Reporte de Actividades 15

Transcripción

1 Reporte de Actividades 15 Profesores: Arturo Ramírez, Alejandro Díaz. Tutores: Paulina Salcedo, Filomeno Alcántara. 1. Sesión del 8 de junio de Resumen de la clase con Alejandro Díaz Barriga Repaso Números naturales N, enteros Z, racionales Q e irracionales I (detalles en Reporte 13) Números Reales. Es el conjunto de números decimales; en otras palabras, son todos los puntos sobre la recta. Se representan con el símbolo R. Este conjunto incluye: Los decimales periódicos (números racionales). Los decimales no periódicos (números irracionales). Dado que todo número de la recta real pertenece a uno de los dos conjuntos anteriores (i.e. o es racional o es irracional), entonces R es igual a la unión de estos dos conjuntos : R = Q U I Tarea. Responda y justifique su respuesta: Cuál es el número antes del cero en la recta real? Cuál conjunto cree que es mayor, el de los racionales o el de los irracionales?

2 1.2 Resumen de la clase con Arturo Ramírez Ejercicios resueltos en clase. TEOREMA. Dado un paralelogramo sus lados opuestos son congruentes. TEOREMA. Cualquier par de paralelogramos entre paralelas que comparten una misma base tienen áreas iguales. Demostración. Sean ABCD y ABCD el par de paralelogramos con base común AB. Estos se pueden acomodar de dos formas distintas: Caso 1. El vértice C de ABCD se encuentra sobre el lado CD, de ABCD. El área del paralelogramo ABCD es igual al área común A más el área de ACC y el área del paralelogramo ABC D es igual al área común A más el área de BDD. Como ACC BDD (criterio LAL) entonces las áreas de los paralelogramos son iguales ABCD = ACC + A = BDD + A = ABCD Caso 2. Los vértices C y D se encuentran sobre la prolongación de CD. Ahora, el área del paralelogramo ABCD es igual al área común B más el área de ACC menos el área C y el área del paralelogramo ABC D es igual al área común B más el área de BDD menos el área C. Como ACC BDD (criterio LAL) entonces las áreas de los paralelogramos son iguales ABCD = ACC + B C = BDD + B C = ABCD COROLARIO. Dos triángulos con la misma base y vértice sobre una paralela a la base, (i.e. de igual altura) tienen áreas iguales Teorema de Pitágoras. Primera demostración. Para esta demostración se utiliza fuertemente el corolario anterior.

3 Sea ABC un triángulo rectángulo en C. Se dibujan cuadrados sobre sus tres lados, ABKH, CADE, BCFG como en la figura. Se trazan la altura desde C, CC y los segmentos CH y DB. Por el criterio LAL, los triángulos HAC y BAD son congruentes y por lo tanto tienen la misma área: HAC = BAD Por el COROLARIO, el área de BAD es igual al área de CAD, pues comparten base AD y los vértices B y C se encuentran sobre CE que es paralelo a AD. BAD = CAD Por un argumento similar, el área de HAC es igual al área de HAC. HAC = HAC Entonces: CAD = HAC Y el área de estos dos triángulos corresponde a la mitad del área de los rectángulos CADE y HAC C respectivamente, 2 CAD = CADE y 2 HAC = HAC C por tanto: CADE = HAC C Análogamente, BCFG = BKC C Sumando las dos últimas igualdades queda demostrado el teorema pues Y sabemos que De lo que concluimos BCFG = CADE = HAC C + BKC C BCFG = BC 2 CADE = AC 2 HAC C + BKC C = AB 2 BC 2 + AC 2 = AB 2

4 Segunda demostración. En un triángulo ABC rectángulo en C, se traza un cuadrado sobre c. La figura muestra cómo podemos acomodar dos cuadrados, uno de lados a y otros de lados b dentro de este cuadrado. Se recomienda al rector justificar, con argumentos de congruencia de triángulos, por qué las áreas en efecto son iguales.

5 2. Actividades del 10 de junio de Paulina Salcedo Sugerencias a los problemas de geometría del examen. Nota: queda de tarea terminar y entregar todo el examen. Problema 4. Demostrar que la medida del ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores opuestos. Para la justificación, recordar lo siguiente: DEFINICIÓN. En lógica y matemáticas, una hipótesis es una fórmula de la que se parte para alcanzar otra fórmula mediante deducciones válidas. Es decir, en la demostración de una fórmula, las hipótesis son el conjunto de afirmaciones adicionales que son añadidas al conjunto de axiomas. No hay que confundir la hipótesis lógica-matemática con la hipótesis del método científico, la cual se formula a partir de observaciones y luego se confirma o no a través de la experimentación. DEFINICIÓN. Ángulos complementarios: par de ángulos que suman 90. Ejemplos. DEFINICIÓN. Ángulos suplementarios: par de ángulos que suman 180.

6 Problema 5. Demostrar que la suma de los ángulos internos de un polígono convexo de N lados es igual a 180*(N - 2). DEFINICIÓN. Un polígono es una figura cerrada, formada por segmentos rectos consecutivos no alineados. DEFINICIÓN. Un polígono es convexo si todo segmento de recta con extremos dentro o sobre de la figura está completamente contenido en ella. A continuación se ilustra esta definición: Polígono convexo. Polígonos no-convexos. En este tipo de problemas es conveniente ver algunos casos para darnos una idea de la demostración: Triángulo: Suma de ángulos internos: 180. Cuadrilátero: Siempre podemos dividir un cuadrilátero en dos triángulos tal que sus ángulos internos sumen los ángulos internos del cuadrilátero. Por lo tanto, suma de ángulos internos es: 180*2 = 360. Pentágono: Similar al caso del cuadrilátero, se puede dividir un pentágono en 3 triángulos cuya suma de ángulos internos sea la suma buscada: 180*3 = 540. De estos ejemplos, se nota una clara relación entre la cantidad de triángulos en los que se puede dividir el polígono y el número de lados. Hay que buscar la manera de generalizar el resultado, partiendo un polígono de N lados en N - 2 triángulos, cuidando justificar bien cada paso. Mencioné que este problema también se puede resolver por inducción. Esto queda pendiente para la siguiente sesión.

7 Problema 6. En el siguiente dibujo O es el centro de la circunferencia. i ) Si el ángulo <ABC = 60, cuánto vale <BDC? ii ) Si además, sabemos que BC = 1 y <DBA = 75 cuánto mide el segmento DC? NOTA: sen 135 = 1 2, sen30 = 1 2. Puntos a considerar para resolver el problema: 1. No dejarse llevar por el dibujo, nunca hay que agregar hipótesis fuera de las que el problema nos da, por ejemplo, no se puede asegurar que las cuerdas DC y AB son perpendiculares entre sí. 2. Podemos conjeturar ideas; sin embargo, para convertirlas en afirmaciones válidas, deben concordar con los datos (hipótesis) del problema y además: 3. Nuestras afirmaciones deben ser justificadas mediante deducciones hechas a partir de las hipótesis del problema y/o teoremas que se conozcan. 4. Generalmente hay que usar toda la información del problema ( por ejemplo, AB pasa por el centro O de la circunferencia y por lo tanto, es diámetro ). 5. Intentar resolver el inciso (i) SIN USAR el inciso (ii). Para ello hay que buscar los ángulos inscritos en la circunferencia que son iguales entre sí. 6. La sugerencia para resolver el inciso (ii) es buscar un triángulo adecuado para aplicar la Ley de Senos.

8 2.1.2 Ángulos en la circunferencia. DEFINICIÓN. Un cuadrilátero cíclico es aquél que puede inscribirse en una circunferencia. En la siguiente figura, se muestra un cuadrilátero cíclico; encontramos los pares de ángulos iguales entre sí. La justificación es que cada par abarca un mismo arco, como muestran los colores. Al anotar cada par de ángulos iguales, lo único que cambia es la letra media: < A B D = < A C D porque ambos abarcan el arco AD. < B C A = < B D A abarcan el arco BA. < C D B = < C A B abarcan el arco CB. < D A C = < D B C abarcan el arco DC. Una propiedad importante de los cuadriláteros cíclicos es que siempre cumplen estas cuatro igualdades. EJERCICIO. De qué color deben pintarse los ángulos <BEA, <AFB y <CGD? Escribir las igualdades correspondientes.

9 Por último, para seguir practicando el uso de ángulos inscritos, resolvimos parte del siguiente teorema (el cual vamos a terminar en la siguiente sesión): DEFINICIÓN. Un trapecio es un cuadrilátero con un par de lados paralelos. Ejemplos: el cuadrado, el rectángulo y paralelogramo. DEFINICIÓN. Un trapecio isósceles es aquél que tiene dos lados no paralelos de igual longitud. Incluiremos al cuadrado en esta definición, para así tener el siguiente TEOREMA. Un trapecio es isósceles si y sólo si es cuadrilátero cíclico. Como el teorema tiene una doble implicación (si y sólo si), hay que demostrar dos cosas: (1) Si un trapecio es cuadrilátero cíclico, entonces es isósceles. Demostración: en la siguiente figura, el trapecio ABCD cumple que AB DC por definición. Basta probar que los arcos BC y DA son iguales. Primera observación, <BAC = <BDC porque abarcan el mismo arco: BC. La segunda observación importante es <BAC = <ACD porque son alternos internos entre las rectas paralelas AB y DC. Conclusión, los arcos BC y DA son iguales. Para completar la demostración, es necesario el siguiente lema, que no demostré durante la sesión por falta de tiempo. LEMA. Si dos arcos son iguales entonces las cuerdas que unen sus extremos son iguales. Demostración del lema: Sean AB y DC dos arcos de igual longitud y O el centro de la circunferencia. Por demostrar: AB = DC. Podemos aplicar el criterio de congruencia LAL a los triángulos AOB y DOC: OB = OC = OA = OD por ser radios de la circunferencia y <AOB = <DOC por hipótesis. Entonces AOB DOC lo que implica AB = DC. (2) Si un trapecio es isósceles, entonces es cuadrilátero cíclico. Demostración: pendiente para la siguiente sesión. En general, una doble implicación es muy fuerte; por ejemplo, de este teorema se concluye inmediatamente el siguiente hecho interesante: Si un trapecio no es isósceles entonces no se puede inscribir en una circunferencia.