TEMAS DE MATEMÁTICAS (OPOSICIONES DE SECUNDARIA) TEMA 42

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1 TEMAS DE MATEMÁTIAS (OPOSIIONES DE SEUNDARIA) TEMA 42 HOMOTEIA Y SEMEJANZA EN EL PLANO. 1. Introducción. 2. Homotecis en el plno Propieddes de l homoteci en el plno Producto de homotecis Producto de homotecis del mismo centro Producto de dos homotecis de distinto centro. 3. Semejnz en el plno 3.1. Propieddes de l semejnz Producto de semejnzs onstrucción del centro de semejnz direct Ecuciones de l semejnz. Biliogrfí Recomendd. 1/19

2 TEMA 42 HOMOTEIA Y SEMEJANZA EN EL PLANO. 1. INTRODUIÓN. Vmos indicr lgunos teorems y propieddes de los que hremos uso lo lrgo del tem Teorem de Thles. Los segmentos limitdos por los puntos de intersección de vris prlels en dos secntes, son proporcionles. Teorem recíproco l de Thles. r s Si los segmentos B y son proporcionles AB y A siendo ls rects y prlels, se verific que l rect c es prlel l, o ien los puntos A y coincidentes. A B A B c Rzón simple de tres puntos. Ddos tres puntos A,B, de un rect se determin el cociente, AB/A que se represent (AB) de ls distncis del primero l segundo y l tercero. A este cociente se le llm rzón simple. Y que AtAB (AB)t Movimientos. En tod plicción iyectiv que conserv l distnci - Los movimientos trnsformn rects en rects - onservn los ángulos. 2. HOMOTEIAS EN EL PLANO. Definición. Se O un punto del plno y un número rel, 0. Llmremos homoteci de centro O y rzón, y l designremos por H l plicción del plno en sí mismo que hce corresponder cd punto P distinto de O, otro punto tl que OOP. Al punto se le llm homotetico de P y se escrie 2/19

3 H (P) De l definición se deduce que O, P, están liendos. Si >0 P y están en l mism semirrect de origen O. O P P Si <0 P y están seprdos por el centro O P O P undo 1 O-OP es decir P y P coinciden. Por lo tnto l homoteci H I identidd. undo -1 OP -OP l homoteci es un simetrí de centro. Proposición. ) Si 1 todos los puntos son invrintes. ) Si 1 el único punto invrinte es el centro de l homoteci. c) Ls rects que psn por el centro de l homoteci son invrintes glolmente. ) Si 1 H I y l identidd mntiene todos los puntos invrintes. ) Si P es un punto invrinte y es su homotetico tl que P OP OP OP OP 0 (1 ) OP 0 y como 1 OP0 luego P0 c) Es inmedit por l definición de homoteci. Proposición. Se H un homoteci. Entonces se verific que H es un iyección. Por l definición tenemos que H es un plicción. Demostrremos que H es un iyección, prondo l existenci de un plicción invers de H. Se H l homoteci de centro O y rzón. Se P un punto P 0 y proemos que H o H I 3/19

4 H (H (P)) H () 1 omo H (P) O,P, están linedos y O OP. omo H () O,, están linedos y O O. omo O, P, están linedos y O,, están linedos entonces O,P,, están linedos entonces O,P, están linedos y O O OPOP P y como P es un punto culquier del pln se deduce H o H I. De form nálog se demuestr H o H I. Por lo tnto Ho, tl que H H o H o H I I H es un iyección 2.1. Propieddes de l homoteci en el plno. Proposición 1. L rzón de ls distncis entre dos puntos homólogos y sus originles es igul l rzón de l homoteci en vlor soluto. Se P, Q dos puntos culesquier del plno, Q sus trnsformds por un homoteci de centro O y rzón. Entonces se cumple O OQ OOP OQ OQ luego OP OQ O Se el punto en el que l prlel OP trzd por Q cort l rect PQ. Por el teorem de Thles se deduce que (QP)(QOQ ) P Q Utilizndo ls propieddes de ls rzones simples (PQ)(OQ Q) es decir P Q P PQ OQ OQ P PQ Pero como PQ es un prlelogrmo y que PQ//Q (por el reciproco del teorem de Thles) y P//Q por construcción result que PQ 4/19

5 Luego Q PQ o, Q ) P, Q) Proposición 2. Si P, Q son dos puntos del plno y, Q son sus homólogos es un trnsformción H en el plno tl que Q PQ, entonces H es un homoteci si 1 y un trslción si 1. Si 1 Q PQ y como los segmentos Q y PQ son prlelos y, Q ) 1 P QQ P, Q) lo cul indic que H es un trslción del vector P. Si 1 P no es prlel QQ y por lo tnto se cortn en un punto que llmmos O., Q ) omo Q PQ tenemos que y como los puntos O, P, y O, Q, P, Q) Q están linedos l trnsformción es un homoteci de centro O y rzón. Proposición 3. Ls homotecis trnsformn puntos linedos en puntos linedos. En efecto. Sen P, Q, R tres puntos linedos y sen, Q, y R sus homólogos medinte H. Se trt de demostrr que, Q y R están linedos. De cuerdo con l Proposición 1 se tiene: Q PQ r PR Q R QR Si P, Q y R están linedos, uno de los tres puntos estrá situdo entre los dos restntes. Se por ejemplo Q PR. Entonces se tiene: PRPQQR Luego PR ( PQ QR) PQ QR esto es R Q Q R on esto qued demostrdo no solo que, Q, y R formn un rect, sino que demás, si Q est entre P y R, Q est entre y R. Es decir ls homotecis trnsformn rects en rects y conservn l posición reltiv de los puntos. 5/19

6 Not. undo decimos que ls homotecis formn rects en rects queremos decir que trnsformn puntos de un rect en puntos de un rect y que un homoteci es un plicción entre puntos. Proposición 4. Ls homotecis trnsformn rects prlels en rects prlels. Se H un homoteci, sen P y Q los puntos que determinn l rect y, Q sus trnsformds por H. Se trt de demostrr que l rect PQ es prlel l rect Q. ) Q OP. omo por l definición de homoteci O,P, están linedo y O,Q,Q tmién. Tenemos que,q PQ. Entonces ls rects PQ y Q, son prlels, porque coinciden. OQ O ) Q OP. omo O OP y OQ OQ, tenemos que y por el OQ OP reciproco del teorem de Thles se tiene que ls rects PQ y Q son prlels. Proposición 5. Los homotecios trnsformn puntos no linedos en puntos no linedos. Demostrcion. Si P,Q,R no estn linedos, deer tenerse que: PR < PQ QR PR > PQ QR Sen,Q y R los trnsformdos por l homoteci H entonces se tiene que: P R K PR P Q K PQ Q R K QR (Prop1) omo K >0, multiplicndo ls desigulddes por K K PR < K PQ K QR K PR > K PQ K QR luego P R < Q Q R R > Q Q R esto es,r y Q no estn linedos. Proposición 6. Ls homotecis trnsformn segmentos en segmentos. 6/19

7 Demostrcion. omo consecuenci de l proposición 3. Proposición 7. Ls homotecis trnsformn tringulos en tringulos semejntes. Demostrcion. (Dos triángulos son semejntes si tienen sus ángulos homólogos igules y sus ldos correspondientes proporcionles). Se AB un tringulo y sen H (A), B H (B), y H (). Se trt de demostrr que B es un tringulo semejnte l AB. Por l proposicion 5 A,B, no linedos,b, no linedos. luego B constituyen un tringulo. Por l proposicion 1 se tiene que B K AB B K B K A. luego los tringulos AB y B tienen sus ldos proporcionles. Bstr por tnto demostrr que tienen sus ngulos homologos igules. onsideremos, por ejempl el ngulo AB. A A O B " B" B Trzndo por un rect prlel l A se otiene en su interseccion con A, el punto tl que A. Del mismo mod en l semirect de origen A que contiene B existe un punto B tl que AB B Por lo tnto se tiene A A AB AB K A B K AB Luego A A AB AB K 7/19

8 Esto nos indic que B y son ls trnsformciones respectivs de B y, en l homoteci de cnetro A y rzon K, luego por l proposicion 1 se tiene: B B K B K B B Por tnt los tringulos AB y B son igules por tener sus ldos igules: AB B y A por construccion y B B según hemos visto en. Luego AB y B tendrn sus ngulos correspondientes, respectivmente igules. En prticulr B B A. Pero l eleccion de B y se tiene que B A BA. Anlogmente prorimos l iguldd de los otros ngulos. on lo que qued demostrdo que los homotecios trnformn tringulos en tringulos semejntes. Proposición 8. Los homotecios trnsformn circunferencis en circunferencis. Demostrcion. Se un circunferenci de centro y rdio r. Su trnsformd por un homoteci de centro O y rzon es otr circunferenci de centro H() y rdio r K r, pues se verific que O,) K,P) P r P r O KOP O KO O O K OP O Por l propiedd 1 P K Proposición 9. Dds dos circunferencis culesquier siempre hy dos homotecis, un de rzon >0 y otr de rzon <0, respecto de los cules ls dos circunferencis son homotetics. 8/19

9 P r O P r P" O Sen ls circunferencis de rdios r y r y centros y, trcemos sore l primer circunferenci un rdio P y sore l segund, los rdios opuestos y prlelos P. Ls rects P y se cortn en el punto O, que es el cnetro de un homoteci de rzon >0 que trnsform l primer circunferenci en l segund y que: O O K OP O siendo K>0 l rzon de l homoteci. Ls rects que determinn y P se cortn en el punto O, que es el centro de l homoteci de rzon K <0, K -K que trnsform l primer circunferenci en l segund. En efecto O O K siendo K l rzon. K -K y que K K O P O P P Proposición 10. Sen AB, D dos segmentos prlelos distintos, no situdos en l mism rect. Entonces existen dos homotecios h 1 y h 2 que trnsformn AB en D. O Sen OA BD y O AD B. Demostrmos que l homoteci de centro O y O rzon trnsform AB en D. Pr ello OA teniendo en cuent ls propieddes nteriores, str demostrr que H (A) H (B)D. A O B D Se H (A) por definición de H, O, A, estn linedos y verificn O O O O OA OA Se H (B)B O, B, B estn linedos OB O OD OB OD B D OB OA OB luego H (A) Luego H (B)D 9/19

10 Demostrremos hor que l homoteci de centro O y rzon AB en D, pr ello proremos que H o, (A)D y H o, (B) O trnsformn O B Se H o, (A) y O, A, estn linedos y cumplen que O O O O D D O A O A luego H o, (A)D De form nálog H o, (B) Por tnto existen dos homotecis que trnsformn el segmento AB en el D Proposición 11. Sen AB y D dos segmentos de l mism rect y tles que A BD. Entonces se verific que existe un unic homoteci que trnsformn AB en D. Supongmos que exist l homoteci y se O su centro. Entonces O OD H (A) y H (B)D OA OB De cuerdo con ls propieddes de ls proporciones AO O BO DO AO BO O DO A AO DB BO AO BO O AO DO BO A DB Por lo tnto se tiene AO BO A DB OA OB A BD A omo A BD 1 BD A Se BD Por tnto AO BO AO BO OA Es decir, O es unico. L homoteci es pues un homoteci de centro O y rzon O 2.2 Producto de homotecis Producto de homotecis del mismo centro. El producto de dos homotecis del mismo centro es otr homoteci del mismo centro y de rzon el producto de ls rzones de ls homotecis. 10/19

11 Sen H 1 y H 2 dos homotecis. Si P es un punto del pln H 1 (P) y H o, 2 () se cumple O 1 OP O 2 O Luego O 2 O 2 1 OP es el trnsformdo de P por un homoteci de centro O y rzon 1 2. Luego H 2 H 1 H 1 2. Proposición. L invers de H es H 1/. Si P y son puntos homoteticos tendremos OP OP 1 H H 1/ H 1 OP O onsecuenci: el conjunto de ls homtecis de centro un punto dd con el producto definido form un grupo elino Producto de dos homotecis de distinto centro. El producto de dos homotecis de distinto centro es otr homoteci cuyo centro est linedo con los nteriores y cuy rzon es el producto de ls rzones de ls homotecis dds. Sen H o1,1 y H o2,2, dos homotecis. P O 1 P Q Q Q" P" O 2 O 3 onsideremos los puntos P y Q del pln que se trnsformn por H o1,1 en, Q. Estos ultimos se trnsformn su vez en, B por H o2,2. Se verific que: 11/19

12 O1 O1Q Q 1 O P O Q PQ 1 O2 O2Q Q O O Q Q Q PQ 1 2 que define un homoteci de rzon 1 2. omo l rect O 1 O 2 es homolog ls dos homotecis, tmien lo ser su producto y por tnto estr en ell el centro O 3 de l homoteci producto. Luego H o2, 2 H o1,1 H o3,12. Si l homoteci es un trslción. 2.3 Ecuciones de l homoteci. Se R { O i j}, r, r un sistem de referenci ortonorml del plno. O(,) P(x,y) P(x,y) j O i onsidermos l homoteci H o, con centro O (,) y rzón que trnsform P(x,y) en (x,y ) O O P Sustituyendo sus componentes qued OOO O OO O P (x,y )(,)(x-,y-) x ( x ) x x (1 ) o ien y ( y ) y y (1 ) Que son ls ecuciones de l homoteci con centro O (,) y rzon. Si ñdimos 11 se puede escriir en form mtricil. 12/19

13 (1,x,y ) ( 1 x y) 3 SEMEJANZA EN EL PLANO Definición (1 ) 0 (1 ) 0 Se llm semjnz en el plno tod plicción del plno en si mism que puede descomponer en producto de un homoteci por un movimiento o de un movimiento por un homoteci. Si el movimiento es direct l semejnz se llm direct y si el movimiento es invers l semejnz se llm invers. En prticulr, si considermosn l homoteci identidd. Ls semejnzs son movimientos. 3.1 Propieddes de ls semejnzs. Proposición 1. L rzon de ls longitudes de dos segmentos homologos es un semejnz es constnte. A es constnte le llmremos rzon de semejnz. onsideremos un semejnzs S igul l producto de un homoteci H y de un movimiento M, es decir, Smo H. Se A y B dos puntos del plno cuys trnsformds por l homoteci son y B, y que se trnsformn su vez en, B por el movimiento M. Se verific entonces que: B B y B AB de donde, B ) A B AB, B ) D( A, B) A, B) siendo l rzon de l homoteci, es l rzon de l semejnz. Not: undo se hl de rzon de semejnz se supone >0. Proposición 2. 13/19

14 Ls semejnzs trnsformn puntos linedos en puntos linedos y como consecuenci rects en rects. Sen A, B, tres puntos linedos, pr los puntos semejntes tenemos que plicr un homoteci y un movimiento. omo l homoteci y el movimiento conservn l lineción, los puntos semejntes estn linedos. Proposición 3. Ls semejnzs trnsformn ngulos en ngulos igules, del mismo sentido si l semejnz es direct y de sentido contrrio si esinvers. Demostrcion. Ls homotecis conservn ngulos y el sentid por lo tnt si l semejnz es direct, el movimiento es directo y conserv ngulos y sentido. Si l semejnz es invers, el movimiento tmien y cmi el sentido de los ngulos. Oservción. Teniendo en cuent ls propieddes nteriores se dice que dos figurs son semejntes cundo tienen los ngulos correspondientes igules y los ldos homologos proporcionles. 3.2 Producto de semejnzs Proposición. El producto de dos semejnzs de rzones 1, y 2 es otr semejnz de rzón. 1 2 En efect sen A, B dos puntos del plno que se trnsformn en, B respectivmente, por un semejnz de rzón 1 y sen, B ls trnsformds de, B por l semejnz de rzon 2. Se verific que, B ) 1 A, B), B ) 2, B ) d (, B ) 21 A, B) lo que indic que el producto de semejnzs de rzon 1 2. Proposición. 14/19

15 Existe el elemento inverso de un semejnz. Supongmos que S es igul l producto de un homoteci H por un movimiento M, es decir SMH. Tnto H como M tienen inversos H y M y por tnto H o M existe. Veremos que H o M S S o S S ( M o H ) o ( H o S( H o M o M ) o ( M o H ) H ) M o I o M o I o H H M o M I o H I onclusión: el conjunto de ls semejnzs del pln con el producto definid formn un grupo no conmuttivo. El grupo se llm equiforme porque ls semejnzs conservn l form de ls figurs. El conjunto de ls emejnzs directs es un sugrupo del nterior, no si el de ls semejnzs inverss y que el producto de dos semejnzs inverss es un direct. Teorem fundmentl de l semejnz. Existe un unic semejnz que trnsform un tringulo en otro semejnte el. Demostrción B B B 2 α B 1 A P x A 1 α 2 Existenci. Se el tringulo AB, semejnte l,b,, es decir, mos tringulos tienen sus ngulos respectivmente igules y sus ldos proporcionles. L trslción B 1 1, por tnto t de vector A, trnsform el tringulo AB en el tringulo AA 15/19

16 AB t B 1 1 AA El giro de centro y ángulo orientdo B 1 B 2 de semirrect origen B 1 y de semirrect extremo B, trnsform B 1 en B 2. Luego el tringulo B 1 1, G A A B ) B 2 2, En l composición G()o t AA ( B 1 2 t AA G(A,B 1 AB 2 ) AB AB 1 1 AB 2 2 G(A,B 1 AB 2 ) o t AA Puede ocurrir que en el G(,B,B 2 ), l semirrect 2 coincid con l (como indic en l figur), o ien ests dos semirrects pudiern ser simétrics respecto de l B. En este ultimo cso es necesrio plicr l B 2 2 un simetrí xil de eje B con lo que se otendrí un B 2 3 igul l B 2 2 que tendrí el ngulo B 2 2 coincidiendo como ocurre en nuestro cs con el B. Situdos y los dos tringulos. 1º cso B y B º cso B y B 2 3. con estos dos ngulos coincidiend esto es 1º cso B coincidiri con B º cso B coincidiri con B 2 3. se tiene que l proporcionlidd 1º cso 2º cso B2 2 B B2 3 B Existe por tnto en mos cso un homoteci de centro y rzon (l otenid nteriormente) que nos trnsform el tringulo. B 2 2. B o ien B 2 3. H(A A 3 A ) B 16/19

17 L trnsformción producto H(,) o G(,α) o t trnsform el tringulo AB en el B AA y como los movimientos y ls homotecis son semejntes, el producto de dos semejnzs es un semejnz. Luego existe un semejnz que trnsform el tringulo AB en el B. Unicidd ( por reducción l surdo) Supongmos que existiesen dos semejnzs f y g que nos trnsformn el tringulo AB en B. Se x un punto culquier, que tendr f(x)x g(x)x. L rect BX cort A en un punto P y sen f ( P) P se verific que g( P) P" PB P B y que l semejnz conserv ls rzones simples (PB)(B ) Análogmente PB P B por ser (PB)( B ) luego es evidente B B (B ) ( B ) Lo cul olig por ls propieddes de ls rzones simples Del mismo modo (XAP)(X,,) (XAP)(X,,) XA XP XA XP X X X X por tnto (X )(X ) X X luego l semejnz es únic. 17/19

18 3.3 onstruccion del centro de semejnz direct. En el producto de un giro por un homoteci es interesnte determinr o hllr el punto O que se l vez centro de giro y centro de homoteci, que trnsform un segundo AB en otro B siendo estos segmentos directmente semejntes. P B Prolongr B hst que corte l rect B l segmento AB en un punto P. A B O ϕ onstruir -L circunferenci ψ que ps por P, A y -L circunferenci ϕ que ps por P, B y B ψ A El segundo punto de intersección de ψ con ϕ, el O, es el uscdo. En efecto Deern ser igules OABOB siendo y B los trnsformdos de los A y B. Sore l circunferenci ϕ, OAB rc el OP en ψ y OB rc tmien el OP, luego OABOB Tmien puede verificrse que OBAOB En efecto y en ϕ A B O OB P 180 PBO OB P 180 o o A B OPBO El ngulo PBO, sore ϕ rc el rco PO (que contiene B ) El ngulo OBA, sore ϕ rc el rco PO Luego PBOOBA por tnto OB PBOOBA OB OBA 3.4 Ecuciones de l semejnz omo semejnz se puede descomponer en un homoteci y un movimiento o vicevers, ls ecuciones se otienen plicndo en cd cso ls ecuciones correspondientes del movimiento y de l homoteci. Vemos el cso en que l semejnz S se puede descomponer en producto de un homoteci H de centro O(,) y rzon, y un trslción Tu de vector (, ), es decir STu o H Se A(x,y) un punto que se trnsform en (x,y ) medinte l homoteci y este en (x,y ) por l trslción. 18/19

19 19/19 Entonces se otiene plicndo H ) ( ) ( y y x x y si plicmos T u ) ( " ) ( " y y y x x x o ien ) (1 " ) (1 " y y x x que son ls ecuciones de l semejnz dd. Si ñdimos 11 se puede expresr en form mtricil y x y x ) (1 ) (1 1 ) (1 ") ", 1, ( Biliogrfí Recomendd. Puig Adm, P. urso de Geometrí Métric. Ed.Biliotec Mtemátic. Queysnnne, H y Revuz,A. Geometrí. Ed..E..S.A. Tuduri, Fortuni, Jovellnos. Mtemátics OU Angel Primo Mrtínez. Mtemátics OU. Ed.S.M.

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