250 Si la razón entre las longitudes de la realidad y de la representación es razón entre las áreas es ( 20 )

Transcripción

1 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN Entrénate 1 Una parcela con forma de cuadrilátero irregular tiene 80 m de área y su lado menor mide 40 m. Hacemos un plano de la parcela en el que el lado menor mide 1 cm. uál será el área de la parcela en el plano? 1 cm 40 m = = 1 50 Si la razón entre las longitudes de la realidad y de la representación es razón entre las áreas es ( 1 50 ). = 80 ( 1 50 ) = 131, cm 1, entonces la 50 La razón entre las áreas de dos rectángulos semejantes es 9/1. Si el perímetro del menor es 138 m, cuál será el perímetro del mayor? 9 1 = ( 3 4) 8 La razón entre las longitudes es 3 4. P = = 184 m 3 Queremos hacer una maqueta a escala 1:5 de un barco que mide 9 m de largo. La superficie de la cubierta es de 1 m y el volumen del casco es 31,5 m 3. uáles serán estas medidas en la maqueta? l = = 0,3 m = 3 cm S = 1 ( 1 5 ) = 0,033 m = 33 cm V = 31,5 ( 1 5 ) = 0,0001 m 3 = 01 cm 3 4 Los catetos de un triángulo rectángulo miden 1 cm y 1 cm. uál será el área de otro semejante cuya hipotenusa mide 85 cm? alculamos la hipotenusa del triángulo pequeño: h = = 0 cm. La razón entre los triángulos es 0 85, por tanto = ( 85 0 ) 1 1 ( ) = 1734 cm. 5 Las áreas de los círculos máimos de dos esferas son 100π cm y 1π cm. uál será la razón entre su radios? Y la razón entre los volúmenes de las dos esferas? ( r r' ) = r r' = 4 10 = 0,4 V V' = (0,4)3 = 0,04

2 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 7 1 a) Un edificio de la maqueta anterior tiene forma de ortoedro. Sus dimensiones son 9 cm Ò,4 cm de planta y 4 cm de altura. Halla las dimensiones, el área de la fachada y el volumen en la realidad. b) La superficie de un campo de fútbol sala en la maqueta es de 3 cm. uál es la superficie en la realidad? c) Una caseta de la maqueta está hecha con 0,3 cm 3 de poliepán. uál es su verdadero volumen? d) La altura de un edificio en la realidad es 5 m. uál es su altura en la maqueta? a) Las dimensiones reales del edificio con forma de ortoedro son: 9 cm cm = cm = 45 m,4 cm 8,4 500 cm = 3 00 cm = 3 m 4 cm cm = 000 cm = 0 m Área de la fachada: = = m Volumen = = m 3 b) Superficie real = = cm = 800 m c) Volumen real = 0, = cm 3 = 37,5 m 3 d) ltura en la maqueta = 500 = 13 cm 500 La Luna está a km de nosotros y su diámetro es km. a) alcula su superficie y su volumen. b) El Sol está a km de nosotros. Y su tamaño aparente es igual que el de la Luna. Según esto, halla el diámetro del Sol. Halla también su superficie y su volumen a partir de las co- LUN SOL rrespondientes magnitudes de la Luna. a) Suponemos que la Luna es una esfera perfecta. S = 4πr = 4π = km 3, km V = 4 3 πr 3 = 4 3 π = km 3, km 3 b) La razón de semejanza entre la Luna y el Sol será: d l = k 8 k = d s = 0,005 Por tanto: D sol = D l k = ,005 = ,5 1,37 10 km S sol = S l = 3, k (0,005) 5, km V sol = V l =, k 3 (0,005) 3 1, km 3

3 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 8 1 Las medidas de este dibujo son: =,3 cm = 1,5 cm '' =,4 cm r a b c s ' ' ' plica el teorema de Tales y calcula la longitud de ''. '' = '' 8 '' = '' =,3,4 1,5 = 3,8 cm Para aplicar el teorema de Tales, trazamos por una recta paralela a b y a c: 1,5 cm alcula. ' = '' 8 = '' = r s,5 cm ' b 4 cm = 1,5 4,5 ' c =,4 cm '

4 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 9 Entrénate En el triángulo rectángulo conocemos = 9 cm y = cm. cm del vértice cortamos el triángulo DE de forma que DE sea paralela a. Halla el área del trapecio DE. D cm E = = 9 = 4,39 cm E = E = 4,39 = 18,39 cm cm DE = E = 8 DE = E ( + DE ) E = (9 +,1) 18,39 = 9 =,1 cm 4,39 = 103,08 cm 9 cm

5 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 70 1 alcula la altura de un árbol que proyecta una sombra de 7, m en el momento en que un poste de 1,0 m da una sombra de 7 cm. 1,0 m 7, m 7 cm = '' '' 8 7, = 1, 0,7 8 8 = 1, 7, = 17,4 0,7 El árbol mide 17,4 m de alto. Halla los lados del triángulo. 5 cm E D 4 cm 8 cm E = 5 4 = 3 cm 8 = E + E = 11 cm = ED E = D E 8 = = = 14,7 cm = 18,33 cm 3 En el mismo instante y lugar de la actividad 1, qué longitud tendrá la sombra de un edificio que mide 3 m de altura? 3 m 1, m = '' '' 8 3 = 0,7 1, 8 8 = 0,7 3 1, = 13,4 7 cm El edificio proyectará una sombra de 13,4 m. 4 Si la altura de Rita es 1,5 m, cuál es la altura de la farola? 1,5 m = ED E 8,5 + 1,5 = 1,5 1,5 8 8 = 1,5 4 1,5 = 4,4,5 m 1,5 m La farola mide 4,4 m de alto.

6 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 71 1 En el procedimiento descrito arriba para obtener una hoja de papel con dimensiones áureas a partir de una -4 y con la ayuda del D.N.I., se aplica una homotecia. uál es su centro? NOMRE Y su razón? P PELLIDO S PELLIDO NOMRE P PELLIDO SPELLIDO P P El centro de la homotecia es (esquina inferior izquierda de los rectángulos). La razón de la homotecia es P' (P es la esquina inferior derecha del D.N.I. y P P' es la esquina inferior derecha de la hoja DIN -4).

7 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGIN 7 Practica Figuras semejantes 1 uáles de estas figuras son semejantes? uál es la razón de semejanza? F 1 F F 3 F 1 es semejante a F 3. La razón de semejanza es 3. a) Son semejantes los triángulos interior y eterior? b) uántas unidades medirán los catetos de un triángulo semejante al menor cuya razón de semejanza sea,5? a) No. La razón entre los catetos es 3 en el interior y 5 en el eterior. 7 b),5 = 5 Los catetos medirán 5 y 7,5 unidades. 3,5 = 7,5 3 Una fotografía de 9 cm de ancha y cm de alta tiene alrededor un marco de,5 cm de ancho. Son semejantes los rectángulos interior y eterior del marco? Responde razonadamente. 14 9? 11 8 No son semejantes Un joyero quiere reproducir un broche como el de la figura duplicando su tamaño. a) Haz un dibujo de la figura ampliada. b) alcula su superficie. a) 1 cm 1 cm b) El área de las dos partes inferiores se puede hallar sin más que contar cuadraditos: + 1 = 38 cm La parte de arriba es medio círculo de radio. Por tanto, su superficie es: 1 (π r ) = 1 π = π cm La superficie total de la figura es: S = (38 + π) cm

8 Soluciones a Ejercicios y problemas 5 Un rombo cuyas diagonales miden 75 cm y 150 cm, qué área ocupará en un plano de escala 1:5? Área = = 0 5 cm En el plano ocupará 05 5 = 33 cm. Pág. Una maqueta está hecha a escala 1:50. alcula: a) Las dimensiones de una torre cilíndrica que en la maqueta mide cm de altura y 4 cm de diámetro. b) La superficie de un jardín que en la maqueta ocupa 40 cm. c) El volumen de una piscina que en la maqueta contiene 0 cm 3 de agua. a) 1 cm 8 50 cm cm 8 h 4 cm 8 d h = cm = 15 m d = cm = 10 m La torre cilíndrica mide 15 m de altura y 10 m de diámetro. b) = cm = 50 m c) = cm 3 = 31,5 m 3 7 En un mapa de escala 1: , la distancia entre dos poblaciones es de cm. a) uál es la distancia real? b) Qué distancia habrá en el plano entre dos ciudades que distan 180 km? a) Distancia real = = cm = 30 km b) 180 km = cm Distancia en el mapa = = 1 cm 8 Esta figura es el logotipo de una empresa automovilística. Quieren reproducirlo de forma que ocupe 54 cm de superficie. uáles serán sus dimensiones? Dibújalo. 1 cm La superficie del logotipo es, siempre, de cuadraditos (consideramos que al hacer la ampliación, también se amplían en la misma proporción los cuadraditos). 1 cm Necesitamos que la superficie de cuadraditos de lado l sea 54 cm. Por tanto: l = 54 8 l = 9 8 l = 3 cm Esto es, tenemos que hacer una ampliación en la que 1 cm se convierte en 3 cm. Luego las dimensiones de la figura serán:

9 Soluciones a Ejercicios y problemas 9 uánto medirán los lados de un trapecio semejante al de la figura, cuyo perímetro sea 13, cm? 8 cm 1 cm 10 cm Pág. 3 1 cm t z y El perímetro de la figura inicial mide = 51 cm. Por tanto: 13, = 51 1 = y 10 = z 1 = t 8 = 7, cm; y = 3 cm; z = 38,4 cm; t = 5, cm 10 a) opia esta figura en tu cuaderno y amplíala al doble tomando O como centro de homotecia. b) Redúcela a 1/3 tomando como centro de homotecia. D D O D 11 Halla el centro y la razón de homotecia que transforma la figura DE en '''D'E'. ' ' D' D ' O E' E El centro es el punto medio de E. La razón es 1.

10 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGIN 73 Semejanza de triángulos 1 El perímetro de un triángulo isósceles es 49 m y su base mide 1 m. Halla el perímetro de otro triángulo semejante, cuya base mide 4 m. uál es la razón de semejanza entre el triángulo mayor y el menor? P = 49 m 1 m P 4 m 1 4 = 5,5 Perímetro del triángulo semejante: P' = 49 5,5 = 9,33 m La razón de semejanza es 5,5. 13 En el triángulo hemos trazado DE paralelo a. Por qué son semejantes los triángulos y DE? alcula y. Los triángulos son semejantes porque están en posición de Tales. = D DE 8 = = 10,5 cm = E DE 7 cm D 1 cm 18 cm 8 = cm E = 15 cm 14 Por qué son semejantes los triángulos y ED? Halla el perímetro del trapecio ED. Porque son rectángulos con un ángulo agudo común, ^. Tienen los tres ángulos iguales. E 10 cm 17 cm cm D Hallamos E aplicando el teorema de Pitágoras: E = 10 = 8 cm; = = 5 cm D = E = = 50 8 = 1,5 8 D = 1,5 cm 10 8 ED = E 8 = 5 8 = 150 = 18,75 cm 8 8 Perímetro de ED = ,75 + 1,5 + = 3 cm 15 Observa esta figura, en la que el segmento es paralelo a D. 7, cm 10, cm 8,5 cm O cm y D a) Di por qué son semejantes los triángulos O y OD. b) alcula e y.

11 Soluciones a Ejercicios y problemas a) Son semejantes porque tienen un ángulo igual, O = OD por ser opuestos por el vértice, y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos. b) 7, = 8,5 8 = 7, 5,08 cm 8,5 8,5 = y 10, 8 y = 10, 7,48 cm 8,5 Pág. 1 En un triángulo rectángulo, la relación entre los catetos es 3/4. Halla el perímetro de otro triángulo semejante en el que el cateto menor mide 54 cm cm 54 = = = 7 cm mide el cateto mayor. h = = 90 cm mide la hipotenusa. Perímetro = = 1 cm 17 La razón de semejanza entre dos triángulos es /5. Si el área del mayor es 150 cm, cuál es el área del menor? El área del menor es 15 ( 5) = 4 cm. 18 El perímetro de un triángulo isósceles es 4 m, y el lado desigual mide 14 m. alcula el área de un triángulo semejante cuyo perímetro es de 9 m. ltura del triángulo: h = h = 4 m 5 m h 14 m 5 m Área = 14 4 = 18 m Razón de semejanza = 9 4 = 3 Área del triángulo semejante = 18 ( 3 ) = 378 cm plica lo aprendido 19 En una carretera de montaña, nos encontramos una señal que nos advierte que la pendiente es del 8%; es decir, por cada 100 m que recorremos, el desnivel es de 8 m. a) uál es el desnivel que se produce cuando re-corremos 3 km? b) Para que el desnivel sea de 500 m, cuántos kilómetros tendremos que recorrer? 8% a) 8 8 m 100 m 3 km 3000 = = 40 m Se produce un desnivel de 40 m. b) = = = 50 m Tendremos que recorrer,5 km.

12 Soluciones a Ejercicios y problemas 0 Esta figura representa, a escala 1: 000, una parcela de terreno. alcula su perímetro y su área, tomando las medidas necesarias. Pág. 3 PLNO RELIDD 3 cm 4 cm,5 cm 3,5 cm 3 cm = 000 cm = 0 m 3,5 cm 8 3,5 000 = cm = 70 m 4 cm = cm = 80 m,5 cm 8,5 000 = cm = 50 m P = = 10 m; S = 1 (80 50) = 000 m 1 Dos triángulos y PQR son semejantes. Los lados del primero miden 4 m, 8 m y 34 m. alcula la medida de los lados del segundo triángulo sabiendo que su perímetro es 19 m. Perímetro del triángulo : = 8 m Razón de semejanza: 19 8 = 3 Lados del triángulo PQR: 4 3 = 3 cm; 8 3 = 4 cm; 34 3 = 51 cm Los lados mayores de dos triángulos semejantes miden 8 cm y 13, cm, respectivamente. Si el área del menor es cm, cuál es el área del mayor? Razón de semejanza = 13, = 1,7 8 Área del mayor = 1,7 = 75,14 cm Resuelve problemas 3 uál es la profundidad de un pozo, si su anchura es 1, m y alejándote 0,8 m del borde, desde una altura de 1,7 m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo? 1,7 m 0,8 m 1,7 = 1, 0,8 8 = 1, 1,7 0,8 La profundidad es de,55 m. 8 =,55 m 1, m

13 Soluciones a Ejercicios y problemas 4 Entre dos pueblos y hay una colina. Para medir la distancia, fijamos un punto P desde el que se ven los dos pueblos y tomamos las medidas: P = 15 km, PM = 7, km y MN = 1 km. (MN es paralela a ). alcula la distancia. Pág. 4 M N 15 km M 7, km 1 km N P Los triángulos P y MPN son semejantes. Por tanto: 1 = 15 7, 8 = , = 5 km P

14 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGIN 74 5 Una lámpara situada a 5 cm de una lámina cuadrada de 0 cm de lado, proyecta una sombra sobre una pantalla paralela que está a 1,5 m de la lámpara. uánto mide el lado del cuadrado proyectado? L 150 cm = = = 0 Por tanto, el lado del cuadrado proyectado mide 0 = 10 cm. Queremos construir un ortoedro de volumen cm 3 que sea semejante a otro de dimensiones 5 Ò 15 Ò 35 cm. uánto medirán sus aristas? V = = cm 3 k 3 = 3015 =,744 8 k = 1, Las aristas del ortoedro deben medir: 5 1,4 = 35 cm; 15 1,4 = 1 cm; 35 1,4 = 49 cm. 7 Para hacer un embudo de boca ancha, hemos cortado un cono de 5 cm de radio a 3 cm del vértice. La circunferencia obtenida tiene cm de radio. Halla el volumen del embudo. cm 5 cm 3 cm ò = = 15 8 = 4,5 cm V = 1 3 (π 5 7,5) 1 3 (π 3) = 58,5π cm 3 8 Hemos recubierto con un tejado cónico un depósito cilíndrico de 4 m de radio y 14,4 m de altura. Si el radio del cono es 10 m, cuál es el volumen de la zona comprendida entre el cono y el cilindro? ò 14, = + 14, = , 8 = 9, m

15 Soluciones a Ejercicios y problemas V cono = 1 3 (π 10 ) (14,4 + 9,) = 800π m 3 V cilindro = (π 4 ) 14,4 = 30,4π m 3 V = V cono V cilindro = = 800π 30,4π = 59,π m 3 9 La base de una escultura tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular en el que los lados de las bases miden 80 cm y 140 cm, y su altura, 150 cm. Halla su volumen. 80 cm 150 cm Pág. 40 cm 150 cm 70 cm alculamos la altura de la pirámide: = ltura = = 350 cm = 70 8 = 00 cm Volumen tronco = V pirámide mayor V pirámide menor = 140 cm = = cm 3 = 1 80 dm 3 30 Halla el volumen de una maceta como la de la figura, en la que los radios de las bases miden cm y 14 cm, y la generatriz, 30 cm. 14 cm 30 cm h ò h 30 h = 30 8 = 8,91 cm cm ,91 14 = + 8, = + 173,4 8 = 1,8 m V cono grande = 1 3 (π 14 ) (8,91 + 1,8) = 3 305,1π cm 3 V cono pequeño = 1 3 (π ) (1,8) = 0,1π cm 3 V maceta = V cono grande V cono pequeño = 3 045,05π cm 3 La maceta tiene un volumen de 9 51,4 cm 3.

16 Soluciones a la utoevaluación PÁGIN 74 Manejas la semejanza de figuras para obtener medidas de una a partir de la otra? 1 Queremos hacer una maqueta de un jardín rectangular a escala 1:400. Su perímetro es de 850 m, y su área, de m. uáles serán estas medidas en la maqueta? Perímetro = 850 =,15 m = 1,5 cm 400 Área = = 0,34375 m = 343,75 cm onoces las condiciones que se deben comprobar para asegurar que dos triángulos son semejantes? omprueba si son semejantes dos triángulos y ''' que cumplen las condiciones siguientes: a) = 10, = 18; = 1 '' = 5; '' = 45; '' = 30 b) = 0; = 30; = 40 '' = 40; '' = 50; '' = 0 c) ^ = 58 ; ^ = 97 ^' = 58 ; ^' = 35 a) omprobamos si los lados son proporcionales. Esto es, si: '' = '' = '' = = 1 =,5. Sí son semejantes. 30 b) 0 40? 30 50? 40. No son semejantes. 0 c) ^ = = 5. omo ^? ^', los triángulos no son semejantes. Utilizas con soltura la semejanza para resolver problemas? 3 Álvaro debe situarse a 3 m de un charco para ver la copa de un árbol reflejada en él. Si la distancia del charco al árbol es de 10,5 m y la estatura de Álvaro es de 1,7 m, cuál es la altura del árbol? 1,7 3 10,5 = 10,5 1,7 3 =,0 m mide el árbol. 4 Un centro comercial P está situado entre dos vías paralelas r y s. Se quiere unir, mediante carreteras, con las poblaciones,, y D. on los datos de la figura, calcula e y. km 10 km,75 km 9 km P y D r s Los triángulos DP y P son semejantes. =, = 8 km y 10 =, y = 7,5 km

17 Soluciones a la utoevaluación 5 Un florero tiene forma de tronco de pirámide de bases cuadradas de 8 cm y 1 cm de lado, y altura 1 cm. alcula su volumen. 1 cm Pág. 1 cm 1 cm 8 cm ò = cm 8 cm 8 = = 4 8 = 3 ltura de la piramide = + 1 = 48 cm V = = 1 1,3 cm 3