1 Área de un paralelogramo

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1 Geometría Analítica I Lectura 4 Profesor: Pablo Barrera Día 15 de febrero, 28 El día de hoy veremos: 1. Área de un paralelogramo en R Cálculo de vectores ortogonales. 3. Volúmen. 1 Área de un paralelogramo En R 3 considere el paraleogramo que se forma con dos vectores, v 1 y v 2 : Figura 1: Un paralelogramo formado por vectores. observamos que Área( v 1, v 2 )= v 1 h ahora bien, sen θ = h/ v 2, y con ello h = v 2 sen θ Por otra parte tenemos que Área( v 1, v 2 )= v 1 v 2 sen θ 1

2 v 1 v 2 = v 1 v 2 cos θ y con esto cos θ = x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x y1 2 + z1 2 x y2 2 + z2 2 sen 2 θ = 1 cos 2 θ = ( x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ) 2 1 (x y2 1 + z2 1 )(x2 2 + y2 2 + z2 2 ) = (x2 1 + y1 2 + z1)(x y2 2 + z2) 2 ( x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ) 2 v 1 2 v 2 2 = v 1 2 v 2 2 v 1 v 2 2 v 1 2 v 2 2 = (y 2 x 2 y 1 ) 2 +( z 2 x 2 z 1 ) 2 +(y 1 z 2 y 2 z 1 ) 2 v 1 2 v 2 2 obteniendo de esta relación, que Área( v 1, v 2 )= ( y 2 x 2 y 1 ) 2 +( z 2 x 2 z 1 ) 2 +(y 1 z 2 y 2 z 1 ) 2 liguemos ésta cantidad con un vector muy particular. Antes de ello fijemos algunas ideas de ortogonalidad. 2 Cálculo de vectores ortogonales Problema: En R 3, si se tiene un vector v =(x, y, z), cómo encontrar un vector w =(α,β,γ) de manera que v w = Esto es muy interesante, si encontramos dos no paralelos, w 1 y w 2, podemsos construir una familia: el plano. 2

3 Encontremos algunos. Caso 1: Hagamos β =. Para este valo, debemos encontrar α y γ. De la lectura anterior, proponemos w 1 = Caso 2: Hagamos γ =. En este caso, debemos encontrar α y β. Proponemos w 2 = Como una observación, estos vectores no son paralelos, son linealmente independientes. Con estos dos y bajo esta observación, podemos construir una familia de vectores que también son ortogonales a v: z x y x w = α 1 w 1 + α 2 w 2 Problema: Dado dos vectores v 1 = (,y 1,z 1 )y v 2 = (x 2,y 2,z 2 ), cómo encontrar w =(β 1,β 2,β 3 ) ortogonal a ambos? Es decir: w v 1 =; w v 2 = Por una parte, w es ortogonal a v 1, por consiguiente, w está en el plano generado por los vectores w 1 y w 2 w = α 1 z 1 + α 2 Ahora bien, este vector debe ser ortogonal a v 2 ; es decir, w v 2 =, desarrollando tenemos y 1 α 1 z 1 + α 2 y 1 x 2 y 2 z 2 = 3

4 esto es α 1 z 1 α 2 y 1 α 2 α 1 x 2 y 2 z 2 = de ahí, tenemos que ( α 1 z 1 α 2 y 1 )x 2 + α 2 y 2 + α 1 z 2 = Nuestro problema, es quién es α 1 y α 2. Simplifiquemos un poco α 1 ( z 2 x 2 z 1 )+α 2 ( y 2 x 2 y 1 )= Tomemos como solución a α 1 = y 2 x 2 y 1 α 2 = ( z 2 x 2 z 1 )=x 2 z 1 z 2 Ahora sustituyamos en la expresión para nuestro vector w = α 1 w 1 + α 2 w 2 w = ( y 2 x 2 y 1 ) = = z 1 ( z 2 x 2 z 1 ) z 1 ( y 2 x 2 y 1 )+y 1 ( z 2 x 2 z 1 ) ( z 2 x 2 z 1 ) ( y 2 x 2 y 1 ) y 2 z 1 + y 1 z 2 ( z 2 x 2 z 1 ) ( y 2 x 2 y 1 ) = y 1 z 2 y 2 z 1 x 2 z 1 z 2 y 2 x 2 y 1 y 1 Como es un número, lo deshechamos y podemos considerar nuestro vector en la forma 4

5 w = y 1 z 2 y 2 z 1 x 2 z 1 z 2 y 2 x 2 y 1 Observación 1 Cualquier otro vector ortogonal a v 1 y v 2 es múltiplo de w. Observación 2 Si regresamos al área del paralelogramo, tenemos que área( v 1, v 2 )= (y 1 z 2 y 2 z 1 ) 2 +(x 2 z 1 z 2 ) 2 +( y 2 x 2 y 1 ) 2 esto es, área( v 1, v 2 )= w. Hemos encontrado a un vector ortogonal a dos de una manera simpática. De esta forma, a cada par de vectores v 1 y v 2 le asociamos w : ( v 1, v 2 ) w Para hacer esto, lo haremos siguiendo la regla de la mano derecha, usaremos un orden. El vector w se conoce como el producto vectorial entre v 1 y v 2 Hemos asignado a cada pareja de vectores uno ortogonal a ambos, siguiendo la regla anterior, cuya longitud es el área del paralelogramo; esto lo podemos expresar también en la forma v 1 v 2 = área( v 1, v 2 ) ŵ donde ŵ = 1, de manera que (( v 1, v 2 ), ŵ) siga la regla de la mano derecha. Propiedad Se cumple que v 1 v 2 = v 2 v 1 Problema práctico: Dado el vector v =( 1, 2, 4), cómo encontrar dos vectores w 1 y w 2 de manera que w 1 v =, w 2 v =,y w 1 w 2 =. Hágalo. 5

6 3 Volúmen Se tienen tres vectores v 1, v 2 y v 3 en R 3. La pregunta es, quién es el determinate de esos tres vectores? En notación det( v 1, v 2, v 3 ) = det[ v 1 v 2 v 3 ] x 2 x 3 = det y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 Esto representa el volúmen del paralepípedo formado por v 1, v 2, v 3. Por una parte Figura 2: Paralepípedo oblícuo volúmen( v 1, v 2, v 3 ) = área de la base altura = área( v 1, v 2 ) altura con v 3 Como observación, de contar con un vector w perpendicular al plano formado por v 1 y v 2, sería más fácil ver esto porque su norma sería la altura del paralepípedo. Consideremos el vector perpendicular a esos vectores, el producto cruz o vectorial w = v 1 v 2 6

7 Al hacer esto, se observa que la altura h entre el vector v 3 y el plano, se puede calcular com h = v 3 cos(v 3,w)= v 3 w cos(v 3,w) w lo cual escribimos adecuadamente como, h = w v 3 w Con este resultado, podemos calcular En notación volúmen( v 1, v 2, v 3 ) = área( v 1, v 2 ) altura hacia v 3 = área( v 1, v 2 ) w v 3 w = w v 3 el triple producto. volúmen( v 1, v 2, v 3 )=( v 1 v 2 ) v 3 Ahora hagamos las cuentas. Por una parte así, v 1 v 2 = y 1 z 2 y 2 z 1 x 2 z 1 z 2 y 2 x 2 y 1 volúmen( v 1, v 2, v 3 ) = ( v 1 v 2 ) v 3 = x 3 (y 1 z 2 y 2 z 1 )+y 3 (x 2 z 1 z 2 )+z 3 ( y 2 x 2 y 1 ) x 2 x 3 = det y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 7

8 Es importante que practique lo arriba mostrado, para ello desarrolle el siguiente: Problema práctico: Considere el paralepípedo formado por v 1 =(1, 2, 3), v 2 =( 3,, 4) y v 3 =(1, 1, 3). Encuentre su volúmen y el área de todas sus caras. 8