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1 25 Parte I Eumeració E esta parte se preseta diversas técicas para cotar los elemetos de u cojuto. Paralelamete a la descripció de técicas usuales de eumeració, se preseta tambié problemas clásicos de combiatoria, a los cuales se aplica los resultados que se va obteiedo. Las técicas más secillas basadas e la eumeració de permutacioes y combiacioes se trata e el primero de los tres capítulos que compoe esta primera parte, y se aplica estas técicas a problemas de eumeració de fucioes etre cojutos, palabras de alfabetos, distribucioes, particioes de eteros y la fórmula del biomio. E el segudo capítulo se aaliza alguos pricipios básicos de eumeració, especialmete el pricipio de iclusióexclusió, y se cosidera los problemas de desarreglos, fució de Euler, úmeros de Catala y particioes de eteros. Auque o so estrictamete pricipios de eumeració, se icluye tambié e este capítulo el pricipio del palomar y el teorema de Ramsey. El último capítulo de esta parte está dedicado a las ecuacioes de recurrecia y las fucioes geeradoras. Auque hemos itetado mateer u ivel asequible, estos so los temas que requiere más ivel matemático, y resultará más fáciles al lector que tega cierta familiaridad co las series de potecias. Esta primera parte se cierra co los úmeros de Stirlig y de Bell. Alguos temas de eumeració que requiere coocimietos adicioales se ve e otras partes del texto. Así, por ejemplo, ciertos problemas de eumeració de grafos se trata e la seguda parte, y la teoría de eumeració de Pólya se preseta e la tercera parte.

2 2 Combiacioes y permutacioes 27 Capítulo 2 Combiacioes y permutacioes 1. Seleccioes ordeadas y o ordeadas 2. Alguos ejemplos de aplicació 3. Propiedades de los coeficietes biomiales E este capítulo se expoe los problemas más simples de eumeració que forma parte de la combiatoria elemetal. Los modelos básicos se basa e la eumeració de seleccioes ordeadas y o ordeadas, co o si repetició, de los elemetos de u cierto cojuto. E la secció 1 se obtiee las fórmulas de eumeració de estas seleccioes. A pesar de su simplicidad, estos problemas de eumeració permite resolver ua diversidad cosiderable de problemas, de los cuales hay alguos ejemplos iteresates e la secció 2: el úmero de palabras que puede formarse a partir de u alfabeto, el úmero de solucioes de ciertas ecuacioes eteras, el úmero de aplicacioes etre dos cojutos, la fórmula del biomio y problemas relacioados, y los problemas de distribucioes. Los llamados coeficietes biomiales tiee ua importacia sigular y permite expresar muchos de los resultados de eumeració; la tercera secció está dedicada a aalizar las propiedades más importates de estos úmeros. 2.1 Seleccioes ordeadas y o ordeadas Comezaremos co u recorrido por la combiatoria elemetal cotado de cuátas maeras diferetes se puede seleccioar u cierto úmero de elemetos de u cojuto. Para cotar este úmero es preciso fijar los criterios co que se diferecia ua selecció de otra. Aquí tedremos e cueta dos tipos de criterios: el orde de los elemetos y el úmero de veces que puede aparecer cada uo.

3 28 MATEMÁTICA DISCRETA Si distiguimos dos seleccioes: cuado tiee elemetos diferetes, o bie, cuado los elemetos aparece e u orde diferete, hablaremos de permutacioes. E cambio, si o distiguimos dos seleccioes que sólo difiere e la ordeació de sus elemetos, etoces hablaremos de combiacioes. Por otra parte, si cada elemeto puede aparecer como mucho ua vez, hablaremos de seleccioes si repetició, mietras que, si o hay esta restricció, hablaremos de selecccioes co repetició. Por ejemplo, e el cojuto X 1234 podemos formar 16 permutacioes, co repetició, de dos elemetos, permutacioes, si repetició, de dos elemetos, combiacioes, co repetició, de dos elemetos, y 6 combiacioes, si repetició, de dos elemetos, E esta secció obtedremos ua fórmula para la eumeració del úmero de seleccioes diferetes de elemetos, tomados de u cojuto X de elemetos, que idetificaremos co 12. Lo que resulta más secillo de cotar es el úmero de seleccioes ordeadas co repetició de elemetos. Llamamos PR a este úmero, que se lee permutacioes co repetició de

4 2 Combiacioes y permutacioes 29 elemetos tomados de e. Teemos eleccioes para el primer elemeto de la selecció, y para cada elecció podemos formar todas las permutacioes co repetició de elemetos, pero ahora tomados de 1e 1. Es decir, PR PR 1 Aplicado esta fórmula sucesivamete, y teiedo e cueta que PR 1 (hay eleccioes para el último elemeto), obteemos PR PR 1 2 PR 2 E el ejemplo aterior obteemos PR permutacioes co repetició de cuatro elemetos tomados de 2 e 2. Cosideremos ahora las permutacioes si repetició de elemetos tomados de e,el úmero de las cuales deotaremos por P. Como cada elemeto puede aparecer como mucho ua sola vez e la selecció, es preciso que. Podemos calcular este úmero co u argumeto similar al aterior. Teemos opcioes para el primer elemeto y para cada uo podemos formar las permutacioes de los 1 elemetos restates (ahora u elemeto puede salir e la selecció como mucho ua vez) tomados de 1e 1, de maera que P P 1 1 Como, la aplicació sucesiva de esta relació lleva a P 1 1µ 1µ (el último elemeto se puede escoger etre los 1µ que aú o ha sido escogidos), de dode P 1µ 1µ E particular, cuado, obteemos las permutacioes de elemetos, el úmero de las cuales se deota simplemete como P 1µ Este úmero se represeta co el símbolo!yseleefactorial de. E particular, el símbolo factorial permite escribir P de maera más ecoómica como P! µ! otació que se puede exteder al caso si adoptamos el coveio que 0! 1. Veremos más adelate que este coveio tiee ua justificació combiatoria y permite además dar cohesió a muchas otacioes, de maera que es uiversalmete aceptado. Se puede cosiderar ua situació itermedia etre las permutacioes co repetició y las permutacioes si repetició y tambié es fácil de cotar. Cosiste e fijar de etrada el úmero de veces que cada elemeto debe aparecer e la selecció. Por ejemplo, se puede formar 12 permutacioes co los elemetos de X 1234 de maera que 1 aparezca exactamete dos veces, 2 y 3 aparezca ua sola vez y 4 igua,

5 30 MATEMÁTICA DISCRETA E geeral, supogamos que el elemeto i aparece i veces e la selecció. Formemos u uevo cojuto Y de 1 2 elemetos, e el cual hemos distiguido provisioalmete las i aparicioes de cada elemeto. Formemos ahora las! permutacioes de los elemetos de este cojuto y agrupemos aquellas que difiere sólo e ua permutació de los elemetos del mismo tipo. E el ejemplo aterior obtedríamos los grupos siguietes, E geeral, cada grupo tiee 1! 2!! elemetos, que represeta de hecho la misma permutació cuado dejamos de distiguir los subídices. Así, el úmero de permutacioes de elemetos e los cuales el elemeto i aparece i veces, que deotaremos por P 1,vale P 1! 1! 2!! 1 2 Vamos a cosiderar ahora seleccioes o ordeadas o combiacioes. Dos seleccioes será diferetes si y sólo si tiee elemetos diferetes. Primero cotaremos las combiacioes si repetició de elemetos tomados de e (dode o puede ser más grade que ), y deotaremos este úmero como C. Para esto cosideramos provisioalmete todas las P seleccioes ordeadas, y agrupamos aquellas que sólo difiere e el orde de sus elemetos. E el ejemplo al comiezo de la secció, e el que se formaba seleccioes de dos elemetos de u cojuto de cuatro, obtedríamos los grupos, E geeral, cada uo de los grupos cotiee! permutacioes que represeta la misma combiació, de maera que C P!! µ!! 0

6 2 Combiacioes y permutacioes 31 Este úmero aparece co tata frecuecia e la combiatoria que recibe tambié ua otació y deomiació especiales: se llama coeficiete biomial y se deota por,! µ!! (se dice sobre o escoge ). E ua secció posterior trataremos alguas de las propiedades y aplicacioes de estos úmeros. De mometo observemos que este úmero coicide tambié co el de permutacioes de dos elemetos e que uo se repite 1 veces y el otro 2 veces, P 2!! µ! C (2.1) E la secció siguiete discutiremos ua iterpretació combiatoria de este resultado, pero de mometo os será útil para cotar el último de los úmeros que os iteresa aquí: el de las combiacioes co repetició de elemetos tomados de e, que deotaremos por CR (aquí o es preciso que ). Observemos que si agrupamos las permutacioes co repetició que sólo difiere e el orde, o todos los grupos tiee el mismo tamaño. E el ejemplo del comiezo de la secció, el grupo que correspode a la combiació 11 tiee u úico elemeto, mietras que el que correspode a 12 cotiee las dos permutacioes 12 y 21. Por lo tato, la técica que hemos usado ates para cotar combiacioes si repetició ya o os es útil aquí. E este caso os serviremos de ua estrategia igeiosa. Pogamos 1 barras que defie espacios, uo para cada elemeto del cojuto origial. Idetifiquemos cada ua de las combiacioes co repetició poiedo e cada uo de estos espacios tatas estrellas como elemetos correspodietes haya e la combiació. E el ejemplo tedríamos las correspodecias, De acuerdo co esta correspodecia, hay tatas combiacioes co repetició de elemetos tomados de e como permutacioes de dos elemetos (barras y estrellas) co exactamete 1 barras y estrellas. Ya hemos visto e la expresió 2.1 que este úmero coicide co el de las combiacioes de 1 elemetos tomados de e, de maera que, CR 1 1µ!! 1µ!

7 32 MATEMÁTICA DISCRETA Co este úmero se completa las expresioes más comues de la combiatoria elemetal que resumimos e la tabla que sigue. Tabla 2.1: Número de seleccioes permutacioes si repetició P! µ! C combiacioes co repetició PR CR 1 co repeticioes! µ!! 1µ! 1µ!! 1 1 P 1! 1! 2!! Alguos ejemplos de aplicació El problema de cotar el úmero de seleccioes de elemetos de u cojuto que hemos usado como modelo e la secció aterior es sólo ua referecia a la cual se puede reducir muchos de los problemas de la combiatoria elemetal. E esta secció expodremos uos cuatos de estos problemas y su relació co el problema origial. Palabras de alfabetos Dado u alfabeto de símbolos, A 12, queremos cotar el úmero de posibles palabras diferetes que se puede formar de acuerdo co diversos criterios. El úmero de palabras de ua logitud fijada que se puede formar co símbolos coicide co el de seleccioes ordeadas co repetició: PR Por ejemplo, co ocho bits (ceros o uos) se puede formar palabras. E el caso de que todos los símbolos de ua palabra sea diferetes (por tato ), podemos formar

8 2 Combiacioes y permutacioes 33 tatas palabras como seleccioes ordeadas de elemetos de u cojuto de, es decir, el úmero de permutacioes de elemetos tomados de e, P! µ! Si fijamos la catidad de cada uo de los símbolos que aparece e cada palabra, es decir, exigimos que haya i símbolos i para 1 i (y por tato la palabra tiee logitud 1 2 ), el úmero de palabras que se puede formar es el de permutacioes co repeticioes fijadas, P 1! 1!! E particular, si el alfabeto sólo tiee dos símbolos, el úmero de palabras e que uo de los símbolos aparece exactamete veces y el otro es P 2!! µ! es decir, el úmero de combiacioes de elemetos tomados de e. Cojutos y aplicacioes El úmero de permutacioes co repetició de elemetos de u cojuto de tamaño se puede iterpretar tambié como ua aplicació que le asiga uo de los elemetos a cada ua de las posicioes de la selecció. E la figura siguiete se ilustra esta asigació para 7 y a b c d e a a b b d d e Figura 2.1: Relació etre aplicacioes y seleccioes

9 34 MATEMÁTICA DISCRETA Co esta aalogía, si B 12 y A a 1 a 2 a so dos cojutos fiitos, cada aplicació f : B A se puede idetificar co la selecció ordeada f 1µ f µµ de elemetos de A. El úmero de aplicacioes de B e A es etoces el de permutacioes co repetició PR (por ello se suele represetar el cojuto de aplicacioes de B e A por A B ). Por otra parte, el úmero de aplicacioes iyectivas (es decir, dos posicioes diferetes o puede teer el mismo elemeto) que se puede defiir de B e A es el úmero de permutacioes de elemetos tomados de e, P (y etoces tiee que ser ). E ua secció posterior se trata la eumeració de aplicacioes exhaustivas (problema 5 del capítulo siguiete). Las combiacioes se asocia de maera atural co subcojutos. Ua selecció o ordeada de elemetos de u cojuto de tamaño es de hecho u subcojuto de tamaño. El úmero de subcojutos de elemetos de u cojuto de tamaño es etoces el de las combiacioes C. Aquí admitimos que hay u subcojuto de cero elemetos (el subcojuto vacío) y uo de elemetos (el cojuto de partida), de dode C 0!!0! C 1 cosa que justifica el coveio que hemos adoptado de escribir 0! 1. Ua maera de represetar los subcojutos de tamaño de u cojuto de tamaño cosiste e eumerar los elemetos del cojuto, A a 1 a 2 a, y expresar cada subcojuto B A como ua palabra de logitud de 0 s y 1 s, x 1 x 2 x x i ¾01, de maera que x i vale 1 si el elemeto a i perteece a B y vale cero de otro modo. Por ejemplo, el subcojuto B a 2 a 5 de A a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 se represetaría por la palabra , mietras que el cojuto A etero se represeta por la palabra Volvemos a ecotrar, etoces, que el úmero de palabras de logitud co 1 s y µ 0 s es el mismo que el úmero de subcojutos de tamaño de u cojuto de tamaño,. Biomios y otras expresioes aritméticas El orige de la deomiació coeficiete biomial para los úmeros cálculo del desarrollo de la expresió biomial se ecuetra e el a bµ a bµ a bµ a bµ ßÞ Ð dode es u úmero etero. Desarrollado el producto de los parétesis, se obtiee ua expresió e la cual aparece térmios del estilo a i b i co 0 i. Cada térmio a i b i aparece al escoger a e i de los parétesis y b e los i restates al hacer el producto. Como

10 2 Combiacioes y permutacioes 35 esta elecció se puede hacer de i maeras diferetes, se obtiee la expresió a bµ a b 0 a 1 b 1 a 0 b 1 0 a i b i i llamada fórmula del biomio, e la cual los coeficietes de cada moomio so úmeros combiatorios. De maera similar se obtiee la llamada fórmula multiomial que permite expresar el desarrollo de a 1 a 2 a µ a 1 a 2 a µ a 1 a 2 a µ ßÞ Ð Razoado de la misma maera que e el caso aterior, el coeficiete de a 1 1 a 2 2 a e este desarrollo es el úmero de eleccioes de a i e i de los parétesis, para cada i, 1 i, de dode i0 a 1 a 2 a µ! 1! 2!! a 1 1 a 2 2 a dode el sumatorio se extiede a todas las combiacioes de eteros o egativos 1 2 tales que 1 2. De aquí proviee tambié la deomiació de coeficiete multiomial para P 1 2. Por aalogía co el coeficiete biomial, el multiomial se expresa tambié como µ! 1 2 1! 2!! Supogamos ahora que extedemos la expresió multiomial al caso de que haya ua catidad ifiita umerable de sumados. Para simplificar la situació supodremos que los sumados so potecias de a, a i µ 1 a a 2 a 3 µ i0 E este caso obtedremos ua expresió del estilo c 0 c 1 a c 2 a 2 c 3 a 3 dode el coeficiete c i correspode al úmero de maeras de escoger u sumado e cada uo de los parétesis 1 a a 2 a 3 µ de maera que la suma de las potecias sea i. Para calcular este coeficiete se puede seguir la estrategia siguiete. Idetificamos cada uo de los parétesis co ua bola umerada (de 1 a ), y extraemos ua selecció o ordeada de i bolas

11 36 MATEMÁTICA DISCRETA co repeticioes permitidas. Idetificamos la selecció co ua elecció de potecias e cada parétesis de la maera siguiete. Si e la selecció hay r 1 bolas 1, r 2 bolas 2, y e geeral r i bolas i, tomamos a r 1 e el primer parétesis, a r 2 e el segudo y, e geeral, a r i e el i-ésimo, i. Así, hay tatas combiacioes co repetició de elemetos tomados de i e i como maeras de escoger u sumado e cada parétesis de maera que las potecias escogidas sume i, o sea que c i i 1 i. De aquí que Ecuacioes eteras i0a i µ 1 a a 2 a 3 µ i0 i 1 i a i (2.2) Directamete relacioado co los últimos ejemplos, se puede cosiderar el úmero de maeras diferetes e que se puede escribir u etero como suma ordeada de eteros o egativos, es decir, el úmero de solucioes de la ecuació x 1 x 2 x x i 0 co x i etero o egativo. Por ejemplo, 4 se puede expresar como suma de tres eteros o egativos de las 15 maeras siguietes Este úmero se puede cotar de la maera siguiete. Cosideremos combiacioes co repetició de elemetos de X 12. E cada combiació llamamos x j al úmero de veces que aparece el elemeto j. Etoces, x 1 x 2 x, y cada ua de las combiacioes correspode a ua solució de la ecuació. Además, dos combiacioes diferetes da dos solucioes diferetes. E el ejemplo aterior, la combiació co repetició 2333 del cojuto 123 correspode a la solució x 1 0, x 2 1yx 3 3. El úmero de solucioes es etoces CR 1 Hay otra maera de obteer el mismo resultado. Poemos como la suma de 1 s. Cada expresió de como suma de eteros o egativos se correspode co ua agrupació de los

12 2 Combiacioes y permutacioes 37 uos e grupos, cosa que se puede coseguir poiedo 1 separacioes e el grupo de uos. Por ejemplo, e la lista aterior, Así, hay 1 posicioes e las cuales es preciso poer 1 separacioes y uos. Esto se puede hacer de 1 maeras. Este problema admite diversas variacioes. Por ejemplo, el úmero de solucioes de la ecuació r y 1 y 2 y y i 0 dode y i so ahora eteros positivos y r se puede obteer del problema aterior poiedo x i y i 1 (que será o egativo) y r, es decir, el úmero de solucioes vuelve a ser 1 r 1 1 Si hacemos ahora z i x i a,1 i co a u etero positivo, el úmero de solucioes de la ecuació t z 1 z 2 z co z i a y t a es uevamete t a 1 1 Ejercicio 2.1. Cuál es el úmero de solucioes eteras de la ecuació de maera que x i sea eteros etre 1 y 4? 8 x 1 x 2 x 3 Distribucioes Para acabar esta pequeña lista de ejemplos cosideremos el problema siguiete. Supogamos que teemos cajas umeradas y bolas que se poe e las cajas. El objetivo es cotar cuátas disposicioes diferetes de las bolas e las cajas se puede obteer atediedo a diversos criterios.

13 38 MATEMÁTICA DISCRETA Si cada caja puede coteer como mucho ua bola, y estas está umeradas (es decir, so distiguibles), el úmero de disposicioes diferetes es el de permutacioes de elemetos tomados de e, P (y tiee que ser ). Si cada caja puede coteer más de ua bola, el úmero de disposicioes diferetes es el de permutacioes co repetició, PR. Si las bolas o so distiguibles (sólo difereciamos dos disposicioes por el úmero de bolas e cada caja), teemos CR disposicioes diferetes, y e el caso de que cada caja pudiese coteer sólo ua bola, habría C bolas. Este ejemplo tiee ua aplicació iteresate a la física de partículas. El estado macroscópico de u sistema de partículas se idetifica dado el ivel eergético de cada ua de ellas (y cada ua puede estar e iveles). Así etoces, cada estado se correspode co ua maera de poer bolas (las partículas) e cajas (los iveles). E el modelo de Maxwell- Boltzma, se asume que las partículas so distiguibles (o es lo mismo que la partícula 1 tega ivel a yla2ivelb, que la 1 tega ivel b yla2ivela) de maera que hay PR estados diferetes. E el modelo de Bose-Eistei, se cosidera que las partículas o so distiguibles, de maera que el úmero de estados es CR. E el modelo de Fermi-Dirac se asume que las partículas so idistiguibles y que cumple el pricipio de exclusió de Pauli, segú el cual dos partículas diferetes o puede estar e el mismo estado. El úmero de estados es etoces C. Cada ua de estas hipótesis correspode al comportamieto empírico de diferetes tipos de partículas subatómicas. Ejercicio 2.2. De cuátas maeras se puede poer bolas e cajas de maera que cada caja cotega al meos ua bola si a) las bolas so distiguibles, b) las bolas o so distiguibles? Ejercicio 2.3. De cuátas maeras se puede distribuir tareas e procesadores de maera que cada procesador tega asigada como mucho ua tarea? 2.3 Propiedades de los coeficietes biomiales Como ya hemos cometado ates, los coeficietes biomiales aparece co tata frecuecia que resulta iteresate coocer alguas de sus propiedades. E las demostracioes de estas propiedades usaremos siempre que sea posible argumetos combiatorios, auque o sea, e muchos casos, la úica vía de demostració. Hasta que o se idique lo cotrario, supodremos siempre que, e la expresió, y so eteros o egativos y que. Si teemos e cueta que cueta el úmero de palabras de logitud co exactamete ceros y uos, está claro que la elecció de la posició de los ceros determia la de los

14 2 Combiacioes y permutacioes 39 uos, de maera que Esta es la propiedad de simetría de los coeficietes biomiales, y dice que la sucesió (2.3) tiee ua simetría cetral. Los primeros y últimos térmios de la sucesió so 1 1µ2 y 1µ21 respectivamete. Comparado dos térmios cosecutivos, teemos 1 1 si si de maera que la sucesió aterior crece para y decrece para 2 1. Si es par, el valor más grade es 2, mietras que si es impar, los térmios más grades so 1µ2 1µ2. Hay u algoritmo clásico para calcular para valores moderados de que se llama triágulo de Pascal (o tambié triágulo de Tartaglia) y que se basa e la siguiete propiedad de los coeficietes biomiales: (2.4) 1 Esta es la propiedad de la adició de los coeficietes biomiales. Desde el puto de vista combiatorio, la expresió se puede deducir de la maera siguiete. La familia de subcojutos de tamaño de u cojuto X de tamaño se puede partir e dos subfamilias: la de los subcojutos que o cotiee u cierto elemeto a ¾ X, de los cuales hay tatos como eleccioes 1 de elemetos etre los 1 que queda,, y la de los que cotiee a, tatoscomo 1 eleccioes de 1 elemetos etre los 1 diferetes de a, 1. De aquí la igualdad 2.4. Usado la relació aterior, se puede dispoer los úmeros combiatorios e u triágulo dode el primer y el último úmero de cada fila vale 1 y cada uo de los otros es la suma de los dos que tiee ecima e la fila aterior. Numéricamete,

15 40 MATEMÁTICA DISCRETA La idetidad 2.4 permite obteer otras expresioes combiatorias. Usádola de forma iterada podemos escribir Esta igualdad se puede expresar de ua maera más legible poiedo 1 e el lugar de : i 1 1 (2.5) i 0 1 i0 que proporcioa la suma de coeficietes biomiales cotiguos e los cuales la parte superior y la iferior difiere siempre e ua costate ( e la expresió aterior), motivo por el cual os referiremos a ella como la propiedad de la adició paralela. Sobre el Triágulo de Pascal, esta suma es la de los térmios de u segmeto de diagoal como e la figura          ŠŠŠ Figura 2.2: La propiedad de la adició paralela Como el triágulo de Pascal tiee u eje de simetría cetral, se tedría que poder obteer ua fórmula similar a la igualdad 2.5 aplicado esta simetría sobre las diagoales de la

16 2 Combiacioes y permutacioes 41 figura 2.2. Efectivamete, de esta maera se obtiee la fórmula i 1 i 1 1 (2.6) que proporcioa la suma de coeficietes biomiales cotiguos e los que el ídice superior sigue el ídice de sumació y el iferior es costate, y que llamaremos propiedad de la adició superior. Sobre el Triágulo de Pascal, esta propiedad correspode a sumas diagoales como lasdelafigura Å Å Å Å Å Å Å Å Å 6Å 4Å 1 Â Â Â Figura 2.3: La propiedad de la adició superior Ejercicio 2.4. Obteer la propiedad de la adició superior de las dos maeras siguietes. 1. Usado la propiedad de adició como para obteer la igualdad 2.4, pero descompoiedo el otro sumado. 2. Co el argumeto combiatorio siguiete. Teéis u cojuto de 1 bolas umeradas de 0 a y formáis la familia de subcojutos de tamaño 1. Esta familia se puede partir e las subfamilias formadas por los subcojutos que tiee la bola más alta umerada i, i 1. Las dos propiedades ateriores so muy similares y tiee diversas aplicacioes particulares. Por ejemplo, para 1 obteemos, 1 i0 1 i 1 2 1µ i µ 2 que porporcioa ua fórmula para la suma de los primeros aturales. Los úmeros que se 1 obtiee, 2, se llama úmeros triagulares porque cueta el úmero de térmios e las primeras líeas del triágulo de Pascal (o e ua disposició triagular de bolas). Los primeros so los de la figura 2.4. (2.7)

17 42 MATEMÁTICA DISCRETA Figura 2.4: Represetació geométrica de los primeros úmeros triagulares La fórmula 2.6 para 2 da la expresió i2 i µ 1µ 6 que correspode a la suma de los primeros úmeros triagulares. Por similitud co éstos, los úmeros 1 3 se llama úmeros piramidales, ya que cueta el úmero de elemetos de ua pirámide de base triagular y 1 pisos, siedo el piso i u triágulo como los de la figura 2.4. La suma de úmeros piramidales daría tambié el úmero de putos de u objeto e cuatro dimesioes. Ö Ö Ö Ö Ö Figura 2.5: Represetació geométrica de los primeros úmeros piramidales Expresioes más complejas ivolucra sumas de productos de coeficietes biomiales. La más coocida de estas expresioes es la covolució de Vadermode, i0 m i i m que se deduce co el argumeto combiatorio siguiete. Para obteer todos los subcojutos de tamaño de u cojuto de bolas blacas y m bolas egras, podemos formar todos los que o tiee igua bola blaca (los hay m 0 ), los que tiee ua (los hay m 1 1 )y (2.8)

18 2 Combiacioes y permutacioes 43 así sucesivamete hasta los que tiee todas las bolas blacas (cotado que, cuado a b, etoces a b 0). Observemos que, para m 1, reobteemos la fórmula de adició. Los coeficietes multiomiales se puede obteer tambié como productos de coeficietes biomiales. Recordemos que! 1 1!! 1 cueta el úmero de permutacioes de elemetos e las cuales se repite i veces el elemeto i. Para cotar este úmero podíamos haber hecho lo siguiete. Escogemos primero las 1 posicioes del elemeto 1 (hay 1 maeras de hacerlo). Después escogemos las 2 posicioes del elemeto 2 e las posicioes que queda (de 1 2 maeras) y así sucesivamete para obteer, (2.9) Por ejemplo, Ejercicio 2.5. Demostrar la idetidad La fórmula del biomio a bµ a b a 1 b a 1 b 1 a 0 b permite tambié obteer diversas expresioes co úmeros combiatorios. Poiedo a b 1 obteemos 2 (2.10) E térmios de cojutos, la idetidad dice que u cojuto de elemetos tiee u total de 2 subcojutos, que es tambié el úmero de palabras de logitud que se puede formar co ceros y uos y tambié la suma de todos los coeficietes biomiales de ua líea horizotal del Triágulo de Pascal. Poiedo a 1yb 1 e la fórmula biomial se obtiee 0 1µ 1 1µ 0 (2.11) 1 1

19 44 MATEMÁTICA DISCRETA es decir, que la suma co sigos alterados de cada líea del Triágulo de Pascal da cero, otra cosecuecia de su simetría cetral. Acabamos esta secció co alguos cometarios sobre la fórmula del biomio. Tal como ha sido escrita y deducida, la fórmula sólo es válida para valores de aturales. Lo que resulta más sorpredete es que, co ua extesió adecuada (pero bie atural) de los coeficietes biomiales x para valores reales de x, Newto obtuvo ua fórmula del biomio válida para cualquier potecia (egativa, fraccioaria o irracioal). E la defiició del coeficiete biomial, podemos escribir, para y eteros o egativos,! 1µ 1µ µ!!! x La parte derecha de esta igualdad permite defiir para x real de la maera siguiete, x x x 1µ x 1µ ¾ Æ (2.12)! Así, por ejemplo, o 2 2µ 3µ 4µ µ 12µ 32µ Observemos que si x es u etero meor que, el umerador e la expresió 2.12 es cero. E esta defiició, el miembro iferior del coeficiete biomial,, es siempre u etero o egativo. Se puede geeralizar la defiició para todos los eteros poiedo x 0 etero egativo Hay ua relació precisa etre esta geeralizació de los coeficietes biomiales y la versió origial cuado x es u etero egativo, x. Esta relació, llamada propiedad de iversió, se obtiee de la maera siguiete, µ 1µ 1µ! 1µ 1µ 1µ! 1µ 1

20 2 Combiacioes y permutacioes 45 La fórmula es, de hecho, simétrica, de maera que se puede escribir r r 1 1µ r ¾ (2.13) Ejercicio 2.6. Hemos demostrado la fórmula aterior cuado r es u etero egativo. Demostrarla cuado r es u etero positivo. Esta extesió de los coeficietes biomiales permite geeralizar la fórmula del biomio a cualquier etero, positivo o egativo. Recordemos que e la fórmula 2.2 de la secció aterior habíamos obteido, 1 a a 2 a 3 µ i 1 a i i0 i Cada uo de los factores es la suma de ua serie geométrica de razó a. Si 0 a 1, esta suma vale 1 1 a, de maera que, usado la ecuació aterior, se puede escribir 1 aµ aµµ a 1µ 0 dode ahora el sumatorio de la derecha tiee ua catidad o fiita de térmios. Usado la fórmula de iversió, podemos escribir r 1 aµ r a r ¾ (2.14) 0 que proporcioa ua geeralizació de la fórmula del biomio para cualquier etero r. Sir es positivo, los térmios del sumatorio co el ídice iferior más grade que r so ulos y el sumatorio tiee de hecho r 1 térmios, mietras que si r es egativo, el sumatorio tiee ifiitos térmios. Se puede demostrar (usado el desarrollo e serie de Taylor de la fució f xµ 1 xµ r alrededor del orige) que la fórmula 2.14 es válida para cualquier valor real de r. E u capítulo posterior, al tratar fucioes geeradoras, usaremos esta fórmula y cometaremos qué papel juega la covergecia de la serie que se obtiee. Notas bibliográficas Desde u puto de vista histórico, el desarrollo iicial de la combiatoria elemetal se produjo co el acimieto del cálculo de probabilidades, a fiales del siglo XVII y e relació sobre todo a problemas relacioados co los juegos de azar. Ua de las primeras obras que sistematiza los

21 46 MATEMÁTICA DISCRETA primeros resultados e el cálculo de probabilidades, el Ars cojectadi de J. Berouilli (1713), cotiee ya ua expresió de la fórmula del biomio que después geeralizará Newto. Este orige hace que e muchos textos de probabilidad haya ua buea itroducció a esta parte de la combiatoria. U ejemplo excelete e este setido es el del libro de Feller [3]. El material cubierto e este capítulo se puede ecotrar e cualquier texto elemetal de combiatoria o de matemática discreta. El libro de Aderso [1] cotiee ua exposició a ivel secillo, mietras que e el de Berge [2] se hace ua exposició más compacta. E lo que respecta a las propiedades de los úmeros combiatorios, el texto de Graham, Kuth y Patashi [4] es ua referecia completa y de lectura agradecida. Bibliografía [1] I. Aderso. Itroducció a la Combiatoria, Ed. Vices Vives, [2] C. Berge. Pricipes de Combiatorie, Duod, Paris, [3] W. Feller. A Itroductio to Probability Theory ad its Applicatios (Vol. I), Wiley Itersciece, [4] R. Graham, D. E. Kuth, O. Patashi. Cocrete Mathematics, Addiso Wesley, Problemas 1. Queremos codificar los símbolos alfauméricos (28 letras y 10 cifras) e palabras de ua cierta logitud de u alfabeto biario A 01. Cuál es la míima logitud ecesaria para poderlo hacer? 2. Es suficiete co palabras de hasta 4 de logitud para represetar todas las letras del alfabeto ordiario e leguaje Morse (el leguaje Morse dispoe sólo de dos símbolos: puto y raya)? 3. De cuátas maeras se puede escoger tres úmeros del 1 al 9 de maera que o salga dos cosecutivos? 4. Las placas de matrícula tiee cuatro dígitos uméricos seguidos de dos alfabéticos. Cuátos coches se puede matricular? Ua vez se ha agotado, se propoe que las matrículas pueda estar formadas por seis dígitos alfauméricos (es decir, cifras del 0 al 9 o letras de la A a la Z). Cuátas matrículas uevas se puede hacer? Ua vez agotadas éstas, qué estrategia proporcioaría más matrículas uevas, hacer matrículas co 7 dígitos, o bie añadir u símbolo al alfabeto?

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