NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICA UTILIZADAS EN EDUCACIÓN

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1 UNIVERSIDAD DE CHILE VICERRECTORÍA DE ASUNTOS ACADÉMICOS DEPARTAMENTO DE EVALUACIÓN, MEDICIÓN Y REGISTRO EDUCACIONAL NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICA UTILIZADAS EN EDUCACIÓN SANTIAGO, septembre de 2008

2 NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICA UTILIZADAS EN EDUCACIÓN QUÉ ES LA ESTADÍSTICA? La estadístca es ua dscpla que dseña los procedmetos para la obtecó de los datos, como asmsmo proporcoa las herrametas que permte extraer la formacó. Los métodos estadístcos costtuye uo de los medos por los que el hombre trata de compreder la geeraldad de la vda. Los métodos objetvos y cotrolados que permte abstraer grupos de tedecas de muchos dvduos aslados, so llamados métodos estadístcos. Estos so fudametalmete los msmos, depedetemete de que se aplque e el aálss de feómeos físcos, e el estudo de medcoes educacoales, e el estudo de datos proveetes de expermetos bológcos, o del aálss cuattatvo del materal e ecoomía Los ejemplos de estas ocoes báscas so tomados de aquellos usados e educacó y prcpalmete e la etapa de térmo de la Educacó Meda y su postulacó a la Educacó Superor. Estadístca descrptva La estadístca descrptva es u cojuto de procedmetos que tee por objeto presetar masas de datos por medo de tablas, gráfcos y/o meddas de resume. De acuerdo a lo ateror, la estadístca descrptva es la prmera etapa a desarrollar e u aálss de formacó. Tablas de Frecuecas: Ua forma de presetar ordeadamete u grupo de observacoes, es a través de tablas de dstrbucó de frecuecas. La estructura de estas tablas depede de la catdad y tpo de varables que se está aalzado, sedo las más smples las que se refere a ua varable.

3 EJEMPLO : Se tee las otas de ua prueba de matemátca para 1000 alumos de eseñaza meda de u determado colego. Se resume la formacó e la sguete tabla de frecueca. NOTA FRECUENCIA NOTA FRECUENCIA 1,2 1 4,2 46 1,4 2 4,4 48 1,6 3 4,6 52 1,8 8 4,8 58 2,0 15 5,0 60 2,2 18 5,2 56 2,4 19 5,4 54 2,6 22 5,6 51 2,8 25 5,8 50 3,0 26 6,0 46 3,2 28 6,2 44 3,4 31 6,4 40 3,6 35 6,6 32 3,8 38 6,8 31 4,0 45 7,0 18 E ua tabla se puede dstgur los sguetes tpos de frecuecas: Frecueca Absoluta : Es el úmero de repetcoes que preseta ua observacó. Se deota por Frecueca Relatva : Es la frecueca absoluta dvdda por el úmero total de datos. Se deota por f Frecueca Absoluta Acumulada : Es la suma de los dsttos valores de la frecueca absoluta tomado como refereca u dvduo dado. La últma frecueca absoluta acumulada es gual al úmero de casos. Se deota por N Frecueca Relatva Acumulada : Es el resultado de dvdr cada frecueca absoluta acumulada por el úmero total de datos. Se deota por F

4 Para el ejemplo propuesto se determaro las dsttas frecuecas, las que se muestra e la sguete tabla: NOTA FREC. ABSOLUTA FREC. ABSOLUTA ACUMULADA FREC. RELATIVA FREC RELATIVA ACUMULADA 1, ,001 0,00 1, ,002 0,00 1, ,003 0,01 1, ,008 0,01 2, ,014 0,03 2, ,018 0,05 2, ,019 0,07 2, ,022 0,09 2, ,025 0,11 3, ,026 0,14 3, ,027 0,17 3, ,031 0,20 3, ,035 0,23 3, ,038 0,27 4, ,045 0,31 4, ,046 0,36 4, ,048 0,41 4, ,052 0,46 4, ,058 0,52 5, ,060 0,58 5, ,056 0,63 5, ,054 0,69 5, ,051 0,74 5, ,050 0,79 6, ,046 0,84 6, ,044 0,88 6, ,040 0,92 6, ,032 0,95 6, ,031 0,98 7, ,018 1 TOTAL 1000 Nota: S la frecueca relatva y relatva acumulada la multplcamos por 100, los valores obtedos represeta porcetajes, lo que faclta la terpretacó de los datos.

5 De esta tabla se puede sacar coclusoes como: 45 alumos obtuvero ota 4,0 578 alumos obtuvero ota feror o gual a 5,0 El 1,8 % de los alumos obtuvo ota 7,0 El 31 % obtuvo ota 4.0 o feror a ésta, metras que el 69% obtuvo ua ota superor a 4,0 Esta formacó també puede ser represetada e forma gráfca como se muestra a cotuacó: HISTOGRAMA FRECUENCIAS ,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5 5,2 5,4 5,6 5,8 6 6,2 6,4 6,6 6,8 7 NOTAS E el hstograma se observa gráfcamete la dstrbucó de las otas de la prueba, y que los putos más altos está e las otas 4,8; 5,0 y 5,2 las que cocde co las frecuecas más altas de la tabla. Otra forma de represetar los datos es a través de u polígoo de frecuecas que es u gráfco de putos e el cual se muestra la dstrbucó dbujada puto por puto represetado los valores específcos de la varable bajo estudo.

6 E el ejemplo se puede observar que se represeta los 30 valores que toma las otas. La frecueca más alta de alumos la alcaza la ota 5,0 POLIGONO DE FRECUENCIA FRECUENCIA ,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5 5,2 5,4 5,6 5,8 6 6,2 6,4 6,6 6,8 7 NOTAS La ojva o polígoo de frecueca acumulada os muestra justamete las frecuecas acumuladas. E uestro ejemplo la Ojva os dce que hay alrededor de 800 alumos que obtuvero ota 6 o meos e la prueba de matemátca. OJIVA O POLIGONO DE FRECUENCIA ACUMULADA FRECUENCIA ,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5 5,2 5,4 5,6 5,8 6 6,2 6,4 6,6 6,8 7 NOTAS

7 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las meddas de tedeca cetral so valores umércos que tede a localzar la parte cetral de u cojuto de datos. Nos da u cetro de la dstrbucó de frecuecas, es u valor que se puede tomar como represetatvo de todos los datos. Hay dferetes modos para defr el "cetro" de las observacoes e u cojuto de datos. A cotuacó se preseta los más usados. La Meda artmétca: també deomada promedo, es la que se utlza prcpalmete y se defe como la suma de los valores de todas las observacoes dvddas por el úmero total de datos. Se represeta por x o por la letra μ segú se calcule e ua muestra o e la poblacó, respectvamete. NOTA FREC. ABSOLUTA FREC. ABSOLUTA ACUMULADA FREC. RELATIVA % FREC RELATIVA ACUMULADA % 1, ,1 0,1 1,2 1, ,2 0,3 2,8 1, ,3 0,6 4,8 1, ,8 1,4 14,4 2, ,4 2,8 28,0 2, ,8 4,6 39,6 2, ,9 6,5 45,6 2, ,2 8,7 57,2 2, ,5 11,2 70,0 3, ,6 13,8 78,0 3, ,7 16,5 86,4 3, ,1 19,6 105,4 3, ,5 23,1 126,0 3, ,8 26,9 144,4 4, ,5 31,4 180,0 4, ,6 36,0 193,2 4, ,8 40,8 211,2 4, ,2 46,0 239,2 4, ,8 51,8 278,4 5, ,0 57,8 300,0 5, ,6 63,4 291,2 5, ,4 68,8 291,6 5, ,1 73,9 285,6 5, ,0 78,9 290,0 6, ,6 83,5 276,0 6, ,4 87,9 272,8 6, ,0 91,9 256,0 6, ,2 95,1 211,2 6, ,1 98,2 210,8 7, ,8 100,0 126,0 TOTAL ,0 x *

8 La fórmula para calcular el promedo es etoces: x = = 1 x E el ejemplo dado que se tee ua dstrbucó de frecuecas el promedo se calcula por: x Dode: = = 1 x x : Represeta la frecueca absoluta de cada grupo. : Correspode a la clase de cada grupo. : Catdad total de datos. Aplcado la fórmula se obtee: x 4717 = = ,717 Por lo tato, la meda de otas de los alumos e la prueba de matemátca es de 4,7 Propedades de la meda artmétca: Puede ser calculada e dstrbucoes co escala relatva e tervalar. Todos los valores so cludos e el cálculo de la meda. Ua sere de datos solo tee ua meda. Es ua medda muy útl para comparar dos o más poblacoes. Es la úca medda de tedeca cetral dode la suma de las desvacoes de cada valor respecto a la meda es gual a cero. Por lo tato, podemos cosderar a la meda como el puto de balace de ua sere de datos.

9 Desvetajas de la meda artmétca S alguo de los valores es extremadamete grade o extremadamete pequeño, la meda o es el promedo apropado para represetar la sere de datos. No se puede determar s e ua dstrbucó de frecuecas hay tervalos de clase abertos. Observacoes: 1. A veces se terpreta erróeamete a la meda como aquel valor que es típco, o que se esperaría que la mayoría de las persoas tuvera. Esta terpretacó puede ser bastate absurda e alguos casos, por ejemplo, cuado se calcula la meda de hjos e u grupo de mujeres, se obtee que es de 2.3 ños y, obvamete, o se puede esperar ecotrar ua madre co exactamete 2.3 ños. Todo lo que la cfra dce, es que s dvdmos el úmero total de ños de las mujeres cosderadas por el úmero de mujeres, el resultado es 2.3 ños por mujer. Esto puede ser u coocmeto útl e la comparacó de tamaño de famla, de dos o más grupos, pero o sugere que algua mujer tega 2.3 ños. 2. Otras veces se pesa que la meda artmétca tee la característca que la mtad de las observacoes es meor o gual que la meda. Este cocepto es totalmete errado e alguos casos, por ejemplo, s la dstrbucó es asmétrca a la derecha, como puede ser la dstrbucó de salaros dode hay muchas persoas que gaa poco y hay pocas persoas que gaa mucho, la meda artmétca resultará mucho más grade de lo que uo esperaría ecotrar, s se pesa que el valor cetral debe ser tal que la mtad de las persoas tee u salaro feror a él y la otra mtad u salaro superor. Esto se debe a la preseca de uos pocos valores excesvamete grades que al teer demasada flueca e el valor de la meda artmétca hace que ella se ubque e ua poscó más extrema a la esperada. E cosecueca debería pesarse e otras meddas para evaluar u valor cetral co esta característca.

10 Medaa: Se defe como el valor que deja gual úmero de observacoes a su zquerda que a su derecha, es decr, dvde al cojuto de datos e dos partes guales y se deota por Me. S los datos o está tabulados la medaa se determa, ordeado las observacoes de meor a mayor y determado el valor cetral. S la catdad de datos es mpar, la medaa se represeta justamete por ese valor. E cambo, s la catdad es par, la medaa es el promedo de los datos cetrales. S los datos está agrupados la medaa se calcula observado los sguetes pasos: prmero se debe determar cuato es /2, luego se verá e cuál tervalo estará cotedo este valor. Ua vez ubcado el tervalo que lo cotee se procede a reemplazar e la sguete fórmula: Dode: Me = L + 2 ( N ) ( ) L : Es el límte feror de la clase que cotee la medaa. (N ) Me-1 Frecueca absoluta acumulada de la clase que precede (ates) a la : clase que cotee a la medaa. ( ) me : Número de observacoes e la clase que cotee a la medaa. : Número de observacoes. a : Ampltud del tervalo seleccoado. Me Me 1 Reemplazado los valores del ejemplo e la fórmula se obtee: Para uestro ejemplo a ,8 2 Me = + 0 = 4,8 518 E este caso los datos o está agrupados e tervalo, por lo tato a = 0 La medaa de los alumos que rdero la prueba de matemátcas es de 4,8

11 Propedades: No le afecta las observacoes extremas. Es fácl de calcular. Es sempre u valor de la varable. La medaa dvde el área total del hstograma e dos porcoes guales. Moda: Es el valor de la varable que más veces se repte, es decr, aquella cuya frecueca absoluta es mayor. Puede haber más de ua moda e ua dstrbucó. Se deota por Mo. E la tabla de frecuecas del ejemplo, se observa claramete que la moda de los alumos que rdero la prueba de matemátca es 5. MEDIDAS DE POSICIÓN Las meddas de poscó dvde u cojuto ordeado de datos e grupo co la msma catdad de dvduos. Percetles: So 99 valores que dvde e ce porcoes guales el cojuto de datos ordeados. Ejemplo, el percetl de orde 15 deja por debajo al 15% de las observacoes, y por ecma queda el 85% Cuado los datos está agrupados e ua tabla de frecuecas, se calcula medate la fórmula: P k N 100 = L + 1 k * co k= 1,2,3, a

12 Dode L : Límte real feror de la clase del percetl k. : Catdad total de datos. N -1 : Frecueca acumulada de la clase que atecede a la clase del percetl k. : Frecueca de la clase del percetl k. a : Logtud del tervalo de la clase del percetl k. Para el ejemplo calcularemos el percetl 87 P = 6,2 + * = 6,2 El 87% de los alumos obtuvero ua ota gual o feror a 6,2 E la publcacó de los resultados de pruebas del exame de seleccó los putajes se expresa e putaje estádar asocádose al percetl correspodete. Decles: So los ueve valores que dvde al cojuto de datos ordeados e dez porcoes guales, so també u caso partcular de los percetles, pues correspode a los percetles 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 y 90. Para datos agrupados los decles se calcula medate la fórmula. D k N 10 = L + 1 k * co k= 1,2,3,... 9 a

13 Dode: L : Límte real feror de la clase del decl k. : Catdad total de datos. N -1 : Frecueca acumulada de la clase que atecede a la clase del decl k. : Frecueca de la clase del decl k. a : Logtud del tervalo de la clase del decl k. Para el ejemplo calcularemos el decl 4 D = 4,4 + * = El 40% de los alumos obtuvero ua ota gual o feror a 4,4 4,4 Cuartles: So los tres valores que dvde al cojuto de datos ordeados e cuatro porcoes guales, so u caso partcular de los percetles, correspodedo a los percetles 25, 50 y El prmer cuartl Q1 es el valor de la varable que deja a la zquerda el 25% de la dstrbucó. - El segudo cuartl Q2 (la medaa), es el valor de la varable que deja a la zquerda el 50% de la dstrbucó. - El tercer cuartl Q3 es el valor de la varable que deja a la zquerda el 75% de la dstrbucó. Para el ejemplo, se tee los sguetes cuartles Q 1 : = 250 Prmero N = 269 ; luego Q = 3,8

14 El 25% de los alumos obtuvero ua ota gual o feror a 3,8 2 Q 2 : = 250 Prmero N 2 = 518 ; luego Q = 4,8 El 50% de los alumos obtuvero ua ota gual o feror a 4,8 3 Q 3 : = 250 Prmero N 3 = 789 ; luego Q = 5,8 El 75% de los alumos obtuvero ua ota gual o feror a 5,8, o be, el 25% de los alumos tuvero ota superor a 5,8. Qutles So los cuatro valores que dvde al cojuto de datos ordeados e cco porcoes guales, so u caso partcular de los percetles, correspodedo a los percetles 20, 40, 60, 80. El prmer qutl es el valor de la varable que deja a la zquerda el 20% de la dstrbucó. El segudo qutl es el valor de la varable que deja a la zquerda el 40% de la dstrbucó. El tercer qutl es el valor de la varable que deja a la zquerda el 60% de la dstrbucó. El cuarto qutl es el valor de la varable que deja a la zquerda el 80% de la dstrbucó. K k N 5 = L + 1 k * co k = 1, 2, 3, 4 a

15 Dode: L : Límte real feror de la clase del qutl k. : Número de datos. N -1 : Frecueca acumulada de la clase que atecede a la clase del qutl k. : Frecueca de la clase del qutl k. a : Logtud del tervalo de la clase del qutl k. Para el ejemplo calcularemos el qutl 3 K = 5,2 + * = 5,2 El 60% de los alumos obtuvero ua ota gual o feror a 5,2 o be, el 40% de los alumos tuvero ota superor a 5,2

16 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las meddas de dspersó dca la mayor o meor cocetracó de los datos co respecto a las meddas de cetralzacó Desvacó estádar: també llamada desvacó típca, es ua medda de dspersó usada e estadístca que os dce cuáto tede a alejarse los valores putuales del promedo e ua dstrbucó. Específcamete, la desvacó estádar es "el promedo de la dstaca de cada puto respecto del promedo". Se suele represetar por ua S o co la letra sgma,, segú se calcule e ua muestra o e la poblacó. Ua desvacó estádar grade dca que los putos está lejos de la meda, y ua desvacó pequeña dca que los datos está agrupados cerca de la meda.

17 La fórmula para calcular la desvacó estádar es: S = = 1 ( x x) 1 2 E el ejemplo dado que se tee ua dstrbucó de frecuecas, la desvacó se calcula por: S = K = 1 x 2 K = 1 1 x 2 NOTA FREC. ABSOLUTA FREC. ABSOLUTA ACUMULADA FREC. RELATIVA % FREC RELATIVA ACUMULADA % 1, ,1 0,1 1,2 1,44 1, ,2 0,3 2,8 3,92 1, ,3 0,6 4,8 7,68 1, ,8 1,4 14,4 25,92 2, ,4 2,8 28,0 56,00 2, ,8 4,6 39,6 87,12 2, ,9 6,5 45,6 109,44 2, ,2 8,7 57,2 148,72 2, ,5 11,2 70,0 196,00 3, ,6 13,8 78,0 234,00 3, ,7 16,5 86,4 276,48 3, ,1 19,6 105,4 358,36 3, ,5 23,1 126,0 453,60 3, ,8 26,9 144,4 548,72 4, ,5 31,4 180,0 720,00 4, ,6 36,0 193,2 811,44 4, ,8 40,8 211,2 929,28 4, ,2 46,0 239,2 1100,32 4, ,8 51,8 278,4 1336,32 5, ,0 57,8 300,0 1500,00 5, ,6 63,4 291,2 1514,24 5, ,4 68,8 291,6 1574,64 5, ,1 73,9 285,6 1599,36 5, ,0 78,9 290,0 1682,00 6, ,6 83,5 276,0 1656,00 6, ,4 87,9 272,8 1691,36 6, ,0 91,9 256,0 1638,40 6, ,2 95,1 211,2 1393,92 6, ,1 98,2 210,8 1433,44 7, ,8 100,0 126,0 882,00 TOTAL , ,12 x * x 2 *

18 Reemplazado e la fórmula los valores del ejemplo se obtee: S 2 = , S = S 2 = 1, = 1,72 La desvacó estádar e las otas de la prueba de matemátca es de 1,3. MEDIDAS DE FORMA Las dstrbucoes puede teer dferetes formas, y ua maera de caracterzar la forma es observar su smetría. Ua dstrbucó de frecuecas puede ser smétrca o asmétrca. Para saber s es smétrca teemos que tomar ua refereca, es decr, ver respecto a qué es smétrca. El coefcete de asmetría de Pearso, mde la desvacó de la smetría, expresado la dfereca etre la meda y la medaa co respecto a la desvacó estádar del grupo de medcoes. Su fórmula es: A s = 3 ( x Me) S x S A s = 0 dremos que la dstrbucó es smétrca, e ese caso las desvacoes a la derecha y a la zquerda de la meda se compesa. S A s < 0 dremos que es asmétrca egatva ya que la mayoría de las observacoes está a la derecha de la proyeccó de la meda. S A s > 0 dremos que es asmétrca postva ya que la mayoría de las observacoes está a la zquerda de la proyeccó de la meda.

19 Reemplazado e la fórmula los valores del ejemplo se obtee: ( 4,717 4,8 ) 3 A s = = -0,1898 1,3114 Por lo tato, las otas de los alumos tee ua dstrbucó lgeramete asmétrca egatva. E el sguete hstograma se puede observar las meddas de tedeca cetral y poscó de uestro ejemplo, además, se puede ver fáclmete que la dstrbucó es asmétrca egatva.

20 DISTRIBUCIÓN NORMAL La dstrbucó ormal es ua de las dstrbucoes más usadas e mportates. Se ha desevuelto como ua herrameta dspesable e cualquer rama de la ceca, la dustra y el comerco. Muchos evetos reales y aturales tee ua dstrbucó de frecuecas cuya forma es muy parecda a la dstrbucó ormal, llamada també campaa de Gauss por su forma acampaada. La forma de la campaa de Gauss depede de los parámetros μ y σ. La meda dca la poscó de la campaa, de modo que para dferetes valores de la gráfca es desplazada a lo largo del eje horzotal. Por otra parte, la desvacó estádar determa el grado de aputameto de la curva. Cuato mayor sea el valor de S, más se dspersará los datos e toro a la meda y la curva será más plaa. U valor pequeño de este parámetro dca, por tato, ua gra probabldad de obteer datos cercaos al valor medo de la dstrbucó.

21 La dstrbucó de probabldad ormal y su curva tee las sguetes característcas: La curva ormal tee forma de campaa. La meda, la moda y la medaa de la dstrbucó so guales y se localza e el cetro de la dstrbucó. La dstrbucó de probabldad ormal es smétrca alrededor de su meda. Por lo tato, la mtad del área bajo la curva está ates del puto cetral y la otra mtad después, es decr, la mtad de curva tee u área de 0,5. El área total bajo la curva es gual a 1. La escala horzotal de la curva se mde e desvacoes estádar. La forma y la poscó de ua dstrbucó ormal depede de los parámetros μ y σ, por lo que hay u úmero fto de dstrbucoes ormales.

22 ÁREA BAJO LA CURVA EN UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL El área bajo la curva, etre dos putos, dca la probabldad de que la frecueca se ecuetre etre dchos valores. Así, por ejemplo, u putaje e la PSU, que tee ua dstrbucó co meda de 500, sgfca que bajo 500 putos se ecuetra el 50% de la poblacó. Esto se obtee de ver la probabldad etre 150 (meor valor e la prueba) y 500 putos, que es justamete la mtad. Lo msmo ocurre haca la derecha, dado que la curva ormal es smétrca, por lo tato el promedo es gual a la medaa y al modo.

23 NORMALIZACIÓN Se asoca co la accó de trasformar ua dstrbucó cualquera a ua dstrbucó ormal. Correspode ajustar los datos de la dstrbucó cal a ua dstrbucó ormal. E este caso se camba la forma de la dstrbucó orgal mateedo la proporcó de casos etre valores cotguos. EJEMPLO: NORMALIZACIÓN DE LAS PRUEBAS (PSU) Los putajes de las PSU se ormalza desde el Proceso de Admsó 2005, co ua meda de 500 putos y desvacó estádar de 110 putos, trucado los extremos e 150 y 850 putos. El 99% cetral de los putajes se ormalza co u promedo de 500 y desvacó estádar 110; el 0,5% de cada extremo se ajusta terpolado lealmete. E el caso de la prueba de Cecas, se ormalzará luego de estmar la equvaleca de putajes etre sus tres versoes, empleado el módulo comú como base para establecer dcha equvaleca.

24 Ejemplo: S e la PSU de Leguaje y Comucacó, redda e la Admsó 2007 por postulates, el 15,87 % de éstos tee 610 o más putos, esto sgfca que de ellos sacaro 610 o más putos y el resto obtuvo putajes meores. Nota: Por ormalzacó se etede ua trasformacó de la dstrbucó de los putajes corregdos, mateedo el orde. Para ello se calcula los percetles asocados a cada putaje corregdo, y luego se detfca su equvalete e putaje estadarzado e la dstrbucó ormal (putaje Z). Este putaje Z es falmete covertdo a la escala que se desee, e este caso, co promedo 500 y desvacó estádar 110, obteédose el putaje fal PS, hacedo PS=110*Z+500.

25 A N E X O MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA: E ocasoes o todos los valores de la varable tee el msmo peso. Esta mportaca que asgamos a cada varable, es depedete de la frecueca absoluta que tega. Será como u aumeto del valor de esa varable, e tatas veces como cosderemos su peso. Por lo tato la meda artmétca poderada se utlza cuado a cada valor de la varable (x ) se le otorga ua poderacó o peso dstto de la frecueca o repetcó. Para poder calcularla se tedrá que teer e cueta las poderacoes de cada uo de los valores que tega la varable Se la suele represetar como: X w = x w w Sedo w la poderacó de la varable x y w la suma de todas las poderacoes. U ejemplo es la obtecó de la meda poderada de los putajes segú las dsttas poderacoes dadas por las uversdades para algua carrera específca: Poderacó o peso = NEM = 20% LyC = 25% MAT = 25% CS = 30% Putajes = NEM = 600 LyC = 680 MAT = 620 CS = 650

26 x = 20% % % % % + 25% + 25% + 30% x = 100% x = % = 640ptos. Esta msma fórmula se emplea para calcular el promedo de u grupo a partr del coocmeto del promedo y de la catdad de casos que hay e cada subgrupo de él. U ejemplo de este caso es el cálculo del promedo de otas e Educacó Meda a partr de los promedos de 1º, 2º, 3º y 4º año medo. Normalmete los postulates suma los promedos de sus otas de eseñaza meda y lo dvde por 4, gorado la poderacó de cada promedo por cuato el úmero de asgaturas de cada curso es dstto. A cotuacó, se descrbe otros coceptos de meda de escasa utlzacó e educacó. LA MEDIA GEOMÉTRICA: e ua catdad fta de úmeros (dgamos '' úmeros) es la raíz -ésma del producto de todos los úmeros. Se calcula co la sguete fórmula Por ejemplo, la meda geométrca de 2 y 18 es Otro ejemplo, la meda de 1, 3 y 9 sería

27 Sólo es relevate la meda geométrca s todos los úmeros so postvos. S uo de ellos es 0, etoces el resultado es 0. S hay u úmero egatvo (o ua catdad mpar de ellos) etoces la meda geométrca es, o be egatva o be exstete e los úmeros reales. E muchas ocasoes se utlza su trasformacó e el maejo estadístco de varables co dstrbucó o ormal. La meda geométrca es relevate cuado varas catdades so multplcadas para producr u total. MEDIA ARMÓNICA: Es la versa de la meda artmétca de los versos de los valores de la varable, se represeta por H, y respode a la sguete expresó: H = x Esta meda o es acosejable e dstrbucoes de varables co valores pequeños. Se suele utlzar para promedar varables tales como productvdades, velocdades, tempos, redmetos, cambos, etc. Vetajas e coveetes: E su cálculo tervee todos los valores de la dstrbucó. Su cálculo o tee setdo cuado algú valor de la varable toma valor cero. Es úca. Como ejemplo se muestra el caso de las edades de las tres persoas 80, 55 y 30 años. H = = = = = = 46,86 años 8450

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