VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES.

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1 CONTENIDOS. VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES. Itroduccó a la Estadístca descrptva. Termología básca: poblacó, muestra, dvduo, carácter. Varable estadístca: dscretas y cotuas. Orgazacó de datos. Tablas de frecuecas. Represetacoes gráfcas: dagramas de barras e hstogramas. Meddas de cetralzacó: meda, moda y medaa. Meddas de poscó: cuartles y percetles. Meddas de dspersó: rago, rago tercuartílco, varaza y desvacó típca. Dspersó relatva: coefcete de varacó. Itroduccó a la estadístca descrptva. La estadístca descrptva o deductva trata del recueto, ordeacó y clasfcacó de los datos obtedos por las observacoes. Se costruye tablas y se represeta gráfcos y asmsmo, se calcula parámetros estadístcos que caracterza la dstrbucó. E geeral, se llama poblacó al cojuto de todos los elemetos que cumple ua determada característca. Los elemetos de la poblacó se llama dvduos o udades estadístcas. Se llama muestra a cualquer subcojuto de la poblacó. El úmero de elemetos de ua muestra se deoma tamaño. El proceso medate el cual se extrae ua muestra represetatva de la poblacó se cooce co el ombre de muestreo aleatoro. Se llama carácter estadístco a ua propedad que permte clasfcar a los dvduos de la poblacó. Se dstgue dos tpos: Caracteres estadístcos cuattatvos so aquellos que se puede medr. Caracteres estadístcos cualtatvos so aquellos que o se puede medr. Se llama modaldad de u carácter estadístco a cada ua de las dferecas que se puede establecer detro de u msmo carácter cualtatvo. El cojuto de valores umércos que puede tomar u carácter cuattatvo se llama varable estadístca. Varable estadístca. Las varables estadístcas puede ser dscretas o cotuas. Ua varable estadístca es dscreta cuado puede tomar u úmero fto de valores o fto umerable. Ua varable es cotua cuado puede tomar, al meos teórcamete, todos los valores posbles detro de u certo tervalo de la recta real. Los valores de las varables estadístcas se acostumbra represetarlos por x,x,x 3...x. Se llama frecueca absoluta del valor x y la represetamos por, al úmero de veces que se repte dcho valor. Se llama frecueca absoluta acumulada del valor x y la represetamos por N, a la suma de las frecuecas absolutas de todos los valores aterores a x, más la frecueca absoluta de x : N Se llama frecueca relatva de u valor x y la represetamos por f, al cocete etre la frecueca absoluta de x y el úmero total de datos que tervee e la dstrbucó: f sedo el úmero total de datos. Se llama frecueca relatvas acumuladas del valor x a la expresó: F f +f +f f

2 Represetacoes gráfcas. Dagramas de barras: para trazarlos se represeta sobre el eje de abscsas los valores de la varable, y sobre el eje de ordeadas las frecuecas absolutas o relatvas, segú proceda. A cotuacó por los putos marcados e el eje de abscsas se levata trazos gruesos o barras, de logtud gual a la frecueca correspodete. Los polígoos de frecuecas se forma uedo los extremos de las barras medate ua líea quebrada. Los hstogramas se utlza para dstrbucoes de varable estadístca cotua y que se ha agrupado e clases geeralmete de gual ampltud. Para costrur el hstograma se represeta sobre el eje de abscsas los límtes de las clases. Sobre dcho eje se costruye uos rectágulos que tee por base la ampltud del tervalo, y por altura, la frecueca absoluta de cada tervalo, sempre que todos los tervalos tega gual ampltud. E caso cotraro, las alturas de los rectágulos ha de ser calculadas teedo e cueta que sus áreas debe ser proporcoales a las frecuecas de cada tervalo. Meddas de cetralzacó. A las meddas de cetralzacó se les lama así porque tede a stuarse, e geeral, haca el cetro del cojuto de datos ordeados. Se llama meda artmétca de ua varable estadístca a la suma de todos los valores de dcha varable dvddo por el úmero de valores. x x Se llama moda de ua varable estadístca al valor de la varable que preseta mayor frecueca absoluta. La moda se represeta por M o E caso de que los datos se ecuetre agrupados e tervalos es fácl determar la clase modal (clase co mayor frecueca). La moda se obtee a partr de la sguete expresó: D M o L + c D + D L límte feror de la clase modal c ampltud de los tervalos D dfereca etre la frecueca absoluta de la clase modal y la frecueca absoluta de la clase ateror. D dfereca etre la frecueca absoluta de la clase modal y la frecueca absoluta de la clase sguete. p Se llama medaa de ua varable estadístca a u valor de la varable, tal que el úmero de observacoes meores que él es gual al úmero de observacoes mayores que él. Es decr, el úmero de datos que precede a la medaa es gual al úmero de datos que la sgue. La medaa de ua varable se represeta por M Para calcular la medaa e el caso de varable estadístca dscreta prmeramete se realza la tabla estadístca de frecuecas. La medaa vee dada por el prmer valor de la varable cuya frecueca absoluta acumulada excede a la mtad del úmero de datos. E el caso de que la mtad del úmero de datos cocda co la frecueca absoluta acumulada correspodete a u valor, la medaa es la semsuma etre ese valor y el sguete de la tabla. E el caso de varable estadístca cotua, resulta fácl detectar cuál es la clase medaa (dode se alcaza la mtad de los datos) y a cotuacó aplcamos la sguete expresó: N M L + c L límte feror de la clase medaa úmero total de datos frecueca absoluta de la clase medaa campltud del tervalo N - frecueca absoluta acumulada de la clase ateror a la clase medaa

3 Meddas de poscó. Se llama cuartles a tres valores que dvde la sere de datos e cuatro partes guales. Se represeta por Q, Q y Q 3 y se desga cuartl prmero, segudo y tercero, respectvamete Q N 4 L + c Q M Q 3 L 3 N 4 + c Para utlzar las expresoes aterores se actuará como e el caso de la medaa. Se llama percetles a 99 valores que dvde la sere de datos e 00 partes guales. Se represeta por P, P... A N 00 PA L + c Sedo A cualquer úmero del al 99. Meddas de dspersó. Se llama recorrdo de ua dstrbucó a la dfereca etre el mayor y el meor valor de la varable estadístca. Se defe rago tercuartílco a la dfereca etre el cuartl tercero y el prmero. QQ 3 -Q Se llama desvacoes respecto a la meda a las dferecas etre cada valor de la varable y la meda artmétca. Se llama varaza de ua varable a la meda artmétca de los cuadrados de las desvacoes respecto a la meda. Se llama desvacó típca de ua varable a la raíz cuadrada postva de la varaza. La varaza se represeta por s, y la desvacó típca se represeta por s. Para calcular la varaza utlzaremos la sguete expresó: s x La varaza es sempre postva o ula. Es ula cuado todos los datos so guales a la meda. Tato la varaza como la desvacó típca so meddas de dspersó, de tal maera que cuato meores so estos dos parámetros más agrupados se ecuetra los valores de la dstrbucó e toro a los valores cetrales; por el cotraro, para valores grades de la varaza o de la desvacó típca los datos de la dstrbucó se ecuetra muy dspersos, es decr, poco agrupados e toro a los valores cetrales. Para dstrbucoes umodales y smétrcas se puede demostrar que: E el tervalo ( x s, x + s) se ecuetra el 68% de los datos E el tervalo ( x s, x + s) se ecuetra el 95% de los datos. Se llama coefcete de varacó al cocete etre la desvacó típca y la meda artmétca s d.obsérvese que cuado la meda artmétca se acerca a cero el coefcete de varacó x o tee gra utldad, ya que toma valores ftamete grades. Este coefcete relacoa ua medda de dspersó co ua de cetralzacó. x Ejemplo De u grupo de 30 persoas hemos do aputado la edad de cada uo, obteedo lo sguete: 3

4 a) Haz ua tabla de frecuecas, agrupado los datos e tervalos de logtud 5, empezado e 0. b) Represeta gráfcamete la dstrbucó. a) b) Itervalo Frecueca [0,5) [5,0) 4 [0,5) [5,0) 6 [0,5) [5,30) 7 [30,35) [35,40) 3 [40,45) 3 30 Ejemplo- Las otas de ua clase obtedas e u exame de matemátcas vee recogdas e la sguete tabla: a) Calcula la meda y la desvacó típca. b) Qué porcetaje de alumos hay e el tervalo ( x σ, x + σ)? 4

5 a) x f x f f x Σ f x x 77 6, 9 Σ f x σ x 9 6, 5,7,7 9 La ota meda de la clase es de 6,, co ua desvacó típca de,7. b) x σ 3,83 E el tervalo x + σ 8,37 ( 3,83; 8,37) hay 0 alumos, que represeta u 68,97% del total. Ejemplo- La ota meda de ua clase, A, e u exame ha sdo 5,5, co ua desvacó típca de,. E otra clase, B, la ota meda e el msmo exame ha sdo 7,3 y la desvacó típca, de,6. Calcula el coefcete de varacó y compara la dspersó de ambos grupos. C.V. C.V. A B σ x σ x A A B B, 0,38 5,5,6 0,356 7,3 38,% 35,6% La varacó es u poco mayor e el grupo A. Ejemplo- Tramos sucesvamete ua moeda y aotamos el úmero de lazametos que ecestamos hasta obteer por prmera vez cara. Realzamos el expermeto 00 veces, co los sguetes resultados: Calcula Me, Q, Q 3 y p 30. Hacemos la tabla de frecuecas acumuladas: 5

6 x f F e % Me Q Q3 3 p 30 El 50% de las veces hemos hecho o meos tradas, y el 50% restate hemos hecho o más tradas. Aálogamete se terpreta: Q ( 5%, 75% ); Q 3 ( 75%, 5% ) y p ( 30%, 70% ) 3 30 Ejemplo Al medr la estatura, e cetímetros, e u grupo de 50 persoas, hemos obtedo la sguete formacó: Calcula gráfca y umércamete Me y Q. Costrumos el polígoo de frecuecas acumuladas: Extremos F % Obtegamos los valores exactos, razoado sobre el polígoo de frecuecas: Me: Q : 6

7 4 0 5 x x 4,7 Me ,7 64, x x 3,6 Q ,6 58,6 Los valores exactos so: Me 64,7; Q 58,6 EJERCICIOS.. Las putuacoes obtedas e u test por 0 alumos so las sguetes: 6,,,0,3,,7,5,3,,7,8,0,7,,6,3,,,8. a) Costrur la tabla de frecuecas. b) Represeta el dagrama de barras de frecuecas absolutas y frecuecas absolutas acumuladas.. Se ha aplcado u test de capacdad espacal compuesto por 00 pregutas a u grupo de 00 alumos, habédose obtedo los sguetes resultados: Nº de pregutas correctas Nº de alumos [0-5) 0 [5-30) 5 [30-45) 5 [45-60) 0 [60-75) 0 [75,90) 0 a) Formar la tabla de frecuecas b) Represetar el hstograma de frecuecas absoluta y el hstograma de frecuecas absolutas acumuladas. c) Represetar los polígoos de frecuecas. 3. Dada la sere estadístca: 3,5,,7,6,4,9 hallar: a) La meda, la medaa y la moda b) El rago, la desvacó típca y la varaza c) Los cuartles º y 3º d) Los percetles 0, 3 y Dada la dstrbucó sguete: x Hallar: a) La meda, la medaa y la moda b) El rago, la desvacó típca y la varaza c) Los cuartles º y 3º d) Los percetles 30 y Dada la dstrbucó sguete: x [0-5) [5-0) [0-5) [5-30) [30-35) Hallar: a) La meda, la medaa y la moda b) El rago, la desvacó típca y la varaza 7

8 c) Los cuartles º y 3º d) Los percetles 30 y Se ha aplcado u test a los empleados de ua fábrca, obteédose la sguete tabla: x [38-44) [44-50) [50-56) [56-6) [6-68) [68-74) [74-80) Nº trab Se pde: a) Hstograma y polígoo de frecueca absoluta acumulada. b) Calcular la medaa y la moda. 7. Los resultados obtedos al lazar u dado 00 veces vee reflejados e la sguete tabla: Nº de putos Repetcoes Determar las frecuecas que falta sabedo que la putuacó meda es 3,6 y calcular la medaa y la moda. 8. Se ha realzado u test, compuesto de 0 pregutas, a 40 alumos de u grupo, co los sguetes resultados: Nº de respuestas [0,) [,4) [4,6) [6,8) [8,0) Nº de alumos Se pde: a) El hstograma de frecuecas. b) Calcular el valor de la moda. c) A partr de qué valor se ecuetra el 70% de los alumos que ha obtedo la mejor ota? 9. La assteca de espectadores a cada sala de la cadea de ce El Cse el día 7 de Julo de 00, 500, 300 y 000persoas. Calcular la dspersó (coefcete de varacó) del úmero de asstetes. S el día del espectador acude 50 persoas más a cada sala qué efecto tedrá sobre la dspersó? 0. Completa los datos que falta: x N f Calcula la meda y la moda de la dstrbucó ateror. 8