Sesión del día 11 de Marzo del 2011 y tutoría del día 12 de Marzo del 2011

Transcripción

1 Especialidad La enseñanza de las matemáticas en secundaria Grupo B: Celaya Sesión del día 11 de Marzo del 2011 y tutoría del día 12 de Marzo del 2011 Álgebra Resumen de la sesión anterior. Se añadió que los inversos son únicos lo que implica las leyes de los signos: es el inverso aditivo de lo que implica que 0; por tanto. Expresión racional. Son las expresiones de la forma: un polinomio entre otro polinomio con el polinomio del denominador distinto de cero. Simplificación de expresiones algebraicas. 1. Utilizamos las leyes de los exponentes: a. b. 2. Se suman y restan solamente términos semejantes. Decimos que dos términos son semejantes si tienen las variables que multiplican elevadas a las mismas potencias (con las expresiones simplificadas): 7, 8 y son términos semejantes. Ejemplo: Conviene eliminar primero paréntesis interiores y proceder hacia los exteriores. Suma de quebrados. Observación: El inverso aditivo de es Producto de quebrados.

2 Pregunta pendiente. Algo como lo siguiente siempre será un polinomio entre otro polinomio?

3 Geometría Sea un triángulo cualquiera, entonces 180 lo que implica que 180 ; además el ángulo externo en el vértice es suplementario al ángulo interno en el mismo vértice, es decir 180 por lo tanto el ángulo externo de un vértice es igual a la suma de los dos ángulos internos opuestos a éste: 1) Construimos un ángulo igual a otro. Trazamos una línea recta, que será uno de los lados del ángulo que se va a construir. Marcamos un punto sobre ella, su vértice. Después, dibujamos un arco sobre el ángulo dado y, con el mismo radio, otro arco en el ángulo en construcción. Medimos con el compás la amplitud de ese arco sobre el ángulo dado y la trasladamos al ángulo en construcción. Después, unimos mediante una recta el vértice con la marca del arco. 2) Construimos una paralela a una recta por un punto dado. Basta con trazar una transversal a la recta por el punto y después repetir la construcción (1) considerando como ángulo original el formado por esta recta transversal y la original; haciendo que el nuevo ángulo tenga origen en el punto (por el que queremos que pase la paralela) y genere la paralela. <X El punto y recta en negro son los originales. <X es el creado a partir de la transversal a la recta negra y usando la construcción (1). <A Enunciamos el siguiente resultado: (*)Sean: un triángulo isósceles, un punto de y un punto de. si y sólo si el triángulo es isósceles.

4 Ángulos en circunferencias. Notación " "; recordando que en este caso el arco es la medida en grados del segmento de circunferencia entre el punto y el punto, que resulta ser la medida del ángulo central con el centro de la circunferencia. A) Ángulo inscrito. Es un ángulo tal que tiene su vértice (origen) sobre la circunferencia y las rectas que lo generan son cuerdas de ésta. Demostramos que /2 B) Ángulo Exterior. Es un ángulo tal que tiene su vértice (origen) fuera del círculo y las rectas que lo generan son transversales a éste. Demostramos que /2

5 C) Ángulo interior. Es un ángulo que tiene su vértice dentro del círculo y las rectas que lo generan son cuerdas de éste. Demostramos que /2 Por qué sirve la construcción una paralela a una recta dado un punto vista antes? Recordemos y probemos que sirve la construcción: Se traza una circunferencia con centro (un punto sobre la recta dada) y radio donde es el punto dado (por el que queremos trazar la paralela). Llamamos y a los puntos donde corta esta circunferencia a la recta original ( el punto más cercano a ). Trazamos las circunferencias de radio (la medida del segmento ) y centros y. Llamamos al punto donde se intersectan la circunferencia de centro y la de radio. Entonces la recta es una recta paralela a la recta original. S Q R

6 Demostración de que es paralela a. Trazamos las rectas y ; llamamos al punto donde se cortan estas rectas. Notemos que el triángulo es isósceles y por ser radios de circunferencias iguales por lo tanto lo que implica que el triángulo también es isósceles. De manera que, usando el resultado (**), que es lo que queríamos probar. T S Q R Definimos paralelogramo como cuadrilátero con sus pares de lados opuestos paralelos. Utilizando congruencia de triángulo (trazando la diagonal del paralelogramo), demostramos que lados opuestos de un paralelogramo son iguales. Empezamos a hablar de que las áreas de dos paralelogramos que comparten base y que tienen el lado opuesto a esta base sobre la misma paralela, son iguales.

7 Examen del día 12 de Marzo en sesión con los tutores Ejercicios y Soluciones 1. Demuestra, utilizando inducción, que 6 divide a los números de la forma para todo un número natural. Lo que queremos probar es que existe algún k entero, tal que 6 para todo n natural. Igual que en el ejemplo anterior, este k es más o menos un adorno ; una convención de notación para simbolizar la frase múltiplo de. Ya sabemos cómo proceder. Caso base: para n = 1 tenemos que 1 10 que es múltiplo de 11. Nuestra hipótesis de inducción es 2. 6 y debemos usarla para demostrar que Como es usual, desarrollamos el cubo Aquí hay un ligero detalle, si procedemos a reducir términos semejantes, nos va a quedar 3 2 y es una expresión con la que a simple vista no podemos trabajar ya con la hipótesis de inducción. Por lo tanto, decidimos primero usar la hipótesis de inducción y luego reducir términos semejantes Usamos la hipótesis de inducción de la siguiente manera: si, entonces. La raya vertical se lee divide a. Es decir, como ya sabemos que 6 divide a por la hipótesis de inducción, entonces necesitamos verificar solamente que el resto es también divisible entre 6. Desgraciadamente, a partir de la expresión que tenemos 3 3, sólo podemos concluir que 3 divide a 1 1. Lo que quisiéramos para que 6 dividiera a 1 1 sería que 2 dividiera a 3 3, o lo que es lo mismo, que 2 divida a. Cómo demostramos eso? Pues con otra inducción. Caso base: para x = 1, 1 12 que sí es múltiplo de 2.

8 Hipótesis de inducción: 2. Por demostrar: 1 12 Desarrollamos el cuadrado 211 y volvemos a aplicar la hipótesis de inducción antes de reducir términos semejantes. Igual que en el caso anterior, 1 12 si y sólo si 2112 lo cual es claro. Hemos terminado la segunda inducción y con eso demostramos que 6 divide a para todo n natural. Para este problema tuvimos que usar una inducción adentro de una inducción. 3. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para las variables e UNA solución (recordando que hay varias maneras de llegar a la respuesta): Multiplicamos la segunda ecuación por 6 para deshacernos de las fracciones: Nos queda el sistema equivalente: Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2 para después sumar las ecuaciones y deshacernos de los términos que tengan : Lo que implica que 2. Sustituyendo 2 en la primer ecuación: Obtenemos el valor de : 1.

9 4. Demuestra que las diagonales de un rectángulo son iguales. Sea un rectángulo. Dado que en particular es paralelogramo entonces los lados opuestos del rectángulo son iguales (por un resultado visto anteriormente), usaremos que. pues es el mismo segmento., pues ambos son ángulos rectos. Por lo tanto los triángulos y son congruentes por el criterio de Lado Ángulo Lado, lo que implica que que es lo que queríamos probar. B A C D 5. Simplifica la siguiente expresión algebraica 1 Observemos que los términos aparecen tanto en denominador como en numerador (de algunas de las expresiones racionales), por lo tanto no desarrollaremos cosas como pues puede que sea más simple ver juntos todo el tiempo. Esta propuesta sólo se basa en observación y no quiere decir que necesariamente simplifique (o que simplifique mucho) nuestro trabajo. Sumamos las fracciones calculando el mínimo común denominador (elegimos el mínimo intuyendo, de nuevo, que eso simplificará nuestra labor). 1 El mínimo común denominador es, pues es múltiplo de (el denominador del primer término), es múltiplo de y es múltiplo de ; y además los factores aparecen el menor número de veces necesarias para que efectivamente dividan al común múltiplo.

10 Procedemos a desarrollar lo más posible: 2 Sumamos y restamos términos semejantes, además de simplificar lo que sea posible: Entonces la expresión original es igual a la simplificada lo más posible: 1