Tema 2: Distribuciones bidimensionales

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1 Tema : Dstrbucoes bdmesoales Varable Bdmesoal (X,Y) Sobre ua poblacó se observa smultáeamete dos varables X e Y. La dstrbucó de frecuecas bdmesoal de (X,Y) es el cojuto de valores {(x, y j ); j } 1,, p; j1,,q tal que p j N O equvalete: f j 1 q j p dode j es la frecueca absoluta cojuta o total de elemetos e la poblacó que preseta el valor bdmesoal (x, y j ). La frecueca relatva cojuta f j es la proporcó de elemetos e la poblacó que preseta el valor (x, y j ). f j j N q j

2 Tema : Dstrbucoes bdmesoales La dstrbucó de frecuecas bdmesoal de (X,Y) se puede expresar e ua tabla bdmesoal: y 1 y y j y q x j 1q 1* Columa de frecuecas margales x 1 j q * x 1 j q * Frecueca absoluta j x p p1 p pj pq p* fla columa *1 *q N * *j Fla de frecuecas margales Total de elemetos e la poblacó

3 Tema : Dstrbucoes bdmesoales La dstrbucó de frecuecas bdmesoal de (X,Y) se puede expresar e ua tabla bdmesoal (frecuecas absolutas): y 1 y y j y q x j 1q 1* Total fla 1 1* q j 1 j x 1 j q * x 1 j q * x p p1 p pj pq p* *1 *q N * *j Total de elemetos que preseta el valor x Total de elemetos que preseta x e y j Total fla p Total de elemetos e la poblacó q j * j 1 q p * pj N q j 1 p j 1 1 j Total de elemetos que preseta el valor y j Total columa j p * j j 1

4 Tema : Dstrbucoes bdmesoales La dstrbucó de frecuecas bdmesoal de (X,Y) se puede expresar e ua tabla bdmesoal (frecuecas relatvas): y 1 y y j y q x 1 f 11 f 1 f 1q f 1* x f 1 f f j f q f * x f 1 f f j f q f * x p f p1 f p f pj f pq f p* f 1j Total fla 1 Total fla Proporcó de elemetos que preseta x e y j Proporcó de elemetos que preseta el valor x q f * f j j 1 f *1 f *q 1 f * f *j 1 q p j 1 1 f j Proporcó de elemetos que preseta el valor y j Total columa j f p * f j j 1 Total columa q

5 Tema : Dstrbucoes bdmesoales Uo de los objetvos del aálss de dstrbucoes bdmesoales es estudar s exste asocacó o relacó etre las varables X e Y. A partr de ua dstrbucó bdmesoal se obtedrá dstrbucoes udmesoales de dos tpos: margales y codcoadas. Dos dstrbucoes margales: Margal de X Margal de Y Codcoadas: q dstrbucoes codcoadas de los valores de X a los q valores de Y p dstrbucoes codcoadas de los valores de Y a los p valores de X

6 Tema : Dstrbucoes bdmesoales A partr de ua dstrbucó bdmesoal se puede obteer dstrbucoes udmesoales MARGINALES: Margal de X y Margal de Y. MARGINAL DE X X * f* x 1 1* f 1* x * f * x * f * x p p* f p* N 1 f N MARGINAL DE Y * * Margal de X: expresa cómo se dstrbuye X e la poblacó total, al marge de la otra varable Margal de Y: expresa cómo se dstrbuye Y e la poblacó total, al marge de la otra varable Y y 1 y y j y q *j *1 * *j *q N f *j f *1 f * f *j f *q 1 f * j * j N

7 Tema : Dstrbucoes bdmesoales A partr de ua dstrbucó bdmesoal se puede obteer dstrbucoes udmesoales CONDICIONADAS: de X y de Y. CONDICIONAL DE X / Yy j X j f /j x 1 1j x j j / *j f /j 1j / *j f 1/j Codcoal de X dado Yyj: expresa cómo se dstrbuye X e la subpoblacó que cumple la codcó de presetar el valor Yyj Codcoal de Y dado Xx: expresa cómo se dstrbuye Y e la subpoblacó que cumple la codcó de presetar el valor Xx x j j / *j f /j CONDICIONAL DE Y / Xx Total de elemetos e la subpoblacó Y y 1 y y j y q x p pj pj / *j f p/j j 1 j q * *j 1 Total de elemetos e la subpoblacó f j/ 1 / * / * j / * q / * 1 f 1/ f / f q/ f j/

8 Tema : Dstrbucoes bdmesoales Observa que la fla y columa margales (sombreadas) represeta las frecuecas margales (las absolutas e tabla de la derecha y las relatvas e la de la zquerda). Ejemplo dstrbucó bdmesoal (e frecuecas absolutas y e relatvas): U grupo de 91 ños se clasfca segú su edad (X) y putuacó e u test (Y) Frecuecas absolutas TEST f j j N Frecuecas relatvas TEST Edad , Edad ,110 0,088 0,0 0,0 6 0,077 0,088 0,066 0,31 7 0,0 0,110 0,143 0,75 8 0,011 0,044 0,0 0, , ,0 0,330 0,451 1,000 Cómo se expresa la dstrbucó bdmesoal e frecuecas relatvas a partr de la de frecuecas absolutas? Es muy fácl! Se dvde cada caslla (frecueca absoluta) etre N (91)

9 Tema : Dstrbucoes bdmesoales Ejemplo dstrbucó bdmesoal (e frecuecas absolutas y e relatvas): U grupo de 91 ños se clasfca segú su edad (X) y putuacó e u test (Y) E frecuecas absolutas E frecuecas relatvas TEST Margal TEST Margal Edad Edad ,110 0,088 0,0 0,0 6 0,077 0,088 0,066 0,31 7 0,0 0,110 0,143 0,75 8 0,011 0,044 0,0 0,75 Margal Cómo se terpreta los valores 10 y 0? Margal 0,0 0,330 0,451 1,000 Hay 10 ños que tee 7 años y putuacó 15 e el test. Hay 0 ños co putuacó gual a 10. Cómo se terpreta los valores 0,110 y 0,0? Hay ua proporcó de 0,11 ños que tee 7 años y putuacó 15 e el test. El % de los ños tee putuacó gual a 10.

10 Tema : Dstrbucoes bdmesoales Ejemplo (cotuacó) Dstrbucoes margales de la Edad y Test Dstrbucó margal de la Edad Dstrbucó margal Del Test Edad Número alumos 5 0 0, , , ,75 91 Proporcó de alumos 1 TEST úmero de alumos 10 0 proporcó de alumos , , ,0 1 Observa que el total de dvduos observados e cada margal es 91. Todos. qué porcetaje de ños tee edad gual 5? qué proporcó de alumos obtee e el test más de 15 putos?

11 Observa que la últma fla está formada por uos. Hay 3 dstrbucoes codcoadas. Ua margal. Tema : Dstrbucoes bdmesoales Ejemplo (cotuacó) Dstrbucoes codcoadas de la Edad a los valores del test Dstrbucó bdmesoal TEST Edad Cómo se hace? Dstrbucoes codcoadas de la Edad TEST Edad ,500 0,67 0,049 0,0 6 0,350 0,67 0,146 0,31 7 0,100 0,333 0,317 0,75 8 0,050 0,133 0,488 0,75 1,000 1,000 1,000 1,000 Se dvde cada caslla de la bdmesoal (tabla zquerda) etre el total de columa. Las flechas de la tabla dca la dreccó e que se ha de hacer los cálculos Por ejemplo, para obteer la dstrbucó codcoada de la Edad / test 10 se dvde cada caslla de la columa ecabezada por 10 por el total de columa (0). Observa que la poblacó que cumple esa codcó es de 0 ños.

12 Tema : Dstrbucoes bdmesoales Ejemplo (cotuacó) Dstrbucoes codcoadas de la Edad a los valores del test Dstrbucó bdmesoal Dstrbucoes codcoadas de la Edad TEST Edad ,110 0,088 0,0 0,0 6 0,077 0,088 0,066 0,31 7 0,0 0,110 0,143 0,75 8 0,011 0,044 0,0 0,75 TEST Edad ,500 0,67 0,049 0,0 6 0,350 0,67 0,146 0,31 7 0,100 0,333 0,317 0,75 8 0,050 0,133 0,488 0,75 1,000 1,000 1,000 1,000 0,0 0,330 0,451 1,000 Cómo se hace s la dstrbucó bdmesoal está e frecuecas relatvas? Igual que ates. Se dvde cada caslla de la bdmesoal (tabla zquerda) etre el total de columa. Las flechas de la tabla dca la dreccó e que se ha de hacer los cálculos Por ejemplo, para obteer la dstrbucó codcoada de la Edad / test 10 se dvde cada caslla de la columa ecabezada por 10 por el total de columa (0,0). Observa que la poblacó que cumple esa codcó es de ua proporcó gual a 0,0 ños. Observa que la últma fla está formada por uos. Hay 3 dstrbucoes codcoadas de la Edad. Ua margal de la Edad.

13 Tema Ejemplo (cotuacó) Dstrbucoes codcoadas del Test a los valores de la edad Dstrbucó bdmesoal Dstrbucoes codcoadas del Test TEST Edad ,110 0,088 0,0 0,0 5 0,077 0,088 0,066 0,31 6 0,0 0,110 0,143 0,75 7 0,011 0,044 0,0 0,75 TEST Edad ,500 0,400 0, ,333 0,381 0, ,080 0,400 0, ,040 0,160 0, ,0 0,330 0,451 1 Cómo se hace? 8 0,0 0,330 0,451 1,000 Las flechas de la tabla dca la dreccó e que se ha de hacer los cálculos Por ejemplo, para obteer la dstrbucó codcoada del test /Edad6 años se dvde cada caslla de la fla ecabezada por 6 etre el total de fla (0,31). Observa que la poblacó que cumple esa codcó es de ua proporcó gual a 0,31 ños. Observa que la últma columa está formada por uos. Hay 4 dstrbucoes codcoadas del test. Y la margal del test.

14 Tema Uo de los objetvos del aálss de dstrbucoes bdmesoales es estudar s so depedetes o por el cotraro, exste asocacó o relacó etre las varables X e Y. Las varables X e Y se dce que so depedetes s los valores de ua de ellas o afecta a la dstrbucó de la otra. Esto equvale a decr que todas las dstrbucoes codcoadas sea guales. De modo equvalete se dce que las varables X e Y so depedetes s se cumple que la frecueca relatva cojuta es gual al producto de las frecuecas relatvas margales. S las varables o so depedetes se dce que está relacoadas o asocadas. Las dstrbucoes codcoadas NO so guales.

15 Tema Ejemplo: Comprueba s so o o depedetes las varables X e Y de la dstrbucó bdmesoal (X, Y) sguete: y1 y x x x x Cálculo Basta ver que las dstrbucoes codcoadas so guales. Por ejemplo, las codcoadas de X/Y Codcoadas de X a los valores de Y: X/Y y1 y Cómo se hace los cálculos? Lectura x1 0,404 0,404 0,404 x 0,11 0,11 0,11 x3 0,63 0,63 0,63 x4 0,13 0,13 0, Vertcalmete: Dvdedo cada caslla (frecueca) etre el total de columa Observa que la varable X se dstrbuye gual e el cojuto de dvduos que preseta la codcó Yy1, que e el grupo que cumple Yy. La lectura de la tabla de codcoadas se hace e setdo cotraro al que se haya realzado los cálculos; es decr, e el ejemplo la lectura es horzotal: Fla 1: 0,404 0,404; Fla : 0,110,11; Fla 3: 0,630,63; Fla 4: 0,130,13. Todas las codcoadas so guales. Por tato las varables X e Y so INDEPENDIENTES

16 Tema Ejemplo (Cotuacó): Comprueba s so o o depedetes las varables X e Y de la dstrbucó bdmesoal (X, Y) sguete: Cálculo y1 y x x x x Otro modo de ver que so depedetes es comprobado que las dstrbucoes codcoadas de Y/X so todas guales. Codcoadas de Y a los valores de X: Y/X Lectura y1 x1 0,50 0,750 1,000 x 0,50 0,750 1,000 x3 0,50 0,750 1,000 x4 0,50 0,750 1,000 y 0,5 0,75 1 Cómo se hace los cálculos? Horzotalmete: Dvdedo cada caslla (frecueca) etre el total de fla Observa que la varable Y se dstrbuye gual e el cojuto de dvduos que preseta la codcó Xx1, que e el grupo que cumple Xx,, y que e el grupo Xx4. La lectura de la tabla de codcoadas se hace e setdo cotraro al que se haya realzado los cálculos; es decr, e el ejemplo la lectura es vertcal: Columa 1: 0,50 0,50 0,50 0,50 ;Columa : 0,7500,7500,7500,750. Todas las codcoadas so guales. Por tato las varables X e Y so INDEPENDIENTES

17 Tema Ejemplo (Cotuacó): Comprueba s so o o depedetes las varables X e Y de la dstrbucó bdmesoal (X, Y) sguete: (Puedes hacerlo co frecuecas absolutas o co relatvas) y1 x x x x y Otro modo de ver que so depedetes es comprobado que las frecuecas relatvas cojutas verfca la ecuacó: f j f* f* j O la equvalete Cómo? Comprueba que cada frecueca absoluta verfca la ecuacó. Por ejemplo, 15 j * N * j y1 y x1 0,101 0,303 0,404 x 0,053 0,158 0,11 x3 0,066 0,197 0,63 x4 0,031 0,09 0,13 0,50 0,750 1,000 Cómo? s preferes usar la prmera ecuacó: Se obtee la dstrbucó bdmesoal e frecuecas relatvas. Para ello dvde cada caslla correspodete a ua frecueca absoluta etre 8 Por ejemplo, 0,1013/8. Comprueba luego que se verfca 0,1010,0404 por 0,.50; 0,303 0,404 por 0,750;.., 0,09 0,13 por 0,750.

18 Tema : Dstrbucoes bdmesoales Resumedo, habrás observado que ua tabla bvarate para ua bdmesoal (X, Y) puede expresarse e frecuecas absolutas y relatvas. Cuado las varables X o Y so cualtatvas se deoma tabla de cotgeca Ua tabla e proporcoes puede dcar que hay ua sola dstrbucó bdmesoal o que hay varas dstrbucoes udmesoales codcoadas. Cómo puedo saber s hay ua sola dstrbucó de carácter bdmesoal o varas codcoadas (udmesoales)? La respuesta es fácl. S la suma de todas las frecuecas de la tabla es 1, hay ua sola dstrbucó bdmesoal. Estas proporcoes se obtee dvdedo cada frecueca absoluta j etre el total de elemetos N. S la suma de cada columa es 1, hay tatas dstrbucoes como columas. Las proporcoes se ha obtedo dvdedo cada caslla por el total columa. S la suma de cada fla es 1, hay tatas dstrbucoes como flas. Las porporcoes se ha obtedo dvdedo cada caslla por el total de fla. Vamos a repasar u ejemplo que ya vmos.

19 Tema Ejemplo (repaso) TEST Edad Observa que la suma de las frecuecas de cada fla es 1 5 0,500 0,400 0, ,333 0,381 0, ,080 0,400 0, ,040 0,160 0, ,0 0,330 0,451 1 Hay 5 dstrbucoes UNIDIMENSIONALES: 4 codcoadas y ua margal Cómo se terpreta la frecueca 0,100 de la fla 1? El 10% de los ños que tee 5 años ha obtedo ua putuacó de 130 e el test Cuál es la dstrbucó codcoada del Test para el grupo que tee 8 años? TEST Edad ,040 0,160 0,800 1 Cómo se dstrbuye la edad? No se puede saber co la formacó que hay e la tabla bdmesoal

20 Tema : Dstrbucoes bdmesoales Cuado las varables X o Y so cualtatvas se deoma tabla de cotgeca. U aálss típco de ua tabla de cotgeca es el estudo de la posble asocacó o relacó etre las varables X e Y. U medda muy mportate de asocacó es el estadístco Ch-cuadrado: p q ( t j j ) χ t 1 j 1 j Co t j * N * j Dode t j es el valor de la frecueca que teórcamete se observaría s las varables X e Y fuera depedetes

21 Ejemplo: Tema Vamos a calcular este estadístco e los dos ejemplos aterores. y1 y x x x x Co p q ( t j j ) χ t 1 j 1 t j * N * j j Observa que: t ; t1 69;...; t Observa que todo t j cocde co lo observado realmete ( j ) y los umeradores de la expresó de Ch-cuadrado so todos ulos, y por tato la suma y Ch-cuadrado es cero.

22 Tema Ejemplo:Veamos el valor de ch-cuadrado e la tabla sguete: TEST p q ( t j j ) χ t 1 j 1 j Edad Co t j * N * j t ,396; t1 6,593;...; t ,64 Para realzar los cálculos es cómodo colocar columas que dque los pasos sucesvos a realzar para obteer el estadístco:

23 Tema Ejemplo:Veamos el valor de ch-cuadrado e la tabla sguete: Valores observados ( j ) Valores teórcos bajo depedeca (t j ) TEST Edad TEST Edad ,396 6,593 9, ,615 6,93 9, ,495 8,4 11, ,495 8,4 11, t ,396; t1 6,593;...; t ,64 Para realzar los cálculos es cómodo colocar columas que dque los pasos sucesvos a realzar para obteer el estadístco:

24 Tema Ejemplo:Cálculo ch-cuadrado (cotuacó): La tabla sguete dca los cálculos ecesaros j t j j -t j ( j -t j )^ ( j -t j )^ / t j 10 4,3956 5, ,4093 7, ,6154,3846 5,6864 1,31 5,4945-3,4945 1,116,5 1 5,4945-4,4945 0,006 3,6765 p q ( t j j ) χ t 1 j 1 j 8 6,5934 1,4066 1,9785 0, ,931 1,0769 1,1598 0, ,418 1,758 3,0914 0, ,418-4,418 17,995,1831 9,0110-7, ,1540 5, ,4615-3, ,98 1, ,637 1,7363 3,0146 0, ,637 8, ,33 6,7759 La suma de la últma columa es el valor de ch-cuadrado 31,067

25 Tema Aálss de regresó El aálss de regresó cosste e la búsqueda de ua fucó que exprese la forma e que se relacoa ua varable depedete (Y) co ua o más varables depedetes (X) Nos ocuparemos sólo del caso de regresó leal smple: ua varable depedete y otra depedete. Se supoe que la relacó etre las varables es aproxmadamete leal (ua recta). Ua forma vsual de comprobar s es o o leal la trayectora de la relacó etre las varables es medate el deomado dagrama de dspersó o ube de putos.

26 Tema Gráfco de dspersó o Nube de putos. Es la represetacó gráfca e el plao del cojuto de putos (x, y) que costtuye los valores bdmesoales de la varable bdmesoal (X, Y). Reta y mortaldad fatl e 6 países Reta Mortaldad , , mortaldad 5,00 4,00 Se observa ua trayectora cas leal 3,00,00 100,00 110,00 10,00 130,00 140,00 150,00 reta

27 Tema Recta de regresó de Y sobre X. La recta de regresó Y/X preseta la forma: Y a + bx Varable depedete Ordeada e el orge Pedete Varable depedete El objetvo es ecotrar los valores a y b que defe la recta que se ecuetra a la míma dstaca de los putos de la ube. El procedmeto que permte ecotrar dcha recta se deoma de mímos cuadrados

28 Tema Recta de regresó de Y sobre X: Y/X: Ya+bX S d ( y y' ) ( y a bx ) Para obteer el mímo de S se derva la ecuacó ateror respecto de a y b. El sstema de ecuacoes geerado vee dado por: y x y a a + b x x + b x Y mortaldad 7,00 6,00 y 5,00 4,00 y 3,00 Reta y mortaldad fatl e 6 países Ya+bX o (x, y ) d y -y b Y la solucó a y b es: xy XY N Cov( X, Y ) x Var( X ) X N a Y,00 bx 100,00 110,00 10,00 130,00 140,00 150,00 reta x Nota: El estadístco Cov(X,Y) se deoma covaraza de X e Y. X

29 Tema Recta de regresó de X sobre Y. La recta de regresó X/Y preseta la forma: X a'+ b' Y Varable depedete Ordeada e el orge Pedete Varable depedete El objetvo es ecotrar los valores a y b que defe la recta que se ecuetra a la míma dstaca de los putos de la ube. El procedmeto que permte ecotrar dcha recta se deoma de mímos cuadrados

30 Tema Recta de regresó de X sobre Y: X/Y: Xa +b Y x x d ) ' ( S 100,00 110,00 10,00 130,00 140,00 150,00 reta,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 mortaldad Reta y mortaldad fatl e 6 países Y X (x, y ) o x d x -x Xa +b Y y b a x ) ' ' ( Para obteer el mímo de S se derva la ecuacó ateror respecto de a y b. El sstema de ecuacoes geerado vee dado por: x + + y b y a y x y b a x ' ' ' ' Y la solucó a y b es: ) ( ), ( ' Y Var Y X Cov Y N y XY N y x b Nota: Observa que el procedmetos es el msmo salvo que se camba los papeles de X por Y. Las dstacas ahora so horzotales (paralelas al eje X). b Y X a ' '

31 Tema Las rectas de regresó de Y sobre X y de X sobre Y se corta e el puto medo de las varables. Cuado el ajuste es perfecto, las dos rectas cocde Reta y mortaldad fatl e 6 países Y a + 7,00 bx 6,00 X a'+ b' Y mortaldad 5,00 4,00 o ( X, Y ) 3,00,00 100,00 110,00 10,00 130,00 140,00 150,00 reta

32 Ejemplo: Reta Reta(X) Tema Obtega las rectas de regresó de Y sobre X y de X sobre Y. YMortaldad fatl, XReta per cápta Y a + bx X a'+ b' Y Mortaldad Mortaldad (Y) XY X^ Recta de regresó de Y sobre X: b xy XY N Cov( X, Y ) x Var( X ) X N a Y bx Y a + Para determar a y b ecestamos los cálculos que expresamos por comoddad e las columas de la tabla sguete: x 770 y X 18,333 N V ( X ) 6 x X N Y N ,333 6 bx 3 3, ,889 x y 770 Cov( X, Y ) XY 18, ,78 N 6 Cov( X, Y ) 30,78 b 0,096 Var( X ) 313,889 a Y bx 3,833 ( 0,096 18,333) 16,1

33 Ejemplo (cotúa): Tema La ecuacó de la recta de regresó de Y sobre X es: Y 16,1 0, 096X Obtega la recta de regresó de X sobre Y: X a'+ b' Y Reta(X) Mortalda d(y) XY Y^ b' x y N y N XY Y Cov( X, Y ) Var( Y ) a ' X b' Y V ( Y ) y N Y 107 3, ,139 Cov( X, Y ) 30,78 ' 9,646 Var( Y ) 3,139 b a' X b' Y 18,333 ( 9,646 3,8333) 165, 310 X 165,310 9, 646Y

34 Tema Coefcete de correlacó leal de Pearso. U coefcete muy usado para medr el grado de relacó leal etre las varables X e Y es el debdo a Pearso, que otamos co r Se defe como el cocete etre la covaraza y el producto de las desvacoes típcas de las varables Al coefcete r al cuadrado se deoma coefcete de determacó y expresa la proporcó de varacó de la varable depedete que es explcada por la depedete. També se usa como medda de bodad de ajuste. Ua propedad teresate del coefcete de correlacó leal de Pearso es que está compreddo etre los valores -1 y 1. El valor 0 dca auseca de correlacó leal. Los valores -1 y 1 dca correlacó leal perfecta (todos los putos está sobre las rectas de regresó), el egatvo dca que cuado ua varable crece (dsmuye) la otra decrece (aumeta) y el postvo dca que cuado ua aumeta (dsmuye) la otra també aumeta (dsmuye). Se dce que la correlacó es más débl cuato más se aproxma a cero. Y más fuerte cuato más se aproxma a los extremos -1 ó 1. r Cov( X, Y ) 1 r 1 σ σ x y r Cov ( X, Y ) V ( X ) V ( Y ) Cov( X, Y ) V ( X ) Cov( X, Y ) V ( Y ) b b'

35 Tema Ejemplo: Co los datos del ejemplo ateror determa el coefcete de correlacó leal de Pearso y Coefcete de determacó. Iterpretacó. r Cov ( X, Y ) ( 30,78) 0,930 V ( X ) V ( Y ) 313,889 3,139 El 93% de la varabldad de la varable depedete es explcada por la depedete r 0,930 0,965 El coefcete de correlacó leal de Pearso preseta u valor egatvo y próxmo a -1 (-0,965), por tato, las varables está relacoadas lealmete co fuerte grado de relacó postva. Es decr, cuato mayor es la reta meor es la mortaldad. Observa que el sgo de la correlacó es el sgo de la covaraza

36 Tema Ejemplo: Co los datos del ejemplo ateror determa el coefcete de correlacó leal de Pearso y Coefcete de determacó. Iterpretacó. r Cov ( X, Y ) ( 30,78) 0,930 V ( X ) V ( Y ) 313,889 3,139 El 93% de la varabldad de la varable depedete es explcada por la depedete r 0,930 0,965 El coefcete de correlacó leal de Pearso preseta u valor egatvo y próxmo a -1 (-0,965), por tato, las varables está relacoadas lealmete co fuerte grado de relacó egatva. Es decr, cuato mayor es la reta meor es la mortaldad. Observa que el sgo de la correlacó es el sgo de la covaraza

37 Tema Ejemplo: Co los datos del ejemplo ateror determa la recta de regresó de Test sobre Edad, el coefcete de correlacó leal de Pearso y Coefcete de determacó. Iterpretacó. Determa el valor esperado o ajustado para el test para u ño de 10 años. TEST Edad r Test a + bedad r Cov ( X, Y ) σ σ X Cov ( X, Y ) V ( X ) V ( Y ) Y Test a + b Vamos a expresar la tabla e u formato más cómodo para realzar los cálculos: 3 columas Nota: Observa que e el ejemplo Edad Test Frecuecas que vmos aterormete se omtó la columa frecuecas por valer 1

38 Tema Ejemplo (cotuacó): La tabla sguete recoge los cálculos ecesaros EdadX TestY frecuecas X Y XY X^ Y^ Test a + bedad Y a + bx

39 Tema Ejemplo (cotuacó): 16, ,6044; Y X, ,1538 6, ), ( Y X Cov 1,81 6, ) ( X V , 16, ) ( Y V 113,0619 6,6044 1,983 16,1538 1,983 1,81,4345 a b Edad Test bx a Y bedad a Test 1,98, ,5593 0,318 15,469 1,81,4345 ) ( ) ( ), ( r Y V x V Y X Cov r 10 1,98 113,06 13,86 1,98 113, Edad Test

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