TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

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1 TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones con potencis.. Números irrcionles y reles - Números irrcionles - L rect rel - Intervlos y vlor bsoluto.. Rdicles - Definiciones -Etrcción de fctores - Notción eponencil - Operciones con rdicles - Rcionlizción.. Logritmos - Definición - Propieddes - Cmbio de bse - Ecuciones eponenciles y rítmics - Interés compuesto Mtemátics B. º ESO Tem Los números reles

2 .. Repso de números enteros y rcionles. Reliz ls siguientes operciones con números enteros y comprueb el resultdo. [ ( - ] (+ + (- = - 0 b [ ( + (- + ] [- (- + (- + ]- (- + = c ( + (- 9 = - d (- + + (- + + = e [(- (- (- ] (- = 0 f [ (- + + ]- = - g (- ( + = - h + [- (- + ] = i [ ( ] + = - j (- + [- (+ - + ] = 0 k [- (- (- ] + = l (- + [ + (- ] (- = - m ( +( + - (- = n (- 0 (+0 (- (- = - ñ + (- - + ( - - (- 0 = - o [ ( 9 ] + = p [ ( ] = q [ ( + ] = r ( + = s [ + ( +] ( = t [ + ( ] [- + ] = 0 u + [ ( 0 ] = 0 v - [ (- - (- ] [- (- ] = - w - + [ ( + ] = - [ (- 0 0] + [ (- ] = y - (- + ( = -0 z - (- = 0. Escribe l epresión deciml de ls siguientes frcciones. Indic en cd cso el tipo de número deciml que obtienes. 99. Escribe en form de frcción los siguientes números decimles, g b, h c 0,0000 i d j e k f l, Mtemátics B. º ESO Tem Los números reles

3 Mtemátics B. º ESO Tem Los números reles. Reliz ls siguientes operciones con frcciones y comprueb el resultdo. l + b - m c n 0 d ñ e 9 o f p g q 9 h r 9 9 i - s j 0 t 9 k 0 u + 0. Reliz ls siguientes operciones b b c d Propieddes de ls potencis

4 Mtemátics B. º ESO Tem Los números reles. Hll el vlor de ls siguientes potencis (- = (- = (- = (- = 0 = 0 = 0 = 0 = (- 0 = (- 0 = = = (-0 = = = = - = - = (- = (- = (- = (- = (+ = (- = = = - = - = - = = - - = - = - = - - = - = - = = (- (- = = 9 9 = - = (- 9 (- = = = - = = (- (- = (- (- - = - = - = - = - = - = 0 - = 0 - = 0 - = 0 - = 0 - = 0 - = ( = ( = ( = ( = ( = [ (-] = (- = (- = = (- = = [ (-] = ( = (9 0 = ( = ( = 0 = 9 = = = ( = ( = ( 9 = ( = ( = (- - = [(- - ] = (- - = [(- ] - = (- - - = (0 00 = (0 = ( = ( 0 = ( 0 = (0 00 = (0 0 = ( = (0 = (0 = = 0

5 9. Escribe con un sol potenci 0 = = = ( = = ( = ( ( = ( = ( ( = ( = ( ( = 0 ( = ( ( 0 = ( = ( 9 = ( = = = = 0 0 = ( = (9 = 9 = = = 0 = Mtemátics B. º ESO Tem Los números reles

6 .. Números irrcionles y reles Recordemos que los números rcionles son todos quellos que pueden escribirse en form de frcción. Todos los nturles y los enteros lo son, tmbién los números decimles ectos y los periódicos puros y mitos como se vio en el prtdo nterior. Sin embrgo hy números como por ejemplo, que no se puede escribir como cociente de dos números enteros (demuéstrlo, y en su desrrollo deciml precen infinits cifrs decimles no periódics. A los números de est form se les llm números irrcionles. Si no es un cudrdo perfecto es un número irrcionl (por ejemplo o. En gener, si es entero pero no lo es, entonces es un número irrcionl. Tmbién son irrcionles los números El conjunto formdo por los números rcionles y los irrcionles se llm conjunto de los números reles y se design por. Enteros Nturles N os Reles Rcionles Irrcionles Frccionrios Enteros negtivos. Indic el menor conjunto numérico l que pertenecen los siguientes números,,,,,,,,,, +,, -`,,,,,. Y sbemos representr en l rect numéric los números enteros y ls frcciones, demás cd número de l rect le corresponde un número rcionl o uno irrcionl, por eso l rect numéric se le llm rect rel. El método pr representr gráficmente los números del tipo, siendo n entero, consiste en considerr un triángulo rectángulo y en el cul l hipotenus se obtiene por el teorem de Pitágors. Vemos dos ejemplos Mtemátics B. º ESO Tem Los números reles

7 . Represent en l rect rel los números. Rzon si son verdders o flss ls siguientes firmciones (en cso de ser flss indic un contrejemplo Todos los números son rcionles. Los números rcionles son números reles. Los números irrcionles son números reles. Todos los números decimles se pueden epresr en form de frcción.. Si, eplic si ls siguientes firmciones son verdders o flss ² es siempre positivo o nulo. ³ es siempre positivo o nulo. solo eiste si 0. es negtivo si lo es. es siempre negtivo. Intervlos. Ddos dos números reles, se define el intervlo cerrdo de etremos y b como el conjunto de todos los números reles que son myores o igules que y menores o igules que b. Con notción mtemátic Gráficmente Cmbindo < se obtienen los intervlos biertos (, b. Se diferencin en que el intervlo cerrdo contienen los etremos y el bierto no. Tmbién hy intervlos semibiertos (o semicerrdos e infinitos (que se corresponden con un semirrect.. Escribe l definición de los siguientes intervlos numéricos, donde (, b = { < < b} [, b] = [, b = (, b] = [, = (, = (, b = (, b] = Mtemátics B. º ESO Tem Los números reles

8 =. Describe y represent gráficmente los siguientes intervlos (,0 = (, ] = [, = (, = [, [-, ] =. Escribe el intervlo que corresponde ls desigulddes siguientes < < < < L unión de dos intervlos es el conjunto de números que pertenecen lguno de los dos o mbos. Ejemplo [, (, = [, L intersección de dos intervlos es el conjunto de números que pertenecen mbos. Ejemplo [, (, = (,. Escribe con un único intervlo,, e. [, (,,, f. [, (,,, g. (, (,9,, h. (, (, 9. Si < b < c < d, escribe como intervlos (,c (b,d (, c (b, d 0. Ddos los intervlos A=(,, B=(-,], C=[-,, Clcul Si, se define el vlor bsoluto de ( y se represent como si 0 si si Mtemátics B. º ESO Tem Los números reles

9 .Clcul. Clcul el vlor de en. Clcul los números que cumplen ls siguientes desigulddes y epres el resultdo en form de intervlo. b. c. 0 d. e. 9 f. g. h. i. Mtemátics B. º ESO Tem Los números reles

10 .. Rdicles Def. Se llm ríz n-ésim de, y se escribe, un número b que cumple l siguiente condición n se llm índice de l ríz, es el rdicndo, y se llm rdicl Es clro que y Operciones con ríces. Ej. b Ej. c Ej. d Ej. e Ej. Potencis según el signo. Si el rdicndo es positivo siempre eiste. b Si el rdicndo es negtivo y el índice impr siempre eiste. c Si el rdicndo es negtivo y el índice pr no eiste. Según lo nterior, cuáles de ls siguientes ríces no eisten?. Clcul ls siguientes ríces f k b g l c h m d i n e j ñ Epresión eponencil de los rdicles. Un rdicl culquier se puede escribir en form de potenci con eponente rcionl de l siguiente mner y que y que Mtemátics B. º ESO Tem Los números reles

11 . Epres en form de potenci con eponente rcionl ls siguientes ríces bepres en form de ríz. Clcul usndo ls propieddes de ls ríces b c d e f. Simplific usndo ls propieddes de ls potencis b c d e f g h j k l m. Etre fctores de ls siguientes ríces b c d e f g h i j k b c 9 l b 0 m n ñ o. Introduce el fctor dentro de l ríz b c d e f g h. Epres medinte un solo rdicl b c d e. Simplific f b b g c h 9 b d Mtemátics B. º ESO Tem Los números reles

12 Reducción índice común. Ejemplo Reducir índice común los siguiente rdicles. Lo primero que se hce el hllr el mínimo común múltiplo de los índices. En nuestro cso m.c.m.(,,=. A continución escribimos tods ls ríces con este índice dividiendo (que es el índice común entre cd índice y elevndo el rdicndo l número obtenido, con lo que el resultdo es. 9. Reduce índice común b c Producto y división de ríces. Solo se pueden multiplicr (y dividir ríces con el mismo índice. Pr multiplicrls (o dividirls se escribe un sol ríz y dentro el producto (o división de los rdicndos. 0. Clcul y simplific b c d e f g h i j k l Sum de ríces. Solo se pueden sumr ríces que sen igules. Por tnto si tenemos que sumr ríces diferentes previmente hy que simplificrls (descomponiendo en fctores los rdicndos y etryendo fctores, y cundo sen igules y podremos sumrls.. Sum b c d e f g h i j k l m n Rcionlizción. Mtemátics B. º ESO Tem Los números reles

13 Rcionlizr un frcción con ríces en el denomindor es hllr otr frcción equivlente ell pero que no teng ríces en su denomindor. Ej. er cso. Solo hy un ríz cudrd en el denomindor. Se multiplicn numerdor y denomindor por es ríz, se oper y se simplific. Ej. Ej. º cso. Hy un ríz de índice distinto de. Ej. er cso. Hy sums o rests de ríces en el denomindor. En este cso se multiplics numerdor y denomindor por el conjugdo del denomindor, se oper y se simplific. Ej.. Rcionliz b c d e f g h i j k l m. p. Clcul y simplific n q m n Mtemátics B. º ESO Tem Los números reles ñ 0 r ( - ( + = b ( = o s c ( - = d (- = e + (. = f + - =. g - ( - = h + = i j k l

14 . Oper y simplific b c 0 0 d e b b f b b g h j k m o r t 9 l n ñ p 9 9 q 0 s u v. Comprueb si son verdders ls siguientes igulddes t b 0 c 9 9 d Mtemátics B. º ESO Tem Los números reles

15 . Logritmos Se > 0 y. Se llm ritmo en bse de un número l eponente l que hy que elevr pr obtener, es decir,. Clcul los siguientes ritmos ( ( = ( = 0 (000 = ( 0,0000 (/= (0' ( ( (0,. Clcul los ritmos en bse de los números -,, /, 0, y 0,. A prtir de l definición es clro que el ritmo en culquier bse de es igul 0, es decir,. A los ritmos de bse 0 se les llm ritmos decimles y se escriben (. A los ritmos de bse e se les llm ritmos neperinos y se escriben ln(.. Clcul el vlor de Propieddes de los ritmos Mtemátics B. º ESO Tem Los números reles

16 . Hll el vlor de A. Desrroll ls siguientes epresiones b c d = y z ln y z = Cmbio de bse Hy ocsiones en ls que es difícil hllr el ritmo de un número, l no ser éste un potenci ect de l bse. En este cso se us el cmbio de bse pr relcionr ritmos de bses culesquier medinte l siguiente fórmul Lo más norml es considerr b = 0 o b = e, y que los ritmos decimles y los neperinos son los que precen en ls clculdors.. Usndo l clculdor hll los siguientes ritmos. Hll el vlor de ( (. Clcul el vlor de ( ( ( ( ( Mtemátics B. º ESO Tem Los números reles

17 Mtemátics B. º ESO Tem Los números reles ( (9 ( ( 0 0 ( ( 9. Resuelve ls siguientes ecuciones eponenciles 9 0. Resuelve ls siguientes ecuciones eponenciles 9 9 b 0 d c 9 f e. Resuelve ls siguientes ecuciones eponenciles b.9 d c f e. Alguns de ls siguientes ecuciones puede no tener solución. Encuéntrls 9 b 9. d c 0. f e. Resuelve de cbez ls siguientes ecuciones rítmics 00 ( 9 ( 0 (. Resuelve hor ls siguientes ecuciones rítmics. 0 (0 ( c b ( 0. ( f e d 0 (. 0 ( i h g

18 Interés compuesto. Un cpitl se deposit interés compuesto cundo se cumuln l mismo los intereses l finl de cd período de liquidción (ño, mes, trimestre, dí,. De est form los intereses cumuldos ps tmbién producir réditos l finl del siguiente período de liquidción. El cpitl finl en que se convierte un cpitl inicil C colocdo un interés compuesto del R nul durnte t ños viene ddo por l epresión Donde. Si se deposit un cpitl de 000 l % de interés compuesto nul, En cuánto se hbrá convertido l cbo de ños?. Un cpitl de 0000 l % de interés compuesto nul, en ños se trnsform en. Un bnco ofrece un interés l % pgdero nulmente pr los cpitles ingresdos l brir un cuent de horro. Cuántos ños hn de estr colocdos pr que se duplique el cpitl ingresdo?. Qué cpitl debe imponerse un interés compuesto del % pr convertirse l cbo de un ño en un cpitl de 0000?. A qué tnto por ciento debe imponerse un cpitl pr duplicrlo en ños?. Si deposito 0000 l 0 % nul, cuánto dinero tendré l cbo de ños?. A qué tnto por ciento nul hy que colocr 0000 pr que se conviertn en l cbo de ños?. Cuánto tiempo hy que depositr un cpitl l % de interés compuesto pr triplicrlo? Mtemátics B. º ESO Tem Los números reles

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