Esterilización 1 4. Envase 3 2

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1 9.- Una empresa de productos lácteos fabrica dos tipos de leche: entera y desnatada. El proceso de fabricación se lleva a cabo mediante una máquina de esterilización y otra de envase, donde el tiempo (expresado en horas por día) empleado por cada máquina y para cada unidad de leche, viene dado por la siguiente tabla: Entera Desnatada Esterilización 4 Envase 3 El número máximo de horas diarias disponibles de cada una de las máquinas es de 0. Según la demanda del mercado, la empresa debe fabricar al menos 5 unidades diarias de leche entera. El beneficio unitario de la leche entera es de 6 u.m. y el de la desnatada de 9. Suponiendo que las unidades de leche pueden ser fabricadas total o parcialmente, responda a las siguientes cuestiones: a) Halle el número de unidades diarias a fabricar de cada tipo de leche para maximizar el beneficio. b) Cuánto aumentaría o disminuiría el beneficio si la máquina de envase pasase a disponer de una hora más diaria? Y si aumentamos en una hora el tiempo de la máquina de esterilización? c) Mediante la representación gráfica, compruebe la solución del apartado a) y explique gráficamente la repercusión de aumentar una hora en una de las máquinas. d) Si aumentamos la disponibilidad de las dos máquinas en una hora, el aumento o decremento del beneficio será la suma de las cantidades del apartado b)? En caso de no serlo, obtenga el verdadero aumento o decremento. Solución: a) Halle el número de unidades diarias a fabricar de cada tipo de leche para maximizar el beneficio. Denotamos por x el número de unidades de leche entera y por x el de leche desnatada. Dado que las unidades de leche se pueden producir total o parcialmente, las variables no tienen que tomar necesariamente valores enteros. La formulación matemática del problema de esta empresa es, por tanto:

2 Max s. a. 6x x 3x + 9x + 4 x + x x, x x Resolviendo este problema con el programa LINDO obtenemos el siguiente resultado 0 Por tanto: La empresa debe producir diariamente cinco unidades de leche entera y 5 5/ unidades de leche desnatada: x * = 5, x* =. Con ello le sobran cinco horas en la máquina de esterilización y ninguna en la máquina de envasado. El beneficio diario que obtiene es de 5,5 u.m. b) Cuánto aumentaría o disminuiría el beneficio si la máquina de envase pasase a disponer de una hora más diaria? Y si aumentamos en una hora el tiempo de la máquina de esterilización? Realizamos el análisis acerca del incremento en el número de horas en una de las máquinas a partir de la interpretación de los multiplicadores de Lagange (variables duales). Los valores de estas variables, a partir de los resultados obtenidos mediante el programa LINDO (véase la columna DUAL PRICES) son:

3 lo que implica que: λ * = 0 y λ * = 4,5, Un aumento en una hora en la máquina de esterilización ( b = ) no modifica el valor de la función objetivo en el óptimo: z* = λ b = 0 =0. Un aumento en una hora en la máquina de envase ( b = ) modifica el valor de la función objetivo en el óptimo en 4,5 unidades monetarias: z* = λ b = 4,5 = 4,5. No obstante, hay que señalar que esta interpretación de la variable dual es válida sólo si la variación en el recurso no da lugar a un cambio en la base óptima. Así, si consideramos una reducción en el primer recurso de 6 unidades, la interpretación anterior deja de ser válida, porque la base óptima cambia. Comprobamos esto resolviendo el problema para b = 4. Si la base óptima se mantuviese la variación en la función objetivo sería: z* = λ b = 0 (-6) =0 Sin embargo, si resolvemos el problema con este valor del recurso, la solución óptima es: Obsérvese que la función objetivo cambia (de 5,5 pasa a valer 5) y esto se debe a que la base ha cambiado. Ahora la variable de holgura correspondiente a la tercera restricción es no nula y la de la primera ha pasado a valer 0. c) Mediante la representación gráfica, compruebe la solución del apartado a) y explique gráficamente la repercusión de aumentar una hora en una de las máquinas.

4 La gráfica del problema es: La restricción es redundante. Además una aumento en una hora en la máquina de envasado desplazará la restricción hacia arriba y la restricción seguirá siendo redundante. En cambio, la restricción es activa en el óptimo. Si aumentamos una hora el proceso de la máquina de esterilización, esta restricción se desplaza hacia arriba. Con ello va a cambiar la solución óptima (no así la base óptima) y el óptimo se obtiene en una curva de nivel mayor, lo que indica que aumentará el valor de la función objetivo en el óptimo, tal y como se ha visto en el apartado b). La siguiente gráfica muestra todo esto:

5 d) Si aumentamos la disponibilidad de las dos máquinas en una hora, el aumento o decremento del beneficio será la suma de las cantidades del apartado b)? En caso de no serlo, obtenga el verdadero aumento o decremento. La cuestión que abordamos ahora es qué ocurre si consideramos una variación en ambos recursos de forma simultánea. Gráficamente, vemos que una variación de estos dos recursos a la vez hace que cambie el óptimo. Analíticamente, para ver cómo cambia la función objetivo cuando los dos recursos varían al mismo tiempo, tendríamos que calcular la derivada direccional de la función objetivo evaluada en el óptimo, respecto de los recursos, con el vector dirección v = (, ) t : D z( x *( b, )) (,) b Sin embargo, dado que nuestro problema es lineal, se verifica que: z * = = λ b + λ b = 0 + 4,5 4,5. No obstante, hay que recordar que la interpretación de las variables duales es válida sólo si la variación en los recursos no da lugar a un cambio en la base óptima.

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