cp 4 0 Ca 6 S i = Febrero Marzo Abril S S 0 0 d = 3 d = 3 d = 3 n = 3 n = n = S f = Figura 3.. Representación de las relaciones entre las etapas, estados, variables de decisión y demanda del ejemplo. El procedimiento de solución se muestra a continuación: Para n = (abril) En esta primera etapa la decisión es única porque solo se producirá en dependencia de la cantidad de equipos que hay en inventario para satisfacer la demanda de la etapa y cumplir con la restricción del inventario al final del trimestre. De esta forma, si hay 0 lotes en inventario, la decisión será producir 3 lotes: dos para la demanda y otro para el inventario final. Si hay un lote almacenado, se producirán dos lotes, y si hay tres en inventario no será necesario producir ninguno, porque con esa cantidad se satisfacen los requisitos planteados. Los resultados para esta etapa se muestran en la tabla 3.. Tabla 3.. Resultados para la etapa n = S f* (s) x* = = = = 9 0 Un análisis similar se hará para las restantes etapas, pero en esos casos se tendrán en cuenta varias alternativas para cada estado y no solo una, ya que para n = y n = 3 es posible que S + x n d n, o sea, la cantidad en inventario más la producción en la etapa, 86

101 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA puede sobrepasar o ser igual a la demanda en ese subperíodo determinando esto los estados posibles en la etapa anterior, es decir en el mes siguiente. Para n = (marzo) Considerando los estados posibles para esta etapa, como se presenta en la figura 3. y evaluando cada alternativa según lo que plantea la función recursiva, se obtienen los resultados mostrados en la tabla 3.. Tabla 3.. Resultados para la etapa n = X S f (S, x ) = CPx + CI S + f* (S + x - d ) f* (S) x* = = = = = = 36 Para n = 3 (Febrero) = = = En esta etapa, que representa al primer mes del trimestre, habrá solamente un estado posible, que será la cantidad de lotes en inventario al inicio del período, que como se especifica en el problema es uno. La solución se muestra en la tabla 3.3. Tabla 3.3. Resultados para la etapa n = 3 S X 3 f 3 (S, x 3 ) = CP x 3 + CI S + f* (S + x 3 d 3 ) f* 3 (S) x* = 5 = 54 = 57 Interpretación de la solución El mes de febrero se comienza con lote en inventario, la decisión óptima es producir dos lotes y como la demanda es 3, quedarán 0 lotes en inventario para el mes de marzo. En la tabla 3. (n = ) se comienza con S = 0, la decisión óptima es producir 3 lotes, como la demanda es 3, quedarán 0 lotes en inventario para el mes de abril. 87

102 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA Para el último mes en la tabla 3. (n = ), se tendrán 0 equipos en inventario y en este caso la decisión es única y óptima, es decir, se producirán 3 lotes, con dos se satisface la demanda y quedará un lote almacenado, cumpliéndose la restricción planteada en el problema. La solución óptima se muestra en la tabla 3.4. Tabla 3.4. Solución óptima del ejemplo 3.3 Mes Inventario inicial Producir Inventario final Costo Febrero = Marzo Abril = = El costo total mínimo al final del trimestre es de $ Utilización del WinQSB para resolver problemas de camino óptimo y producción con inventario El WinQSB permite resolver problemas de camino óptimo, producción con inventario y el problema de la mochila, no siendo así para el caso de asignación de recursos Programación dinámica: camino óptimo Para solucionar un problema de camino óptimo a través del WinQSB, se va a tomar como base el ejemplo siguiente. Ejemplo 3.4 El taller de maquinado de una empresa Sideromecánica recibe un pedido de cierta pieza. Para su producción es necesario realizar 5 operaciones y se tienen 5 grupos de máquinas para efectuar las mismas. En la red de la figura 3.3 se representa el proceso, donde las ramas reflejan el tiempo de procesamiento de la pieza en cada máquina. Determine el camino mínimo para que la producción salga en el menor tiempo posible. Solución del problema: Una vez que se accede a la opción Dinamic Programming del software WinQSB se da clic en la opción problema nuevo (New Problem) o en el botón correspondiente en la 88

103 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA barra de herramientas. Como resultado de esta acción se obtiene la ventana que se muestra en la figura 3.4. B 4 6 G 3 A 4 C 4 E 6 3 I 3 D 3 F 3 H 4 Figura 3.3 Representación gráfica del proceso. Figura 3.4. Ventana de entrada de datos generales de un problema de programación dinámica: camino óptimo con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. En esta ventana se pone el título del problema, se establecen la cantidad de nodos del problema y también se elige la opción que aparece marcada: Stagecoach (Shortest 89

104 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA Route) Problem (que es la que contempla los problemas de camino óptimo); luego se da clic en OK y se obtiene la ventana que se muestra en la figura 3.5. Figura 3.5. Ventana de entrada de datos de un problema de programación dinámica: camino óptimo con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. En esta ventana es donde se introducen los datos del problema, que en este caso sería la distancia que existe entre los diferentes nodos. Utilizando la opción Edit Node Names se puede cambiar el nombre de los nodos. Al concluir la entrada de datos, para obtener la solución del problema, dar clic en el botón correspondiente de la barra de herramientas o la opción Solve the Problem del menú Solve and Analyze, solicitándose la selección del nodo inicial y del nodo final, como se muestra en la figura 3.6. Realizada esta selección se da clic en Solve y se obtiene la ventana de resultados que se muestra en la figura 3.7. Figura 3.6. Selección del nodo inicial y del nodo final. 90

105 La tabla de los resultados incluye los elementos siguientes: From Input State: desde (nodo inicial en la etapa analizada). To Output State: hasta (nodo final en la etapa analizada). Distance: distancia entre los nodos indicados anteriormente. CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA Cumulative Distance: distancia acumulada desde las etapas anteriores. Distance to I: distancia hasta el nodo destino final del recorrido a realizar (en este caso el nodo I). Figura 3.7. Ventana de resultados de un problema de programación dinámica: camino óptimo con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. El último renglón de esta tabla de resultados indica la distancia mínima que hay desde el nodo origen hasta el nodo destino final del recorrido a realizar (en este caso desde el nodo A hasta el nodo I, distancia mínima km), así como el tiempo aproximado de procesamiento del procesador (CPU) Programación dinámica: producción con inventarios Para solucionar un problema de producción con inventarios a través del WinQSB, se va a tomar el ejemplo siguiente. Ejemplo 3.5 La empresa Ciego Plast ubicada en la provincia de Ciego de Ávila quiere confeccionar para los primeros cinco meses del año entrante el plan de producción de los tanques de agua para escuelas primarias. El producto puede producirse en un mes y almacenarse para ser vendido posteriormente. En la tabla 3.5 se muestra la demanda y la capacidad de producción para cada mes y el costo unitario de producción y almacenamiento. Al comienzo del período no hay tanques en el almacén, ni se desea que haya al final. 9

106 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA La empresa desea conocer cuántos tanques debe producir cada mes para minimizar el costo total al final del período, aclarando que no permite tener más de 3 tanques en inventario. Tabla 3.5. Programación de la producción para el trimestre Mes Demanda (Tanques) Capacidad de producción (Tanques) Costo unitario de producción ($/tanque) Costo unitario de Almacenamiento ($/tanque) Enero Febrero Marzo Abril Mayo Solución del problema: Una vez que se accede a la opción Dinamic Programming del software WinQSB se da clic en la opción problema nuevo (New Problem) o en el botón correspondiente en la barra de herramientas. Como resultado de esta acción se obtiene la ventana que se muestra en la figura 3.8. Figura 3.8. Ventana de entrada de datos generales de un problema de programación dinámica: producción con inventarios con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. 9

107 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA En esta ventana se elige la opción que aparece marcada: Production and Inventory Scheduling (que es la que contempla los problemas de producción con inventarios); además se pone el título del problema, se establece la cantidad de períodos (los períodos de tiempo en que se divide el estudio; constituyen las etapas del modelo de programación dinámica: producción con inventarios); luego se da clic en OK y se obtiene la ventana contenida en la figura 3.9. Figura 3.9. Ventana de entrada de datos de un problema de programación dinámica: producción con inventarios con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. En esta ventana es donde se introducen los datos del problema, como se muestra a continuación: Period Identication: identificación de los períodos de tiempo en que se divide el estudio (etapas). Demand: demanda para cada período. Production Capacity: capacidad de producción de cada período. Storage Capacity: capacidad de almacenamiento de cada período. Production Setup Cost: costo de lanzamiento o preparación para el período (es independiente de la cantidad de unidades a producir en el período). Variable Cost Function: función del costo variable. Al concluir la entrada de datos, para obtener la solución del problema, dar clic en el botón correspondiente de la barra de herramientas o la opción Solve the Problem del menú Solve and Analyze, obteniendo como resultado la tabla contenida en la figura

108 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA Figura 3.0. Ventana de resultados de un problema de programación dinámica: producción con inventarios con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. Esta tabla muestra los resultados que se pueden obtener al solucionar un problema de producción con inventarios con el uso del WinQSB, ofreciendo los períodos de tiempo y para cada uno de éstos: la demanda, inventario inicial, unidades producidas, inventario final, costo de lanzamiento o preparación, función del costo variable (obtenido al evaluar la función del costo variable), costo variable y costo total. El último renglón ofrece el costo variable total y el costo total para esa política de producción con inventarios Ejercicios resueltos. Resuelva de forma manual el ejemplo 3.4 solucionado anteriormente empleando el software WinQSB. Solución:. Etapas (n): cada una de las operaciones: n = (de G y H a I); n = (de E y F a G y H); n = 3 (de B, C y D a E y F); n = 4 (de A a B, C y D).. Estados (S): posibles máquinas que realizan la operación en la etapa n. 3. Variable de decisión (X n ): posibles máquinas que van a realizar la operación en la etapa siguiente. 4. Función recursiva. fn * (S) = mín [fn(s, x n )] (3.5) fn(s, x n ) = mín [Ts,x n + f* n- ( x n )] (3.6) Donde: Ts,x n : tiempo de procesamiento cuando se está en el estado S y decide moverse a Xn. 94

109 Para n =, cuando falta una etapa. CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA El resultado de este análisis se expresa en la tabla 3.6. Tabla 3.6. Resultados para la etapa n = S f* (s) x* G 3 I H 4 I Para n =, cuando faltan dos etapas: El procedimiento de solución para n = aparece en la tabla 3.7. Tabla 3.7. Resultados para la etapa n = S X f (S, x ) = Ts,x + f* ( x ) G H f* (S) x* E = = 7 7 H F = = 7 6 G Para n = 3, cuando faltan tres etapas: El procedimiento y los resultados obtenidos para cada estado posible se muestran en la tabla 3.8. Tabla 3.8. Resultados para la etapa n = 3 S X 3 f 3 (S, x 3 ) = Ts,x 3 + f* ( x 3 ) f* (S) x* B E = F = E C D + 7 = = = = 9 8 E E Para n = 4, cuando faltan cuatro etapas: Los resultados para esta etapa se muestran en la tabla 3.9. Tabla 3.9. Resultados para la etapa n = 4 X 4 f 4 (S, x 4 ) = Ts,x 4 + f* 3 ( x 4 ) f* 4 (S) x* 4 S B C D A + = = = D 3 3 Interpretación de la solución Para que el tiempo de procesamiento total sea el mínimo, se encontró el camino: A D E G I, con una duración del proceso de 3 min. 95

110 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA. La UEB El Pinto desea conocer la programación de la producción para el próximo trimestre de su producto principal (pan). Se conoce que se deben producir seis lotes del producto para los tres meses y la capacidad de producción mensual es de tres lotes. La ganancia que obtiene la unidad por la venta de este producto varía en cada mes, la que se estima para el próximo trimestre aparece en la tabla 3.0. Cada lote que se produce es vendido en el propio mes. Tabla 3.0. Ganancia para el trimestre Ganancia por la venta de: Abril Mes Mayo Junio lote lotes lotes Determine la programación de la producción para el próximo trimestre si se debe producir un lote al menos en cada mes para garantizar el plan y se desea maximizar la ganancia total. Solución: Aunque el problema se refiere a la producción de un producto por lotes, es un caso de asignación, porque debe distribuirse la producción entre los tres meses.. Etapas (n): cada mes en que puede distribuirse el trimestre: n = (junio); n = (mayo); n = 3 (abril).. Estados (S): cantidad de lotes del producto que quedan por producir cuando faltan n etapas. 3. Variable de decisión (X n ): cantidad de lotes a producir en la etapa n. 4. Función recursiva. fn * (S) = máx [fn(s, x n )] (3.7) fn*(s) = máx [(Gs, x n + f* n- (S - x n )] (3.8) x n =,, 3 para n =,, 3, 4 Donde: Gi, x n : ganancia que se obtiene por la venta en el mes i (i = 5 - n) de x n. Para n = (junio) 96

111 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA Los estados posibles son, ó 3 porque al menos debe producirse un lote en ese mes y no podrán producirse más de tres. La solución para esta etapa se muestra en la tabla 3.. Tabla 3.. Resultados para la etapa n = S f* (s) x* Para n = (mayo) Los estados posibles son 3, 4 ó 5 porque deben quedar al menos lotes por producir, para poder hacer uno en mayo y otro en junio, entonces quedarán como máximo 5 lotes por producir porque al menos se debe haber hecho uno en abril. El procedimiento de solución se muestra en la tabla 3.. Tabla 3.. Resultados para la etapa n = X f (S, x ) = G s,x + f* (S - x ) f* (S) x* 3 S = = = = = 75 Para n = 3 (abril) = = 700 Los resultados para esta etapa se muestran en la tabla 3.3 Tabla 3.3. Resultados para la etapa n = 3 X f 3 (S, x 3 ) = G,x 3 + f* (S x 3 ) f* 3 (S) x* 3 3 S = = La solución óptima se presenta en la tabla = ó ó 3 97

112 Tabla 3.4. Programación de la producción para el trimestre Mes Producir Abril 3 Mayo junio 3 3 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA En el procedimiento de solución se ha tenido en cuenta la restricción en la cual se plantea que se debe producir al menos un lote en cada mes; además, la capacidad de producción es de tres lotes por mes, por lo que la producción no puede sobrepasar esta cantidad. 3. Resuelva de forma manual el ejemplo 3.5 solucionado anteriormente empelando el software WinQSB. Solución:. Etapas (n): número de meses que faltan para el fin del período n = (mayo); n = (abril); n = 3 (marzo); n = 4 (febrero); n = 5 (enero).. Estados (S): cantidad de unidades en inventario al inicio de cada etapa. 3. Variable de decisión (X n ): cantidad de unidades a producir en cada etapa. 4. Función recursiva. f* n (S) = mín [f n (S, x n )] (3.9) f* n (S) = mín [CP xn + CI S + f* n - (S + x n d n )] (3.0) En la figura 3. se representan las relaciones entre todos los elementos del ejercicio resuelto 3. El procedimiento de solución se muestra a continuación: Para n = (mayo) Los resultados para esta etapa se muestran en la tabla 3.5. Tabla 3.5. Resultados para la etapa n = S f* (S) x* = = 5 0 Si hay 0 unidades en inventario, la decisión será producir unidad para la demanda y que quede 0 unidades en inventario final. Si hay una unidad almacenada, no será 98

113 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA necesario producir ninguna, porque con esa cantidad se satisfacen los requisitos planteados. 0 Cp 4 0 Ca 3 0 Cp 5 0 Ca 3 0 Cp 5 0 Ca 3 0 Cp 4 0 Ca 3 0 Cp 5 0 Ca 3 Enero Febrero Marzo Abril Mayo S i = 0 S f = 0 d = n = 5 d = 4 n = 4 d = 5 n = 3 d = 3 n = d = n = Figura 3.. Representación de las relaciones entre las etapas, estados, variables de decisión y demanda del ejercicio resuelto 3. Para n = (abril) El procedimiento de solución para esta etapa se muestra en la tabla 3.6. Tabla Resultados para la etapa n = X f (S, x ) = CP x + CI S + f* (S + x - d ) f* (S) x* S = 70 5 = = 5 = = 74 5 = = 6 5 = 6 Para n = 3 (marzo) Para etapa los resultados se muestran en la tabla 3.7. Para n = 4 (febrero) Los resultados para esta etapa se exponen en la tabla 3.8. Para n = 5 (enero) En esta etapa, que representa al primer mes del período, habrá solamente un estado posible, que será la cantidad de unidades en inventario al inicio del período, 99

114 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA que como se especifica en el problema es cero. La solución se muestra en la tabla 3.9. Tabla Resultados para la etapa n = 3 S X 3 f 3 (S, x 3 ) = CPx 3 + CI S + f* (S + x 3 d 3 ) f* 3 (S) x* = = = 7 = = = = = = = Tabla Resultados para la etapa n = 4 S X 4 f 4 (S, x 4 ) = CP x4 + CI S + f* 3 (S + x 4 d 4 ) f* 4 (S) x* = = = = = = = = = Tabla Resultados para la etapa n = 5 S X 5 f 5 (S, x 5 ) = CP x5 + CI S + f* 4 (S + x 5 d 5 ) f* 5 (S) x* = = = Interpretación de la solución 00

115 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA El mes de enero se comienza con 0 unidades en inventario, la decisión óptima es producir 4 unidades y como la demanda es de, quedarán unidades en inventario para el mes de febrero. En la tabla 3.8 (n = 4) se comienza con S =, la decisión óptima es producir unidades, como la demanda es 4, quedarán 0 unidades en inventario para el mes de marzo. En la tabla 3.7 (n = 3) se comienza con S = 0, la decisión óptima es producir 5 unidades, como la demanda es 5, quedarán 0 unidades en inventario para el mes de abril. En la tabla 3.6 (n = ) se comienza con S = 0, la decisión óptima es producir 3 unidades, como la demanda es 3, quedarán 0 unidades en inventario para el mes de mayo. Para el último mes en la tabla 3.5 (n = ), se tendrán 0 equipos en inventario y en este caso la decisión es única y óptima, es decir, se producirá unidad con la cual se satisface la demanda y no quedarán unidades almacenadas, cumpliéndose con la restricción planteada en el problema. La solución óptima se muestra en la tabla Tabla Solución óptima del ejercicio resuelto 3 Mes Demanda Inventario inicial Producir Inventario final Costo Enero = 4 Febrero = 0 Marzo = 50 Abril = 50 Mayo = 0 El costo total mínimo al final del quinto mes es de $ Ejercicios propuestos 0

116 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA. Considere el gráfico 3. que contempla las rutas posibles para ir desde la ciudad hasta la 0. Cada nodo representa una ciudad y los arcos la infraestructura vial disponible. En las tablas 3.3, 3.3, 3.33 y 3.34 se muestran los costos asociados al desplazamiento entre cada par de nodos para cada una de las etapas. Determine la solución óptima para ir de la ciudad hasta la 0 minimizando el costo total del sistema Figura 3.. Representación gráfica del ejercicio propuesto. Las tabla 3.3 muestra los costos de transportación entre las ciudades en (MP): Tabla 3.3. Costos de transportación entre las ciudades En la planta PROTUR de la empresa INPUD se producen 4 productos para la venta en divisas al mercado interno; para ello existe en la planta una línea y 6 grupos de máquinas: la materia prima se saca del almacén () y se lleva a la sierra eléctrica (, ) para su corte, luego se lleva al puesto de soldadura (3, 3, 33) para su unión, más tarde se lleva a doblar (4, 4) para luego ensamblarlos (5, 5) y finalmente guardarlos en el almacén de productos terminados (6). La representación de este proceso se observa en el grafo, siendo las uniones entre los nodos el tiempo 0

117 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA de transportación en minutos entre un puesto y otro Cuál es el camino mínimo para que la producción salga en el menor tiempo posible? Considere que todas las máquinas de un mismo grupo tienen iguales características que hacen que los tiempos operativos sean iguales (0,, 5, 8, 9, min para los grupos,, 3, 4, 5, 6, respectivamente) Figura Representación gráfica del proceso. 3. El director del frigorífico del municipio de Santa Clara, quiere determinar cómo debe asignar seis cargas de papas a cuatro placitas para maximizar la cantidad de toneladas del producto vendido antes de que se deteriore. En la tabla 3.3 se presentan un estimado de las toneladas de papas vendidas en cada una de las placitas, dependiendo del número de cargas asignadas. Cuántas cargas debe asignar a cada placita de manera que maximice la cantidad de toneladas de papas vendidas? Tabla 3.3. Toneladas de papas vendidas en cada placita según el número de cargas asignadas Número de cargas Toneladas de papas vendidas en cada placita

118 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 4. El director del INDER quiere reforzar cuatro de los equipos de béisbol con tres jugadores, para así mejorar las probabilidades de ganar el campeonato. En la tabla 3.3 se muestran las probabilidades de que cada equipo gane el campeonato dependiendo de la asignación de jugadores para reforzarlos. Tabla 3.3. Probabilidad de cada equipo ganar el campeonato según el numero de jugadores asignados Número de asignados jugadores Probabilidad de ganar el campeonato por el equipo En las condiciones actuales, la probabilidad total de que ganen el campeonato es: 0.40 x 0.30 x 0.60 x 0.70 = Cómo deben asignarse los jugadores para maximizar la probabilidad de que ganen el campeonato? 5. La Empresa de Confecciones Fénix está elaborando el plan de producción para los jeans de mezclilla para el próximo cuatrimestre, teniendo en cuenta que se debe satisfacer la demanda mensual. Los jeans pueden producirse en un mes y almacenarse para ser vendidos posteriormente. Al comienzo del trimestre no hay unidades de este producto en el almacén, ni se desea que queden en inventario al final del período. El departamento económico de la empresa ha determinado que los costos de almacenamiento son variables por mes: si se designa con la letra A los costos unitarios de almacenamiento, se estima que cambiarán por meses según las funciones mostradas en la tabla Se dispone de la información siguiente: Tabla Probabilidad de cada equipo ganar el campeonato según el número de jugadores asignados Mes D Cap. P Cp Cap. A Ca Septiembre Octubre A A Noviembre A Diciembre A 04

119 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA Cuántos lotes de jeans deben producirse cada mes para minimizar el costo total en el cuatrimestre? Donde: D: demanda (lotes/mes). Cap. P: capacidad de producción (lotes/mes). Cp: costo de producción (decenas $/lotes). Cap. A: capacidad de almacenamiento (lotes/mes). Ca: costo de almacenamiento (decenas $/lotes - mes). 6. La planta productora de jabón LUX en la empresa Suchel es capaz de producir hasta 5 lotes de jabones cada mes (un lote contiene 0 mil unidades). El departamento económico ha estimado el costo de mantener en inventario 0,, y 3 lotes de jabones en, 0, 50 y 60 en cientos de pesos, respectivamente. Por otra parte, el costo de producción depende de los lotes producidos y de una componente fija, siendo de 5,, 45, 8, 6, 80 cientos de pesos para 0,,, 3, 4 y 5 lotes de jabones producidos, respectivamente. Se quiere establecer la política de producción con inventarios de los lotes de jabones para los próximos tres meses del año 0, si se conoce que es necesario entregar 3, 4 y 3 lotes en febrero, marzo y abril, respectivamente. Se desea que al inicio de mayo haya lote en inventario, al finalizar enero no existían lotes en inventario; la capacidad de almacenamiento no excede los 3 lotes de jabones cada mes Preguntas de autoevaluación 9. En qué consiste el principio de optimalidad de Richard E. Bellman? 0. Cuáles son los elementos de un problema de programación dinámica?. Cuáles son las aplicaciones más comunes de la programación dinámica?. En qué consiste el problema del camino óptimo y cuáles son sus elementos? 3. Para qué se utiliza el problema de asignación de recursos y cuáles son las características de dicho problema? 4. Cuál es el objetivo del problema de producción con inventarios y cuáles son los elementos de dicho problema? 5. Ponga ejemplos de la vida práctica en que se puedan aplicar cada uno de los tres tipos de problemas tratados en este capítulo. 05

120 CAPÍTULO lii: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 3.0 Bibliografía consultada. Álvarez Buylla Valle, Mercedes (987). Modelos Económicos Matemáticos II. Tomo I, Capítulo Programación dinámica, pp. - 9, La Habana, Editora ISPJAE.. Bellman, R. E. (957). Dynamic Programming. Research Study. Princeton University Press. Princeton, New Jersey. 3. Biscayart, Caraolina y de Torres Curth, Mónica I. (009). La programación dinámica en el estudio de procesos de migración. Revista Ecología austral. Vol. 9, número. versión On line ISSN: X, disponible en: [Consultado el 5 de marzo de 0]. 4. Goic, M. (0). Programación Dinámica. Universidad de Chile, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Departamento de Ingeniería Industrial, disponible en: [Consultado el 6 de marzo de 0]. 5. Hillier, F. S. y Lieberman, G.J. (007). Introducción a la Investigación de Operaciones. Tomo II, Capítulo 0 Programación Dinámica, pp , Quinta Edición, La Habana, Editorial Félix Varela. 6. Marrero Delgado, F. (009 [a]). Conferencia La programación dinámica y su relación con el camino óptimo y la asignación de recursos, disponible en [Consultado el 5 de marzo de 0]. 7. Marrero Delgado, F. (009 [b]). Conferencia La programación dinámica y su relación con la teoría de inventario, disponible en [Consultado el 5 de febrero de 0]. 8. Quesada, V. M. y Vergara, J. C. (003). Análisis cuantitativo con WinQSB. Programa de Administración Industrial, Universidad de Cartagena, Capítulo 0 Programación dinámica, pp Quesada, V. M. y Vergara, J. C. (00). Programación Dinámica, disponible en: [Consultado el de marzo de 0]. 0. Ramos, A. (0). Programación Dinámica. Universidad Pontificia Comillas, disponible en: [Consultado el de marzo de 0]. 06

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122 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN 4.. Introducción En este capítulo se aborda el tema de teoría de la decisión, en el cual se tratarán los conceptos fundamentales, así como las decisiones bajo riesgo, incertidumbre y conflicto. Los objetivos que se persiguen con este capítulo son:. Conocer los conceptos básicos de la teoría de la decisión y la necesidad de su aplicación en el campo de la Ingeniería Industrial.. Identificar los elementos que caracterizan a los modelos de teoría de la decisión y sus posibilidades prácticas en la esfera de la producción y los servicios. Incluir, mediante la vinculación entre asignaturas, conceptos más amplios de sistemas de producción de bienes o servicios, a través de condiciones reales de explotación. 3. Solucionar manualmente y a través de ordenadores personales, problemas de este tipo. Hacer énfasis en la interpretación económica y analítica de estas soluciones a la luz de las condiciones particulares de los problemas que se presentan. Como prerrequisitos para este tema se exigen: El estudiante debe tener conocimientos de matemática básica, cálculo diferencial e integral, de la formulación y solución del problema de programación lineal e informática. 4.. Fundamentación de la teoría de la decisión El problema de la decisión, motivado por la existencia de ciertos estados de ambigüedad que constan de proposiciones verdaderas (conocidas o desconocidas), es tan antiguo como la vida misma. Se puede afirmar que todos los seres vivientes, aún los más simples, se enfrentan con problemas de decisión. Conforme aumenta la complejidad del ser vivo, aumenta también la complejidad de sus decisiones y la forma en que éstas se toman. Así, se pasa de una toma de decisiones guiada instintivamente, a procesos de toma de decisiones que deben estar guiados por un pensamiento racional en el ser humano. La teoría de la decisión tratará, por tanto, el estudio de los procesos de toma de decisiones desde una perspectiva racional. 08

123 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN Muchos autores afirman que la teoría de la decisión es esencialmente una herramienta de ayuda en la toma de decisiones con procesos más estructurados, tanto para personas como organizaciones, seleccionando el mejor curso de acción respecto a las expectativas del decisor. Para poder comprender el proceso de toma de decisiones es necesario partir del concepto de decisión, como elección que se hace entre medidas optativas. Siempre que se sabe que hay medidas optativas es preciso elegir. En la decisión interviene un conjunto de decisiones como () la decisión de buscar medidas optativas, () la decisión de determinar las posibilidades de éxito, (3) la elección real de las medidas optativas para satisfacer más plenamente las posibilidades. El proceso de decisión consta de las fases fundamentales siguientes:. Predicción de las consecuencias de cada actuación. Esta predicción deberá basarse en la experiencia y se obtiene por inducción sobre un conjunto de datos. La recopilación de este conjunto de datos y su utilización entran dentro del campo de la estadística.. Valoración de las consecuencias de acuerdo con una escala de bondad o deseabilidad. Esta escala de valor dará lugar a un sistema de preferencias. 3. Elección de la alternativa mediante un criterio de decisión adecuado. Este punto lleva a su vez asociado el problema de elección del criterio más adecuado para la decisión, cuestión que no siempre es fácil de resolver de un modo totalmente satisfactorio. Muchos autores han definido un conjunto de pasos a seguir para la toma de decisiones, pero todos de una forma u otra coinciden en que es necesario acometer el procedimiento reflejado en la figura 4.. El dinamismo en el que se desenvuelven actualmente las empresas incluyendo todos los sectores productivos y la dificultad que tienen los empresarios en la predicción del futuro, ha motivado a las personas que laboran, tanto en el campo técnico como estratégico, a desarrollar modelos que hagan la función de simuladores de hechos futuros, como herramienta en la toma de decisiones, que aseguren la supervivencia y el crecimiento de la organización; ya que es difícil para el centro decisor analizar todas las variables que inciden en la toma de decisiones. 09

124 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN Definir el problema Establecer criterios y metas Formular el modelo Identificar y Evaluar las alternativas Elegir la mejor alternativa Instrumentar la decisión Figura 4.. Proceso de la toma de decisiones. Con la ilusión de adelantarse a los hechos, se han creado técnicas cuantitativas con las que resulta más práctico y confiable tomar decisiones, que dan respuestas óptimas, ya que descompone las variables del problema y es posible analizarlo de manera racional y no influenciado por factores tan subjetivos como lo es la intuición. En todo problema de decisión pueden distinguirse una serie de elementos característicos, como son: El decisor, encargado de realizar la elección de la mejor forma de acuerdo con sus intereses. 0

125 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN Las alternativas o acciones (A i ), i =,, m, que son las diferentes formas de actuar posibles, de entre las cuales se seleccionará una. Deben ser excluyentes entre sí. Los posibles estados de la naturaleza (E j ), j =, n, término mediante el cual se designan a todos aquellos eventos futuros que escapan al control del decisor y que influyen en el proceso. Las consecuencias o resultados que se obtienen al seleccionar las diferentes alternativas bajo cada uno de los posibles estados de la naturaleza (V(X ij )). La regla de decisión o criterio, que es la especificación de un procedimiento para identificar la mejor alternativa en un problema de decisión. El criterio de decisión es un término general que engloba los conceptos de atributos, objetivos y metas para un cierto problema decisional. Atributos: representan los valores del centro decisor relacionados con una realidad objetiva y que pueden medirse independientemente de los deseos del centro decisor, siendo usualmente susceptibles de expresarse como una función matemática f(x) de las variables de decisión. Objetivos: representan direcciones de mejora de los atributos. La mejora puede interpretarse en el sentido, «más del atributo mejor» (maximización) o bien «menos del atributo mejor» (minimización). Por consiguiente los objetivos implican la maximización o minimización de las funciones que corresponden a los atributos que reflejan los valores del centro decisor. Nivel de Aspiración: representa un nivel aceptable de logro para el correspondiente atributo. Meta: es la combinación de un atributo con un nivel de aspiración. La matriz de decisión o de pago de un problema de teoría de la decisión es la que se muestra en la tabla 4.. Tabla 4.. Matriz de decisión o de pago E E E j A V(X ) V(X ) V(X n ) A V(X ) V(X ) V(X n ) A m V(X m ) V(X m ) V(X mn )

126 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN En la toma de decisiones se puede adoptar un esquema de clasificación en cuatro categorías, considerando el nivel de conocimiento que se tenga sobre las probabilidades de los estados. De este modo se obtiene la clasificación siguiente: Decisiones bajo certeza. Decisiones bajo riesgo. Decisiones bajo incertidumbre. Decisiones en conflicto. Causas del riesgo y la incertidumbre Las causas de la variabilidad son básicamente atribuibles al comportamiento humano. Más aún, la incertidumbre es consecuencia de la naturaleza humana; es consecuencia del conocimiento limitado que se tiene de las cosas, esto es, de la ignorancia. Sin embargo existen fenómenos no atribuibles directamente al ser humano que también causan riesgo e incertidumbre. Algunas manifestaciones de ambos se mencionan a continuación: Inexistencia de datos históricos directamente relacionados con las alternativas que se estudian. Sesgos en el cálculo de datos o de eventos posibles. Cambios en la economía, tanto nacional como mundial. Cambios en políticas de países que en forma directa o indirecta afectan el entorno económico local. Análisis e interpretaciones erróneas de la información disponible. Obsolescencia. Situación política. Catástrofes naturales o comportamiento del clima. Baja cobertura y poca confiabilidad de los datos estadísticos con que se cuenta Decisiones bajo certeza La toma de decisiones en condiciones de certidumbre ocurre cuando el que las toma, conoce el estado natural que ocurrirá con absoluta seguridad; es decir, en los procesos de decisión bajo certidumbre se supone que el verdadero estado de la naturaleza es

127 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN conocido por el decisor antes de realizar su elección, es decir, puede predecir con certeza total las consecuencias de sus acciones. Conceptualmente, la resolución de un problema de este tipo es inmediata: basta elegir la alternativa que proporcione un mejor resultado. El problema de decisión se reduce, por tanto, a un problema de optimización, ya que se trata de escoger la alternativa que conduzca a la consecuencia con mayor valor numérico asociado. Dentro de los procesos de decisión bajo certeza se pueden encontrar problemas de programación lineal, de transporte, de asignación, de redes y de programación discreta, programación dinámica determinística, modelos de inventario con demanda determinística, entre otros. A los efectos de este capítulo sólo se abordarán las decisiones bajo riesgo, incertidumbre y conflicto, ya que las decisiones bajo certeza ya fueron estudiadas en capítulos y asignaturas previas Decisiones bajo riesgo La toma de decisiones bajo riesgo incluye aquellas decisiones para las que las consecuencias de una acción dada dependen de algún evento probabilista. Permite analizar situaciones complejas con muchos cursos de acción influenciadas por las creencias del decisor, de tal forma que la decisión sea lo más cercana a la realidad. Un primer instrumento para valorar la amplitud del riesgo está constituido por el principio de la probabilidad estadística (o frecuencia relativa), que deriva del hecho de que si un determinado tipo de suceso se ha unificado en el pasado con determinada frecuencia en un número de casos considerados, existe un cierto grado de probabilidad determinable, estadísticamente de que se repita también en el futuro. Un segundo instrumento al que se recurre para reducir el riesgo en la decisión está constituido por la llamada probabilidad subjetiva. Se obtiene este tipo de probabilidad cuando, de algunos datos limitados, se deduce la probabilidad de que se presente o no un suceso concreto. La probabilidad no es determinada estadísticamente, sino solamente establecida por medio del razonamiento. 3

128 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN La decisión bajo riesgo se basa en el criterio del valor esperado, donde las alternativas de decisión se comparan con base de máximo en el caso de utilidades esperadas, etc.; y de mínimo en costos esperados, etc. La aparición de los estados de la naturaleza (E j ), en las decisiones bajo riesgo tienen una oportunidad de ocurrencia probabilística. A continuación se verá el primer caso de análisis de riesgo en el diseño del modelo. Sea f(x) la función de densidad probabilística uniforme que representa la cantidad de productos a almacenar para su posterior entrega al cliente: f (x) = b a a x b (4.) 0 para otro valor Si se determina la función de densidad probabilística acumulada, quedaría como: b x a F( x) da (4.) b a b a b a a x a x a F ( x) (4.3) b a b a b a Considerando que los valores de la función de densidad probabilística acumulada F(x) están entre 0 y, se puede asumir su valor como R, por tanto: R ( b a) x a ; despejando x se obtiene que: x a b a) R ( (4.4) Por lo que si consideramos a R como el nivel de satisfacción del cliente, pudiera determinarse la cantidad de productos a almacenar, asumiendo un riesgo de valor R. El proceso de toma de decisión con riesgo se describe a continuación:. Usar la información que se tenga para asignar su parecer personal (llamado probabilidades subjetivas) sobre el estado de la naturaleza, p(s).. Cada curso de acción tiene asociado un determinado beneficio con cada uno de los estados de la naturaleza, X(a, s). 4

129 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN 3. Se calcula el beneficio esperado, también llamado riesgo o R, correspondiente a cada curso de acción como R(a) = Sumas de [X(a, s) p(s)]. 4. Se acepta el principio que dice que se debería actuar para minimizar o maximizar el beneficio esperado. 5. Se ejecuta la acción que minimice R(a). En general, la información con la que se cuenta para solucionar el problema es incompleta, es decir, se conoce el problema, se conocen las posibles soluciones, pero no se conoce con certeza los resultados que pueden arrojar. Cuando se evalúan las alternativas de una sola etapa se utilizan diferentes criterios; los cuales se muestran a continuación:. Optimización del valor esperado (Expected Value Criterion). Una extensión natural de decisiones con certeza es el uso del criterio del valor esperado, donde se desea maximizar el beneficio esperado o minimizar el costo esperado. i n ( ) * ( ) Máx E Ai Pj V Xij Beneficio (4.5) i i n ( ) * ( ) Mín E Ai Pj V Xij Pérdida (4.6) i. Método de las lamentaciones mínimas esperadas (Expected Regret Criterion). En este método el valor o costo puede ser cambiado por las lamentaciones. Este método implica la obtención de la matriz de las lamentaciones, con tal objetivo se toma el mejor resultado y se resta de los demás elementos de los diferentes sucesos. Los valores de las lamentaciones pueden ser sustituido por siguiente: j ij en la expresión n Mín E ( Pj *( ij) (4.7) i i ij V( Xkj) V( Xij) (4.8) V (Xkj) : mejor valor del estado de la naturaleza. 3. Minimización de la varianza del valor o costo. 5

130 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN Este método está dirigido a minimizar el valor de la varianza o costo donde la adaptación de la decisión será: MIN VAR * i Ai Xij Ai P j V E j (4.9) Este principio se emplea con el fin de seleccionar aquella estrategia en la cual tenga presente la variación mínima esperada con respecto a su valor medio. 4. Principio de Farrar. Este principio puede ser considerado como una combinación de los principios del valor esperado y el de mínima varianza, aquí se toma una decisión en función del menor valor acotado o del mayor costo acotado, en forma similar a la obtención de un intervalo de confianza. Máx E( Ai) k VAR( Ai ) Beneficio (4.0) i Mín E( Ai) k VAR( Ai ) Pérdida (4.) i k Factor de peso, a menudo k =. También conocido como factor de aversión al riesgo. 5. Principio de la semi-varianza. SVAR Ai j V X donde V(Xij) < E[Ai]; para beneficios MAX SVAR i ij E A i * P j (4.) E A K SVAR i A (4.3) i A ( ) ( ) * i V X ij E Ai P (4.4) j j Donde V(Xij) > E[Ai]; para pérdidas MIN E i A K SVAR i A (4.5) i k: factor de peso, a menudo k =. 6. Principio de aspiración. Está basado en el concepto de la satisfacción. De forma operativa, este principio requiere que el decisor prefije un nivel de beneficios que aspira a obtener, o un nivel de pérdidas que aspira a mantener bajo. Considerando estos precedentes, se debe seleccionar aquella alternativa la cual maximiza la creencia que el nivel de 6

131 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN aspiración sea alcanzado y de esta forma, ser análogo el nivel de satisfacción, este principio sirve para sentirse más ampliamente satisfecho. Se aprecia que este principio es muy subjetivo. 7. Criterio del futuro probable. Se examina cada valor de probabilidad asociado a cada estado de la naturaleza, analizando el de mayor valor de probabilidad. Bajo el criterio de que ese estado de la naturaleza es el más probable, entonces se selecciona la alternativa que presente el mejor valor, según sea el problema de Máx o de Mín. Ejemplo 4. El taller de metales perteneciente a la empresa de muebles LIDEX desea tomar una decisión referente a qué tipo de materiales utilizar (tubo de 9mm o de 5mm) para la producción de juegos de comedor del próximo año. Las probabilidades de que los precios de venta aumenten, permanezcan iguales o disminuyan son las siguientes: 0.8; 0.35; Los ingresos en (MP) se muestran en la tabla 4.. Tabla 4.. Ingresos para los tubos de 9 y 5 mm según aumenten, permanezcan igual o disminuyan los precios de venta A i E j 0.8 Aumenten 0.35 Iguales 0.37 Disminuyan Tubos 9 mm (A) Tubos 5 mm (B) Solución: Para seleccionar que tubo se va a utilizar se tienen en cuenta los criterios de evaluación siguientes:. Optimización del valor esperado E(A i ) Utilizando la fórmula (4.5): EA ( ) 5*(0.8) 0*(0.35) 4*(0.37) 8.8 MP EB ( ) 5*(0.8) 0*(0.35) 8*(0.37) 4.74 MP Según el criterio se selecciona A ya que es el de mayor valor esperado. 7

132 . Lamentaciones mínimas esperadas CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN Utilizando la fórmula (4.8) se obtiene la matriz de lamentaciones como se muestra en la tabla 4.3. Tabla 4.3. Matriz de lamentaciones A i E j 0.8 Aumenten 0.35 Iguales 0.37 Disminuyan A B Utilizando la fórmula (4.7): E ( A) 0*(0.8) 0*(0.35) 6*(0.37). MP E ( B) 0*(0.8) 0*(0.35) 0*(0.37) 6.3 MP Según el criterio, se selecciona A porque es el de menor lamentación mínima esperada. 3. Minimización de la varianza Utilizando la fórmula (4.9): VAR( A ) (5 8.8) *0.8 (0 8.8) *0.35 ( 4 8.8) * MP VAR( B ) (5 4.74) *0.8 (0 4.74) *0.35 ( ) * MP Según el criterio 3, se selecciona B porque es el de menor varianza. 4. Principio de Farrar Utilizando la fórmula (4.0): k = A MP B MP De acuerdo a este criterio, se selecciona B. 5. Principio de la semivarianza Utilizando la fórmula (4.) y (4.3): K= 8

133 SVAR( A ) ( 4 8.8) * MP SVAR( B ) ( ) * MP A MP B MP Según el criterio de la semivarianza se selecciona la alternativa B. 6. Principio de aspiración Valor Fijado: P (Ingresos 5MP) Frecuencia Relativa A /3 = 0.67 B /3 = 0.33 Probabilidad Acumulada A = 0.63 B 0.8 Se selecciona B. 7. Criterio del futuro probado CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN El estado de la naturaleza más probable es el de que los precios de venta disminuyan. Por lo que en este caso la mejor alternativa sería B. En la tabla 4.4 se muestra un resumen de los resultados para los diferentes criterios. Tabla 4.4. Resumen de los diferentes criterios del ejemplo 4. Criterios Tubos de 9mm (A) Tubos de 5mm (B) Se puede decir que la elección de cualquiera de los dos tubos no implicaría ninguna pérdida, si se valoran de manera integral todas las reglas de decisión. 9

134 Árboles de decisión CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN Otra herramienta que se utiliza en los análisis de riesgos son los árboles de decisión. Los árboles de decisión son herramientas para ayudar a la gerencia entre varios cursos de acción. Proporcionan una estructura muy eficaz dentro de la que se pueden poner opciones e investigar los posibles resultados al escoger esas opciones. Ayudan además a la formación de un cuadro equilibrado de los riesgos y premios asociados con cada posible curso de acción. Los árboles de decisión son diagramas que muestran los resultados alternativos y la interdependencia de opciones en un proceso de decisión multifase, o secuencial. El diagrama del árbol es construido de izquierda a derecha, usando cuadros para los puntos controlables (decisiones) y círculos para los no controlables (eventos). Cada rama lleva una consecuencia que es establecida en forma monetaria (o utilidad) a la derecha del diagrama. A continuación se definen algunos conceptos implicados en esta temática: Probabilidad: la probabilidad proporciona medios numéricos para expresar la posibilidad de que ocurra un evento estocástico. Evento: posible resultado de un proceso aleatorio, o sea, que no puede predecirse con certidumbre. Valor esperado: este concepto ha sido muy útil en situaciones de toma de decisiones de naturaleza probabilística. Matemáticamente es idéntico al promedio aritmético; sin embargo, es común usar una notación especial para la esperanza matemática. Si x es una variable aleatoria discreta entonces el valor esperado de x está dado por: m E ( X ) X * P( X ) (4.6) i i i Donde P (Xi): probabilidad de ocurrencia de Xi. Los componentes y la estructura de un árbol de decisión se describen a continuación:. Alternativas de decisión (A, A m ): están presentes en cada punto de decisión (D, D k ).. Eventos (E,... E n ): ocurren como resultado de cada alternativa de decisión. 0

135 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN 3. Probabilidades de que ocurran los eventos posibles como resultado de las decisiones (P,... P n ). 4. Resultados (casi siempre expresados en términos económicos) de las posibles interacciones entre las alternativas de decisión y los eventos (X,... X n ). Estos datos se organizan mediante la estructura de un diagrama de árbol que ilustra las interacciones posibles entre las decisiones y los eventos. Para explicar cómo se construye un árbol de decisión, así como su solución se desarrollará el ejemplo siguiente. Ejemplo 4. Para construir el árbol representado en la figura 4. inicialmente debe hacerse una decisión entre tres alternativas. Estas se encuentran en el primer punto de decisión como D, D y D 3. Los eventos que pueden ocurrir como resultado del primer conjunto de decisiones son E, E, E 3, E 4 y E 5. Sus probabilidades respectivas están dadas por P,, P 5. Si se selecciona D 3, el resultado se conoce con claridad. Este resultado se muestra al final de la rama D 3 como X. Si ocurren los eventos E, E y E 3, los resultados se conocen con certidumbre y no se requiere ninguna otra decisión. Estos resultados están dados por X, X 3 y X 4, respectivamente. Sin embargo, en respuesta a cualquiera de los eventos E 4 o E 5, se debe seleccionar otra alternativa en la serie de decisiones. A partir del evento E 4, debe escogerse entre D 4 y D 5, mientras que E 5 lleva a una selección entre D 6 y D 7. En este ejemplo, todos los eventos están seguidos por un resultado o por otro punto de decisión, pero existen situaciones en que a los eventos siguen otros eventos. Los eventos que pueden ocurrir como resultado de la decisión que se tomó en el segundo punto de decisión son E 6, E 7, E 8 y E 9. Estos son eventos finales y llevan a los resultados X 7, X 8, X 9 y X 0. El resultado de X 5 y X 6 se obtiene directamente de la decisión D 4 y D 6 respectivamente.

136 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN E, P X D E, P E 3, P 3 D E 4, P 4 X 3 X 4 D 4 D 5 X 5 E 6, P 6 D 3 X E 5, P 5 Figura 4.. Esquema de un árbol de decisión. Realización del análisis D 6 El análisis comienza en el extremo derecho del árbol de decisión y se mueve a través de los nodos de eventos y puntos de decisión hasta que se ha identificado una secuencia óptima de decisiones que comienza en el primer punto de decisión, de usar las reglas siguientes:. En cada nodo de evento se hace un cálculo del valor esperado. D 7. En cada punto de decisión se selecciona la alternativa con el valor esperado óptimo. El árbol de decisión que se muestra en la figura 4.3 se ha modificado y ahora da los resultados económicos y las probabilidades de los eventos. Se supondrá que el objetivo es maximizar la serie de decisiones. Primero se encuentran los nodos de eventos que requieren cálculos del valor esperado. Al nodo del evento en la intersección E 6 y E 7 utilizando la fórmula (4.6) se obtiene: E (E 6 y E 7 ) = (0.3) * (0.7) * = $ En el nodo de evento para E8 y E9 utilizando la fórmula (4.6) se obtiene: E (E 8 y E 9 ) = (0.5) * (0.5) * = $ X 6 E 7, P 7 E 8, P 8 E 9, P 9 Continuando de derecha a izquierda se encuentran después los segundos puntos de decisión. Estos requieren la selección de la alternativa de decisión con el mejor valor esperado y el rechazo de las otras opciones. En el punto de decisión para la

137 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN intersección D 4 y D 5 se selecciona la alternativa de decisión D 4, ya que $ es un valor esperado más alto que $ En este caso $ es también un resultado cierto o seguro. La alternativa de decisión D 5 se ignora de aquí en adelante. En el punto de decisión para D 6 y D 7, la alternativa D 7, que tiene un valor esperado de $ , es mejor que D 6 que tiene un valor esperado (cierto) de $ En consecuencia, D 6 se elimina para el resto del análisis. El siguiente paso requiere que se realicen más cálculos del valor esperado. En el nodo de evento para E y E utilizando la fórmula (4.6): E (E y E ) = (0.5) * (0.5) *( ) = $ Se debe tener cuidado en incluir los resultados correctos para los eventos E 4 y E 5. Sólo se usa el resultado asociado con la alternativa de decisión que se seleccionó previamente. En el caso de E 4, éste es $ que se asoció con D 4 ; para E 5 es $ que se asoció con D 7. En el nodo de evento para E 3, E 4 y E 5 utilizando la fórmula (4.6): E (E 3, E 4 y E 5 ) = (0.) * (0.4) *(38 000) + (0.5) * = $ Se ha trabajado hacia atrás hasta el primer punto de decisión. La alternativa de decisión D ofrece un valor esperado de $ D tiene un valor esperado de $ D 3 ofrece $0.00, por tanto la selección que debe hacerse es D ; por lo que D y D 3 se eliminan para las siguientes consideraciones. Ahora es posible identificar el plan óptimo de acción. Se pone en práctica la alternativa de decisión D. Si ocurre el evento E 4, la administración debe seguir con D 4. Si ocurre E 5, se deberá poner en práctica D 7. Este plan ofrece un valor esperado de $ También es útil examinar el grado de riesgo asociado con este plan. Al hacerlo es importante incluir sólo aquellos resultados asociados con las alternativas de decisión que la administración pretende seguir. Como una medida aproximada del riesgo se considera lo mejor y lo peor que puede ocurrir. Lo peor es un rendimiento de $ como resultado del evento E 3. Lo mejor es un rendimiento de $ si ocurre E 8. 3

138 0.5 $ CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN D 0. D $ $ D 4 D 5 $ $ D 3 $ Figura 4.3. Árbol de decisión con resultados económicos y probabilidades de los eventos Decisiones bajo incertidumbre La toma de decisiones bajo incertidumbre, permite a un gerente o administrador elegir entre alternativas de una manera óptima, tomando en cuenta el valor de la adquisición de datos experimentales para reducir la incertidumbre. Se parece a la toma de decisiones bajo riesgo con una diferencia importante, no se tiene conocimiento de las probabilidades de los eventos futuros, ni se tiene idea de cuan posibles son las diferentes consecuencias. Para tomar decisiones debe de reducirse el nivel de subjetivismo, para esto existen criterios aunque estos están sujetos al grado de optimismo o pesimismo que tenga el decisor. Los criterios de decisión que se emplean cuando predominan estas condiciones de incertidumbre, reflejan los valores personales y las actitudes fundamentales hacia el riesgo que tienen los responsables de la toma de decisiones. Los principales criterios de decisión son:. Criterio pesimista o de Wald D 6 D 7 X 6 $ $ El decisor piensa que una vez seleccionada una estrategia se va a presentar el estado de la naturaleza más desfavorable, este criterio recibe también el nombre de maximin. De acuerdo con este criterio, el decisor seleccionará la estrategia que proporcione una

139 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN retribución más alta en el peor de los casos, es decir, buscar la alternativa que proporcione el máximo de las consecuencias mínimas. Máxi Mín jv X ij Beneficio (4.7) Míni Máx X Pérdida (4.8) jv ij. Criterio optimista Este criterio corresponde a un pensamiento optimista, ya que el decisor supone que la naturaleza siempre estará de su parte, por lo que siempre se presentará el estado más favorable. Este criterio recibe también el nombre de máximax. Máx imáx V j X ij MíniMín V j X ij Beneficio (4.9) Pérdida (4.0) 3. Criterio de Hurwicz (pesimismo optimismo) El llamado criterio de Hurwics, se basa en la definición de un coeficiente de optimismo ( ), de que ocurra el desenlace entre los límites 0. En consecuencia, el coeficiente de pesimismo será -. Coeficiente que intenta describir el estado del sujeto decisor frente al horizonte económico. Además este sujeto para cada estrategia, solo se interesa de los valores extremos de los desenlaces que componen aquellos, por lo que el desenlace máximo de ese intervalo se pondera con el coeficiente de optimismo y el desenlace mínimo con el de pesimismo. El valor de la estrategia será la suma de estos productos, eligiéndose aquella alternativa con mayor valor. Máxi * Máx jv ( Xi j) ( )* Mín jv ( Xi j) Beneficio (4.) Míni * Mín jv ( Xi j ) ( )* Máx jv ( Xi j) Pérdida (4.) Cuando existe mucha probabilidad de riesgo escojo un α cercano a y si está bajo condiciones normales lo escojo de 0.4 a 0.6 aproximadamente, considerando así alguna probabilidad de riesgo. 5

140 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN 4. Criterio de Laplace: Consiste en que frente a la ignorancia de las probabilidades de ocurrencia de cada estado de la naturaleza se asigna a cada uno de ellos la misma probabilidad, eligiendo aquella alternativa que ofrece un valor esperado más alto. Es el promedio de los valores de cada fila (valor esperado). Máx E A Beneficio (4.3) i i i i Mín E A Pérdida (4.4) 5. Criterio de Savage: El criterio de Savage conocido también como de riesgo mínimo, decide sobre una matriz de lamentaciones o penalizaciones, formada por los elementos θ ij. Cada columna de esta matriz se obtiene calculando la diferencia entre el valor máximo de esa columna y cada uno de los valores que aparecen en ella. El valor de la estrategia será el mínimo de esas lamentaciones escogiéndose el de mayor valor. ij V( Xij) V( Xkj) (4.5) V (Xkj) : mejor valor del estado de la naturaleza. Máx i Mín j Ejemplo 4.3 ij (4.6) La empresa confitera de Caibarién se dedica a la producción y comercialización de distintos productos. De ellos los más importantes financieramente son los sorbetos (A ), los caramelos (A ) y las galletas dulces (A 3 ); pero para el próximo mes debido a una remodelación que se realizará en la fábrica podrá dedicarse solo a la producción de uno; los ingresos obtenidos en dependencia de la procedencia de la materia prima (eventos) son representados en la matriz de pagos como se muestra en la tabla 4.5. Tabla 4.5. Utilidades según cada alternativa A i E j E E E 3 A A A

141 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN Matriz de pagos (utilidades en MP) para las alternativas A, A y A 3 y los eventos E, E y E 3 : Solución: Criterios a probar:. Criterio de WALD Como en el problema se habla de ganancia (beneficio), utilizando la fórmula (4.7), se busca el mínimo por fila de cada alternativa y luego se selecciona el mayor de ellos, como se muestra en la tabla 4.6. Tabla 4.6. Resultados para el criterio de Wald A i E j E E E 3 Mín A 5 6 A A La mejor alternativa es A, luego A 3 y por último A.. Criterio optimista Según la fórmula (4.9), se busca el máximo por fila de cada alternativa y luego se selecciona el mayor de ellos, como se muestra en la tabla 4.7. Tabla 4.7. Resultados para el criterio optimista A i E j E E E 3 Máx A A A La mejor alternativa es A, luego A y A 3 igualmente. 3. Criterio de Hurwics Utilizando la fórmula (4.) y tomando α = 0.5: A 0.5*6 ( 0.5)* 4 A 0.5*8 ( 0.5)*4 6 7

142 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN A 3 0.5*6 ( 0.5)*3 4.5 La mejor alternativa es A, luego A 3 y por último A. 4. Criterio de Laplace Utilizando la fórmula (4.0), se halla el promedio de los valores de cada fila (valor esperado) y luego se selecciona el mayor de ellos, como se muestra en la tabla 4.8. Tabla 4.8. Resultados para el criterio de Laplace A i E j E E E 3 E(A j ) A A A La mejor alternativa es A, luego A y A 3 igualmente. 5. Criterio de Savage Utilizando la fórmula (4.), se halla la matriz de las lamentaciones, restándole al mayor número por columna todos los demás, después utilizando la fórmula (4.) se busca el menor por alternativa y de estos se escoge el mayor, como se muestra en la tabla 4.9. Tabla 4.9. Matriz de las lamentaciones y resultados para el criterio de Savage A i E j E E E 3 Mín A 5 A A La mejor alternativa es A, luego A y A 3 igualmente. En la tabla 4.0 se muestra un resumen de los resultados según los diferentes criterios. De acuerdo al criterio de Kendall, cuando existen dos o más criterios empatados se le asigna toda la puntuación promedio que le correspondería. En este ejemplo el criterio optimista, Laplace y Savage están empatados en el segundo y tercer lugar respectivamente, por lo que se le asigna el promedio de la suma de estos dos lugares, en este caso.5. 8

143 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN La empresa debe en primer lugar seleccionar la alternativa de producir caramelos porque es la que maximiza las ganancias. En caso de esta no poderse llevar a cabo, se seleccionaría la producción de galletas dulces o sorbetos. Tabla 4.0. Resultados de cada criterio para el ejemplo 4. Criterios Sorbetos Caramelos Galletas dulces Wald Optimista Hurwics Laplace Savage Decisiones en conflicto Muchos autores plantean el conflicto como la variable más relevante en el proceso de toma de decisiones. Hay que entender el conflicto de una forma positiva, puesto que sin conflicto, difícilmente podría haber cambio e innovación. En toda situación de toma de decisión, se encuentra ante un conflicto entre opiniones, juicios y soluciones diferentes. Si no existe diversidad y, por consiguiente, conflicto, tampoco hay necesidad de elegir y decidir. Todo depende de la manera como se aborde el conflicto. La teoría de juegos es una técnica para la toma de decisiones en situaciones de conflicto, donde se comprende el mismo y sus posibles soluciones a partir de una matriz formal. Fue creada por Von Neumann y Morgenstern en su libro clásico The Theory of Games Behavior, publicado en 944. En síntesis, la teoría de juegos es el análisis matemático de un ambiente en el que se presenta un conflicto de intereses, con el objetivo de hallar las alternativas óptimas a fin de lograr un determinado resultado. Los juegos se clasifican en: Finitos, en dependencia del número de estrategias (juego competitivo). Infinitos. 9

144 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN A los efectos de este texto se estudiarán los juegos de tipo competitivo, cuyas características son que posee un número finito de competidores y cada competidor tiene una lista finita de cursos de acción. Para darle solución a este tipo de juego se utiliza el principio del MINIMAX, el cual se describe a continuación: Se selecciona para cada matriz de juegos un valor α (valor inferior del juego) y uno β (valor superior del juego). Para hallar el valor de α, se busca el valor mínimo de cada fila y de estos se selecciona el mayor, como se expresa en la fórmula (4.7). Máx Mín V X Máx (4.7) i j ij i i Para determinar el valor de β, se busca el valor máximo de cada columna y de estos se selecciona el menor, como se expresa en la fórmula (4.8). Mín Máx V X Mín (4.8) j i ij j j Si α = β el juego es de estrategia pura, o también conocido como punto de silla o de estrategia estable. Si α β el juego es de estrategia mixta. Cuando el juego es de estrategia pura se tiene la decisión, pero cuando es de estrategia mixta no es así, se utiliza la programación lineal para resolver el problema, utilizando el método simplex y así determinar las estrategias que tiene el jugador A para ganarle al B y para determinar las estrategias que tiene el jugador B de ganarle al A se aplica el dual. En la tabla 4. se representa la matriz de pago para la teoría de juegos. Tabla 4.. Matriz de pago B B B 3 A a a a 3 A a a a 3 A 3 a 3 a 3 a 33 30

145 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN A continuación se muestran las diferentes ecuaciones empleando el método simplex y el dual, para darle solución a un juego cuando la estrategia es mixta. Max (z)= V (4.9) Min (z) = W (4.35) a X + a X + a 3 X 3 - V 0 (4.30) a y + a y + a 3 y 3 - W 0 (4.36) a X + a X + a 3 X 3 - V 0 (4.3) a y + a y + a3 y 3 - W 0 (4.37) a 3 X + a 3 X + a 33 X 3 - V 0 (4.3) a 3 y + a 3 y + a 33 y 3 - W 0 (4.38) X + X + X 3 = (4.33) y + y + y 3 = (4.39) X + X + X 3 0 (4.34) y +y +y 3 0 (4.40) V: no restringida en signo (NRS) W: no restringida en signo (NRS) Para demostrar más claramente lo explicado anteriormente se va desarrollar el ejemplo 4.3. Ejemplo 4.4 La Cervecería Bucanero S.A para el año 0 tiene trazado como meta que sus cervezas desfilen entre las mejores marcas a nivel mundial en el concurso llevado a cabo en Canadá para esta fecha. Dentro de los competidores que participarán el que representa mayor competencia es la Budweiser de Estados Unidos. Bucanero tiene tres alternativas: poner en competencia a la Bucanero Max, la Bucanero fuerte o la Cristal, por otro lado la Budweiser tiene también tres marcas para poner en competencia. En estudios realizados se ha podido determinar la probabilidad que tiene cada cerveza Bucanero de ganarle a cada cerveza de la Budweiser, como se muestra en la tabla 4.. Determine que estrategia debe utilizar la Cervecería Bucanero para ganar el concurso. Tabla 4.. Probabilidad de cada cerveza Bucanero ganarle a cada tipo de cerveza Budweiser 3 Bucanero Max Bucanero fuerte Cristal

146 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN Solución: Para determinar el valor de α se utiliza la fórmula (4.4), seleccionando el valor mínimo por fila y de estos el mayor, siendo entonces α = Para determinar el valor de β se utiliza la fórmula (4.5), seleccionando el valor máximo de cada columna y de estos el menor, siendo entonces β =0.50. Los resultados del análisis anterior se muestran en la tabla 4.3. Tabla 4.3. Determinación de α y β 3 Mín Bucanero Max Bucanero Fuerte Cristal Máx Por tanto α = β, juego de estrategia pura, para ganar el concurso la Cervecería Bucanero debe utilizar la cerveza Bucanero Max Métodos multicriterios vs métodos monocriterios En la vida corriente como en las organizaciones, a menudo las personas se enfrentan a difíciles decisiones debido a la necesidad de cubrir varios imperativos; el decisor se encuentra en disposición de escoger entre varias posibilidades, denominadas alternativas, el conjunto de las cuales constituye el llamado conjunto de elección. Para escoger en este conjunto el decisor tiene diversos puntos de vista, denominadas criterios. Estos criterios son, al menos parcialmente, contradictorios en el sentido de que si el decisor adopta uno de dichos puntos de vista, por ejemplo la minimización del riesgo, no escogerá la misma alternativa que si se basa en otro criterio, por ejemplo el de mejor rendimiento. Las ventajas de la modelización multicriterios deben ser valoradas en relación con la modelización clásica en la que el objetivo consiste en llegar a un problema de maximización con restricciones en la que la solución óptima representa la mejor elección según. La tarea de traducir a costos monetarios los elementos en la función de ganancia no se suele efectuar, sino que tan solo los costos monetarios inmediatos se tienen en 3

147 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN consideración. Cualquier ejemplo llevaría a una conclusión idéntica. Ciertos aspectos de las decisiones son muy difíciles de evaluar en términos de costos. La modelización multicriterio proporciona al decisor una libertad de juicio que le es ocultada por la modelización monocriterio. La modelización multicriterio es así mucho más realista puesto que considera las restricciones por lo que realmente son, a saber, elementos de la decisión, es decir, criterios. En ciertos modelos puede considerarse el dejar la elección al decisor de fijar el mismo cuales son criterios y cuales son restricciones. Los componentes de la decisión van a ser evaluados separadamente como criterio que influyen en la misma. La primera consecuencia de ello es la que el modelo va a guardar todo su sentido para el decisor, por tanto un análisis interactivo cobra ahora todo su valor, incorpora los criterios en la función objetivo o en las restricciones no es más que un artificio, ciertamente lícito en términos conceptuales pero incoherentes desde el punto de vista decisional pues impide toda intervención del decisor e introduce una gran rapidez en las decisiones. Un modelo cerrado en el que los criterios de los unos y los otros están enmascarados, en la función a optimizar o en las restricciones, no es de absolutamente ninguna utilidad en un proceso de discusión. Por lo contrario un modelo que muestra explícito tales criterios diferentes puede ser utilizado como instrumento de búsqueda del consenso, lo que constituye una de las más interesantes del análisis multicriterio. Otro inconveniente de la modelación monocriterio es el de su falta de realismo desde un punto de vista humano. Esta opinión es desarrollada por Simón (983) en su libro sobre la crítica del modelo de maximización de utilidad esperada. Puntualiza Simón (983) que la práctica de la gestión administrativa, tal y como él la observa, consiste justamente en utilizar en instantes diferentes, criterios asimismo diferentes y a menudo en conflicto, en definitiva, el análisis multicriterio tiene a su favor el realismo y la legibilidad, lo que son activos importantes en las organizaciones en un momento en el que la complejidad de las decisiones es reconocida por la mayor parte de los actores aún cuando no todos ellos muestren la misma sensibilidad, ante los diferentes criterios. Se sabe ya que toda decisión, incluso individual, es un compromiso entre diversas aspiraciones imposibles de satisfacer en toda su plenitud. 33

148 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN La tabla 4.4 resume las diferencias fundamentales que existen entre ambos paradigmas Utilización del WinQSB para resolver problemas de teoría de juegos y árboles de decisión El WinQSB permite resolver problemas de decisiones en conflicto: teoría de juegos y decisiones bajo riesgo: árboles de decisión Decisiones en conflicto: teoría de juegos Para solucionar un problema de teoría de juegos a través del WinQSB, se va a tomar como base el ejemplo siguiente. Ejemplo 4.5 La fábrica de helados Periquín de la provincia de Villa Clara compite en el mercado nacional con los helados producidos por la empresa Nestlé. La fábrica Periquín tiene las opciones de subir sus precios, dejarlos como están o disminuirlos. Nestlé tiene las mismas opciones. Las cuentas brutas en miles de pesos de la fábrica Periquín se muestran en la tabla 4.5. Determine qué estrategia debe elegir Periquín y cuál Nestlé para mantenerse en el mercado. Tabla 4.5. Datos del ejercicio resuelto 3 Aumenten Igual Disminuyan Aumenten Igual Disminuyan Solución del problema: Una vez que se accede a la opción Decision Analysis del software WinQSB se da clic en la opción problema nuevo (New Problem) o en el botón correspondiente en la barra de herramientas. Como resultado de esta acción se obtiene la ventana que se muestra en la figura 4.4. En la ventana se elige la opción que aparece marcada: Two player, Zero sum Game (que es la que contempla los problemas de teoría de juegos), se pone el título del problema y se establece el número de estrategias del jugador uno y dos; luego se da clic en OK y se obtiene la ventana que se muestra en la figura

149 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN Figura 4.4. Ventana de entrada de datos generales de un problema de teoría de la decisión: teoría de juegos con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. Figura 4.5. Ventana de entrada de datos de un problema de teoría de la decisión: teoría de juegos con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. En esta ventana es donde se introducen los datos del problema, que en este caso serían las estrategias que tiene la fábrica Periquín de ganarle a la empresa Nestlé. Utilizando la opción Edit Player Strategy Name y Player Strategy Name se puede cambiar el nombre de las estrategias tanto de la fábrica Periquín como de la empresa Nestlé, como se muestra en la figura 4.6 y 4.7. Al concluir la entrada de datos, para obtener la solución del problema, dar clic en el botón correspondiente de la barra de herramientas o la opción Solve the Problem del menú Solve and Analyze, se da clic en Solve y se obtiene la ventana de resultados que se muestra en la figura

150 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN Tabla 4.4. Diferencias entre los métodos multicriterios y los métodos monocriterios Aspecto Monocriterio Multicriterio Cantidad de criterios de único al menos decisión Preferencias del decisor se tiene en cuenta en la se considera en la función objetivo solución del problema Paradigma tradicional multicriterio Problemas a los que se aplica Deseos del decisor a través de Calidad de la solución obtenida tecnológicos un criterio económicos y tecnológicos criterios en conflicto solución óptima mejor solución compromiso entre los criterios utilizados Tipo de datos que utiliza cuantitativos cuantitativos y Cercanía a las preferencias del decisor escasa cualitativos grande Libertad de juicio del decisor Posibilidad de análisis interactivo Forma en que se muestran los diferentes criterios Objetividad desde el punto de vista humano ocultada escasa enmascarados en la función objetivo y las restricciones escasa proporcionada grande de manera explícita grande Proximidad de la escasa grande modelización del proceso de toma de decisiones a la realidad Elementos componentes alternativas y criterio alternativas, criterios y pesos Debilidad fundamental Fortaleza fundamental se desvía considerablemente de los problemas reales de toma de decisiones mayor precisión en los problemas reales de toma de decisión 36

151 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN Figura 4.6. Estrategias de la fábrica Periquín. Figura 4.7. Estrategias de la empresa Nestlé. La tabla de los resultados indica que la mejor estrategia para Periquín es la uno, o sea aumentar los precios, con una probabilidad de un 67 % y la mejor estrategia para Nestlé es la dos que es la de mantener igual los precios con una probabilidad de un 00 %. 37

152 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN El último renglón de esta tabla de resultados indica el pago esperado (Z) para Periquín, en este caso $40. Figura 4.8. Ventana de resultados de un problema de programación dinámica: camino óptimo con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows Decisiones bajo riesgo: árboles de decisión Para solucionar un problema de árboles de decisión a través del WinQSB, se va a tomar como base el ejemplo siguiente. Ejemplo 4.6 Se lanzan tres monedas al mismo tiempo. El jugador gana si las tres monedas caen cara, pierde en caso de que se de un suceso contrario. La probabilidad de que salga cara o escudo es de El jugador invierte por jugada $00.00 y si gana recibe $ Es conveniente participar en el juego? Solución del problema: Una vez que se accede a la opción Decision Analysis del software WinQSB se da clic en la opción problema nuevo (New Problem) o en el botón correspondiente en la barra de herramientas. Como resultado de esta acción se obtiene la ventana que se muestra en la figura

153 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN Figura 4.9. Ventana de entrada de datos generales de un problema de teoría de la decisión: árboles de decisión con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. En esta ventana se elige la opción que aparece marcada: Decision Tree Analysis (que es la que contempla los problemas árboles de decisión), se pone el título del problema y se establece el número de nodos o eventos; luego se da clic en OK y se obtiene la figura 4.0. Figura 4.0. Ventana de entrada de datos de un problema de teoría de la decisión: árboles de decisión con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. 39

154 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN En esta ventana es donde se introducen los datos del problema. La primera columna indica el consecutivo de los eventos. La segunda columna corresponde al nombre del nodo. Para indicar el tipo de nodo solamente se marcó con la letra C para un nodo tipo oportunidad. Para mostrar la secuencia en la columna nodo siguiente inmediato (Immediate Following Node), los nodos terminales se indican claramente por no tener sucesores. Las ganancias y pérdidas ocurren con el resultado de la última moneda (nodos terminales). Para el nodo CCC (cuando las tres caras caen) corresponde a un ingreso de $ (el jugador gana). Los demás nodos terminales producen una pérdida de $ La probabilidad de cada evento es de 0.50 indicado en la última columna. Para obtener un modelo gráfico del árbol dar clic en la opción Draw Decision Tree del menú Solve and Analyze, obteniendo como resultado la figura 4.. Figura 4.. Árbol de decisión con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. Para obtener los resultados del problema dar clic en el botón correspondiente de la barra de herramientas o la opción Solve the Problem del menú Solve and Analyze, y se obtiene la ventana de resultados que se muestra en la figura 4.. El ingreso esperado (Expected value) se muestra al final, equivalente a un valor de $ El cálculo se realiza así: EX ( ) 5*(0.5) 00*(0.5)*7 $

155 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN Figura 4.. Ventana de resultados de un problema de programación dinámica: árboles de decisión con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. La respuesta al problema es que según la esperanza positiva, es conveniente participar en el juego ya que la ganancia esperada supera a la inversión en el tiempo Ejercicios resueltos. En la empresa de Productos Lácteos Río Zaza de Sancti Spíritus, se produce, distribuye y comercializa de forma mayorista productos derivados de la leche y sus análogos en moneda nacional y divisa. Actualmente la dirección del centro se enfrenta ante la disyuntiva de decidir entre dos variantes de una nueva línea de producción de queso crema, las cuales están relacionadas a tres posibles sucesos futuros. La primera alternativa de producción (A) requiere la inversión de 00 MP, valor que puede llevar en el primer suceso posible (E ) a una ganancia de 00 MP; sin embargo una verificación del segundo o tercer suceso (E ó E 3 ) demuestra la pérdida del dinero inicialmente invertido. La segunda alternativa de producción (B) implica la inversión de 40 MP, que puede traducirse en una ganancia de 70 MP en el caso de los sucesos E y E, de lo contrario este dinero invertido puede perderse en el tercer suceso (E 3 ). Se estima 4

156 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN que el grado de probabilidad de ocurrencia de los sucesos E, E y E 3 es de 0.5, 0. y 0.3 respectivamente. La situación descrita en el problema se muestra en la tabla 4.6. Tabla 4.6. Datos del ejercicio resuelto A i Solución: E j E 0.5 E 0. E A B C Para dar solución al problema planteado se utiliza la teoría de la decisión bajo riesgo, en la que se manejan 5 criterios de decisión para elegir la mejor alternativa:. Optimización del valor esperado. Utilizando la fórmula (4.5): EA ( ) 00*(0.5) 00*(0.) 00*(0.3) 50MP EB ( ) 70*(0.5) 70*(0.) 40*(0.3) 37 MP EC ( ) 0 Según el criterio, se selecciona A ya que es el de mayor valor esperado.. Lamentaciones mínimas esperadas Utilizando la fórmula (4.8), se obtiene la matriz de lamentaciones como se muestra en la tabla 4.7. Tabla 4.7. Matriz de lamentaciones Ai Ej A B C Utilizando la fórmula (4.7): E ( A) 0*(0.5) 70*(0.) 00*(0.3) 64 MP E ( B) 30*(0.5) 0*(0.) 40*(0.3) 77 MP 4

157 E ( C ) 00*(0.5) 70*(0.) 0*(0.3) 4 MP CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN Según el criterio, se selecciona A porque es el de menor lamentación mínima esperada. 3. Minimización de la varianza Utilizando la fórmula (4.9): VAR A VAR A ( ) (00 50) *0.5 ( 00 50) *0. ( 00 50) * ( ) (70 37) *0.5 (70 37) *0. ( 40 37) * VAR( C ) 0 MP Según el criterio 3, se selecciona C porque es el de menor varianza. 4. Principio de Farrar Utilizando la fórmula (4.0): k = A MP B MP C 0 De acuerdo a este criterio, se selecciona B. 5. Principio de la semivarianza Utilizando la fórmula (4.): K= SVAR( A ) ( 00 50) *0. ( 00 50) * MP SVAR( B ) ( 40 37) * MP MP SVAR( C ) 0 Utilizando la fórmula (4.3): A MP B MP C 0 Según el criterio de la semivarianza se selecciona la alternativa B. 6. Principio de Aspiración Se toma como nivel de satisfacción 70 MP o más. 43

158 Frecuencia Relativa A /3 = 0.33 B /3 = 0.66 C 0/3 = 0 Probabilidad Acumulada A 0.5 B = 0.7 C = 0 En los dos casos se selecciono B. 7. Criterio del futuro probado CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN El estado de la naturaleza más probable es el E. Por lo que en este caso la mejor alternativa sería la inversión de MP. En la tabla 4.8 se muestra un resumen de los diferentes criterios. Tabla 4.8. Resumen de los diferentes criterios Criterios A B C La mejor alternativa para realizar la nueva línea de producción de queso crema en la Empresa de Productos Lácteos, es la que requiere de una inversión inicial de 40 MP.. Un productor de pequeñas herramientas está enfrentando competencia, por lo cual necesita modificar su producto existente o abandonarlo y ofrecer un nuevo producto. Sin importar cual curso de acción siga, tendrá la oportunidad de disminuir o aumentar sus precios si experimenta una demanda inicial baja. Los valores de las consecuencias y probabilidades asociadas con los cursos de acción alternativos se muestran en la figura 4.8. Las cantidades monetarias están en valor presente. Analice el árbol de decisión y determine cuál curso de acción se debe escoger para maximizar el valor monetario esperado. 44

159 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN Solución: Se analiza el árbol de decisión de derecha a izquierda, y se calcula el valor esperado de todos los posibles cursos de acción, seleccionando la rama con el mayor valor esperado. Se comienza con la rama superior (producto modificado). Utilizando la fórmula (4.6): En el evento Rama bajar precio: EX ( ) (0.)*0000 (0.8)*50000 $4000 Rama aumentar precio: EX ( ) (0.9)*40000 (0.)*00000 $56000 Por tanto, se escoge bajar el precio y se usa $4000 como el valor de esta rama en la decisión. En el evento Utilizando la fórmula (4.6): Si la demanda (baja, alta): EX ( ) (0.3)*4000 (0.7)* $3700 Por tanto, se usa $ como valor para esta rama en la decisión. De manera similar se realiza el análisis para la rama inferior (nuevo producto). En el evento Utilizando la fórmula (4.6): Rama bajar precio: EX ( ) (0.)*30000 (0.8)*00000 $86000 Rama aumentar precio: EX ( ) (.0)*50000 (0)* $50000 Por tanto, se escoge la rama bajar el precio y se usa $86000 como el valor de esta rama en la decisión. En el evento Si la demanda (baja, alta): EX ( ) (0.5)*86000 (0.5)* $

160 Por tanto el valor esperado en la decisión es $ CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN Para maximizar el valor monetario esperado el plan óptimo de acción es realizar un nuevo producto y bajar el precio. 3. La empresa Plastimec va a crear una fábrica para la producción de un nuevo material, que sustituye con ventajas de peso y de resistencia a la corrosión, a varios metales empleados en producciones mecánicas. Las alternativas de decisiones existentes son: A: construir una fábrica intensiva en mano de obra. B: construir una fábrica intensiva en equipos de producción y con escasa necesidad de mano de obra. C: construir una fábrica medianamente intensiva en mano de obra y en equipos de producción. El criterio de decisión es minimizar los costos de producción y éstos dependen de la evolución de los costos de la mano de obra y de mantenimientos y reparación (M+R) de los delicados equipos de producción que son necesarios si no se utiliza intensivamente el factor trabajo. Existen, por consiguiente, cuatro situaciones ó estados de la naturaleza posibles: I: costos de mano de obra y M+R bajos. II: costos de mano de obra bajos y costos de M+R elevados. III: costos de mano de obra elevados y costos de M+R bajos. IV: costos de mano de obra y M+R elevados. Tras los diversos estudios realizados, se estima que los costos globales del proyecto en cuestión, según la alternativa elegida se muestran en la tabla 4.9. La empresa desea conocer las estrategias a seguir para la construcción de la fábrica. 46

161 D E C IS IÓ N P ro b a b ilid a d d e E vento (D e m a n d a In icia l) D E C IS IÓ N P ro b a b ilid a d d e E vento (D e m a n d a F in a l) P A G O S $ B a ja r P re cio B a ja (0. ) D e m a n d a b a ja (0.3 ) A lta (0.8 ) B a ja (0.9 ) $ $ P ro d u cto m o d ificado D e m a n d a a lta (0.7 ) A u m e n ta r P re cio B a ja r P re cio A lta (0. ) B a ja (0. ) $ $ $ D e m a n d a b a ja (0.5) A lta (0.8 ) B a ja (.0 ) $ $ N u e vo P ro d u cto D e m a n d a b a ja (0.5 ) A u m e n ta r P re cio A lta (0.0 ) $ $ F ig u ra 4.3. Á rb o l d e d ecisió n d el ejercicio resu elto 4. 08

162 Tabla 4.9. Costos según cada alternativa Estados de la naturaleza Estrategia I II III IV A B C Solución: Para resolver el problema planteado anteriormente se utiliza la teoría de la decisión bajo incertidumbre, en la que se manejan 5 criterios de decisión para elegir la mejor alternativa:. Criterio de WALD Como en el problema se habla de costos, utilizando la fórmula (4.8), se busca el máximo por fila de cada alternativa y luego se selecciona el menor de ellos, como se muestra en la tabla 4.0. Tabla 4.0. Resultados para el criterio de Wald A i E j I II III IV Máx A B C La mejor alternativa es A, luego B y por último C.. Criterio optimista Utilizando la fórmula (4.0), se busca el mínimo por fila de cada alternativa y luego se selecciona el menor de ellos, como se muestra en la tabla Criterio de Hurwics Utilizando la fórmula (4.) y tomando α = 0.5: A B C 0.5*00 ( 0.5)* *90 ( 0.5)* *95 ( 0.5)*

163 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN La mejor alternativa es A, luego B y por último C. Tabla 4.. Resultados para el criterio optimista A i E j I II III IV Mín A B C La mejor alternativa es B, luego C y por último A. 4. Criterio de Laplace Utilizando la fórmula (4.4), se halla el promedio de los valores de cada fila (valor esperado) y luego se selecciona el menor de ellos, como se muestra en la tabla 4.. Tabla 4.. Resultados para el criterio de Laplace E j I II III IV E(A i ) A i A B C La mejor alternativa es A, luego B y por último C. 5. Criterio de Savage Utilizando la fórmula (4.5) se determina la matriz de las lamentaciones, restándole al menor número por columnas todos los demás, ya que el problema es de costo. Utilizando la fórmula (4.6) se busca el menor número por alternativa de la matriz de lamentaciones y de estos se escoge el mayor, como se muestra en la tabla 4.3. La mejor alternativa es C luego A y B igualmente. En la tabla 4.4 se muestran los resultados de cada criterio. 49

164 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN Tabla 4.3. Matriz de las lamentaciones y resultados para el criterio de Savage E j I II III IV Mín A i A B C Tabla 4.4. Resultados de cada criterio para el ejercicio resuelto Criterios A B C Wald 3 Optimista 3 Hurwics 3 Laplace 3 Savage Resuelva de forma manual el ejemplo 4.5 solucionado anteriormente empleando el software WinQSB. Los datos del problema se muestran en la tabla 4.5. Tabla 4.5. Datos del ejercicio resuelto 3 Aumenten Igual Disminuyan Aumenten Igual Disminuyan Solución: Utilizando la fórmula (4.4), se determina el valor de α, seleccionando el menor valor por fila y de ellos se escoge el mayor, siendo α = 30. Utilizando la fórmula (4.5), se determina el valor de β, seleccionando el mayor valor por columna y de ellos se escoge el menor, siendo β = 40. El resultado del análisis explicado anteriormente se muestra en la tabla

165 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN Tabla 4.6. Determinación de α y β Aumenten Igual Disminuyan Mín Aumenten Igual Disminuyan Máx Como α β (30 40), la estrategia es mixta, por tanto no se tiene la solución del problema, hay que utilizar el método simplex para solucionar un problema de programación lineal. Las ecuaciones que se forman utilizando las fórmulas (4.9, 4.30, 4.3, 4.3, 4.33 y 4.34) para determinar qué estrategia debe elegir Periquín para mantenerse en el mercado son: MáxZ V 30X 50X 60X 3 V 0 40X 40X 40X 3 V 0 50X 30X 0X 3 V 0 X X X 3 X, X, X 3 0 V: NRS Resultados: X 0.67 X 0 X V 40 La fábrica Periquín para mantenerse en el mercado debe aumentar sus precios. 5

166 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN Las ecuaciones que se forman al aplicar el dual utilizando las fórmulas (4.35, 4.36, 4.37, 4.38, 4.39 y 4.40) para determinar qué estrategia debe elegir Nestlé para mantenerse en el mercado son: MáxZ W 30y 40y 50y3 W 0 50y 40y 30y3 W 0 60y 40y 0y3 W 0 y y y 3 y, y, y 3 0 W: NRS Resultados: y 0.50 y 0 y W 40 Resultados: La empresa Nestlé debe aumentar o disminuir sus precios, con igual probabilidad, para mantenerse en el mercado Ejercicios propuestos. En una empresa de cemento se está obligado a tomar una decisión referido a qué tipo de cemento (blanco o gris) se debe centrar la producción para el próximo año. Las probabilidades de que se produzca bajo las consecuencias de que aumenten, disminuyan o permanezcan igual las ganancias son: 0.3, 0. y 0.4 respectivamente. En la tabla 4.7 se muestran los ingresos en MP. 5

167 Tabla 4.7. Ingresos para el cemento gris y blanco CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN Cemento gris Cemento blanco 8 6. La dirección del Taller de Confecciones Textiles VICLAR de Santa Clara recibió para el mes de enero tres pedidos de diferentes artículos: pantalón de hombre (A ), sábana (A ) y canastilla (A 3 ). El pedido de pantalones es de 60, el pedido de sábanas es de 50 y el de canastilla es de 40. Por falta de capacidad productiva el taller podrá realizar un solo pedido en el mes de enero, entonces se encuentra ante la disyuntiva de qué pedido escoger. De acuerdo al esfuerzo de las costureras los pedidos en el taller pueden ser entregados tres, dos y un día antes de la fecha acordada con el cliente. Mientras antes se entregue el pedido mayor serán los ingresos a recibir. Se sabe que un pedido se termina tres días antes en el % de las veces (E ), se termina dos días antes en el 0% de las veces (E ) y se termina un día antes en el 30% de las veces (E 3 ). El 40% de las veces el pedido es terminado en la fecha acordada (E 4 ) y el 8% de las veces es acabado después de esta (E 5 ). En la tabla 4.8 se reflejan los ingresos en miles de pesos que se obtendrán por cada pedido en dependencia de cuando se entreguen. Tabla 4.8. Ingresos por cada pedido A i E j E E E 3 E 4 E 5 A A A Se desea instalar una base de taxis para las nuevas instalaciones hoteleras construidas en Cayo Santa María, es necesario estudiar la cantidad de taxis que se debe tener, de forma que se obtenga una mayor ganancia. Para dicha instalación se realiza el cálculo de los gastos de adquisición de los taxis, así como el ingreso esperado en dependencia de la cantidad de taxis que se alquilan. A i : cantidad de taxis (0,5, 0, 5). E j : cantidad de taxis alquilados (0, 5, 0, 5, 0, 5). Los valores de la tabla 4.9 expresan la ganancia para cada alternativa en miles de pesos. 53

168 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN Tabla 4.9. Ganancia para cada alternativa A i E j Una empresa de servicios computarizados especializada en servicios de información, desea seleccionar un sistema de computadora que utilizará en una nueva dependencia que abrirá próximamente. Aunque la empresa ya ha decidido la marca de computadoras que utilizará, está tratando de determinar el tamaño del sistema de computadoras que para sus condiciones resulta más económica comprar. A partir del análisis realizado en la empresa, se consideró que existen tres alternativas de decisión, pudiendo ocurrir dos estados de la naturaleza, los cuales son: Decisiones alternativas: D - Comprar un sistema de computadoras grande. D - Comprar un sistema de computadoras mediano. D 3 -Comprar un sistema de computadoras pequeño. Estados de la naturaleza: E Alta aceptación de los servicios de la PST E Baja aceptación de los servicios de la PST Teniendo en cuenta lo anterior, la empresa ha estimado la posible ganancia en MP, a obtener para cada alternativa, la cual aparece en la tabla 4.30: Tabla Ganancia para cada alternativa A i E j E E D 00-0 D 50 0 D

169 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN La empresa desea determinar la decisión que debe tomar para lograr la máxima ganancia. 5. Para la próxima estación de cultivo la granja estatal del Yabú tiene para vender en el mercado (maíz, boniato, papa y yuca). Pero tiene como competidores a los pequeños agricultores que pueden vender también las mismas viandas. La tabla 4.3. muestra las ganancias (en cientos de pesos) para cada alternativa. Determine cuál es la mejor alternativa para la granja estatal del Yabú. Tabla 4.3. Ganancias para cada alternativa A i E j Maíz Boniato Papa Yuca Maíz Boniato Papa Yuca Ante cualquier situación de guerra se dispone de tres clases de armamentos: A, A y A 3 ; el enemigo cuenta con tres tipos de aviones: B, B y B 3. El objetivo que se persigue es hacer blanco en uno de los aviones del enemigo. Si se emplea el armamento A se hará blanco en los aviones de las clases B, B y B 3 con los respectivas probabilidades 0.9, 0.4, y 0.; con el armamento A, las probabilidades serán de 0.3, 0.6 y 0.8; con el armamento A 3 serán 0.5, 0.7 y 0.. Se requiere definir la situación en los términos de la teoría de juegos. 7. Un mayorista está estudiando sus necesidades de bodega para los próximos ocho años. Tiene hasta el momento tres alternativas bajo estudio: Construir una nueva bodega a un costo de 700 miles de pesos. Ampliar las existentes incurriendo en un costo de 400 miles de pesos. Posponer la decisión de ampliar, lo cual tiene un costo de 600 miles de pesos. Si la decisión se pospone esperará cuatro años y entonces decidirá ampliar o dejarlas como están. Se espera que la demanda sea alta para los próximos 8 años, esto se denotará como (A, A ) o sea, alta para el primer período de 4 años y nuevamente alta en el segundo período también de 4 años; alta para 4 años y baja para los otros 4 años 55

170 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN (A, B ); baja los primeros 4 años y alta los últimos 4 años (B, A); o baja durante los 8 años (B, B ). Dependiendo de estos niveles se esperan los ingresos que se muestran en la tabla 4.3 de las dos alternativas que requieren inversión al momento (MP al año): Tabla 4.3. Ingresos de las dos alternativas que requieren inversión al momento (A,A ) (A,B ) (B,A ) (B,B ) Bodega nueva Aceptar ahora Los ingresos para una demanda alta y baja durante los primeros 4 años si no se amplía serán de 50 y 60 MP al año respectivamente. Para los 4 años restantes se muestran en la tabla Tabla Ingresos para una demanda alta y baja para los 4 años restantes Decisión A B Ampliar después de 4 años No ampliar después de 4 años 5 76 Las probabilidades de que la demanda tenga un determinado nivel a lo largo del período de 8 años se muestran en la tabla Tabla Probabilidades de la demanda (A,A ) (A,B ) (B,A ) (B,B ) Probabilidad Determine la política decisoria a seguir para maximizar los ingresos si la tasa de interés es de un 0% anual compuesta anualmente Preguntas de autoevaluación 6. En qué consiste la teoría de la decisión? 7. Cuáles son las características, fases y elementos fundamentales de un problema de decisión? 56

171 8. En qué consiste la toma de decisiones bajo certeza? CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN 9. Defina las decisiones bajo riesgo y diga cuáles son los criterios que se utilizan para resolver un problema de este tipo? 0. En qué consisten las decisiones bajo incertidumbre y cuáles son los criterios que se utilizan?. En qué consiste la teoría de juegos y cuáles son las estrategias de solución para problemas de este tipo?. Ponga ejemplos de la vida práctica en que se puedan aplicar cada una de las clasificaciones de la toma de decisiones tratadas en este capítulo Bibliografía consultada. Andrés, M. R. (008). Teoría de la decisión, disponible en: [Consultado el 3 de marzo de 0].. Barba, Sergio Romero Casillas y Pomerol, Jean Charles (997). Decisiones Multicriterios. Fundamentos teóricos y aplicación práctica. Servicio de publicaciones de la Universidad de Alcalá. Madrid. 3. Gallagher, Ch. A y Watson, H. J. (005). Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones en Administración. Tomo I, Capítulo Construcción de modelos cuantitativos pp. 5 7, Capítulo 4 Matriz de pago y árboles de decisión pp , Capítulo 5 Cuando hay un oponente: Teoría de juegos pp. 89, La Habana, Editorial Félix Varela. 4. Hillier, F. S. y Lieberman, G.J. (007). Introducción a la Investigación de Operaciones. Tomo II, Capítulo 0 Análisis de decisión, pp , Quinta Edición, La Habana, Editorial Félix Varela. 5. Marrero Delgado, F. (009 [a]). Conferencia 7 Teoría de la decisión. Teoría de juegos, disponible en [Consultado el 5 de febrero de 0]. 6. Marrero Delgado, F. (009 [b]). Conferencia 8 Teoría de la decisión. Decisiones bajo riesgo e incertidumbre, disponible en [Consultado el 5 de febrero de 0]. 57

172 CAPÍTULO lv: TEORÍA DE LA DECISIÓN 7. Marrero Delgado, F.; Asencio, J.; Cárdenas, Diana. M. y López, l. (00). El proceso de toma de decisiones y el paradigma decisional multicriterio. Universidad Nacional de Colombia, Facultad Ingeniería y arquitectura, Sede Manizales. 8. Marrero Delgado, F. (00). Seminario Teoría de la decisión. Universidad Nacional de Colombia, Facultad Ingeniería y arquitectura, Sede Manizales. 9. Marrero Delgado, F., Asencio García, J., Cespón Castro, R., Abreu Ledón, R., Hernández Pascual, K. y Borroto Pentón, Y. (004). Toma de decisiones con enfoque multicriterio y su incidencia en la logística empresarial de la cadena de corte, alza y transporte de la caña de azúcar. Editorial Samuel Feijoó. Santa Clara. ISBN Monografía. 0. MITECNOLOGICO (0). Teoría Decisión Introducción, disponible en: [Consultado el 30 de marzo de 0].. Quesada, V. M. y Vergara, J. C. (003) Análisis cuantitativo con WinQSB. Programa de Administración Industrial, Universidad de Cartagena, Capítulo 8 Análisis de Decisiones, pp Simon H.A. (983). Reason in Human Affairs, Basil Blackwell, Orford. 3. TUOBRA (0).Teoría de la toma de decisiones, disponible en: [Consultado el 6 de febrero de 0]. 4. Thales (0). Proceso de decisión. Publicación de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales. Madrid, disponible en: [Consultado el 6 de febrero de 0]. 5. White, D, J. 97. Teoría de la Decisión. Editorial Alianza, S.A, Madrid. 58

173

174 CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS 5.. Introducción En este capítulo se aborda el tema de gestión de proyectos, en el cual se tratarán los conceptos fundamentales, así como las técnicas de administración de proyectos (PERT y CPM). Los objetivos que se persiguen con este capítulo son:. Conocer los conceptos básicos en los que se basa la gestión de proyectos.. Identificar los elementos que caracterizan a los métodos PERT y CPM. 3. Solucionar manualmente y a través de ordenadores personales, problemas de este tipo. Hacer énfasis en la interpretación analítica de estas soluciones a la luz de las condiciones particulares de los problemas que se presentan. Como prerrequisitos para este tema se exigen: El estudiante debe tener conocimientos de matemática básica, probabilidades, estadística e informática. 5.. Fundamentación teórica de la gestión de proyectos Los proyectos en gran escala han existido desde tiempos antiguos; este hecho lo atestigua la construcción de las pirámides de Egipto y los acueductos de Roma. Pero sólo desde la segunda mitad del siglo XX se han analizado por parte de los investigadores operacionales los problemas gerenciales asociados con dichos proyectos. Un proyecto es un conjunto de actividades relacionadas entre sí, que están dirigidas hacia un resultado común y cuyo desempeño requiere un período significativo. La administración de proyectos es la planeación, dirección y control de recursos (personas, equipos, materiales) para asegurar que los proyectos se hagan dentro del presupuesto, recursos disponibles e itinerario planificado y para mejorar la efectividad en la ejecución de un proyecto empresarial. La administración de proyectos ha evolucionado con el desarrollo de dos técnicas analíticas para la planeación, programación y control de proyectos. Tales son el Método de la ruta crítica (CPM, del inglés Critical Path Method) y la Técnica de Evaluación y Revisión de Proyectos (PERT, del inglés Program Evaluation and Review Technique). 59

175 CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS El método CPM se desarrolló para resolver el problema de los trueques entre el tiempo y los recursos. El método supone que las duraciones y los costos de las actividades se pueden predecir bastante bien para poder usar estimaciones deterministas. Sin embargo, el CPM requiere dos estimaciones de tiempo y costo para cada una de las actividades, en lugar de una sola. Toma en cuenta la posibilidad de que el esfuerzo extra (costo) puede reducir el tiempo de terminación de una actividad. El método PERT se desarrolló con el fin de poder incluir la incertidumbre en las estimaciones de la duración. Al usar PERT se estiman la duración máxima, la mínima y la más probable para cada actividad del proyecto. La principal diferencia entre PERT y CPM es la manera en que se realizan los estimados de tiempo. El PERT supone que el tiempo para realizar cada una de las actividades, es una variable aleatoria descrita por una distribución de probabilidad. El CPM por otra parte, infiere que los tiempos de las actividades se conocen en forma determinísticas y se pueden variar cambiando el nivel de recursos utilizados. La técnica PERT y CPM han demostrado ser extremadamente valiosas para ayudar a los administradores en la responsabilidad de proyectos. En lo que se refiere a las cuestiones de planificación previas al inicio del proyecto, el método PERT/CPM permite al administrador calcular el tiempo total esperado para concluir el proyecto. El método destaca las actividades del proyecto que son cuellos de botella (recurso de capacidad limitada), para que el gerente les asigne más recursos o las vigile en el transcurso del proyecto. En lo que se refiere al control una vez que inició el proyecto, el método ofrece un medio para supervisar el avance y detectar las demoras en actividades que ocasionarán demoras en la fecha de culminación del proyecto Los conceptos básicos similares utilizados por los métodos PERT/CPM son los siguientes: Proyecto: conjunto de actividades o tareas relacionadas entre sí que poseen un inicio y un fin bien definido. Grafo: forma de representar un proyecto. Es una red con orientación. Actividad real (a ij ): son las actividades a realizar para cumplir el proyecto, las cuales requieren para ello de determinados recursos y se realizan en cierto tiempo (d ij ). Se pueden representar mediante flechas o nodos. 60

176 CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS Actividad ficticia: actividades con duración cero que no consumen recursos. Solo se emplean cuando las actividades se representan mediante flechas y éstas se representan con líneas discontinuas, su propósito es mantener la lógica del grafo. Nodo: representa el principio y el fin de cada actividad. Pueden representar actividades o nexos entre actividades, en dependencia de lo que representen. Iniciación más temprana (IT o E i ): momento más próximo en que puede comenzar una actividad o tarea. Terminación más temprana (TT o E j ): momento más próximo en que puede terminar una actividad o tarea. Iniciación más tardía (Ita o L i ): momento más alejado en que puede comenzar una tarea, sin que afecte la duración total del proyecto. Terminación más tardía (TTa o Lj): momento más alejado en que puede terminar una tarea sin que afecte la duración total del proyecto. Margen total (MT aij ): holgura de tiempo, en la cual se puede retrasar una actividad, sin que se atrase el proyecto. Actividad crítica: actividad con margen total cero, se representan con dos rayitas en la actividad. Ruta crítica (RC): indican la secuencia de actividades críticas que van desde el nodo inicial hasta el nodo final. A los efectos de este texto las actividades reales de un proyecto se representarán mediante flechas, además se utilizarán los términos: E i, E j, L i y L j. Los componentes de una red de actividades se muestran en la figura 5.. Donde: E j = mayor valor (E i + d ij ) (5.) Para determinar las iniciaciones más tardías se utiliza el método retrospectivo. L i = menor valor (L j d ij ) (5.) MT aij = L j E i d ij (5.3) L i E i Ei a ij d ij j L j E j Figura 5.. Componentes de una red de actividades. 6

177 Procedimiento para el cálculo de la ruta crítica CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS. Determinación de las actividades del proyecto.. Fijación de las relaciones de precedencia entre las actividades. 3. Determinación de la duración de cada actividad. 4. Construir la red de actividades. 5. Determinación de los inicios y terminaciones más tempranos para cada tarea. 6. Determinación de los inicios y terminaciones más tardías para cada tarea. 7. Determinación del margen total de cada actividad. 8. Determinación de las actividades críticas y de la (s) ruta (s) crítica (s). Fórmulas empleadas en el PERT: te aij t 4 o t m t p (5.4) 6 E T te (5.5) RC aij Para el cálculo de E(T) se consideran en la suma el tiempo esperado de duración de las actividades de la ruta crítica. aij t p t o (5.6) 6 Donde: T (5.7) RC Timpuesto te Tnormal Z (5.8) te t e : tiempo esperado de duración de las actividades. t o : tiempo optimista. t p : tiempo pesimista. t m : tiempo más probable. E (T): valor esperado del proyecto. σ: desviación estándar. Z: percentil de la distribución normal. 6

178 CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS La gráfica de Gantt fue desarrollada por Henry L. Gantt en 98 y continúa siendo un instrumento útil en la producción y programación de proyectos. Su simplicidad y su claro desarrollo gráfico lo han establecido como un recurso usual para los problemas simples de programación. El diagrama de Gantt es una técnica no matemática simple y que muestra visualmente la relación entre las distintas actividades de un proyecto. Identifica las relaciones de precedencia, permite hacer un mejor uso de los recursos humanos, materiales y monetarios para el proyecto. Ejemplo 5. ETECSA quiere trasladar oficinas a los diferentes municipios de la provincia de Villa Clara. La junta de directores ha puesto un plazo de semanas para la mudanza que se va a realizar. El gerente del grupo análisis de operaciones está a cargo de la planeación del movimiento, cuidando de que todo acabe de acuerdo con el plan y que se cumpla con el plazo. La tabla 5. contiene la lista de las actividades propuestas y las relaciones de precedencia entre ellas. Tabla 5.. Actividades propuestas y relaciones de precedencia entre ellas Actividad A Descripción Predecesoras Duración (semanas) Elegir local - 3 B Crear plan - 5 C Requerimiento de personal B 3 D Diseñar medios A, C 4 E Construir interior D 8 F Elegir personal a mudar C G Contratar nuevos empleados F 4 H Mudar oficinas F I Hacer arreglos financieros B 5 J Entrenar personal E, G, H 3 Solución: Desde el punto de vista conceptual, la tabla es sencilla, cada actividad está colocada en un renglón separado y sus predecesoras están registradas en el mismo renglón. Las actividades predecesoras son aquellas que deben ser iniciadas o ejecutadas con 63

179 CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS anterioridad al inicio de la actividad en cuestión. Por ejemplo; la actividad requerimientos del personal (A) no se puede comenzar mientras no se efectúe la actividad crear plan (B). De la misma manera, la actividad contratar nuevos empleados (G) no puede comenzar sin que termine la actividad elegir personal a mudar (F). Para dar solución a este ejemplo se va utilizar la gráfica de Gantt que se muestra en la figura 5.. En el eje vertical se representan las actividades del proyecto y en el eje horizontal el tiempo que cada una de ellas necesita para ejecutarse completamente. Figura 5.. Diagrama de Gantt. La gráfica de Gantt indica el tiempo de inicio más temprano posible para cada actividad. La barra azul oscuro indica el inicio más temprano y la azul claro la terminación más tardía de cada actividad, el espacio entre estos dos tiempos representa la holgura, en el caso que la holgura sea cero la duración de dicha actividad se representa con dos barras: una roja y la otra rosada. 64

180 CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS En la tabla 5. se muestra el inicio más temprano (E i ), inicio más tardío (L i ), terminación más temprana (E j ), terminación más tardía (Lj) y el margen total (MT) para cada actividad, así como las actividades críticas y la duración del proyecto. Tabla 5.. Respuesta del ejemplo 5. Actividad E i L i E j Lj MT Crítica A No B Sí C D Sí Sí E Sí F G No No H I No No J Sí Duración del proyecto = 3 semanas Este simple ejemplo muestra que la gráfica de Gantt se usa sobre todo como un registro para llevar el seguimiento de la progresión en el tiempo de las subtareas de un proyecto Utilización del WinQSB para resolver problemas de PERT/CPM El WinQSB permite resolver tanto los problemas de PERT como de CPM Administración de proyectos: CPM Para resolver un problema de CPM se va a tomar como base el ejemplo siguiente. Ejemplo 5. En la tabla 5.3 se muestran las actividades, duración y precedente de cada una de las actividades de un proyecto. Determine la duración del proyecto. Solución del problema: Una vez que se accede a la opción PERT CPM del software WinQSB se da clic en la opción problema nuevo (New Problem) o en el botón correspondiente en la barra de herramientas. Como resultado de esta acción se obtiene la ventana que se muestra en la figura

181 Tabla 5.3. Actividades, precedente y duración del proyecto CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS Actividad A Precedente - Tiempo (días) 4 B - 6 C D - A, B 5 7 E F B, C B, C 5 4 G C 5 H I D, E, F, G F, G 6 8 J H, I 3 Figura 5.3. Ventana de entrada de datos generales de un problema de gestión de proyecto: CPM con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. En esta ventana en la opción Problem Title se pone el nombre del problema, se establece el número de actividades del proyecto y la unidad de tiempo que en este caso es días, también se elige la opción: deterministic CPM, Spreadsheet y además se selecciona la opción Normal Time que es la que permite especificar el tiempo normal de cada actividad; luego se da clic en OK y se obtiene la ventana que se muestra en la figura

182 CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS Figura 5.4. Ventana de entrada de datos de un problema de gestión de proyecto: CPM con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. En esta ventana es donde se introducen los datos del problema, que en este caso sería el predecesor de cada actividad y el tiempo de duración de las mismas. Al concluir la entrada de datos, para obtener la solución del problema, dar clic en el botón correspondiente de la barra de herramientas o la opción Solve Critical Path del menú Solve and Analyze y se obtiene la figura 5.5. Figura 5.5. Ventana de resultados de un problema de gestión de proyecto: CPM con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. La tabla de los resultados incluye los elementos siguientes: Activity Name: nombre de la actividad. On Critical Path: actividades críticas las cuales se marcan con Yes. Activity Time: tiempo de la actividad. Earliest Start: iniciación más temprana. 67

183 CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS Earliest Finish: terminación más temprana. Latest Start: iniciación más tardía. Latest Finish: terminación más tardía. Slack: tiempos de holgura. Las dos últimas filas de esta tabla de resultados indican el tiempo de duración total del proyecto y el número de rutas críticas. Para obtener el diagrama de redes dar clic en la opción Graphic Activity Analysis del menú Results y se obtiene el diagrama que se muestra en la figura 5.6. Figura 5.6. Diagrama de redes con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. En este diagrama las actividades ficticias no se representan Administración de proyectos: PERT Para resolver un problema de PERT se va a tomar como base el ejemplo siguiente. Ejemplo 5.3 Juan está llevando a cabo la construcción de un cuarto en su casa. En la tabla 5.4 se muestran las actividades del proyecto de construcción. Juan desea conocer: a) La duración del proyecto. 68

184 CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS b) Si el último nodo fue programado para ser terminado en 9.5 días, la probabilidad de su cumplimiento. Tabla 5.4. Actividades, relaciones de precedencia, to, tmp y tp del proyecto de construcción Actividad Descripción Predecesor to (días) tmp (días) tp (días) A B Cimientos Paredes C D Techo Electricidad A, B B E Pintura C 3 4 Solución del problema: Una vez que se accede a la opción PERT - CPM del software WinQSB se da clic en la opción problema nuevo (New Problem) o en el botón correspondiente en la barra de herramientas. Como resultado de esta acción se obtiene la ventana que se muestra en la figura 5.7. Figura 5.7. Ventana de entrada de datos generales de un problema de gestión de proyecto: PERT con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. En esta ventana en la opción Problem Title se pone el nombre del problema, se establece el número de actividades del proyecto y la unidad de tiempo que en este caso es días, también se elige la opción: Probabilistic PERT, Spreadsheet y además se 69

185 CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS selecciona la opción Normal Time que es la que permite especificar el tiempo normal de cada actividad; luego se da clic en OK y se obtiene la ventana que se muestra en la figura 5.8. Figura 5.8. Ventana de entrada de datos de un problema de gestión de proyecto: PERT con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. En esta ventana es donde se introducen los datos del problema, que en este caso sería el predecesor de cada actividad y el tiempo optimista, más probable y pesimista de cada actividad. Al concluir la entrada de datos, para obtener la solución del problema, dar clic en el botón correspondiente de la barra de herramientas o la opción Solve Critical Path del menú Solve and Analyze y se obtiene la ventana de resultados que se muestra en la figura 5.9. La tabla de los resultados incluye los elementos siguientes: Activity Name: nombre de la actividad. On Critical Path: actividades críticas las cuales se marcan con Yes. Activity Mean Time: tiempo medio de la actividad. Earliest Start: iniciación más temprana. Earliest Finish: terminación más temprana. Latest Start: iniciación más tardía. Latest Finish: terminación más tardía. Slack: tiempos de holgura Activity Time Distribution: distribución para el tiempo de la actividad. Standard Desviation: desviación estándar. Las dos últimas filas de esta tabla de resultados indican el tiempo de duración total del proyecto y el número de rutas críticas. 70

186 CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS Figura 5.9. Ventana de resultados de un problema de gestión de proyecto: PERT con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows. Para obtener el diagrama de redes dar clic en la opción Graphic Activity Analysis del menú Results y se obtiene el diagrama que se muestra en la figura 5.0. Figura 5.0. Diagrama de redes con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión.0 for Windows Ejercicio resuelto Resuelva de forma manual el ejemplo 5.3 solucionado anteriormente mediante el sotware WinQSB.. Solución: a) Para determinar la duración del proyecto es necesario determinar los tiempos de duración de cada actividad. Para ello se utiliza la fórmula (5.5), los resultados obtenidos se muestran en la tabla

187 Tabla 5.5. Resultados del te del proyecto de construcción Actividad Descripción Predecesor to (días) tmp (días) CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS tp (días) te (días) A Cimientos B Paredes C Techo A, B D Electricidad B E Pintura C Luego se procede a la construcción del diagrama de redes como se muestra en la figura 5.. Para realizar dicho diagrama fue necesario la actividad ficticia 3, ya que C depende de A y de C. Para determinar la terminación más temprana (Ej) de cada actividad se utiliza la fórmula (5.) comenzando la actividad A con cero. Para determinar la iniciación más tardía (Li) se utiliza el método retrospectivo, en el último nodo se iguala este valor al de Ej y se utiliza la fórmula (5.) para las restantes actividades. A 3 C 4 E B D Figura 5.. Diagrama de redes del proyecto de construcción de un cuarto. Para determinar el margen total de cada actividad se utiliza la fórmula (5.3), como se muestra a continuación: MT MT MT MT MT

188 CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS MT Las actividades críticas son las que tienen margen total cero, por tanto las rutas críticas del proyecto son: ) 3, 3 4, 4 5. ), 3, 3 4, 4 5. La duración del proyecto está dada por el resultado del último nodo, en este caso días. b) Utilizando la fórmula (5.6): Utilizando la fórmula (5.7): ( T ) ( T ) Utilizando la fórmula (5.8): P Z P Z.0 P Z La probabilidad de que el último nodo termine en 9.5 días es de un 5.39 % Ejercicios propuestos. La tabla 5.6 resume las actividades de un proyecto. Determine las fechas de inicio y terminación del proyecto utilizando gráficos de Gantt. 73

189 Tabla 5.6. Actividades y predecesor del proyecto CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS Actividad Predecesor inmediato Tiempo (días) A - 4 B C D E A, B B, C 7 5 F B, C 4 G H C D, E, F, G 5 6 I J F, G H, I 8 3. En la tabla 5.7 se muestran las actividades, duración y el precedente de un proyecto. Dibuje el diagrama de redes que represente el proyecto y determine la ruta crítica. Tabla 5.7. Actividades, predecesor y duración del proyecto Actividad Precedente Duración (semanas) , 5 3. Se considera el desarrollo de una versión nueva de un software. La tabla 5.8 resume las actividades para completar el proyecto y el tiempo en semanas. Tabla 5.8. Actividades, predecesor y tiempo normal del proyecto Actividad A Predecesor inmediato - Tiempo normal 4 B C A A 3 D A 8 E F B, D C, E 6 3 G F 4 Determine: a) Cuándo se espera completar el proyecto? 74

190 b) La fecha de iniciación más tardía de A. c) La fecha de terminación más próxima de C. CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS 4. Suchel fabrica una línea completa de champú. Recientemente, un competidor presentó un nuevo producto que en los últimos seis meses ha absorbido una parte significativa de un mercado que Suchel había tenido durante años. Los administradores de Suchel han decidido que deben introducir un producto competidor. El vicepresidente de planeación y desarrollo, ha identificado las actividades que se necesitan para diseñar, desarrollar y comercializar el nuevo producto y el tiempo esperado que se requiere para llevar a cabo cada una de ellas (véase la tabla 5.9). Tabla 5.9. Actividad, predecesores y tiempo esperado para el nuevo producto Código de actividad Predecesores Tiempo esperado A - 6 B C - A 3 D E B C 3 4 F D 3 G H E F 6 4 I J G, H I Descripción de las actividades: A: diseñar el producto. B: diseñar el envase. C: ordenar y recibir los materiales para el producto. D: ordenar y recibir los materiales para el envase. E: fabricar el producto. F: fabricar el envase. G: empacar el producto. H: prueba de mercado del producto. I: prueba de mercado del envase. J: entregar a los distribuidores. 75

191 CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS Suchel le pidió a su gerente asesor, revisar las actividades y entregarle un informe resumido que señale: a) El tiempo total que se requiere desde el principio del proyecto hasta que el producto nuevo se encuentre en las manos del distribuidor. b) Las fechas específicas de inicio y terminación para cada actividad. c) Las actividades críticas, es decir, las que deban terminarse a tiempo para que el proyecto se concluya en una fecha específica. 5. Un proyecto tiene las actividades con las tres estimaciones de tiempo respectivas que se muestran en la tabla 5.0. Tabla 5.0. Actividades y estimaciones de tiempo del proyecto Actividades Precedente to tm tp A Determine: B A C A D A 0 E B, C, D 4 6 a) Las fechas de inicio y terminación para cada actividad. b) La duración del proyecto. 6. Dados los datos que se muestran en la tabla 5. de un proyecto: Tabla 5. Actividades, to, tmp y tp del proyecto Actividad to (semanas) tm (semanas) tp (semanas), 3, 3, , , 5 4, c) Dibuje el diagrama de red y encuéntrese los tiempos de terminación próxima y lejana de cada actividad. d) Cuál es la ruta crítica? 76

192 CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS e) Cuál es la probabilidad de que el proyecto termine en 0 semanas? en 5 semanas? 7. Para arrancar una nueva planta se requieren las actividades que se muestran en la tabla 5. Tabla 5. Actividades, precedente y duración para la planta Actividad, Precedente Duración, días a b c d a b 4 e b 4 f g c, d e, c, d 3 a) Calcule la ruta crítica. b) Para las actividades b, c, f, calcule: - inicio más temprano. - inicio más tardío. - terminación más temprana. - terminación más tardía. - margen total. 8. Un proyecto tiene las tareas y las tres estimaciones de tiempo respectivas que se muestran en la tabla 5.3. Tabla 5.3 Actividades, precedente y duración para la planta Tarea Precedente Duración (días) To Tm Tp Te δ a b c d a a,b e a,b F g c,d c,d,e a) Calcule la ruta crítica del proyecto. b) Calcule la probabilidad de que el proyecto termine en días. 77

193 c) Calcule la probabilidad de que termine en 6 días Preguntas de autoevaluación 3. Defina el concepto de proyecto y administración de proyecto? CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS 4. En qué consiste el método PERT y CPM? 5. Cuáles son los los conceptos utilizados por los métodos PERT y CPM? 6. Cuál es la diferencia entre el método PERT y CPM? 7. Cuáles son las ventajas del método PERT y CPM? 8. Ponga ejemplos de la vida práctica en que se puedan aplicar las técnicas de la administración de proyecto estudiadas en este capítulo Bibliografía consultada. Chase Richard B., Nicholas J. Aquilano y F. Robert Jacobs. Administración de la producción y operacione para una ventaja competitiva. Octava edición. Mc. Graw Hill México Daccach J. C. (0). Proyecto, disponible en: [Consultado el de abril de 0]. 3. Gallagher, Ch. A y Watson, H. J. (005). Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones en Administración. Tomo II, Capítulo Planeación de proyectos: PERT y CPM pp , La Habana, Editorial Félix Varela. 4. Hillier, F. S. y Lieberman, G.J. (007). Introducción a la Investigación de Operaciones. Tomo II, Capítulo 9 Análisis de redes, incluyendo PERT CPM, pp , Quinta Edición, La Habana, Editorial Félix Varela. 5. López, W. (007). Gerencia de Proyectos. Módulo instruccional preparado para el Centro de Competencias de la Comunicación. Universidad de Puerto Rico en Humacao. 6. Quesada, V. M. y Vergara, J. C. (003). Análisis cuantitativo con WinQSB. Programa de Administración Industrial, Universidad de Cartagena, Capítulo 4 PERT CPM, pp Rivera, I. (005). PERT y CPM, disponible en: [Consultado el 3 de abril de 0]. 78

194 CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS 8. Rodríguez, A. (00). Planificación y Evaluación de Proyectos, disponible en: [Consultado el 5 de abril de 0]. 9. Romero, J. A. (004). Administración de proyectos, disponible en: [Consultado el 3 de abril de 0]. 0. Schroeder, R. G. (987). Administración de operaciones. Tomo I, Capítulo 3 Planeación y programación de proyectos pp , ENSPES, La Habana. Edición Fotorreproducida.. Willman, A. (00). REDES y PERT/CPM. Método del camino crítico. Universidad Naciona labierta. Caracas Venezuela, disponible en: [Consultado el de abril de 0]. 79

195

196 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN 6.. Introducción En este capítulo se aborda el tema de los métodos de clasificación, en el cual se tratarán los conceptos fundamentales del análisis de conglomerados (análisis cluster). Los objetivos que se persiguen con este capítulo son: 4. Conocer los conceptos básicos del análisis cluster y la necesidad de su aplicación en el campo de la Ingeniería Industrial. 5. Identificar los elementos que caracterizan al método de conglomerados y sus posibilidades prácticas en la esfera de la producción de bienes y servicios. 6. Solucionar manualmente y a través de ordenadores personales, problemas de este tipo. Como prerrequisitos para este tema se exigen: El estudiante debe tener conocimientos de matemática básica, estadística e informática. 6.. Fundamentación teórica de los métodos de clasificación Académicos e investigadores de mercado a menudo encuentran la mejor solución para resolver sus estudios mediante la definición de grupos homogéneos de objetos, ya sean ellos individuos, firmas, productos, o incluso comportamientos. En todos estos casos el analista trata de encontrar una estructura natural a través de las observaciones basándose en un perfil multivariado. La técnica más comúnmente usada para este propósito es el análisis de conglomerados (análisis cluster). El análisis de conglomerados no es más que un conjunto de técnicas que se utilizan para clasificar los objetos o casos en grupos relativamente homogéneos llamados conglomerados (clusters). Los objetos en cada grupo (conglomerado) tienden a ser similares entre sí (alta homogeneidad interna, dentro del cluster) y diferentes a los objetos de los otros grupos (alta heterogeneidad externa, entre clusters) con respecto a algún criterio de selección predeterminado. De este modo, si la clasificación es un éxito, los objetos dentro del cluster estarán muy cercanos unos de otros en la representación geométrica, y los clusters diferentes estarán muy apartados. Este análisis se conoce también como análisis de clasificación o taxonomía numérica. 80

197 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN El análisis de conglomerados tiene como propósito esencial, agrupar aquellos objetos que reúnan idénticas características, es decir, se convierte así en una técnica de análisis exploratorio diseñada para revelar las agrupaciones naturales dentro de una colección de datos. Este análisis no hace ninguna distinción entre variables dependientes (VD) y variables independientes (VI) sino que calcula las relaciones interdependientes de todo el conjunto de variables Conceptos básicos del análisis cluster La mayoría de los procedimientos utilizados en esta técnica multivariante son relativamente sencillos, ya que no están respaldados por el razonamiento estadístico. La mayor parte de los métodos de agrupación son heurísticos, basados en algoritmos. De este modo, el análisis de conglomerados presenta un fuerte contraste con el análisis de la varianza, la regresión, el análisis discriminante y el análisis factorial, que se basan en un razonamiento estadístico. Los principios fundamentales implicados en cualquier análisis de conglomerados son: Informe de aglomeración: ofrece información sobre los objetos o casos que se combinan en cada etapa de un proceso de agrupación jerárquica. Centroides de agrupamiento: son los valores medios (medias) de las variables para todos los casos u objetos de un grupo particular. Centros de agrupamiento: son los puntos de partida iniciales en la agrupación no jerárquica. Los grupos se construyen alrededor de estos centros o semillas. Participación en el grupo: indica el grupo al que pertenece cada objeto o caso. Dendograma: llamado también gráfica de árbol, es un dispositivo gráfico para presentar los resultados del conglomerado. Las líneas verticales representan los grupos que están unidos. La posición de la línea en la escala indica las distancias en las que se unieron los grupos. Se lee de izquierda a derecha. Distancias entre centros de grupos: indican la separación existente entre los pares individuales de los grupos. Los grupos muy separados son distintos y, por tanto, deseables. Diagrama de carámbanos o de chorrera: es una representación gráfica de los resultados del conglomerado, se llama así porque se asemeja a una hilera de carámbanos que pende del alero de una casa. Las columnas corresponden a los 8

198 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN objetos que se agrupan y los renglones corresponden al número de conglomerados. Se lee de abajo hacia arriba. Matriz de coeficientes de distancia/similitud: es una matriz de triángulo inferior o superior que contiene las distancias en dirección pareada entre los objetos o casos Procedimiento de aplicación del método de conglomerados Los pasos que comprende la realización del análisis de conglomerados se presentan a continuación:. Formulación del problema Quizás la parte más importante de la formulación del problema del análisis de conglomerados sea la selección de las variables en las que se basa la agrupación. La inclusión de una o más variables irrelevantes puede distorsionar una solución de agrupación que de otra forma podría ser útil. Básicamente, el conjunto de variables seleccionado debe describir la similitud entre los objetos en términos relevantes para el problema de investigación de mercados. Las variables deben seleccionarse con base en la investigación previa, la teoría o una consideración de las hipótesis que se prueban. En la investigación exploratoria, el investigador debe poner en práctica el criterio y la intuición.. Identificar el tipo de situación de clasificación que se presenta Situación uno: se tiene un grupo de objetos y varios atributos, estos atributos pueden verificarse o no en un objeto particular. Esta verificación se denota variables binarias, donde el uno expresaría que ese atributo se manifiesta en el objeto y el cero que no se manifiesta el atributo en el objeto. De forma general se utiliza esta situación para agrupar equipos. Situación dos: se quiere agrupar objetos a partir de varias características. Esto se presenta cuando se tiene varios objetos y varios atributos, y se verifican todos en cada objeto, pero puede cambiar su valor. Por tanto la variable que se utiliza es una variable real e incluso puede ser hasta una variable cualitativa. Generalmente se usa para agrupar piezas. 3. Determinación de la medida de similitud 8

199 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN Ya que el objetivo del conglomerado es agrupar objetos similares, se necesita alguna medida para evaluar las diferencias y similitudes entre objetos. El concepto de similaridad es fundamental en el análisis cluster. La similaridad (similitud) es una medida de correspondencia o semejanza entre los objetos que van a ser agrupados. La estrategia más común consiste en medir la equivalencia en términos de la distancia entre los pares de objetos. Los objetos con distancias reducidas entre ellos son más parecidos entre sí que aquellos que tienen distancias mayores y se agruparán, por tanto, dentro del mismo cluster. De esta manera, cualquier objeto puede compararse con cualquier otro objeto a través de la medida de similaridad. En la medición de la similitud entre los objetos de un análisis de conglomerados existen tres métodos: Medidas de correlación. Medidas de distancia. Medidas de asociación. Cada uno de estos métodos representa una particular perspectiva de la similitud, dependiendo tanto de los objetivos como del tipo de datos. Las medidas de correlación y las de distancia requieren datos métricos, mientras que las medidas de asociación requieren datos no métricos. Muchos programas informáticos han limitado la ayuda para las medidas de asociación, y el investigador se ve forzado con frecuencia a calcular primero las medidas de similaridad y después a introducir la matriz de similaridad dentro de un programa cluster. 4. Estandarización de los datos Una vez seleccionada la medida para cuantificar la similaridad entre pares de objetos, el investigador debe plantearse una última cuestión: deben estandarizarse los datos antes de calcular las similaridades? Para poder responder a esta pregunta de forma adecuada, el investigador debe tener en cuenta que la mayoría de las medidas de distancia son bastante sensibles a las diferencias de escalas o de magnitudes hechas entre las variables. En general, las variables con una gran dispersión (valores grandes de sus desviaciones típicas) tienen más impacto en el valor final de la similaridad. 83

200 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN Se considera como ejemplo que se quieren agrupar las individualidades de una serie de personas en tres variables, que son: actitud frente a un producto, edad e ingresos. Se supone que si se mide la actitud en una escala de siete puntos de gusto - disgusto, mientras que la edad se mide en años y los ingresos en pesos. Si se representan los resultados obtenidos de la pertinente encuesta en un gráfico tridimensional, la distancia entre los puntos (y sus similaridades) estarían basadas casi totalmente en las diferencias de ingresos. La explicación es bien sencilla, mientras que las posibles diferencias de actitud frente al producto se encuentran en un rango de actitudes que va de uno a siete, las producidas en los ingresos pueden tener un rango cien veces mayor. De este modo, no hubiera (gráficamente) ninguna diferencia en la dimensión asociada a la actitud frente al producto. Por este motivo, el investigador debe ser consciente del peso implícito de las variables que participan en el estudio de investigación. La forma más común de estandarización es la conversión de cada variable en puntuaciones típicas (también conocidas como puntuaciones Z). La forma de cálculo se muestra en la fórmula 6.. Este proceso convierte la puntuación de cada dato original en un valor estandarizado con una media de cero y una desviación típica de uno. En definitiva, lo que se consigue con ello es eliminar, uno por uno, los prejuicios introducidos por las diferencias en las escalas de los distintos atributos (variables) usados en el análisis. Para el caso de la primera situación vista en el paso no se aplica este paso. X X Z (6.) X n X (6.) Donde: X: observación de cada variable. X : media. σ: desviación estándar. 84

201 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN Z: valor estandarizado. 5. Determinación de la unidad de distancia. El análisis de conglomerados es un objetivo metodológico para cuantificar las características de un conjunto de observaciones. Por ello, tiene fuertes propiedades matemáticas, pero no fundamentos estadísticos. Los requisitos de normalidad, linealidad y homocedasticidad (tan relevantes en otras técnicas), tienen poca consistencia en el análisis de conglomerados. El investigador debe, sin embargo, centrar su atención en otras dos cuestiones esenciales para este tipo de análisis, como son: la representatividad de la muestra y la multicolinealidad. En muchas ocasiones se dispone de un censo de población para hacer uso del análisis cluster. Se obtiene entonces una muestra de casos y se espera que los cluster obtenidos de ella sean representativos de la estructura de la población original. El analista debe tener siempre presente que el análisis cluster será tan bueno como lo sea la representatividad de la muestra. Así, todos los esfuerzos deben centrarse en asegurar esa representatividad, para que los resultados puedan ser generalizables a la población de interés. La multicolinealidad era un resultado en otras técnicas multivariantes, ya que se hacía difícil diferenciar el verdadero impacto de las variables multicolineales. En el análisis cluster, en cambio, el efecto es diferente, ya que las variables multicolineales están ponderadas, implícitamente, de un modo más severo. Se supone, por ejemplo, que se agrupan a los encuestados en diez variables relacionadas con un determinado servicio. Al examinar la multicolinealidad, se aprecia que realmente hay dos grupos de variables claramente diferenciados. El primero está compuesto por ocho elementos (variables) y el segundo de los dos restantes. Si lo que se pretende es agrupar realmente a los encuestados en las dimensiones del servicio analizado (en este caso representado por los dos grupos de variables), no se podrá considerar a las diez variables como un todo, ya que eso significaría ponderar equitativamente cada variable. Es decir, al ponderar el análisis cluster uniformemente cada variable, la primera dimensión tendría cuatro veces más oportunidades (ocho 85

202 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN items frente a dos) de afectar a la medida de similaridad de las que tendría la segunda dimensión. Así, el acto de la multicolinealidad es un proceso de ponderación oculto al observador, pero que afecta, sin embargo, al análisis. Por esta razón, el analista debe fomentar el estudio exhaustivo de las variables utilizadas en el análisis cluster para poder hallar así la posible multicolinealidad. Si se encuentra multicolinealidad en las variables empleadas para el estudio, habrá que conseguir igual número de ellas en cada conjunto o usar una de las medidas de distancia, como la distancia de Mahalanobis o la de Roger-Tanimoto, para compensar la correlación existente descubierta. Expresiones para el cálculo de las distancias Las distancias que se usan en el análisis de conglomerados parten de las conocidas distancias Dp establecidas por Minkowsky para la Teoría de la decisión: p D ( x,y) ( ( x y ) ) p i i i Donde: D p : distancia de orden p. p: permite establecer los casos particulares de esta distancia. x, y: constituyen los objetos entre los que se desea establecer la distancia. n: cantidad de objetos a agrupar. Así se tiene: Distancia Manhattan o City - Block: p=, n i Distancia Euclidiana: p=, n D x y i n ( ( i i) ) i D x y i / p Distancia Chebychev o distancia dominante, p= D max xi yi i n (6.3) (6.4) (6.5) (6.6) Otras distancias a valorar en el análisis de conglomerados son la distancia de Rogers Tanimoto y la distancia cuadrática de Euclides. 86

203 Distancia de Rogers - Tanimoto CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN Para calcular la distancia Rogers - Tanimoto desde el punto o equipo i y el punto o equipo anterior se utiliza la fórmula 6.3. D i ic a d a d b c (6.7) Donde: a: cantidad de atributos que se verifican en los objetos i e i c. b: cantidad de atributos que se verifican en el objeto ic que no se verifica en i. c: cantidad de atributos que se verifican en el objeto i, que no se verifican en el objeto ic. d: cantidad de atributos que no se verifican en los objetos i e i c. Distancia cuadrática de Euclides Para calcular la distancia cuadrática Euclides se utiliza la fórmula (6.4). n ( ij icj ) j D i ic Z Z (6.8) 6. Construir la matriz de distancia Con las distancias determinadas en el paso cinco se conforma la matriz de distancia. 7. Formación de los cluster Existen dos formas básicas de conocer el modo de agrupación de los objetos en cuestión: Gráfico de carámbanos o de chorrera: sus columnas corresponden a los objetos que se agrupan (entrevistados, piezas, etc.) y las filas al número de grupos. Esta figura se lee de abajo hacia arriba. Inicialmente todos los casos se consideran como grupos individuales. En el primer caso, se combinan los dos objetos más cercanos. Cada paso subsecuente lleva a la formación de un nuevo grupo en una de las siguientes tres formas: () se agrupan dos casos individuales, () un caso se une a un grupo ya existente, (3) se unen dos grupos. 87

204 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN Dendograma: se lee de izquierda a derecha. Las líneas verticales representan los grupos unidos. La posición de la línea en la escala indica las distancias en las que se unen los grupos. Debido a que, en las primeras etapas, muchas distancias tienen magnitudes similares, es difícil determinar la secuencia en la que se forman algunos de los primeros conglomerados. Sin embargo, es evidente que en las últimas dos etapas, las distancias en las que se combinan los conglomerados son grandes. Esta información es útil para decidir el número de conglomerados. 8. Decisión del número de conglomerados Una vez seleccionadas las variables y calculada la matriz de similaridades, comienza el proceso de partición. Primeramente el investigador debe seleccionar el algoritmo de agrupación que se va a emplear para formar los clusters (grupos) y posteriormente tomar la decisión sobre el número de grupos que se quieren formar. Ambas decisiones tienen substanciales implicaciones no solamente en los resultados que se obtengan, sino también en la interpretación que pudiera derivarse de ellos. Hay dos tipos de procedimientos: los jerárquicos y los no jerárquicos. El conglomerado jerárquico se caracteriza por el desarrollo de una jerarquía o estructura en forma de árbol. Una característica importante de los procedimientos jerárquicos es que los resultados de la primera etapa pueden estar anidados con los resultados de la última etapa, dando lugar a una similaridad parecida a la de un árbol. Los métodos jerárquicos pueden ser por aglomeración o por división. El conglomerado por aglomeración empieza con cada objeto en un grupo separado. Los conglomerados se forman al agrupar los objetos en conjuntos cada vez más grandes. Este proceso continúa hasta que todos los objetos formen parte de un solo grupo. El conglomerado por división comienza con todos los objetos agrupados en un solo conjunto. Los conglomerados se dividen hasta que cada objeto sea un grupo independiente. Dentro de los conglomerados por aglomeración, se encuentran los métodos de conglomerados, que se utilizan con frecuencia en la investigación de mercados. Consisten en métodos de enlace, métodos de varianza o de sumas de los cuadrados del error y el método centroide. Los métodos de enlace incluyen el enlace sencillo, el completo y el promedio. El método de enlace sencillo se basa en la distancia mínima o 88

205 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN la regla del vecino más próximo. Los primeros dos objetos conglomerados son aquellos que tienen la menor distancia entre sí. La siguiente distancia más corta se identifica, ya sea que el tercer objeto se agrupe con los dos primeros o que se forme un nuevo conglomerado de dos objetos. En cada etapa, la distancia entre dos conglomerados es la distancia entre sus dos puntos más próximos. En cualquier etapa, dos conglomerados surgen por el enlace sencillo más corto entre estos. Este proceso continúa hasta que todos los objetos se encuentren en un conglomerado. El método del enlace sencillo no funciona adecuadamente cuando los conglomerados no están bien definidos. El método del enlace completo es similar al enlace sencillo, excepto que se basa en la distancia máxima o la estrategia del vecino más lejano. En este caso, la distancia entre dos conglomerados se calcula como la distancia entre sus puntos más lejanos. El método del enlace promedio funciona de manera similar, pero en este método, la distancia entre dos conglomerados se define como el promedio de las distancias entre todos los pares de objetos, donde se encuentra un miembro del par de cada uno de los conglomerados. Como puede apreciarse, el método del enlace promedio emplea la información sobre todos los pares de distancias, no sólo las mínimas o máximas. Por esta razón, generalmente se prefiere a los métodos de enlace sencillo y completo. Los métodos de varianza tratan de generar conglomerados a fin de reducir la varianza dentro de los grupos. Un método de la varianza que se utiliza con frecuencia es el procedimiento de Ward. Para cada conglomerado, se calculan las medias para todas las variables. Después, para cada objeto, se calcula la distancia euclidiana cuadrada para las medias de los grupos; estas distancias se suman a todos los objetos. En cada etapa, se combinan los dos conglomerados con el menor incremento en la suma total de los cuadrados de las distancias dentro de los conglomerados. En el método centroide, la distancia entre dos grupos es la distancia entre sus centroides (medias para todas las variables). Cada vez que se agrupan los objetos, se calcula un centroide nuevo. De los métodos jerárquicos, el método de enlace promedio y el procedimiento de Ward han demostrado un mejor desempeño que los otros. El segundo tipo de procedimientos de conglomerados, los métodos de conglomerados no jerárquicos, con frecuencia se conocen como agrupación de K Medias. Estos 89

206 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN métodos incluyen el umbral secuencial, umbral paralelo y la división para la optimización. En el método del umbral secuencial, se selecciona un centro de grupo y se agrupan todos los objetos dentro de un valor de umbral que se especifica previamente a partir del centro. Después, se selecciona un nuevo centro o semilla de grupo y el proceso se repite para los puntos sin agrupar. Una vez que un objeto se agrupa con una semilla, ya no se considera para su conglomerado con semillas subsecuentes. El método del umbral paralelo funciona de manera similar, excepto que se seleccionan simultáneamente varios centros de grupo y se agrupan los objetos del nivel del umbral dentro del centro más próximo. El método de división para la optimización difiere de los otros dos procedimientos de umbral en que los objetos pueden reasignarse posteriormente a otros grupos, a fin de optimizar un criterio general, como la distancia promedio dentro de los grupos para un número determinado de conglomerados. Un gran problema en todas las técnicas de aglomeración es cómo seleccionar el número de grupos (clusters). Desgraciadamente, no existe un proceso objetivo de selección. Para el caso del análisis cluster jerárquico, las distancias existentes entre los clusters reflejadas en las distintas etapas del proceso de aglomeración pueden servir de guía útil, el analista podría así establecer un tope para detener el proceso a su conveniencia (esta información puede obtenerse del programa de aglomeración o del dendrograma). Por ejemplo, podría hacerlo cuando la distancia entre los grupos exceda un valor específico o cuando las distancias sucesivas entre los pasos marquen un repentino salto. Sin embargo, la opción más utilizada es calcular distintas soluciones de aglomeración (dos, tres, cuatro grupos, por ejemplo) para después decidir entre las soluciones alternativas con ayuda de un criterio prefijado de antemano, del sentido común, o de fundamentos teóricos. Estas distancias reciben a menudo el nombre de medidas de variabilidad del error. Para el caso del análisis cluster no jerárquico, se puede trazar un gráfico que compare el número de grupos con la relación entre la varianza total de los grupos y la varianza entre los grupos. El punto del gráfico donde se presente un recodo o doblez marcado indicará el número apropiado de grupos. Por lo general, no merecerá la pena aumentar el número de grupos más allá de este punto. Otra posibilidad para decidir el número 90

207 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN óptimo de grupos es definir algún tipo de conceptualización intuitiva de la relación teórica de los datos. Los investigadores deben examinar la variación producida entre los tamaños de los grupos desde una perspectiva conceptual, comparando los resultados obtenidos con las expectativas creadas en los objetivos del estudio. Otro problema que puede presentarse en este tipo de análisis es la presencia de grupos unipersonales, es decir, clusters formados por un solo individuo. Son un problema porque podrían ser outliers (valores atípicos) no detectados en el proceso de depuración de la fuente de datos. Si aparece un grupo de un solo miembro, el analista debe estudiar si representa un componente estructural válido en la muestra o si, por el contrario, debiera suprimirse por no ser representativo. Si se suprime del análisis alguna observación, el investigador deberá ejecutar de nuevo el análisis cluster para las nuevas observaciones válidas y conseguir así definir nuevos grupos. 9. Interpretación de los clusters La interpretación de los grupos comprende el análisis de los centroides de grupo. Los centroides representan los valores medios de los objetos que contiene el grupo en cada una de las variables. Los centroides permiten describir cada grupo al asignarle un nombre o etiqueta. Si el programa de conglomerado no ofrece esta información, puede obtenerse por medio del análisis discriminante. El objetivo de esta etapa es, esencialmente, examinar la variación de los clusters para asignar etiquetas que describan de un modo veraz su naturaleza. Ejemplo 6. En un taller que se proyecta su construcción se prevé ubicar ocho equipos y haciendo un análisis de la misión del mismo esos equipos procesarán diez tipos de piezas. Se desea agrupar los equipos considerando el conjunto de piezas que procesarán y para el cual se dispone de la información de la tabla 6.. Solución: Para dar solución a este ejemplo se va a utilizar el procedimiento anteriormente explicado. 9

208 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN. En la formulación del problema ya las variables vienen definidas como equipos y piezas. Tabla 6.. Equipos que procesarán las piezas Equipo Tipo de pieza La situación de clasificación es la situación uno ya que los objetos y atributos se denotan con variables binarias y además es un caso para agrupar equipos. 3. La medida de similitud seleccionada es la medida de distancia. 4. La estandarización de los datos no es necesaria ya que los datos ya están estandarizados. 5. Para calcular las distancias se utilizará la distancia de Roger Tanimoto. Utilizando la fórmula (6.7) se calculan las distancias existentes entre los diferentes equipos. Para el equipo D ( ) D ( 3) D ( 4) D ( 5) D ( 6)

209 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN ) ( D ) ( D Para el equipo ) ( D ) ( D ) ( D ) ( D ) ( D ) ( D Para el equipo ) (3 D ) (3 D ) (3 D ) (3 D ) (3 D Para el equipo ) (4 D

210 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN D (4 6) D (4 7) D (4 8) Para el equipo 5 D (5 6) D (5 7) D (5 8) Para el equipo 6 D (6 7) D (6 8) Para el equipo 7 D (7 8) La matriz de distancia se muestra en la tabla Para la formación de los cluster se utiliza el dendograma, como se muestra en la figura Decisión del número de conglomerados. Pudiera utilizarse como alternativa de grupos de piezas la siguiente: Grupo : Grupo :

211 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN Tabla 6.. Matriz de distancia Figura 6.. Dendograma. Fuente: SPSS versión 3.0 for Windows. 9. Interpretación de los clusters Los equipos se agruparán en dos grupos: el primero procesará las piezas 5, 8,, 6 y 7 y el segundo procesará las piezas, 4 y 3. Si los equipos son de alta complejidad se hace el corte más pequeño para que las diferencias entre estos sean mínimas, obteniéndose como ejemplo los grupos: Grupo : 5 8 Grupo : 4 Grupo 3: Grupo 4: 3 Grupo 5: 6 Grupo 6: 7. 95

212 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN Ejemplo 6. Se desea agrupar un conjunto de piezas de las cuales se conoce la masa, gasto de tiempo en su producción y el volumen como se refleja en la tabla 6.3. Tabla 6.3. Masa, gasto de tiempo y volumen para cada pieza Pieza Masa (kg / pieza) Gasto de tiempo (h / pieza) Volumen (cm 3 / pieza) Solución:. En la formulación del problema ya las variables están definidas como masa de la pieza, gasto de tiempo en la producción de la pieza y el volumen de la pieza.. El tipo de situación de clasificación es la situación dos (se quiere agrupar objetos a partir de varias características. Esto se presenta cuando se tienen varios objetos y varios atributos, y se verifican todos en cada objeto, pero puede cambiar su valor. Por tanto la variable que se utiliza es una variable real e incluso puede ser hasta una variable cualitativa. Generalmente se usa para agrupar piezas) ya que se pretende agrupar piezas a partir de tres características. 3. La medida de similitud seleccionada es la medida de distancia. 4. Estandarización de los datos. X =.88 Kg. X =.9 h X 3 = 6.6 cm 3 96

213 Utilizando la fórmula (6.): CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN = ˆ =.03 ˆ = 0.86 ˆ 3= 3.49 Utilizando la fórmula (6.) se obtienen los resultados de Z para la masa, tiempo y volumen de la pieza ZM ( ) ZT ( ) ZV ( ) De igual forma se calculan los resultados de Z para las restantes piezas como se muestra en la tabla 6.4. Tabla 6.4. Valores estandarizados Pieza Masa Tiempo Volumen Para calcular las distancias se utilizará la distancia cuadrática de Euclides. Utilizando la fórmula (6.8): Para la pieza 97

214 D ( ) (.4 0.7) ( ) ( ) 3.53 D ( 3) (.4 0.5) ( ) ( ).4 D ( 4) ( ) ( ) ( ) 5.8 D ( 5) ( ) (.9.5) ( ).33 D ( 6) ( ) ( ) (0.36.7) 3.4 D ( 7) ( ) (.9 0.3) ( ).6 D ( 8) (.4 0.8) (.9 0.3) ( ) 9.5 D ( 9) ( ) (.9.5) ( ).6 D ( 0) ( ) (.9 0.4) ( ) 3.43 Para la pieza D ( 3) ( ) ( ) ( ) 5.06 D ( 4) ( ) ( ) ( ). D ( 5) ( ) ( ) ( ).63 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN D ( 6) ( ) ( ) ( 0.8.7).58 D ( 7) ( ) ( ) ( ) 0.8 D ( 8) ( ) ( ) ( ) 0.74 D ( 9) ( ) ( ) ( ).7 D ( 0) ( ) ( ) ( ) 0.54 Para la pieza 3 D (3 4) ( ) ( ) ( ) 3.83 D (3 5) ( ) (0.67.5) ( ) 4.7 D (3 6) ( ) ( ) (0.98.7).95 98

215 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN ) ( ) ( ) (0.5 7) (3 D ) ( ) ( ) (0.5 8) (3 D ) (0.98.5) ( ) (0.5 9) (3 D ) ( ) ( ) (0.5 0) (3 D Para la pieza ) 0.09 (.5) 0.95 ( 0.77) (0.40 5) (4 D 8.7.7) 0.09 ( 0.67) 0.95 ( 0.69) (0.40 6) (4 D ) 0.09 ( 0.3) 0.95 ( 0.59) (0.40 7) (4 D ) 0.09 ( 0.3) 0.95 ( 0.8) (0.40 8) (4 D ) 0.09 (.5) 0.95 ( 0.84) (0.40 9) (4 D.4 0.3) 0.09 ( 0.4) 0.95 ( 0.55) (0.40 0) (4 D Para la pieza ) 0.75 ( 0.67) ( ) 0.77 ( 6) (5 D.6 0.4) 0.75 ( 0.3) ( ) 0.77 ( 7) (5 D ) 0.75 ( 0.3) (.5 0.8) 0.77 ( 8) (5 D 0..08) 0.75 (.5) ( ) 0.77 ( 9) (5 D ) 0.75 ( 0.4) ( ) 0.77 ( 0) (5 D Para la pieza ) (.7 0.3) ( ) (0.69 7) (6 D ) (.7 0.3) ( ) (0.69 8) (6 D ) (.7.5) ( ) (0.69 9) (6 D ) (.7 0.4) ( ) (0.69 0) (6 D

216 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN Para la pieza 7 D (7 8) ( ) ( ) ( ) 0.4 D (7 9) ( ) ( 0.3.5) ( ).96 D (7 0) ( ) ( ) ( ) 0. Para la pieza 8 D (8 9) ( ) ( 0.3.5) ( ) 3.78 D (8 0) ( ) ( ) ( ) 0.37 Para la pieza 9 D (9 0) ( ) (.5 0.4) ( ).9 6. La matriz de distancia se muestra en la tabla 6.5. Tabla 6.5. Matriz de distancia Para la formación de los cluster se utiliza el diagrama de chorrera, ver tabla Decisión del número de conglomerados. En el nivel cuatro se produce un salto significativo en la distancia, por lo que pudiera tomarse este como el momento para establecer los grupos que quedarían de la forma siguiente: Grupo : Grupo : 5 9 Grupo 3: 00

217 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN Grupo 4: 3 Grupo 5: 4 Grupo 6: 6 Tabla 6.6. Diagrama de chorrera Nivel D (i ic) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 8.34 x x x x x x x x x x x x x x x x x 7.95 x x x x x x x x x x x x x x x x 6.47 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3 0. x x x x x x x x x x x x 0.8 x x x x x x x x x x x 0. x x x x x x x x x x Interpretación de los clusters Las piezas deben agruparse en seis grupos: en el primero, 5 9 en el segundo, en el tercero, 3 en el cuarto, 4 en el quinto y 6 en el sexto Elaboración del perfil de los cluster y validación de conglomerados obtenidos Elaboración del perfil de los clusters Una vez interpretado los conglomerados obtenidos se elabora el perfil de los grupos. Resulta útil elaborar el perfil de los grupos en términos de las variables utilizadas para el conglomerado, como los datos demográficos, los psicográficos, uso del producto, uso de los medios u otras variables. Se considerará un ejemplo para poder comprender mejor el funcionamiento del proceso. Si se está interesado en estudiar la dieta eficaz contra la ingesta regular de bebidas ligeras. Para ello, se confeccionó una escala de evaluación de la actitud del encuestado que se componía de siete aseveraciones diferentes. De este modo, los individuos entrevistados arrojaron valores de a 7 puntos. Las afirmaciones que formaban parte de la escala de siete puntos eran del tipo: las bebidas ligeras dietéticas saben más fuerte, las bebidas dietéticas son más sanas, 0

218 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN etc. Se convino en recoger los datos demográficos y los datos de consumo de bebidas refrescantes por su relevancia para el estudio planteado. Como se dijo anteriormente, en esta fase se examinan los promedios de la puntuación de los perfiles. Para el caso concreto, basándose en la escala de actitud diseñada para cada grupo y poder asignar de esta manera una etiqueta descriptiva a cada uno de ellos. Si se supone que dos de los grupos resultantes del análisis cluster tuvieran actitudes favorables hacia las bebidas dietéticas ligeras y un tercer grupo actitudes negativas. Se podría manejar la posibilidad de que, de los dos grupos favorables en actitud, uno de ellos fuera favorable sólo hacia las bebidas dietéticas ligeras y el otro favorable tanto hacia refrescos ligeros como hacia refrescos normales. Se evaluaría entonces las actitudes de cada cluster y se desarrollarían interpretaciones substantivas para facilitar el etiquetado de cada grupo. Por ejemplo, uno de los cluster podría etiquetarse como individuos conscientes de la salud y las calorías y el otro como individuos indiferentes a una subida de azúcar. Con respecto al perfilado de los conglomerados o grupos, cabe decir que no es más que la descripción de las características de cada cluster para explicar como podrían inferir en dimensiones relevantes. Para conseguir esto, se recurre normalmente al empleo del análisis discriminante o a algún otro estadístico apropiado. El analista utiliza los datos no incluidos previamente en el procedimiento de aglomeración para perfilar las características de cada cluster. Estos datos suelen ser características demográficas, perfiles psicográficos, pautas de consumo, etc. Aplicando este proceso y extrapolándolo al ejemplo de las bebidas se concluiría que el cluster individuos conscientes de la salud y las calorías radica en una mejor educación o en mayores ingresos profesionales al ser consumidores moderados de bebidas refrescantes. En resumen, el análisis de perfiles se enfoca a describir no a lo que determinan directamente los clusters sino (una vez que se han determinado los distintos grupos) a sus características propias. Por ello, se hace especial énfasis en las características que definen los grupos y en la capacidad de los miembros de cada conglomerado para predecir una actitud particular del cluster en cuestión. 0

219 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN Validación de conglomerados obtenidos Dados los criterios generales que comprende el análisis de conglomerados, no debe aceptarse ninguna solución de agrupación sin una evaluación de su confianza y validez. La validación es el intento por parte del analista de asegurar que los clusters obtenidos sean representativos de la población original y que sean generalizables a otros objetos y estables a lo largo del tiempo. Los procedimientos siguientes ofrecen revisiones adecuadas de la calidad de los resultados de la agrupación: Realizar el análisis de conglomerados con los mismos datos y utilizar distintas medidas de distancia. Comparar los resultados con todas las medidas a fin de determinar la estabilidad de las soluciones. Utilizar diversos métodos de conglomerado y comparar los resultados. Dividir los datos a la mitad de forma aleatoria. Realizar el análisis de conglomerados por separado en cada mitad (submuestra). Comparar las soluciones de los dos análisis y evaluar la correspondencia de los resultados o bien comparar los centroides de grupo de las dos submuestras. Eliminar las variables de forma aleatoria. Realizar la agrupación basándose en el conjunto reducido de variables. Comparar los resultados basados en el conjunto completo con los que se obtuvieron al realizar el conglomerado. En el conglomerado no jerárquico la solución puede depender del orden de los casos en el conjunto de datos. Para estudiar esto, es recomendable llevar a cabo corridas múltiples y utilizar distintos órdenes de los casos hasta estabilizar la solución Uso del SPSS para el trabajo con cluster Para solucionar un problema de conglomerados a través del SPSS, se va a tomar como base el ejemplo siguiente. Ejemplo 6.3 En un almacén de la industria ligera se espera recibir un surtido nuevo de seis productos diferentes embalados en cajas de distintas dimensiones. El jefe de almacén desea saber cómo debe agrupar dichos productos para su ubicación en los diferentes 03

220 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN locales y ha solicitado información sobre el peso de cada caja y su altura, variables que pueden limitar el almacenamiento en uno u otro local. Esta información se resume en la tabla 6.7 Cuál será la combinación más racional para agrupar dichos productos? Tabla 6.7. Peso y altura para cada surtido Surtido Peso (kg) Altura (cm) A 0 00 B 0 00 C 0 D 0 E F 0 0 Solución del problema: Una vez que se accede a la opción SPSS 3.0 for Windows del software SPSS aparece la ventana que se muestra en la figura 6.. Figura 6.. Ventana de entrada de datos generales de un problema de conglomerados con el SPSS. Fuente: SPSS versión 3.0 for Windows. 04

221 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN En esta ventana se elige la opción Type in data la cual permite introducir los datos al software, luego se da clic en OK y se obtiene la ventana que se muestra en la figura Figura 6.3. Ventana de entrada de datos de un problema de conglomerados con el SPSS. Fuente: SPSS versión 3.0 for Windows. En esta ventana es donde se introducen los datos del problema, que en este caso serían el peso y la altura para cada surtido. Una vez concluida la entrada de datos en el menú Analize en la opción Classify Hierarchical Cluster se obtiene la figura 6.4, en esta ventana se pasan las variables, en este caso el peso y la altura; luego se elige la opción Cases. Figura 6.4. Ventana para la configuración de opciones de un problema de conglomerados con el SPSS. Fuente: SPSS versión 3.0 for Windows. En la opción Statistics de la figura 6.4 se elige la opción Proximity matrix que representa la matriz de proximidad o de distancia y también se elige la opción None la cual indica que se obtengan todos los cluster posibles, como se muestra en la figura

222 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN Figura 6.5 Ventana para la configuración de opciones estadísticas de un problema de conglomerados con el SPSS. Fuente: SPSS versión 3.0 for Windows. En la opción Plots de la figura 6.4se elige la opción Dendrogram para representar el conglomerado así como la orientación del mismo (vertical u horizontal), en este caso se eligió la opción horizontal, como se muestra en la figura 6.6 Figura 6.6 Ventana para la configuración de opciones gráficas de un problema de conglomerados con el SPSS. Fuente: SPSS versión 3.0 for Windows. En la opción Method de la figura 6.4 se elige la expresión para el cálculo de las distancias, en este caso sería Interval Squared Euclidean distance (distancia cuadrática de Euclides), como se muestra en la figura

223 CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN Figura 6.7 Ventana para la configuración del método de cálculo de distancia de un problema de conglomerados con el SPSS. Fuente: SPSS versión 3.0 for Windows. Al concluir la selección en cada una de las opciones de la figura 6.4se da clic en OK obteniendo como resultado las figuras 6.8, 6.9, 6.0 y 6.. En la figura 6.8 se muestra el número de variables analizadas y el porcentaje del análisis, así como las variables no analizadas y su porcentaje. Case Processing Summary(a,b) Cases Valid Missing Total N Percent N Percent N Percent a Squared Euclidean Distance used b Average Linkage (Between Groups) Figura 6.8. Resumen de procesamiento de casos de un problema de conglomerados con el SPSS. Fuente: SPSS versión 3.0 for Windows. 07