PRÁCTICA 6: Introducción a las probabilidades

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1 Facultad de Agronomía Laboratorio Estadística General Aux. P. Agr. Jorge Sandoval 1 Introducción PRÁCTICA 6: Introducción a las probabilidades Las probabilidades constituyen una rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística. La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar. 2 bjetivos Comprender los conceptos básicos de la teoría de las probabilidades. Describir los usos potenciales de la teoría de las probabilidades en la investigación agrícola. Describir y conocer los principios fundamentales del conteo. 3 Contenido La teoría de las probabilidades constituye la base para la inferencia estadística, es tan común el uso de las probabilidades en todas las áreas del conocimiento y aún en la vida cotidiana. En término de la investigación formal las probabilidades proveen recursos para evaluar situaciones, tomar decisiones y también apoyarse en la realización de análisis más complejos y confiables que se usan como base. La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1, ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1 que el resultado ocurrirá siempre. Los problemas más sencillos estudian la probabilidad de un suceso favorable en un experimento o acontecimiento con un número finito de resultados, todos ellos con igual probabilidad de ocurrir. La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios estocásticos. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, los cuales son resultados únicos y/o previsibles de experimentos realizados bajo las mismas condiciones 1

2 determinadas, es una medida que expresa una incertidumbre en términos de una escala numérica 3.1 Conceptos básicos Experimento aleatorio: es aquel cuyo resultado depende del azar. Ej. Tirar un dado a una mesa no sabes qué número va a salir, siempre y cuando el dado tenga todas sus caras equi - probables. Experimento determinístico: es aquel que se realiza conociendo el resultado. Ej. El tiro de una bala. Suceso o Evento: (Hecho bservable). Cualquier hecho observable que pueda aparecer en la realización particular del experimento. Ej. Que salga el número 2 en el lanzamiento de un dado. Eventos mutuamente Excluyentes: dos eventos no tienen elementos en común. EVENT SUCES A EVENT SUCES B Eventos Dependientes: el resultado de un evento condiciona la probabilidad de otro evento posterior. EVENT SUCES B EVENT SUCES A 2

3 Evento complementario: el complemento de un evento son los elementos restantes o no incluidos. EVENT SUCES A EVENT SUCES B Espacio Muestral: cada uno de los posibles resultados que no pueden ser descompuestos o subdivididos en más simples, Sucesos elementales. Requisitos básicos: a. Los valores de probabilidad que se asignen a cada resultado experimental deben estar comprendidos entre 0 y 1. b. La suma de todas las probabilidades de resultados experimentales debe ser Tipos de Probabilidad Probabilidad Clásica o a priori: Utilizando la regla de Laplace, cada uno de los resultados posibles debe ser igualmente posible, debido a que se utilizan ejemplos previsibles como monedas no alteradas, dados no modificados y mazos de barajas normales, entonces es posible establecer la respuesta de antemano, sin necesidad de lanzar una moneda, un dado o tomar una carta. No es necesario efectuar experimentos para poder llegar a conclusiones. Este tipo de probabilidad necesita de un número finito de resultados, También necesita que todos los resultados sean equiprobables o tengan la misma probabilidad de resultado. Este planteamiento de la probabilidad tiene serios problemas cuando intentamos aplicarlo a los problemas de toma de decisiones menos previsibles. El planteamiento clásico supone un mundo que no existe, supone que no existen situaciones que son bastante improbables pero que podemos concebir como reales. La probabilidad clásica supone también una especie de simetría en el mundo. 3

4 Si un experimento tiene n posibles resultados, y f de ellos se consideran favorables, la probabilidad de un suceso favorable es f/n. Por ejemplo, un dado se puede lanzar de seis formas posibles, por tanto, la probabilidad de que salga un 5 ó un 6 es 2/6. a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable (f) es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles (n) son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). (o lo que es lo mismo, 16,6%) b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables (f) son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles (n) siguen siendo seis. (o lo que es lo mismo, 50%) Probabilidad de Frecuencia Relativa o posteriori: En el siglo XIX, los estadísticos británicos, interesados en la fundamentación teórica del cálculo del riesgo de pérdidas en las pólizas de seguros de vida y comerciales, empezaron a recoger datos sobre nacimientos y defunciones. Se le llama frecuencia relativa de presentación de un evento y define la probabilidad como: La frecuencia relativa observada, de un evento durante un gran número de intentos. La fracción de veces que un evento se presenta a la larga, cuando las condiciones son estables. Este método utiliza la frecuencia relativa de las presentaciones pasadas de un evento como una probabilidad, se determina qué tan frecuente ha sucedido algo en el pasado y usamos esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro., Cuando se utiliza el planteamiento de frecuencia relativa para establecer probabilidades, el número que obtenemos como probabilidad adquirirá mayor precisión a medida que aumentan las observaciones. Una dificultad presente con este planteamiento es que la gente lo utiliza a menudo sin evaluar el número suficiente de resultados. La suma de todas las probabilidades de resultados experimentales debe ser 1. Sí un espacio muestral tiene k resultados experimentales. 4

5 3.2.3 Probabilidad Condicional Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A B), y se lee «la probabilidad de A dado B», utilizándose los enunciados Dado que o Puesto que, aplicando la formula siguiente para eventos dependientes ya que en eventos independientes el valor es el mismo Relaciones de Probabilidad A Ley aditiva o regla general de adición: Para encontrar la probabilidad de la unión de dos eventos, es decir, la probabilidad de que ocurra por lo menos uno de ellos. B Ley multiplicativa: Se utiliza para encontrar la Intersección de dos eventos, es decir, determinar la probabilidad de que ocurran dos eventos simultáneamente. 3.3 Técnicas de conteo Factorial Se define como el producto de cualquier número entero positivo n por todos los enteros menores que n se llama factorial de n y se expresa por el símbolo n! Por lo tanto: 0! = 1 por definición 1! = 1 (1) = 1 2! = 2 (1) = 2 3! = 3 (2) (1) = 6 4! = 4 (3) (2) (1) = 24 n = (n) (n 1) (n 2),..., (1) El factorial de los primeros números enteros positivos se pueden obtener directamente utilizando una calculadora común, para números mayores se obtienen con la ecuación aproximada de Stirling: n!, siendo e= la base de los logaritmos naturales. 5

6 3.3.2 Diagrama general de árbol Sí un primer suceso puede efectuarse de P1 maneras diferentes, y si después de que este suceso ha sido efectuado, un segundo suceso puede efectuarse de P2 maneras diferentes,..., y finalmente un k- ésimo suceso puede realizarse en Pk maneras diferentes, entonces todos los k sucesos pueden realizarse en el orden especificado en P1 P2... Pk maneras diferentes. Ejemplo: Sí un hombre tiene 2 camisas y 4 corbatas entonces tiene 2 4 = 8 maneras de escoger una camisa y luego una corbata, Sí las camisas se representan por S1, S2 y las corbatas por T1, T2, T3 y T Combinaciones Consiste en arreglos de objetos sin importar el orden. El número de combinaciones de n cosas tomadas r a la vez se determina por la siguiente función: Ejemplo: De un grupo de 10 estudiantes se quiere extraer una comisión de 6 estudiantes para que realicen un trabajo sin importar el orden de elección De cuántas maneras posibles se puede formar este grupo de trabajo? Ejemplo: Se desea realizar un estudio sobre la tenencia de la tierra en el departamento de Escuintla para lo cual es necesario censar 8 municipios Cuántas maneras diferentes existen de seleccionar los 8 municipios del total de 13 municipios que tiene el departamento? 6

7 3.3.4 Permutaciones Supóngase que se tienen n objetos diferentes y deseamos ordenar r de estos objetos en una línea. Puesto que hay n maneras de escoger el primer objeto, y luego de hacer esto n 1 maneras de escoger el segundo objeto,, y finalmente n r +1 formas de escoger el r ésimo objeto, se deduce por el principio fundamental del conteo que el número de ordenaciones, o permutaciones diferentes. Ejemplo: Calcule el número de permutaciones diferentes que pueden tomarse con las letras A,B,C,D,E,F,G, tomando 3 a la vez. Hoja de trabajo 1. Lanzamiento de un dado: a) Determine el espacio muestral. b) Cuál es la probabilidad de que sea 1. c) La probabilidad de que caiga 5. d) La probabilidad de que caiga un número par. e) La probabilidad de que sea impar. f) La probabilidad de que sea mayor a Lanzamiento de un dado y una moneda: a) Determinar el espacio muestral b) Probabilidad de que salga un numero par y cara c) Probabilidad de obtener un número impar y escudo d) Probabilidad de obtener el número 1 y cara. 3. Suponga que una caja contiene diez bolas distribuidas de la siguiente manera Tres son de color y tienen puntos Una es de color y tiene franjas Dos son grises y tienen franjas Cuatro son grises y tienen puntos Si una persona extrae de la caja una bola de color: a) Cuál es la probabilidad de que esta contenga puntos b) Cuál es la probabilidad de que tenga franjas c) La probabilidad de que sea gris y tenga puntos d) Cuál es la probabilidad de que la bola tenga puntos, dado que es gris 7

8 4. El gerente de una gasolinera sabe por experiencia (Subjetiva) que el 80% de los clientes usan tarjeta de crédito al comprar gasolina. Cuál es la probabilidad de que dos clientes consecutivos que compren gasolina usen tarjeta de crédito?. 5. Suponiendo la distribución de carreras del número de estudiantes por carrara SPA RRNN en 3 diferentes semestre: Carrera/semestre 2º 4º 6º Total SPA RRNN Total Si se selecciona un estudiante al azar calcule la probabilidad de que: a) Sea del 4º semestre, b) Un RRNN, c) Un SPA de 6º, d) Un SPA de 2º, e) Un RRNN de 4º f) Probabilidad de que sea seleccionado un RRNN, dado que el estudiante era de 4º semestre, g) La probabilidad de seleccionar un estudiante de 6º, dado que era SPA. H) La probabilidad de seleccionar un SPA dado que el seleccionado fue de 2º semestre. TAREA 1. Para el resultado de un examen se definen 2 grupos: ganadores y perdedores, si se someten 3 estudiantes, defina el espacio muestral y calcule los siguientes valores de probabilidad para los eventos: a) Probabilidad de que ganen 3 estudiantes. b) Probabilidad de que todos ganen. c) Probabilidad de que al menos uno pierda. d) Probabilidad de que todos pierdan. 2. En una escuela secundaria se va a obtener por sorteo un representante de cada grado en el primer grado hay 50 alumnos, de ellos 25 son hombres. En el segundo grado hay 60 alumnos. De los cuales 20 son mujeres. Y en el tercer grado hay 55 alumnos, de ellos 22 son hombres. Con dicha información determine la probabilidad que: a) Que los representantes de los tres grados sean hombres b) Que los representantes de los tres grados sean mujeres 3. En la localidad de Isla Negra, son dos las atracciones principales para los turistas: (N) visitar la Casa de Neruda; (A) ir a la playa, ambas actividades independientes. Se sabe que, de los turistas que acuden al lugar, el 78% visita la casa de Neruda, el 42%va a la 8

9 playa y el 27% realiza ambas actividades. Si un turista visita Isla Negra, calcular la probabilidad de que: a) No vaya a la playa b) Vaya a la playa, pero no visite la casa de Neruda c) No realice ninguna de estas dos actividades d) Visite la casa de Neruda, dado que va a la playa. e) Vaya a la playa, puesto que no visita la casa de Neruda 4. El gerente de personal de una empresa agroforestal encontró que el 30% de los empleados que salieron de la compañía en los dos últimos años lo hicieron principalmente por no estar satisfechos con su salario, el 20% salió por no estar satisfecho con las actividades en su trabajo y el 12% de todos los anteriores manifestaron no estar satisfechos con su salario ni con su trabajos. Cuál es la probabilidad de que un empleado que haya salido en los dos últimos años lo haya hecho por no estar satisfecho con su sueldo, su trabajo o con ambas cosas? 5. Según un estudio el 40% de los hogares europeos tienen contratado el acceso a internet, el 33% tiene contratado el servicio de televisión por cable y el 20% dispone de ambos servicios, si se selecciona un hogar europeo al azar: a) Cuál es la probabilidad de que solo tenga contratada la televisión por cable? b) Cuál es la probabilidad de que no tenga contratado ninguno de los servicios mencionados? 9

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