Algebra Lineal XIII: Operaciones con Transformaciones Lineales.

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1 Algebra Lineal XIII: Operaciones con Transformaciones Lineales. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato jrico@ugto.mx 1 Operaciones con Transformaciones Lineales. En estas notas definiremos diferentes operaciones que se pueden realizar con transformaciones lineales. Definición de suma de transformacionales lineales. Sean S y T dos transformaciones lineales de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V, ambos definidos sobre un campo K. La suma S +T de las transformaciones lineales se define como S +T : V V (S +T)( v) S( v)+t( v) v V. Teorema. LasumadetransformacioneslinealesS+T : V V estambiénunatransformaciónlineal. Prueba: Como ya se indicó, en las notas Álgebra Lineal X, es necesario probar que la transformación es aditiva y homogénea. Sean v 1, v 2 V dos vectores arbitrarios y sea λ K también arbitrario. Entonces 1. Aditiva 2. Homogénea (S +T)( v 1 + v 2 ) = S( v 1 + v 2 )+T( v 1 + v 2 ) = S( v 1 )+S( v 2 )+T( v 1 )+T( v 2 ) = S( v 1 )+T( v 1 )+S( v 2 )+T( v 2 ) = [S( v 1 )+T( v 1 )]+[S( v 2 )+T( v 2 )] = (S +T)( v 1 )+(S +T)( v 2 ) (S +T)(λ v 1 ) = S(λ v 1 )+T(λ v 1 ) = λs( v 1 )+λt( v 1 ) = λ[s( v 1 )+T( v 1 )] = λ(s +T)( v 1 ) Es importante notar que este resultado prueba que el conjunto de transformaciones lineales de un espacio vectorial V a otro espacio vectorial V está cerrada bajo la operación de suma. Definición de multiplicación por escalar de transformacionales lineales. Sea S una transformación lineal de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V, ambos definidos sobre un campo K. La multiplicación por un escalar λ K de la transformación lineal S, denotada por λs se define como λs : V V (λs)( v) λ[s( v)] v V. Teorema. La multiplicación por escalar de una transformación lineal λs : V V es también una transformación lineal. Prueba: Como ya se indicó, en las notas Álgebra Lineal X, es necesario probar que la transformación es aditiva y homogénea. Sean v 1, v 2 V dos vectores arbitrarios y sea µ K también arbitrario. Entonces 1

2 1. Aditiva (λs)( v 1 + v 2 ) = λ[s( v 1 + v 2 )] = λ[s( v 1 )+S( v 2 )] = λ[s( v 1 )]+λ[s( v 2 )] = (λs)( v 1 )+(λs)( v 2 ). 2. Homogénea (λs)(µ v 1 ) = λ[s(µ v 1 )] = λ[µs( v 1 )] = λµ[s( v 1 )] = µλ[s( v 1 )] = µ[λs( v 1 )] = µ[(λs)( v 1 )] Es importante notar que este resultado prueba que el conjunto de transformaciones lineales de un espacio vectorial V a otro espacio vectorial V está cerrada bajo la operación de multiplicación por escalar. Teorema. El conjunto de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V ambos definidos sobre un campo K, junto con las operaciones de adición y multiplicación por escalar, definidas en estas notas, constituye un espacio vectorial sobre el mismo campo K. Prueba: De ahora en adelante el conjunto de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V se denotará como L : V V. Es necesario probar que L : V V satisface los axiomas de un espacio vectorial, donde ya se probaron las clausuras respecto a la adición y la multiplicación por escalar. A continuación se probará el resto de los axiomas. Sean R,S,T : V V transformaciones lineales del espacio vectorial V al espacio vectorial y sean λ,µ K. Además, suponga que v V es arbitrario 1. Asociatividad de la suma, se necesita probar que R+(S +T) = (R+S)+T, por lo tanto [R+(S +T)]( v) = R( v)+(s +T)( v) = R( v)+[s( v)+t( v)] = [R( v)+s( v)]+t( v) = [(R+S)( v)]+t( v) = [(R+S)+T] v 2. Conmutatividad de la suma, se necesita probar que R+S = S +R, por lo tanto [R+S]( v) = R( v)+s( v) = S( v)+r( v) = [S +R]( v) 3. Existencia de un idéntico aditivo. Existe la transformación lineal Z : V V definida como Z( v) = 0 v V con la propiedad que, para todo S : V V, satisface la condición S +Z = S = Z +S (S +Z) v = S v +Z v = S v + 0 = S v v V 4. Existencia de un inverso aditivo. Para todo S : V V existe S : V V, definida como ( S)( v) = S( v) v V Esta transformación lineal, satisface la condición S +( S) = Z = ( S)+S [S +( S)]( v) = S( v)+( S)( v) = S( v) S( v) = 0 v V Con lo que queda probado el axioma. 5. Propiedad Distributiva de la Suma de Transformaciones Lineales Respecto a la Multiplicación por Escalar, se necesita probar que λ(r+s) = λs +λr, por lo tanto [λ(r+s)]( v) = λ [(R+S)( v)] = λ [R( v)+s( v)] = λr( v)+λs( v) = (λr)( v)+(λs)( v) = [λr+λs]( v) v V 2

3 6. Propiedad Distributiva de la Suma de Escalares Respecto a la Multiplicación por Escalar, se necesita probar que (λ+µ)r = λr+µr, por lo tanto [(λ+µ)r]( v) = (λ+µ)r( v) = λr( v)+µr( v) = (λr)( v)+(µr)( v) = (λr+µr)( v) v V 7. Propiedad Pseudoasociativa, se necesita probar que (λ µ)r = λ(µ R), por lo tanto [(λµ)r]( v) = (λµ)r( v) = λ [µr( v)] = λ (µr)( v) v V 8. Propiedad del idéntico multiplicativo del campo. Sea 1 k el idéntico multiplicativo del campo, entonces, se tiene que para todo S : V V, se tiene que probar que 1S = S (1S) v = 1[S( v)] = S( v) v V Con esto queda probado que L : V V constituye un espacio vectorial sobre el campo K. Figure 1: Representación Gráfica de la Composición de Transformaciones Lineales. Definición de Composición de Transformaciones Lineales. Sean S : V V y T : V V dos transformaciones lineales. El producto o composición de transformaciones lineales, T S, es el mapeo TS : V V (TS)( v) = T[S( v)] v V. La figura 1 provee de una representación gráfica de la composición o producto de transformaciones lineales. Note que, en general, el producto ST no está definido. Teorema. El producto TS de dos transformaciones lineales S : V V y T : V V es una transformación lineal de V V. Prueba: En primer lugar debe notarse que el dominio de la transformación lineal T S es efectivamente V y el rango está contenido en V. Considere dos vectores v 1, v 2 V y λ K. Entonces (TS)( v 1 + v 2 ) = T[S( v 1 + v 2 )] = T[S( v 1 )]+T[S( v 2 )] = (TS)( v 1 )+(TS)( v 2 ). Por lo tanto, la transformación T S es aditiva. Similarmente (TS)(λ v 1 ) = T[S(λ v 1 )] = T[λS( v 1 )] = λt[s( v 1 )] = λ(ts)( v 1 ). Por lo tanto, la transformación T S es homogénea y es una transformación lineal. Teorema. Suponga que las transformaciones lineales R, S y T tienen características tales que en cada uno de los casos la composición o producto de transformaciones lineales está bien definido y λ es un elemento del campo sobre el cual están definidos los espacios vectoriales asociados a las transformaciones lineales. Entonces 3

4 1. El producto es asociativo R(ST) = (RS)T. Prueba. Suponga que R : V V, S : V V y T : V V. Entonces, para todo v V, se tiene que [R(ST)]( v) = R[(ST)( v)] = R{S[T ( v)]} = (RS)[T ( v)] = [(RS)T]( v) 2. El producto es distributivo respecto a la adición (R+S)T = RT +ST R(S +T) = RS +RT. Prueba. Para la primera parte suponga que R : V V, S : V V y T : V V Entonces, para todo v V, se tiene que [(R+S)T]( v) = (R+S)[T( v)] = {R[T ( v)]}+{s[t ( v)]} = (RT)( v)+(st)( v) = (RT +ST)( v) Para la segunda parte, las transformaciones deben definirse de manera diferente, pero el procedimiento permanece sin cambio. 3. El producto conmuta con respecto a la multiplicación por escalar λ(st) = (λs)t = S(λT). Prueba. Suponga que S : V V y T : V V Entonces, para todo v V, se tiene que [λ(st)]( v) = λ[(st)]( v) = λ[s(t( v))] = λ[s(t( v))] [(λs)t]( v) = (λs)[t( v)] = λ{s[t( v)]} = λ[s(t( v))] [S(λT)]( v) = S[(λT)( v)] = {S[λ(T( v))]} = λ{s[(t( v))]} = λ[s(t( v))] 4. Si S : V V e I V es el mapeo identidad sobre V e I V, es el mapeo identidad sobre V entonces S = I V S = SI V. Prueba. Suponga que S : V V, I V : V V y I V : V V. Entonces, para todo v V, se tiene que [SI V ]( v) = {S[I V ( v)]} = [S( v)] = S( v) [I V S]( v) = {I V [S( v)]} = [S( v)] = S( v) 2 Problemas Propuestos. Problema 1. Sean T 1 : R 2 R 3 y T 2 : R 3 R 2 transformaciones lineales cuyas reglas de correspondencia están dadas por T 1 : R 2 R 3 y T 2 : R 3 R 2 Determine la regla de correspondencia de T 1 (x,y) = ( x+2y,x+y,x y) T 2 (x,y,z) = (x 3y,z +3x) T 2 T 1 : R 2 R 2 y T 1 T 2 : R 3 R 3 4

5 Solución. Para la transformación T 2 T 1, se tiene que (T 2 T 1 )(x,y) = T 2 [T 1 (x,y)] = T 2 ( x+2y,x+y,x y) = [( x+2y) 3(x+y),(x y)+3( x+2y)] = ( 4x y, 2x+5y) Para la transformación T 1 T 2, se tiene que (T 1 T 2 )(x,y,z) = T 1 [T 2 (x,y,z)] = T 1 (x 3y,z +3x) = [ (x 3y)+2(z +3x),(x 3y)+(z +3x),(x 3y) (z +3x)] = (5x+3y +2z,4x 3y +z, 2x 3y z) Este resultado ilustra además que la composición de transformaciones lineales no es conmutativa. 3 Ejercicios. Problema 1. Sea V = R 2 y considere las transformaciones S : V V S(x,y) = (y,x) y T : V V T(x,y) = ( x,y) Pruebe que S y T son transformaciones lineales y pruebe que ST TS. Este contraejemplo muestra que, en general, la composición o producto de transformaciones lineales no es conmutativa. Problema 2. Sean S y T las transformaciones definidas abajo. Determine la regla de correspondencia de un elemento arbitrario bajo las transformaciones S +T, ST, y TS si es que están definidas. 1. T(x,y) = (x, y,x+y) S(x,y,z) = (x+y,x z). 2. T(x,y) = ( y,x) S(x,y) = (y,x). 3. T(x,y,z) = x+y +z S(x) = (x,x,x). Problema 3. Sean S y T transformaciones lineales del espacio de todos los polinomios de grado menor o igual a un valor apropiado. Considere p(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2, y determine la imagen de p(x) respecto a las transformaciones lineales ST y T S 1. S[p(x)] = p(x+1),t[p(x)] = dp dx 2. S[p(x)] = p(x+1),t[p(x)] = p(0) 5