CAPITULO 2. Aritmética Natural

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1 CAPITULO Aritmética Natural Itroducció 1 Sumatorias Iducció Matemática Progresioes Teorema del Biomio 1. Coteidos. Itroducció 1) Asumiremos que el cojuto de úmeros reales R, +,, ) es u cuerpo ordeado completo. Después de esa suposició podemos garatizar la existecia del eutro aditivo 0 y el eutro multiplicativo 1 e R. Así que podemos sumar estos elemetos a volutad, es decir: 47) {0, 0 + 1, , ,... } {0, 1,, 3,... } R La idea más básica posible, para defiir el cojuto de úmeros aturales es motivada por 47), e esa direcció hacemos. Defiició.0.5. Diremos que u cojuto I R será llamado Cojuto Iductivo si: 1 I k I k + 1 I Ejemplo.0.6. R,R + { } 1 so cojutos iductivos. 3 R {10} o es cojuto iductivo. Lema.0.7. Si A y B so cojutos iductivos etoces A B es u cojuto iductivo E efecto 1 Para profudizar lo dicho e este capitulo les sugiero ver [], Mi Profesor y Amigo Q.E.D. 37

2 38. ARITMÉTICA NATURAL Por demostrar que p.d.q.): 1 A B k A B k + 1) A B Iformació datos, iput): { 1 A A iductivo k A k + 1) A { 1 B B iductivo k B k + 1) B Demostració propiamete tal: Como, A B {u u A u B} etoces del item Iformació, sigue que: 1 A 1 B 1 A B k A B k A k B k + 1) A k + 1) B k + 1) A B Lo que demuestra que A B es u cojuto iductivo. Defiició.0.8. Llamaremos cojuto de úmeros aturales, N a la itersecció de todos los cojutos iductivos de R, es decir. N {I : I R, I iductivo } {1,, 3, 4,... } ) Llamaremos ua sucesió de úmeros reales a ua regla que poe e correspodecia de maera úica los elemetos de N co úmeros reales. E los capitulos siguietes os referiremos latamete a este tipo de reglas las cuales las agruparemos bajo el cocepto de relació. Por el mometo otarems a las sucesioes como sigue: f : N R f) f Ejemplo.0.9. a) Si f + 1 etoces los posibles valores de esta sucesió so del tipo: Imgf) {, 3, 4, 5,... } dode Img sigifica image de la sucesió b) Si a 1 etoces los posibles valores de la sucesió so:

3 3. INDUCCIÓN 39 c) Adoptaremos la otació: Imga) {1, 1, 13, 14, 15 },... a ) N {a } N Imgf) 3.1. Objetivos. 3. Iducció Que el Estudiate: 1) Se familiarice co el uso del Símbolo de Sumatoria. ) Compreda que e esta primera istacia el Símbolo de Sumatoria, aparece como ua opció que permite simplificar la escritura de grades volúmees de datos, para facilitar la propia compresió de estos. 3) Use el Método de Iducció para verificar propiedades algebraicas. 4) E forma atural observe que el símbolo de Sumatoria juto al Método de Iducció se costituye e ua herramieta eficaz, que permite maipular de maera eficiete situacioes de ua mayor complejidad Esta secció estará basada e los siguietes pricipios básicos: Teorema Pricipio de Iducció. Sea k N y F k) ua fórmula proposicioal, es decir F k) puede ser verdadera o falsa e k, sólo ua de ambas) y supogamos que F satisface las propiedades: F 1) es verdadera F k) verdadera implica que F k + 1) es verdadera, para cada k N etoces F k) es verdadera para todo k N E efecto p.d.q. F k) es verdadera k; k N) Datos F 1) es verdadera k N F k) verdadera F k + 1) verdadera

4 40. ARITMÉTICA NATURAL Demostració propiamete tal: 1) Basta mostrar que el cojuto 48) I {k R F k) es verdadera } Es iductivo. Por qué? Por lo siguiete: N {I : I R, I iductivo } N I I; I iductivo) Luego si vale para 48) etoces vale para N ) Maos a la obra: De los datos sigue que: a) 1 I F 1) es verdadera) b) Si K I etoces F k) es verdadera y luego F k + 1) es verdadera, es decir k + 1) I.l Fialmete I es iductivo y F k) es verdadera k; k N) Teorema Teorema de Recurrecia Sea x R y g ua fució defiida sobre R y co valores reales etoces existe ua úica sucesió a ) N tal que: a 1 x Para cada, a +1 ga ) Ejemplo ) Costrucció de potecias. Sea x R arbitrario y defie la fució real a valores reales, gr) r x, r; r R) etoces existe ua úica fució a tal que: a) a1) x b) a + 1) ga)) a) x c) Así teemos

5 3. INDUCCIÓN 41 a1) x a) a1 + 1) ga1)) a1) x x x x a3) a + 1) ga)) a) x x x x 3 a4) a3 + 1) ga3)) f3) x x 3 x x 4. a + 1) a + 1) ga)) a) x x x x +1 Defiició Potecias de u real Dado x R defiimos x 1 x y x +1 x x ) Costrucció de factoriales. 1! 1 + 1)!! + 1) Luego,! 1 3! 1 3 4! ! Defiició Factoriales Si N etoces!, se llama -factorial. 3) Costrucció de sumatorias Dada ua sucesió de úmeros reales a i ) i N), podemos costruir ua ueva sucesió usado recurrecia, como sigue: a) s 1 a 1 1 a i b) s +1 s + a +1 a 1 + a + + a ) + a +1 Luego, teemos la sucesió s ) N tal que: a i + a +1 s a i a 1 + a + a a, para cada N. Defiició Dada ua sucesió de úmeros reales a i ) i N), etoces 49) s a i a 1 + a + a a Se llama la sumatoria de los primeros -úmeros de la sucesió a i ) i N

6 4. ARITMÉTICA NATURAL 4) Costrucció de Progresioes aritméticas Dado x R y d R defie por recurrecia la sucesió: a 1 x a +1 a + d; N Defiició A {a 1, a, a 3,..., } R, será llamada ua Progresió Aritmética de diferecia d si 50) a +1 a + d; N 5) Costrucció de Progresioes geométricas Dado x R y r R defie por recurrecia la sucesió: a 1 x a +1 a r N) Defiició G {a 1, a, a 3,..., } R, será llamada ua Progresió Geométrica de razó r R {0, 1} si 51) a +1 a r N) 6) Costrucció de matrices: a) Matriz fila o columa ciclo de largo ) Cosideramos ua sucesió A {a 1, a, a 3,..., a } etoces podemos costruir ua fila o columa como sigue: Para ua fila teemos. a 1j a j, para j 1,, 3,...,, F: a 11 a 1 a a 1 ) o Para ua columa teemos: a i1 a i, par i 1,, 3,..., a 11 a 1 C: a 13. a 1 b) E realidad esta implícito el cocepto de sucesió doble a ij, si embargo podemos hacer la siguiete costrucció: Dados m elemetos e R, los ordeamos por como sigue:

7 3. INDUCCIÓN 43 1) a ij para i 1,, 3,..., y j 1,, 3,..., m ) Para i 1: { j 1,, 3,... m copia a ij 3) Si caso cotrario vaya a 4) { si i 1,, 3,... hacer i i + 1 e ir a 3) 4) caso cotrario fi Luego, lo que coseguimos es lo siguiete: 5) A a ij ) a 11 a 1 a 13 a 1m a 1 a a 3 a m a 31 a 3 a 33 a 3m.... a 1 a a 3 a m Defiició Ua expresió del tipo 5), será llamada ua matriz real de -filas y m-columas orde m) El cojuto de matrices lo otaremos como sigue: 53) M R m) { matrices de orde m} 3.. Propiedades de las sumatorias. Si a i ) 1 i ) y b i ) 1 i ) so dos sucesioes reales etoces: 1) a i ± b i ) E efecto a i ± b i p.d.q. a i + b i ) Datos: a i + b i a i a 1 + a + a a b i b 1 + b + b b

8 44. ARITMÉTICA NATURAL Luego, a i + b i ) a 1 + b 1 + a + b + a 3 + b a + b a i + b i ) a 1 + b 1 + a + b + a 3 + b a + b a 1 + a + a a ) + b 1 + b + b b ) a i + b i ) Si c R etoces c a i c a i E efecto p.d.q. : c a i c Datos : Luego, a i c a i c a 1 + c a + c a c a c a i c a 1 + c a + c a c a c a 1 + a + a ca ) 3) a i s a i + is+1 c a i a i 1 s E efecto s p.d.q. a i a i + is+1 Datos : a i a 1 + a + a a a i

9 3. INDUCCIÓN 45 Luego, 4) 5) a i a 1 + a + a a s + a s a s a i + is+1 a i a i+1 ) a 1 a +1 Propiedad Telescópica) r a i is r+t is+t a i t a i Propiedad del reloj) Ambas se las dejo como ejercicio Ejercicios Resueltos de Sumatorias. 1) Calcule la siguiete sumatoria : ) S 3 j1 Solució i) Por defiició de sumatoria sabemos que 55) 100 a i a 1 + a + a a 100 ii) El puto 55), motiva defiir, la siguiete fórmula: 56) a i 3 para,,3,...,100 ; este es el rago de variació de i Es decir, a 1 3 a 3. a 100 3

10 46. ARITMÉTICA NATURAL iii) Fialmete, aplicado 55) y 56) e 54) teemos: S a i ver 56) a 1 + a + a a 100 ver 55) veces) 300 La primera coclusió que se puede obteer de 54), es que podemos cambiar o substituir el úmero 3 o mejor la costate 3, por cualquier otra costate c, lo mismo que el atural 100, puede ser cambiado por u atural N. Así por ejemplo: Para c 1 y N 57) 1 1 } {{ } 1 veces) E geeral, para c R y N teemos que: 58) c c ) Calcule la siguiete sumatoria 59) S 9 + 3i) Solució i) Por defiició de sumatoria sabemos que 60) 9 a i a 1 + a + a a 9 ii) El puto 60), motiva defiir, la siguiete fórmula: 61) a i + 3i) para,,3,...,9 ; este es el rago de variació de i

11 3. INDUCCIÓN 47 Es decir, a a + 3. a y iii) Fialmete, aplicado 60) y 61) e 59) teemos: S 9 + 3i) 9 a i ver 61) a 1 + a + a a 9 ver 60) + 3 1) ) ) Si observamos la solució del problema aterior teemos que: S 9 + 3i) 9 a i a 1 + a + a a ) ) ) } + + {{ + + } ) 9 - veces i Así que, usado la defiició de sumatoria es posible resolver los problemas, pero usado sus propiedades se ocupa meor tiempo. 3) Supogamos verdaderas e N, las siguietes fórmulas: 1) Suma de los primeros -úmeros aturales 6) i + 1)

12 48. ARITMÉTICA NATURAL ) Suma de los primeros -cuadrados de aturales 63) i + 1) + 1) 6 3) Suma de los primeros -cubos de aturales 64) [ + 1) i 3 ] i) Calcule ) S i i8 Solució 100 i 1 } + + {{ } ) 7 11 Luego, i i ) Por lo tato, 100 i i8 S i i ) 77+1)

13 3. INDUCCIÓN 49 Coclusió: 66) i im m 1 i i para m < ii) Calcule 67) S Solució 0 i 3 5i + 3i 4) 0 i 3 5i + 3i 4) 0 11 [ 0 3 [ 0 i 3 5 i 3 i i + 3 i 3 ] 5 i ] 4 0 i 4 0 [ 0 i [ ] i ] + [ [ [0 11] ] [ 11 1 ] + 3 [ 0 1 ] [ ] 6 + ] [ ] 4) Demuestre que 830 i + 1) Demostració i ) + 1) + ) + + )) + 1)) + 1 1) ) ) )) ) }{{ + 1 } ) -veces + 1) i

14 50. ARITMÉTICA NATURAL Así que, i + 1) Y luego, i + 1) Alterativa 68) i + 1) i + 1) 1 Propiedad telescópica) Pero, 69) i + 1) i i + 1) suma por su diferecia!) Igualado térmios e 68) y 69), teemos que; i + + 1) 1 i + 1) Podemos usar directamete esta propiedad para calcular: S i 1)

15 3. INDUCCIÓN 51 E efecto Alterativa 1: Sea u i 1 etoces i 1,,..., u 0, 1,, 3..., 1), así que: Alterativa : S 1 u u0 1 u u1 1) 1+1) 1) S i 1) i 1 +1) + 1) 5) Demuestre que Solució: i0 a i a+1 1 a 1 a 1 a 0 ) a 1) a i i0 a i+1 i0 i0 a i a + a + a 3 + a a + a +1 ) 1 + a + a + a 3 + a a ) a +1 1 Luego, despejado teemos que

16 5. ARITMÉTICA NATURAL 70) i0 a i a+1 1 a 1 Ahora use ), para calcular S ) i Solució: 100 ) 1 i i0 ) 1 i 1 ) 1 i Aplicado directamete ) para a 1, teemos que: 100 ) 1 i 1 [ 1 1 ] ) ) [ 1 ] ) Ejercicios Propuestos de Sumatorias. 5 1) Calcule 3i 1) ) Calcule: 5 i 0 5 u 0 1 i 3 i4

17 3. INDUCCIÓN 53 3) Calcule la sumatoria: 4) Si etoces calcule la sumatoria 5) Demuestre que S 40 0 ii + 1) { 1 ) k a k 3 : 1 k < 100 k + 1) : 100 k 00 3i ) 00 S k1 3 1) a k ; N) 3.5. Ejercicios Resueltos de Iducció. 1) Demuestre usado Iducció matemática que la fórmula proposicioal. F ) : i + 1). Es verdadera ; N) Solució i) Verificamos que F 1) es verdadera. 71) Por ua parte 1 i 1 y por otra 11+1) 1. Así que 1 i ) Luego, de 71) sigue que F 1) es verdadera. ii) Hipótesis de Iducció. F k), es verdadera. Es decir, k i kk + 1) H)

18 54. ARITMÉTICA NATURAL iii) Tesis de Iducció. Por demostrar que p.d.q) F k + 1), es verdadera. Es decir p.d.q. k+1 i k+1)k+1)+1) E efecto k+1)k+) k+1 i k i + k+1 ik+1 i H) kk+1) + k + 1) kk+1)+k+1) k+1)k+) Luego, F k + 1), es verdadera y F ) es verdadera ; N) ) Demuestre usado Iducció matemática que la fórmula proposicioal. F ) : Solució i i ). Es verdadera ; N) Etapa 1. Por demostrar que F 1) es verdadera. Por ua parte; 1 i i Por otra parte; ) Así que, 1 1 i i ) 1

19 3. INDUCCIÓN 55 Luego, F 1) es verdadera Etapa. Hipótesis de Iducció F k) es verdadera. Esto es. es verdadera. k i i k 1) k H) Etapa 3. Tesis de Iducció Por demostrar que F k + 1) es verdadera e.e p.d.q. k+1 i i k k+1 E efecto k+1 i i 1 k ii 1 + k + 1) k H) 1 + k 1) k + k + 1) k 1 + k k 1 + k k+1 Luego, F k + 1) es verdadera y F ) es verdadera ; N) 3) Demuestre usado Iducció matemática que la fórmula proposicioal. F ) : es divisible por 9. Es verdadera ; N) Solució i) Verificamos que F 1) es verdadera Así que, F 1) es verdadera.

20 56. ARITMÉTICA NATURAL ii) Hipótesis de Iducció. F k), es verdadera. Es decir, existe u elemeto umérico que depede de la posició k, diagamos qk) tal que: 10 k k qk) H) iii) Tesis de Iducció. Por demostrar que p.d.q) F k + 1), es verdadera. Es decir p.d.q. existe qk + 1) tal que E efecto 10 k k+1) qk + 1) La filosofía que se puede emplear para resolver este tipo de problemas es la siguiete: 1) Hacemos la divisió etre 10 k k y 10 k k Es decir ) 10 k k : 10 k k k k k+ 45 ) Luego, aplicado la defiició de divisió teemos: 10 k k [10 k k+ + 5] + [ 18 4 k+ 45] H) 10[9 qk)] + 9[ 4 k+ 5] 9[10 qk)] + 9[ 4 k+ 5] 9[10 qk)] + [ 4 k+ 5]) 9 10 qk)] 4 k+ 5) }{{} qk+1) 9 qk + 1) Luego, F k + 1), es verdadera y F ) es verdadera ; N) 3.6. Ejercicios Propuestos de Iducció. Demuestre usado Iducció matemática que so verdaderas ; N) 1) F ) : ) F ) : i + 1) + 1) 6 [ ] + 1) i 3

21 3) F ) : 4) F ) : 5) F ) : 6) F ) : 7) F ) : 8) F ) : 1 i + 1)i 1) + 1 3i 1) 3 + 1) 4. PROGRESIONES 57 3 i ) + ) ii + 1) 6 i i ) 3i ) 3 1) 9) F ) : ) 1) + 1) 3 10) F ) : ) ) F ) : + 1) + ) ) 3 1) F ) : + 1)4 1) )) 3 13) F ) : + 1) + ) + 3) )+) 4 14) F ) : x y es divisible por x y) 15) F ) : x 1 + y 1 es divisible por x + y) 16) F ) : 3 + es divisible por 3 17) F ) : + 1) +1 es divisible por 3 18) F ) : es divisible por 9 19) F ) : 5 + 1) +1 es divisible por 13 0) F ) : es divisible por 64 1) F ) : 1 + x) 1 + x, si x Objetivos. 4. Progresioes Que el Estudiate:

22 58. ARITMÉTICA NATURAL 1) Este e codicioes de verificar que u cojuto de úmeros satisface las propiedades que defie a ua progresió aritmética o geométrica. ) E forma atural observe que el ordeamieto de los elemetos de u cojuto e progresió permite obteer rápida y eficietemete por ejemplo: cada térmio e forma idepediete o determiar la suma de sus elemetos e cualquier istate. 4.. Propiedades de las progresioes aritméticas. 1) Si A {a 1, a, a 3,..., } R, es ua Progresió Aritmética de diferecia d etoces E efecto a +1 a 1 + d ; N p.d.q. a +1 a 1 + d ; N Datos Si A {a 1, a, a 3,..., } R, ua Progresió Aritmética de diferecia d etoces de 50) teemos que a a 1 + d a 3 a + d a 1 + d) + d a 1 + d a 4 a 3 + d a 1 + d) + d a 1 + 3d. Luego, el método sugerido es Iducció, para probar que la fórmula Fs): a +1 a 1 + d ; N, es verdadera ; N).Así que: p.d.q. F1) es verdadera. a 1+1 a a 1 + d. Así que F1) es verdadera Hipótesis de Iducció: Supoemos que Fk) es verdadera, es decir a k a 1 + k 1)d Tesis de Iducció: H) p.d.q. Fk+1) es verdadera a k+1 a k + d H) a 1 + 1)d + d a 1 + d Así Fk+1) es verdadera.

23 4. PROGRESIONES 59 Luego, a +1 a 1 + d ; N) ) Si A {a 1, a, a 3,..., } R, es ua Progresió Aritmética de diferecia d etoces la suma de los -primeros térmios se obtiee de la fórmula. s a 1 + 1)d) ; N) a i a 1 + a ) ; N) E efecto p.d.q. Datos a i a 1 + 1)d) a a 1 + 1)d Demostració, hacemos iducció para cocluir que la fórmula es verdadera ; N): F): a i a 1 + 1)d), para cada N. p.d.q. F1) es verdadera Por ua parte: 1 a i a 1 y por otra parte; 1 a )d) 1 a 1 a 1, asì que F1) es verdadera. Hipótesis de iducció: supoemos que Fk) es verdadera, es decir: k a i k a 1 + k 1)d) H) Tesis de iducció: p.d.q. Fk+1) es verdadera. E efecto

24 60. ARITMÉTICA NATURAL s k+1 k+1 a i k a i + a k+1 H) k a 1 + k 1)d) + a k+1 k a 1 + k 1)d) + a 1 + kd) ka 1+k d kd+a 1 +kd a 1k+1)+kk+1)d k+1) [a 1 + kd] Así, Fk+1) es verdadera. Luego, a i a 1 + 1)d) ; N) E particular, como a 1 + 1)d a etoces a i a 1 + 1)d) a 1 + [a 1 + 1)d]) a 1 + a ) 3) E particular, como aplicació imediata teemos que la suma de los -primeros aturales es: i 1 + 1) 1) +1) 4.3. Propiedades de las progresioes geométricas. 1) Si G {a 1, a, a 3,..., } R, es ua Progresió Geométrica de razó r etoces: ) s a +1 a 1 r ; N) [ r ] 1 a i a 1 r 1 ; N)

25 4. PROGRESIONES 61 Las demostracioes so ejercicios Ejercicios Resueltos de Progresió Aritmética. 1) La suma de tres úmeros e progresió aritmética p.a) es 7 y la suma de sus cuadrados es 93. Determie tales úmeros. Solució Ua estrategia para resolver este tipo de problemas puede seguir la siguiete rutia: Resolvemos el problema e abstracto, es decir, supoemos que los úmeros x, y, z so la solució del problema. Ahora matematizamos el problema, sea 7) A {x, y, z} el cojuto que posee los úmeros pedidos Obligamos al cojuto A, que satisfaga las propiedades del problema: A es ua p.a. si y sólo si existe d R, tal que y x + d y z x + d. Así sustituyedo e 7) teemos 73) A {y d, y, y + d} 74) Sabemos que x + y + z 7 y etoces: y d + y + y + d 7 3y 7 y 9 Sustituyedo el valor de y obteido e 74) e 73), teemos 75) A {9 d, 9, 9 + d} 76) Sabemos que x + y + z 93 y etoces: 9 d) d) 93 d 5 d ±5 Chequeamos la solució obteida: Sustituyedo el valor de d obteido e 76) e 75), obteemos: Caso 1. d 5 A {9 5, 9, 9 + 5} {4, 9, 14} Caso. d 5 A {9 5), 9, 9 + 5)} {14, 9, 4} ) Si e ua p.a. el quito térmio es 15 y el décimo es 30 etoces determie la p.a. Solució

26 6. ARITMÉTICA NATURAL Sea 77) A {a 1, a, a 3... } la p.a. pedida. Si A e 77) es la p.a. pedida etoces los a i, verifica la siguiete propiedad geérica: 78) a i+1 a 1 + i d i; i 1) E particular, a 5 a 1 + 4d y a 10 a 1 + 9d. Así que matematizado el problema teemos: 79) a 1 + 4d 15 a 1 + 9d 30 d 3 a 1 3 Sustituyedo los resultados obteidos e 79) e 77), obteemos: A {a 1, a, a 3... } {3, 6, 9, 1, 15, 18,... } 3) La suma de tres úmeros e progresió geom trica p.g) es 6 y su producto es 16. Determie tales úmeros. Solució i) Sea 80) G {x, y, z} el cojuto que posee los úmeros pedidos ii) Obligamos al cojuto G, que satisfaga las propiedades del problema: G es ua p.g. si y sólo si existe r R, r 0 y r 1 tal que y x r y z x r. Así sustituyedo e 80) teemos 81) G { y, y, y r} r Sabemos que x y z 16 y etoces: 8) y r y y r) 6 y 3 16 y 6 Sustituyedo el valor de y obteido e 8) e 81), teemos 83) G { 6, 6, 6 r} r Sabemos que x + y + z 6 y etoces:

27 4. PROGRESIONES 63 84) 6 r r r + 6r 6r 3r 10r r 3 r 1 3 iii) Chequeamos la solució obteida: Sustituyedo el valor de d obteido e 84) e 83), obteemos: Caso 1. r 3 Caso. d 1 3 A {, 6, 18} A {18, 6, } 4) La suma de tres úmeros e p.a. es 30. Si al primero de ellos se le agrega 1, al segudo 5 y al tercero 9 se obtiee ua p.g. Determie ambas progresioes. Solució Sea 85) A {x, y, z} 86) G {x + 1, y + 5, z + 9} La p.a. y p.g. pedidas respectivamete. Segú los datos la matemática ivolucrada es la siguiete: A es ua p.a. si y sólo si existe d R, tal que y x + d y z x + d. Así sustituyedo e 85) y 86) teemos 87) A {y d, y, y + d} y 88) G {y d + 1, y + 5, y + d + 9} 89) Sabemos que x + y + z 30 y etoces: y d + y + y + d 30 3y 30 y 10

28 64. ARITMÉTICA NATURAL Sustituyedo el valor de y obteido e 89) e 87) y, 88)teemos 90) A {10 d, 10, 10 + d} y 91) G {11 d, 15, 39 + d} 9) 93) Sabemos que G es ua p.g. si y sólo si De 9) obteemos d) 11 d) d)11 d) d d 5 d + 8d 04 0 d 6 d 34 Chequeamos la solució obteida: Sustituyedo el valor de d obteido e 93) e 90) y 91) obteemos: Caso 1. d 6 94) A {4, 10, 116} G {5, 15, 45} Caso. d 34 95) A {44, 10, 4} G {45, 15, 5} 5) Cosidere las progresioes: tal que G {g 1, g, g 3,... } progresió geométrica A {3, a, a 3,... } progresió aritmética g 3 1 y g g i 50 a i Determie la diferecia de la progresió A Solució

29 4. PROGRESIONES 65 Etapa 1 : Salida Sea d la diferecia de la progresió aritmética A {3, a, a 3,... } Etapa : Datos i) Si G es ua progresió geométrica etoces g 3 1 g 7 19 g 1 r 1 g 1 r 6 19 r r 4 16 ii) Aplicado *) teemos que r g 1 3 ) 11 g i 50 a i ) d) d 15d 5991 d Ejercicios Propuestos de Progresioes Geométricas. 1) Calcule la suma de 101 térmios de la progresió A { 1, 3 } 3,... 3 ) Itercale 4 medios aritméticos etre 10 y 30 3) Itercale + 1 medios aritméticos etre x y x 4) Cúatos térmios de la progresió A {3, 1, 5,... }, se precisa para obteer ua suma igual a ? 5) La suma de térmios de ua p.a. A {a 1, a, a 3,... } es + 3, para cada N. Determie el térmio de la posició r. 6) El p-ésimo térmio de ua p.a. es q y el q-ésimo es p. Determie el m-ésimo térmio.

30 66. ARITMÉTICA NATURAL 7) La suma S p de los p primeros térmios de ua p.a. es igual a q y la suma de sus q primeros térmios es p. Calcule la suma de sus p + q térmios. 8) La suma de los p primeros térmios de ua p.a. es igual a La suma de los q primeros térmios co p q. Demuestre que la suma de los p + q primeros térmios de la progresió es igual a cero. 9) Sea A {a 1, a, a 3,... } R + ua p.a. co difercia d. Demuestre que i) a a 1 1 d ii) 1 1 ai + a i+1 1 a + a 1 10) Determie el décimo térmio y la suma de los 10 primeros térmios de la progresió G { 3, 3 3, 9... } 11) Determie el décimo térmio y la suma de los 10 primeros térmios de la progresió G { 1 4, 1 8, } 1) El tercer térmio de ua p.g. es 3 y el sexto,. Determie el octavo térmio 81 de la progresió. 13) El cuarto térmio de ua p.g. es 1 y el sexto, 1. Determie la suma de los 8 10 primeros térmio de la progresió. 14) Cosidere la p.g. G {3, 6, 1,... }. Cuál debe ser la diferecia de ua p.a. cuyo primer térmio es 3, y la suma de los 11 primeros térmios de la p.g. sea igual a la suma de los 50 primeros térmios de la p.a.? 15) Iterpolar 5 medios geómetricos etre y 79 16) Iterpolar -1 medios geómetricos etre x y xy 17) El producto de tres úmeros e p.g. es 15 y la suma de los productos de esos 7 úmeros, dos a dos, es 65. Determie la razó de la p.g. 6 18) La suma de tres úmeros e p.g. es 14. Si al primero se le resta 5 y al último se 3 le resta 35, se obtiee ua p.a. Determie ambas progresioes. 3 19) Se quiere costruir u muro de ladrillo e forma triagular, para ello cada fila debe coteer 4 ladrillos meos que la fila imediatameto aterior. Si e la primera corrida hay 585 ladrillos y e la última hay 1 ladrillo etoces determie la catidad total de ladrillos que se ecesita para costruir el muro.

31 5. TEOREMA DEL BINOMIO 67 Si el total de ladrillos es , cual es el úmero máximo de corrridas que puede ser costruidas. 0) Ua casa vale $ Determie el valor de la casa al cabo de 8

32 68. ARITMÉTICA NATURAL b) + 1 k ) + 1 k 1) k ) E efecto + 1 k ) + 1)! k! + 1 k)!! + 1) k! + 1 k)!! + 1) k! k + 1)!! k! + 1) k + 1)!! k! + 1) k)! k + 1) c) + 1 k + 1 k ) + 1 ) k + 1 k! k! k)! + 1) k 1) ) + 1) k 1) E efecto ) + 1 k )! k + 1)! k)!! + 1) k!k + 1) k)! d) ) k ) k + 1 k + 1 k! k! k)! + 1 k + 1 k) + 1 k + 1 E efecto

33 5. TEOREMA DEL BINOMIO 69 ) k + 1! k + 1)! k 1)!! k!k + 1) k 1)!! k! 1 k + 1) k 1)!! k! k k + 1) k)! e) ) + k) k + 1 ) + 1 k + 1! k! k)! k k + 1 k) k k + 1 E efecto ) + k) k + 1!! k! k)! k + 1)! k 1)!!k + 1) +! k) k)!k + 1)!!k k) k)!k + 1)!! + 1) k)!k + 1)! + 1)! k)!k + 1)! ) + 1 k + 1 Teorema Teorema del Biomio Si N, a R y b R tal que a + b 0 etoces a + b) a k) k b k E efecto k0

34 70. ARITMÉTICA NATURAL p.d.q. a + b) Datos k0 k) a k b k Como N etoces la propiedad debe valer para los aturales y etoces estudiamos usado iducció la validez de la fórmula: F): a + b) a k) k b k ; N) k0 p.d.q. F1) es verdadera Por ua parte teemos que a + b) 1 a + b) y por otra parte 1 1 a k) k b k 1 a 0) 1 0 b a 1) 1 1 b 1 a + b k0 Hipótesis de iducció Supogamos que F) es verdadera, es decir a + b) a k) k b k k0 Tesis de iducció: p.d.q. F+1) es verdadera E efecto 1) Desarrollado F+1) teemos que: H) a + b) +1 a + b) a + b) H) a + b) k0 k0 k) a k b k k) a k+1 b k + k0 k) a k b k+1 ) Aplicado la propiedad del reloj a la seguda parcela teemos que: ) k0 k) a k b k+1 +1 k0+1 k1 ) a k 1 +1 k b k +1 ) a k 1 +1 k b k

35 5. TEOREMA DEL BINOMIO 71 3) Reemplazado e ) teemos que: a + b) +1 Luego, k0 k) a k+1 b k + 0) a +1 + k1 ) + 1 a ) + 1 a k0 ) a k +1 k1 ) a k 1 +1 k b k k) a k+1 b k + k1 k1 k1 ) a +1 k b k Así que F+1) es verdadera. a + b) k1 k) a k+1 b k + ) a k 1 +1 k b k + b ) +1 k1 ) a k 1 +1 k b k + )) + a k) k 1 +1 k b k + ) + 1 a k +1 k b k + k0 k) a k b k 5.3. Ejercicios Resueltos del Teorema del Biomio. ) + 1 b ) + 1 b ) + 1 b ) Cosidere el desarrollo biomial. B x 1 ) x 3 N) Demuestre la siguiete afirmació. Si existe u térmio digamos, que cotiee a x 4m etoces debe ser u múltiplo de 4. Solució Etapa 1 : Salida Etapa : Datos Sea t s+1 el térmio pedido.

36 7. ARITMÉTICA NATURAL i) Si t s+1 es el térmio pedido etoces t s+1 s) x s 1 x 3 ) s s) x s 1) s x 3s s) x 4s 1) s ii) si x 4m aparece e el térmio t s+1 etoces x 4m x 4s 4m 4s 4s 4m 4s m) Coclusió : es u múltiplo de 4. ) Demuestre que si C es el coeficiete del térmio que cotiee a x a e el desarrollo biomial x 3 1 ) 3 x etoces C 1) 9 a 4 9 a 4 3)! )! 3 + a )! 4 Solució i) Sea t k+1 el térmio que cotiee a x a etoces ii) Sea, t k+1 ) 3 k x 3 ) 3 k x) 1 k 1) k ) 3 k x 9 3k x k 1) k ) 3 k x 9 4k 96) C 1) k ) 3 k iii) Ahora, x a, aparece e el térmio t k+1 si y sólo si así que, α 9 4k 97) k 9 a 4 Fialmete, sustituyedo el valor de k, obteido e 97) e 96) y operado teemos:

37 5. TEOREMA DEL BINOMIO 73 C 1) 9 a a 4 ) 1) 9 a 4 3)! 3 9 a 4 )! 9 a 4 )! 3) Aplicació 1) 9 a 4 3)! 3+a 4 )! 9 a 4 )! Aceptaremos alguos resultados que será demostrados más tarde. Si desarrollamos el biomio 1 + x) teemos que 1 + x) k0 k) 1 k x k k) x k k0 ) x 0) 0 + x 1) 1 + x ) + x 3) x s 1 s x 1) 1 + x + x 1) ) + x 3 1) s + ) + + x s x! 3! s 1)! El resultado que usaremos, puede ser ituitivamete descrito como sigue: Si x < 1 y < 0 etoces 1 + x) puede ser aproximado por u umero fiito de térmios e la ecuació descrita ecima. Ejemplo Determiemos el valor aproximado de 1, 0) 4 co cuatro cifras sigificativas. Solució 1, 0) ) )0.0) + 4) 5)! 0.0) + 4) 5) 6) 3! Ejercicios Propuestos del Teorema del Biomio. 1) Determie el séptimo térmio e el desarrollo biomial: x y) 1 0.0) 3 + 4) 5) 6) 7) 0.0) 4 + 4!

38 74. ARITMÉTICA NATURAL ) Determie el oveo térmio e el desarrollo biomial: + x ) ) Determie el térmio que cotiee x e el desarrollo biomial: y ) 8 x y y x 4) Determie el decimocuarto térmio del desarrollo biomial: 4x y 1 ) 0 xy 5) si uo de los térmios e el desarrollo biomial x 1 ) 60 x es de la forma a x 54. Determie el valor de a. 6) Determie el térmio idepediete de x si existe) e los biomios: x 3 1x ) 30 7) Demuestre que i ) i0 8) Determie los cuatro primeros térmios de las siguietes expresioes: 1 a) 1 + x b)