Dpto. Física y Mecánica. Operadores diferenciales

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1 Dpto. Física y Mecánica Operadores diferenciales

2 Se denominan líneas coordenadas de un espacio euclídeo tridimensional a aquellas que se obtienen partiendo un punto dado P de coordenadas (q 1, q 2, q 3 ), variando una de ellas y manteniendo fijas las otras dos. Si las líneas coordenadas son ortogonales en un punto las coordenadas se denominan coordenadas ortogonales. Por ejemplo, las coordenadas cartesianas (x,y,z) son ortogonales, al igual que los son las coordenadas d cilíndricas i (r, ϕ,z) ) y las coordenadas d esféricas (r, θ,ϕ). OCW UPM

3 En matemáticas un operador diferencial es un operador lineal definido como una función del operado de diferenciación. El uso más común del operador diferencial es realizar la derivada en sí misma. Considerando que la variable es x, la notación más común de éste operador es d dx Las sucesivas derivadas se expresan por 2 3 n d d d,, n dx dx dx OCW UPM

4 Cuando se consideran derivadas respecto a variables diferentes las derivadas parciales pueden escribirse como:,, x y z Las sucesivas derivadas se expresan por,, x y z...,, x y z n n n n n n OCW UPM

5 Y las derivadas parciales cruzadas,,,,, x y y x x z z x y z z y OCW UPM

6 Líneas coordenadas Se denominan líneas coordenadas de un espacio euclídeo tridimensional a aquellas que se obtienen partiendo un punto dado P de coordenadas (q 1,q 2,q 3 ), variando una de ellas y manteniendo fijas las otras dos. Si las líneas coordenadas son ortogonales en un punto las coordenadas se denominan coordenadas ortogonales. Por ejemplo, las coordenadas cartesianas (x,y,z) son ortogonales, al igual que los son las coordenadas cilíndricas (r, ϕ,z) y las coordenadas esféricas (r, θ,ϕ).

7 Líneas coordenadas Tomando tres vectores tangentes a cada línea en un punto, se obtienen tres vectores ortogonales entre sí, pero no unitarios. e i r = qq i Para obtener un sistema ortonormal, se divide cada vector por su módulo r hi( q1, q2, q3) = ei = qq i enominado factor de escala

8 Líneas coordenadas Dado un conjunto de coordenadas (q 1, q 2, q 3) sobre un espacio euclídeo, cuyas líneas son ortogonales entre sí, se puede construir una base ortonormal en cada punto a partir de los vectores tangentes en cada una de las líneas coordenadas. q 3 u 3 u u 2 1 q 2 q 1

9 Factor de escala En el cálculo vectorial se definen unas cantidades, denominadas factor de escala h i, que representan la proporción entre lo que varía una coordenada y el desplazamiento que produce esta variación. r hi( q1, q2, q3) = ei = q A partir de la expresión siendo i 2 2 r dx dy dz dx dy dz dx dy dz h = = e + e + e = e + e + e e + e + e 2 ( i ) x y z x y z x y z qi dqi dqi dqi dq i dq i dq i dq i dq i dq i

10 Factor de escala 2 x y z h i = + + qi qi qi ( ) de donde d el factor de escala se expresa mediante la expresión h i x y z = + + qi qi qi

11 Factor de escala Considerando un sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z) y un sistema de coordenadas curvilíneas (q 1, q 2, q 3 ). Las coordenadas cartesianas se pueden expresar en función de las coordenadas curvilíneas mediante relaciones de la forma x=x(q 1 q 2 q 3 ) x x(q 1, q 2, q 3 ) y=y(q 1, q 2, q 3 ) z=z(q 1, q 2, q 3 )

12 Factor de escala Conociendo estas relaciones los factores de escala (h 1, h 2 2, h 3 3) se determinan mediante las expresiones h 1 x y z = + + q q q h 2 = x y z q + 2 q + 2 q2 h 3 x y z = + + q3 q3 q3

13 Factor de escala en coordenadas cartesianas Cuando el sistema de coordenadas es el de coordenadas cartesianas ( q1, q2, q3) = ( x, y, z), los vectores unitarios definidos sobre cada una de las direcciones son ( u, u, u ) = ( i, j, k) La relación entre coordenadas es (x=x, y=y, z=z), y los factores de escala son h x y z 1 = h x = + + = 1 x x x x y z h = 2 h = y 1 y + y + y = h = x y z 3 h = z + + = 1 z z z

14 Factor de escala en coordenadas cilíndricas Cuando el sistema de coordenadas es de coordenadas cilíndricas ( q 1, q 2, q 3) = ( r, ϕ, z),los vectores unitarios definidos sobre cada una de las direcciones son ( u,la relación 1, u2, u3) = ( ur, uϕ, k) entre coordenadas es x= rcosϕ y = rsenϕ z = z

15 Factor de escala en coordenadas cilíndricas Los factores de escala son x y z 2 2 h1 = hr = + + = ( cosϕ) + ( senϕ) = 1 r r r x y z 2 2 h2 = hϕ = + + = ( rsenϕ) + ( r cosϕ) = r ϕ ϕ ϕ h x y z 3 = hz = + + = 1 z z z

16 Factor de escala en coordenadas esféricas Cuando el sistema de coordenadas es de coordenadas esféricas ( q1, q2, q3) = ( r, ϕ, z) los vectores unitarios definidos sobre cada una de las direcciones son ( u1, u2, u3) = ( ur, uθ, u, ϕ ) la relación entre coordenadas cartesianas y esféricas es y x = rsenθ cos ϕ = rsenθ senϕ z = r cosθ

17 Factor de escala en coordenadas esféricas Los factores de escala son x y z h1 = hr = + + = ( sen θ cos ϕ ) + ( sen θ sen ϕ ) + (cos ϕ ) = 1 r r r x y z h2 = hθ = + + = ( r cosθcosϕ) + ( r cos θsenϕ) + ( rsenθ) = r θ θ θ x y z 2 2 h3 = hϕ = + + = ( rsenθ senϕ) + ( rsenθcosϕ) = rsenθ ϕ ϕ ϕ

18 Un operador diferencial vectorial es un operador lineal que actúa sobre campos vectoriales definidos sobre una variedad diferenciables El operador vectorial nabla es un operador matemático que tiene carácter vectorial; sin embargo carece de algunas de las propiedades de las que gozan las magnitudes vectoriales, como por ejemplo el módulo. En coordenadas cartesianas a as se expresar epesa por = i + j + k x y z

19 Si el operador nabla se aplica escalarmente a un escalar se obtiene el gradiente de dicha función escalar; si se aplica escalarmente a e a un vector se obtiene e la divergencia de la función vectorial. Si el operador nabla se aplica vectorialmente a una función vectorial se obtiene el rotacional de la función vectorial

20 Gradiente de un campo escalar f(q 1,q 2 q 3 ) Dada un campo escalar, el gradiente de dicha función es un campo vectorial, que en coordenadas curvilíneas se expresa mediante la ecuación 1 f 1 f 1 f f = u1+ u2 + u3 = u1+ u2 + u3 f h1 q1 h2 q2 h3 q3 h1 q1 h2 q2 h3 q3 Siendo = u + u + u h1 q1 h2 q2 h3 q

21 Gradiente de un campo escalar f(q 1,q 2 q 3 ) En un sistema de coordenadas d cartesianas f f f f = i + j + k x y z En coordenadas cilíndricas f 1 f f f = ur + uϕ + u r r ϕ z Y en coordenadas esféricas f 1 f 1 f f = ur + uθ + u r r θ rsen θ ϕ z ϕ

22 Divergencia de un campo vectorial Dado un campo vectorial vq ( 1, q2, q3 ), la divergencia de dicho campo es un campo escalar, que se puede expresar como la aplicación del operador nabla a escalarmente a e por el campo vectorial v = u + u + u vu + v u + v u h q h q h q ( ) v 1 1 v2 1 v 3 1 ( vhh 1 2 3) ( hv 1 2h3) ( hh 1 2v3) v = + + = + + h1 q1 h2 q2 h3 q3 hh 1 2h3 q1 q2 q3

23 En un sistema de coordenadas cartesianas v v x y v v = + + x y z En coordenadas cilíndricas Y en coordenadas d esféricas 1 ( rv ) 1 ( ( v ) r ϕ v v = + + r r r ϕ z z z 2 1 ( rvr) 1 ( senθ v ) 1 v θ ϕ v = r r rsen θ θ rsen θ ϕ

24 Rotacional de un campo vectorial Dado un campo vectorial vq (, el rotacional de es el 1, q2, q3) producto vectorial, del operador nabla por el vector, lo que resulta v = hu hu hu hhh q q q hv hv hv

25 En un sistema de coordenadas cartesianas En coordenadas cilíndricas 1 ur ruϕ uz v = r r ϕ z v rv v r ϕ i j k v = x y z z vx vy vz Y en coordenadas esféricas v = 2 rsen u ru rsenθ u r 1 θ r θ ϕ θ v rv rsen θv r θ ϕ ϕ

26 Laplaciano de un campo escalar f(q 1,q 2 q 3 ) La expresión del laplaciano de un campo escalar f es un campo escalar, que en coordenadas curvilíneas se expresa mediante la ecuación 2 1 hh 2 2 f hh 1 1 f hh 1 2 f Δ f = f = hhh 1 2 q1 h1 q1 q2 h2 q2 q3 h3 q3

27 En un sistema de coordenadas cartesianas f f f Δ f = + + x y z En coordenadas cilíndricas 1 1 Δ f = r + + r r r r ϕ z 2 2 f f f Y en coordenadas d esféricas f 1 f 1 f Δ f = r + senθ r r r r sen θ θ θ r sen θ ϕ

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