INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA

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1 INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA El éxito no se logra sólo con cualidades especiales. Es sobre todo un trabajo de constancia, de método y de organización. J.P. Sergent TABLA DE DESEMPEÑOS RAZONES Y PROPORCIONES Interpretar y aplicar los conceptos de razón y proporción en la solución de situaciones problemáticas que involucren regla de tres simple, regla de tres compuesta y porcentajes. INDICADORES DE DESEMPEÑOS: Reconoce una razón a partir de un problema planteado. Resuelve problemas utilizando la regla de tres. Aplica la característica de la proporcionalidad directa e inversa en la solución de problemas de regla de tres simple directa e inversa y compuesta. CONTENIDOS Magnitudes Razones y proporciones Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa Regla de tres simple Regla de tres compuesta Porcentaje MAGNITUDES Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente. La longitud del lado un cuadrado. La capacidad de una botella de agua. El número de goles marcados en un partido. El número de goles marcados por el equipo A.

2 RAZÓN Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como fracción. Los términos de una razón se llaman: antecedente y consecuente. El antecedente es el dividendo y el consecuente es el divisor. Diferencia entre razón y fracción: La razón en los lados de un rectángulo de 5 cm de altura y 10 cm de base es: No hay que confundir razón con fracción. Si razón es una fracción, entonces a y b son números enteros con b 0, mientras que en la los números a y b pueden ser decimales Taller 1 1. Encuentra la razón: Encuentra la razón que expresa la comparación entre las cantidades de cada conjunto

3 2. Escribe la frase correspondiente PROPORCIONALIDAD Proporción es una igualdad entre dos razones. Constante de proporcionalidad Propiedades de las proporciones

4 En una proporción del producto de los medios es igual al producto de los extremos. Ejemplo En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones. Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción no varía. Ejemplo Encuentre para cada proporción el término que falta. x= x=30 Taller 2 1. Cuál es el uso de proporciones en nuestra vida diaria? 2. Utiliza la propiedad fundamental de las proporciones, p ara determinar si se forma o no una proporción

5 3. Encuentra el operador por el cual se multiplico la primera razón para obtener la razón proporcional 4. Con las magnitudes de cada tabla forme las proporciones posibles. S T S T Encuentre para cada proporción el término que falta. a) 6/5 = 18/x d) 9:13 :: x:39 g) x/15 = 6/45 b) 45/2 = x/6 e) 11/7 = 66/x h) 25:x :: x:1/16 c) 9/x = 27/6 f) 100/21 = 300/x i) 1/4:x :: x:9/16 MAGNITUDES DIRECTAMENTE E INVERSAMANTE PROPORCIONALES MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número. Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:

6 A más corresponde más. A menos corresponde menos. Son magnitudes directamente proporcionales, el peso de un producto y su precio. EJEMPLO. Si 1 kg de tomates cuesta 1, 2 kg costarán 2 y ½ kg costará 50 céntimos. Es decir: A más kilógramos de tomate más euros. A menos kilógramos de tomate menos euros. También son directamente proporcionales: 1. El espacio recorrido por un móvil y el tiempo empleado. 2. El volumen de un cuerpo y su peso. 3. La longitud de los lados de un polígono y su área. Aplicaciones de la proporcionalidad directa Regla de tres simple y directa Repartos directamente proporcionales Porcentajes MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda d ividida o multiplicada por el mismo número. Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando: A más corresponde menos. A menos corresponde más. Son magnitudes inversamente proporcionales 1. La velocidad y el tiempo:

7 A más velocidad corresponde menos tiempo. A menos velocidad corresponde más tiempo. EJEMPLO Un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h, pero si doblamos la velocidad el tiempo disminuirá a la mitad. Es decir, si la velocidad es de 120 km/h el tiempo del trayecto será de 3 horas. Aplicaciones de la proporcionalidad inversa Regla de tres simple inversa Repartos inversamente proporcionales Actividad SALIDA AL TABLERO DE LOS ESTUDIANTES OBJETIVO Solucionar todas las dudas del tema TRABAJO COOPERATIVO Grupos de tres personas con niveles de conocimiento diferente con el propósito de realizar el siguiente taller en forma conjunta estimulando el trabajo en equipo. Taller 3 MAGNITUDES DIRECTAMENTE CORRELACIONADOS Y DIRECTAMENTE PROPORCIONALES 1. con las dos tablas que aparecen a continuación responda: No de artículos $ (precio) L (cm) V (cm 3 )

8 a) Cuáles magnitudes se están relacionando? b) Estas magnitudes son directamente proporcionales o tienen correlación directa? c) Si son directamente proporcionales, cual es el coeficiente de proporcionalidad? d) Elabore una gráfica por cada tabla con los valores de las magnitudes. Use papel milimetrado. 2. Con los datos de cada tabla, elabore la gráfica y analícela x y x y MAGNITUDES INVERSAMENTE CORRELACIONADOS E INVERSAMENTE PROPORCIONALES 3. Para desocupar un tanque se usa una manguera de 3 cm de diámetro y emplea 80 minutos en hacerlo. Complete la siguiente tabla y responda. Diámetro manguera (cm) Tiempo (min) 1? 2? ? 5? a) Es el diámetro directamente proporcional al tiempo? b) Es el diámetro inversamente proporcional al tiempo? c) Cuál es la constante de proporcionalidad? d) Trace la grafica 4. un automóvil a una velocidad de 70 km/ h gasta 4 horas para ir de una ciudad a otra. Este mismo recorrido podría hacerlo empleando otros tiempos. Complete la siguiente tabla y responda Tiempo (horas) Velocidad (km/ h) 2? ? 7? 10? a) Como son el tiempo y la velocidad?

9 b) Cuál es la constante de proporcionalidad? LA REGLA DE TRES DIRECTA REGLA DE TRES La aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones: A más A menos más. menos. Ejemplos 1. Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas? Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas recorrerá menos kilómetros. 240 km 3 h x km 2 h 2. Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan 0.80, cuánto pagará Ana? Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más kilos, más euros. 2 kg kg x

10 REGLA DE TRES INVERSA Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud. La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones: A más A menos menos. más. Ejemplo 1. Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto? Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardará más en llenar el depósito. 18 l/min 14 h 7 l/min x h 2. Si 3 obreros construyen un muro en 12 horas, cuánto tardarán en construirlo 6 obreros? Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas. 3 obreros 12 h 6 obreros x h

11 Taller 4 Completar una tabla Completar y establecer si las variables se relacionan en forma directa o inversamente proporcional 1. para pintar 20m 2 de pared se requieren ½ galón de pintura. Área de la pared Galones de pintura 1/2 2. Con un lazo de 30 cm de largo se formaran polígonos equiláteros No de lados 3 7 Longitud de cada lado un cocinero utiliza 6 huevos para preparar 2 kilos de milanesa huevos 6 Milanesa (kg) ½ 4. un operario tarda 8 horas en realizar un trabajo operarios Tiempo (horas)

12 Comprender el enunciado. Leer cada situación, luego responder. 5. Una moto viaja de la ciudad A a la ciudad B en 2 horas a una velocidad de 90km/h. Cuánto tardara en hacer el mismo trayecto si viaja a una velocidad de 60 km/h? 6. Seis máquinas de una fábrica producen los artículos de un pedido en 7.5 horas de funcionamiento. En cuánto tiempo se producirían los artículos si hubiera nueve maquinas disponibles? 7. Con 200 litros de agua se llenan 4/15 de un tanque. Determinar la capacidad del tanque. Formular la pregunta Determinar qué tipo de proporcionalidad se plantea en cada situación, luego formular una pregunta de regla de tres simple directa o inversa, según el caso y resolverla. 8. Para preparar una torta de diez porciones se necesitan 8 huevos. 9. Un grupo de seis amigos tomaron el menú del día en un restaurante y pagaron un total de $ Resuelve mediante regla de tres

13 11. Resuelve 12. Responde las siguientes preguntas REGLA DE TRES COMPUESTA La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida. Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente. Pare resolver este tipo de ejercicios vamos a revisar el método practico de la aritmética de Baldor pagina 525 Tarea Revisar y entender los ejemplos propuestos en las paginas 526, 527, 528 de la aritmética de Baldor. PORCENTAJES Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100. Ejemplos

14 1. Una moto cuyo precio era de 5.000, cuesta en la actualidad 250 más. Cuál es el porcentaje de aumento? % x % El 5%. 2. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800, nos hacen un descuento del 7.5%. Cuánto hay que pagar por el vehículo? 100 % 7.5 % 8800 x = 8140 Taller 5 1. Una moto cuyo precio era de 5.000, cuesta en la actualidad 250 más. Cuál es el porcentaje de aumento? 2. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800, nos hacen un descuento del 7.5%. Cuánto hay que pagar por el vehículo? 3.Al comprar un monitor que cuesta 450 nos hacen un descuento del 8%. Cuánto tenemos que pagar? 4. Cuánto es... a) El 10% de 75? l) El 25% de ? b) El 10% de 750? m) El 25% de 1000? c) El 10% de2354? n) El 25% de 100? d) El 10% de 100? o) El 50% de 40? e) El 20% de 45? p) El 50% de 125? f) El 20% de 2897? q) El 50% de 896?

15 g) El 20% de 5.6? r) El 50% de 4536? h)el20%de543.80? s) El 50% de ? i) El 20% de 100? t) El 50% de 100? j) El 25% de 12? u) El 50% de 1000? k) El 25% de 786? v) El 100% de Qué porcentaje es a) 100 de 200? e) 30 de 150? b) 100 de 1000? f) 175 de 350? c) 50 de 200? g) 3 de 6? d) 25 de 250? h) 3 de 12? i) 3 de 15? 6. Para realizar cierto trabajo, Tomás pasó el siguiente presupuesto: $ de materiales y $ más IVA (16%) de mano de obra. Pidió el 40% del total como anticipo. a) A cuánto asciende el importe total del presupuesto? b) Cuánto deberá cobrar Tomás al terminar el trabajo? 7. Josefa aprovecha el 20% de descuento para comprar una plancha cuyo precio con IVA incluido es de $23800 y una licuadora en cuya etiqueta dice $32500 más IVA. a) Cuánto deberá pagar Josefa por los dos artículos? b) Cuánto dinero le descontaron? Diego Alonso Castaño Álzate. Docente del área de matemáticas