Alfabeto Lógico: Modelos de R 2 a R 4
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- José Antonio Bustos Barbero
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1 Alfabeto Lógico: Modelos de R 2 a R 4 Leonardo Granados Universidad del Tolima olgranados@uteduco Raúl Aya Universidad del Tolima ayaluar07@hotmailcom Resumen Se presentan a partir de un análisis algebraico y geométrico, los grupos de simetría encontrados en los modelos de R 2 a R 4 del Alfabeto Lógico de Zellweger Palabras y frases claves: Conectivos, Alfabeto Lógico, Shea Zellweger, simetría, cubo multidimensional 1 Introducción El Alfabeto Lógico propuesto por Shea Zellweger es una nueva notación para los conectivos proposicionales binarios, que se compone de dieciséis formas o letras cuya clave de interpretación está en las extremidades Por ejemplo, la letra del Alfabeto Lógico tiene tres extremidades Por otra parte, los movimientos rígidos de los signos corresponden a operaciones lógicas, por ejemplo, a partir de la expresión NA B donde N denota la negación se pasa a A B, de hecho en general negar la primera proposición corresponde a reflejar el signo en el eje vertical Esto a su vez conduce a interpretar en la lógica las simetrías que tengan los signos, por ejemplo, un conectivo es conmutativo, si y solo si, su signo en el Alfabeto Lógico es simétrico respecto a la diagonal ascendente Zellweger construyó modelos físicos unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales que él insiste son proyecciones de modelos en cuatro dimensiones, y de esta manera la lógica se conecta con la geometría en la búsqueda de la verdad científica Esa búsqueda nos ha permitido investigar y estudiar los movimientos rígidos de los diversos modelos, que revelan sorprendentes e insospechadas simetrías en el sistema de los conectivos binarios y su posible extensión a cuatro dimensiones Asimismo establecer correspondencias explícitas de los movimientos rígidos de los modelos con los de las letras del Alfabeto Lógico, y la proyección de R 4 a R 3 para la cual la imagen es un rombododecaedro 2 Alfabeto Lógico El Alfabeto Lógico se fundamenta en un cuadrado básico que tiene la configuración del siguiente diagrama F V V V F F Cuadrado básico El mecanismo de construcción del Alfabeto Lógico consiste en ver la posición de los puntos en las esquinas del cuadrado para fijar el número de extremidades y, con ello, la letra misma Por ejemplo, V F
2 el diagrama tiene tres puntos que corresponden a una letra con tres extremidades, Los valores de este conectivo son F V V V, que son los de la barra de Sheffer A continuación se expone la interrelación de los cuadrados con las formas de letras del Alfabeto Lógico V V F F F F V V V V F F F F V V V V V F F F F V F V F F V V F V F V V V F V F F V F F F V F V F V V V F V V F F F V F F F F F V F V V V V V F V Tabla 1: El Alfabeto Lógico de Shea Zellweger En la interacción de las funciones del Alfabeto Lógico, las letras toman diferentes posiciones cuando participan en operaciones lógicas La idea conduce a crear sencillas reglas que permiten llevar a cabo variados movimientos con las letras que generan interesantes y elegantes representaciones de simetría, integradas por los modelos a partir de las propiedades del Alfabeto Lógico y los conectivos proposicionales Las cuatro reglas de simetría o de movimiento vistas en acción, consisten en general en tomar las letras y hacerlas girar o buscar su complemento [2, 18] Ellas se aplican a todas las expresiones pero se trabaja con una genérica, denotada (A B) R1 Negar el miembro izquierdo del asterisco (NA B) cambia a (A R2 Negar la letra del Alfabeto, N (A N B) cambia a (A B) R3 Negar el miembro derecho del asterisco (A NB) cambia a (A B) R4 Convertir De (A B) se obtiene (B A), y en otro caso, (A B) B) pasa a (B A) Estas cuatro operaciones propuestas por Zellweger son casos particulares de los automorfismos lógicos [7] considerados ahora en el Alfabeto Lógico, donde la negación se convierte en una acción totalmente sometida a la simetría como el principal motor del Alfabeto 3 Modelos del Alfabeto Lógico El modelo Flipstick está construido en una sola dimensión a partir de la Tabla 1 con las letras en las dos caras, esta configuración es una proyección unidimensional de un plano, que a su vez es una sombra en el espacio de un hipercubo El Insecto lógico es un modelo bidimensional; que puede ser visto como una proyección en el plano de una sombra en el espacio de un cubo de cuatro dimensiones El Poliedro lógico, aparece como un esqueleto en el espacio de un cubo de cuatro dimensiones diseñado a partir del conjunto de letras 2
3 4 Análisis de un modelo en R 2 El modelo Insecto lógico tiene algunas características especiales por la relación entre la lógica y la geometría bidimensional, el cual integra los 16 conectivos binarios de tal forma que permite observar con mayor facilidad los movimientos de cada signo según los cuatro ejes que en él se encuentran, uno horizontal x, uno vertical y y dos oblicuos, x = y (diagonal ascendente) y x = y (diagonal descendente), como se muestran a continuación x = y y x = y x Figura 1: Ejes en el Insecto lógico Así, los signos se pueden clasificar en seis diferentes grupos según el nivel de simetría, que surgen al llevar a cabo los movimientos al interior del modelo En el diagrama todo conectivo tiene rotaciones, reflexiones y su complemento, sin embargo los conectivos y quedan invariantes De este modo, presentamos una tabla con cada uno de los movimientos realizados por el modelo bidimensional para los signos, y la respectiva operación lógica El análisis es similar para los otros modelos propuestos por Zellweger GRUPO SIGNO INVARIANTES 1 Reflexión respecto a los 4 ejes Rotación según los ángulos 90 o, 180 o y 270 o 2 Reflexión respecto a los ejes x = y y x = y Rotación en un ángulo de 180 o 3 Reflexión respecto al eje x 4 Reflexión respecto al eje y 5 Reflexión respecto al eje x = y 6 Reflexión respecto al eje x = y Tabla 2: Clasificación de simetría en el modelo bidimensional 3
4 Movimiento del MODELO Movimiento del SIGNO Operación LÓGICA Reposo Reposo A B Rotación 90 o Rotación 90 o B NA Rotación 180 o Rotación 180 o NA NB Rotación 270 o Rotación 270 o NB A Reflexión eje x Reflexión eje horizontal A NB Reflexión eje y Reflexión eje vertical NA B Reflexión eje x = y Reflexión diagonal ascendente B A Reflexión eje x = y Reflexión diagonal descendente NB NA Tabla 3: Movimientos y operaciones lógicas para un modelo bidimensional 5 Resultados El análisis algebraico y geométrico de los diferentes modelos de Zellweger, permitió establecer distintos grupos de simetría según sus movimientos en los diagramas Aunado a lo anterior, en el Poliedro lógico que tiene la misma simetría de su figura envolvente, el rombododecaedro, cuyos movimientos rígidos a su vez son los mismos del cubo de dimensión 3 De estos 48 movimientos, 16 corresponden a las operaciones lógicas vistas en el sistema de los conectivos proposicionales binarios Queda aún abierto el problema de dar una interpretación lógica a los otros 32 movimientos del poliedro Por otro lado, la deficiencia de este modelo en los conectivos centrales y, justifica la necesidad de proponer un mejor modelo donde todos los conectivos ocupen lugares diferentes 6 Conclusiones El Alfabeto Lógico combina de manera armoniosa las cualidades alfabética y geométrica de las notaciones para los conectivos proposicionales binarios Todos los movimientos rígidos de las letras del Alfabeto Lógico corresponden a operaciones lógicas efectuadas sobre la proposición compuesta Los modelos físicos permiten ver cómo, los movimientos rígidos del modelo coinciden en alguna medida con los movimientos rígidos de cada una de las letras y, en consecuencia, corresponden a ciertas operaciones lógicas Quizás el modelo físico más adecuado para el Alfabeto Lógico es el hipercubo, dado que la cantidad de sus vértices coincide con la de conectivos proposicionales binarios Las dificultades para estudiar este modelo incluyen la imposibilidad de visualizar sus movimientos y la incógnita de cuál conectivo se debe asignar a cuál vértice Una gran ayuda en este sentido lo constituyen las proyecciones del hipercubo al espacio, de hecho se pudo mostrar de manera explícita una proyección cuya imagen en el espacio es el rombododecaedro Referencias [1] Caicedo, Xavier Elementos de lógica y calculabilidad Bogotá: Una Empresa Docente, p 4
5 [2] Clark, Glenn and Zellweger, Shea Let the mirrors do the thinking In: Mount Union Magazine 1993 Vol 93, no 2, p 2 5 [3] Clark, Glenn New light on Peirce s iconic notation for the sixteen binary connectives In: Studies in the Logic of Charles Sanders Peirce Nathan Houser, Don D Roberts and James Van Evra (Eds) Bloomington and Indianapolis: Indiana University Press 1997, p [4] Coxeter, H S M Introduction to Geometry Toronto: John Wiley & Sons, Inc 1969, p [5] Farias, Priscila y Queiroz, João Sign-Design: nuevas estrategias para modelar procesos y estructuras sígnicas CECCS (Center for Research on Cognitive Science and Semiotics, COS/PUC- SP, Brasil) En: Revista de la Asociación Española de Semiótica 2001, No 10, p [6] Fraleigh, John B A First Course in Abstract Algebra Massachusetts: Addison Wesley, Reading, p [7] García, Mireya, Gómez, Jhon Fredy y Oostra, Arnold Simetría y Lógica: La notación de Peirce para los 16 conectivos binarios En: XII Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones (2001 Bogotá) Memorias Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional 2001, p 1 26 [8] Granados, Leonardo y Aya, Raúl Acerca de la geometría del Alfabeto Lógico de Shea Zellweger Trabajo de grado (Matemáticas) Ibagué: Universidad del Tolima Facultad Ciencias de la Educación, p [9] Oostra, Arnold Los diagramas de la matemática y la matemática de los diagramas En: Boletín de Matemáticas, 2001 Vol VIII, p 1 7 [10] Oostra, Arnold Simetría en algunas tablas de CS Peirce En: XIV Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones (2003 Bogotá) Memorias Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional 2003, p 1 49 [11] Oostra, Arnold La notación diagramática de CS Peirce para los conectivos proposicionales binarios En: Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, 2004 Vol XXVIII, no 106, p [12] Oostra, Arnold Una reseña de la lógica matemática de Charles S Peirce ( ) En: Revista Universidad Eafit de Medellín, Colombia, 2008 Vol 44, no 150, ISSN X, p 9 20 [13] Peirce, Charles S Qué es un signo? En: Collected Papers of Charles Sanders Peirce Cómo razonar: una crítica de los argumentos 1894, p 285 y [14] Weyl, Hermann Simetría Madrid: McGraw-Hill, p [15] Zellweger, Shea Peirce, iconicity, and the geometry of logic In: On semiotic Modeling Myrdene Anderson and Floyd Merrell (Eds) New York: Mouton de Gruyter, 1991, p [16] Zellweger, Shea On a deep correspondence between sign-creation in logic and symmetry in crystallography In: Semiotics around the World: Synthesis in Diversity Irmengard Rauch and Gerald F Carr (Eds) New York: Mouton de Gruyter, 1997, p
6 [17] Zellweger, Shea Untapped potential in Peirce s iconic notation for the sixteen binary connectives In: Studies in the logic of Charles Sanders Peirce Nathan Houser, Don D Roberts and James Van Evra (Eds) Bloomington and Indianapolis: Indiana University Press, 1997, p [18] Zellweger, Shea Mathelogical semiotics: a lesson in constructing a shape-value notation for elementary logic In: Educational Perspectives on Mathematics as Semiosis: from Thinking to Interpreting to Knowing Myrdene Anderson, Adalira Sáenz-Ludlow, Shea Zellweger and Victor V Cifarelli (Eds) Toronto: Legas, 2003, p
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