TEMA 6: RENTAS VARIABLES

Transcripción

1 6.1. Rentas variables en progresión aritmética Rentas temporales Rentas inmediatas Rentas diferidas Rentas anticipadas Rentas fraccionadas Rentas perpetuas Rentas inmediatas Rentas diferidas Rentas fraccionadas.

2 6.2. Rentas variables en progresión geométrica Rentas temporales Rentas inmediatas Rentas diferidas Rentas anticipadas Rentas fraccionadas Rentas perpetuas Rentas inmediatas Rentas diferidas Rentas fraccionadas Rentas variables en general.

3 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables a 1 a 2 a 3... a n n a 1 a a d 2 1 a a da 2d a a da (k1) d k k a a da (n1) d n n1 1 d0 Progresión aritmética creciente d0 Progresión aritmética decreciente

4 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables a 1 a 2 a 3... a n n Valor actual =

5 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables a 1 a 2 a 3... a n n a 1 a 1 a 1... a n d d... d n d... d n n-1 n d a a 1 n i 1/dan 1 i 2/dan 2 i... n 1/da 1 i

6 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables a1 a2 an A (a 1,d)... ni 2 n 1i (1i) (1i) a a 1/da 2/da... n1/da 1 n i n1 i n2 i 1 i 1 2 (n1) a1 a d a (1 i) a (1 i)... a (1 i) n i n1 i n2 i 1 i (n1) (n2) 1 (1i) 1 1 (1i) 2 a1 a d (1 i) (1 i). n i.. i i 1 1 (1i) (n1) d 1 2 (1i) a1 a (1 i) (1 i)... n i i i (n1) n d 1 2 (1 i) (n 1) (1 i) a1 a (1 i) (1 i)... n i i (n1) n n d n (1i) (1i) n (1i) a1 a a n (1 i) n i n i i

7 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables d dn (1i) A(a 1,d) a1 a ni n i i i n d dn (1i) dn dn A(a 1,d) a1 a ni n i i i i i n d 1 (1i) dn a 1 a d n n i i i i d dn d d n a1 a d n a a n i n i 1 d n an i i i i i n

8 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables a 1 a 2 a 3... a n n Valor actual = d A(a 1,d) a1 d n a ni n i i dn i

9 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables = Valor final a 1 a 2 a 3... a n n n d d n S(a 1,d) A (a ni 1,d) (1i) a1 dn a (1i) ni ni i i n

10 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables Ejemplo 1: Calcular el valor actual de una renta anual, con una duración de 12 años, si su primer término es euros y se incrementa cada año euros y el tipo de interés es el 1,5% Valor actual =

11 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables Ejemplo 1: Calcular el valor actual de una renta anual, con una duración de 12 años, si su primer término es euros y se incrementa cada año euros y el tipo de interés es el 1,5%. d dn A(a 1,d) 1 (50.000,1.000) ni a dn a A n i 12 0,015 i i a12 0,015 0,015 0, , 34

12 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables Ejemplo 2: Calcular el valor final de una renta anual, con una duración de 12 años, si su primer término es euros y se incrementa cada año euros y el tipo de interés es el 1,5%. = Valor final

13 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables Ejemplo 2: Calcular el valor final de una renta anual, con una duración de 12 años, si su primer término es euros y se incrementa cada año euros y el tipo de interés es el 1,5%. d dn n S(a 1,d) a1 dn a (1 i) S(50.000,1.000) ni n i 12 0,015 i i a 0,015 0,015 (1 0,015) , ,015

14 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables a 1 a 2 a 3... a n n-1 n Valor actual =.. d d n A(a 1,d) A ni (a 1,d) (1i) a1 dn a (1i) ni ni i i

15 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables = Valor final a 1 a 2 a 3... a n n-1 n.. d dn S(a 1,d) S ni (a 1,d) (1i) a1 dn a (1i) ni ni i i n1

16 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables Ejemplo 3: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable, con una duración de 12 años, si su primer término es euros y se incrementa cada año euros y el tipo de interés es el 1,5% Valor actual =

17 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables Ejemplo 3: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable, con una duración de 12 años, si su primer término es euros y se incrementa cada año euros y el tipo de interés es el 1,5%..... d d n A(a 1,d) (50.000,1.000) ni a1 dn a (1 i) A n i 12 0,015 i i a (1 0,015) 12 0,015 0,015 0, ,82

18 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables Ejemplo 4: Calcular el valor final de una renta anual, prepagable, con una duración de 12 años, si su primer término es euros y se incrementa cada año euros y el tipo de interés es el 1,5%. = Valor final

19 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables Ejemplo 4: Calcular el valor final de una renta anual, prepagable, con una duración de 12 años, si su primer término es euros y se incrementa cada año euros y el tipo de interés es el 1,5%..... d dn n1 S(a 1,d) a (50.000,1.000) ni 1 dn a (1 i) S n i 12 0,015 i i a 0,015 0,015 (1 0,015) , ,015

20 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables a 1 a 2... a n-1 a n d n-1 n Valor actual = d dn d/a(a 1,d) a1 dn a (1i) ni n i i i d

21 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables a 1 a 2 a 3... a n = Valor final d n d dn d/s(a 1,d) S(a ni 1,d) a1 dn a (1i) ni n i i i n

22 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables Ejemplo 5: Calcular el valor actual de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de euros, se incrementa cada año euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5% Valor actual =

23 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables Ejemplo 5: Calcular el valor actual de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de euros, se incrementa cada año euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. d/a A (1i) 2/A d (a,d) (a,d) (50.000,1.000) 1 n i 1 n i 10 0, ,015 0, , a (1 0,015) 10 0,015

24 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables Ejemplo 6: Calcular el valor final de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de euros, se incrementa cada año euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. = Valor final

25 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables Ejemplo 6: Calcular el valor final de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de euros, se incrementa cada año euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. d/s S S (a,d) (a,d) (50.000,1.000) 1 ni 1 ni 100, a 0,015 0,015 (1 0,015) , ,015

26 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables a 1 a 2... a n d n-1 n Valor actual = d d n i i.... d d d / A A (1 i) a d n a (1 i) (1 i) (a 1,d) (a ni 1,d) ni 1 ni

27 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables = Valor final a 1 a 2 a 3... a n d n-1 n.... d d n d/s(a 1,d) S(a ni 1,d) a ni 1 dn a (1i) ni i i n1

28 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables Ejemplo 7: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de euros, se incrementa cada año euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5% Valor actual =

29 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables Ejemplo 7: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de euros, se incrementa cada año euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5% d (50.000,1.000) d/a A (1i) 2/A (a 1,d) ni (a 1,d) ni 10 0, ,015 0, , a (1 0,015) 10 0,015

30 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables Ejemplo 8: Calcular el valor final de una renta anual, prepagable, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de euros, se incrementa cada año euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. = Valor final

31 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables Ejemplo 8: Calcular el valor final de una renta anual, prepagable, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de euros, se incrementa cada año euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5% (50.000,1.000) (50.000,1.000) d/s S 2/S S (a 1,d) ni (a 1,d) ni 10 0, , ,015 0, , a (1 0,015) 10 0,015

32 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables a 1 a 2... a n n n+p Valor actual = d p/a A a d n a (a 1,d) ni (a 1,d) ni 1 i n i d n i

33 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables a 1 a 2... a n n n+p = Valor final p d d n p / S(a 1,d) S (a ni 1,d) (1 i) a1 d n a (1 i) ni n i i i np

34 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables Ejemplo 9: Calcular el valor actual de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los seis meses y su cuantía es de euros, se incrementa cada año euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5% ,5 1, ,5 12 Valor actual =

35 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables Ejemplo 9: Calcular el valor actual de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los seis meses y su cuantía es de euros, se incrementa cada año euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. p/ A 0,5/ A A (1 0,015) 0,5 (a,d) (50.000,1.000) (50.000,1.000) 1 n i 12 0, , a 0,015 0,015 (1 0,015) ,23 0,5 12 0,015

36 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables Ejemplo 10: Calcular el valor final de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los seis meses y su cuantía es de euros, se incrementa cada año euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. = Valor final ,5 1, ,5 12

37 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables Ejemplo 10: Calcular el valor final de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los seis meses y su cuantía es de euros, se incrementa cada año euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. p/ A 0,5/S S (1 0,015) 0,5 (a,d) (50.000,1.000) (50.000,1.000) 1 n i 12 0, , a 0,015 0,015 (1 0,015) , ,015

38 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. f) Rentas temporales, anticipadas y prepagables a 1 a 2 a 3... a n n-1 n n+p Valor actual =.... d d n p/a(a 1,d) A(a ni 1,d) a ni 1 dn a (1i) ni i i

39 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. f) Rentas temporales, anticipadas y prepagables = Valor final a 1 a 2 a 3... a n n n+p.... d d n p / S (a 1,d) S ni (a 1,d) (1i) a d n a (1 i) (1 i) ni 1 i ni i p n1 p

40 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. f) Rentas temporales, anticipadas y prepagables Ejemplo 11: Calcular el valor actual de una renta anual de 10 términos, prepagable, anticipada seis meses, si su primer término es de cuantía euros, se incrementa cada año euros y el tipo de interés es el 1,5% (50.000,1.000) p/a A A (a 1,d) ni (a 1,d) ni 10 0, a (1 0,015) 10 0,015 0,015 0, ,86

41 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. f) Rentas temporales, anticipadas y prepagables Ejemplo 12: Calcular el valor final de una renta anual de 10 términos, prepagable, anticipada seis meses, si su primer término es de cuantía euros, se incrementa cada año euros y el tipo de interés es el 1,5% p 0,5 (50.000,1.000) p/s S (1i) S (10,015) (a 1,d) ni (a 1,d) ni 10 0, ,015 0, ,83 10, a (1 0,015) 10 0,015

42 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. g) Rentas temporales y fraccionadas A (m) (a 1,d) (a ni 1,d) J(m) i (m) A.. (m) i A(a 1,d) A ni (a 1,d) (1i m) ni J S (m) (a 1,d) (a ni 1,d) J(m) i (m) S.. (m) i S(a 1,d) S ni (a 1,d) (1i m) ni J ni ni

43 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. g) Rentas temporales y fraccionadas Ejemplo 13: Calcular el valor actual de una renta mensual de 10 años, si los términos del primer año son de cuantía euros, se incrementan cada año1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5% (12) J(12) J 1i 1 10, J (12) (1 0,015) 112 0,

44 A TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. g) Rentas temporales y fraccionadas Ejemplo 13: Calcular el valor actual de una renta mensual de 10 años, si los términos del primer año son de cuantía euros, se incrementan cada año1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%. 0,015 A (12) ( , ) ( ,12.000) J(12) 10 0, ,015 0, a10 0,015 0, , 015 0, ,16

45 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. g) Rentas temporales y fraccionadas Ejemplo 14: Calcular el valor final de una renta mensual de 10 años, si los términos del primer año son de cuantía euros, se incrementan cada año1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%. S A (1 0, 015) (12) (12) 10 ( , ) ( , ) 10 0, , ,16 (1 0, 015)

46 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables a 1 a 2 a Valor actual =

47 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables A lima (a 1,d) (a i 1,d) n d dn (1i) lim a1 a n n i i i A (a,d) 1 1 i n i d 1 a i i n

48 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables Ejemplo 1: Calcular el valor actual de una renta anual, perpetua, si su primer término es euros, se incrementa cada año euros y el tipo de interés es el 1,5% Valor actual =

49 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables Ejemplo 1: Calcular el valor actual de una renta anual, perpetua, si su primer término es euros, se incrementa cada año euros y el tipo de interés es el 1,5%. d A(a 1,d) a i i i 0,015 0, ,78

50 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. b) Rentas perpetuas, inmediatas y prepagables a 1 a 2 a Valor actual =

51 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. b) Rentas perpetuas, inmediatas y prepagables.... A lim A (a 1,d) i (a 1,d) n i n n d dn (1i) lim a1 a (1 i) n n i i i.. d 1 A(a 1,d) a i 1 (1 i) A (a 1,d) (1 i) i i i

52 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. b) Rentas perpetuas, inmediatas y prepagables Ejemplo 2: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable y perpetua, si su primer término es euros, se incrementa cada año euros y el tipo de interés es el 1,5% Valor actual =

53 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. b) Rentas perpetuas, inmediatas y prepagables Ejemplo 2: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable y perpetua, si su primer término es euros, se incrementa cada año euros y el tipo de interés es el 1,5%... d 1 A(a 1,d) a i 1 (1 i) i i (1 0,015) 0,015 0, , 44

54 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. c) Rentas perpetuas, diferidas y pospagables a 1 a 2... d Valor actual = d d 1 d/a(a 1,d) A (a i 1,d) (1i) a 1 (1i) i i i d

55 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. c) Rentas perpetuas, diferidas y pospagables Ejemplo 3: Calcular el valor actual de una renta anual y perpetua, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de euros, se incrementa cada año euros y el tipo de interés el 1,5% Valor actual =

56 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. c) Rentas perpetuas, diferidas y pospagables Ejemplo 3: Calcular el valor actual de una renta anual y perpetua, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de euros, se incrementa cada año euros y el tipo de interés el 1,5%. d/a A (1i) 2/A d (a,d) (a,d) (50.000,1.000) 1 i 1 i 0, ,015 0, , (1 0,015)

57 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. d) Rentas perpetuas, diferidas y prepagables a 1 a 2... d Valor actual = d 1 i i.... d d d/a A (1 i) a (1 i) (1 i) (a 1,d) (a i 1,d) i 1

58 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. d) Rentas perpetuas, diferidas y prepagables Ejemplo 4: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable y perpetua, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de euros, se incrementa cada año euros y el tipo de interés el 1,5% Valor actual =

59 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. d) Rentas perpetuas, diferidas y prepagables Ejemplo 4: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable y perpetua, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de euros, se incrementa cada año euros y el tipo de interés el 1,5% d d/a A (1i) 2/A (a 1,d ) i (a 1,d ) i ( ,1.000) 0, ,015 0,015 (1 0,015) (1 0,015) ,25 2

60 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. e) Rentas perpetuas y fraccionadas A (m) A (a 1,d) (a i J 1,d) (m) i i.. i (m) A(a 1,d) A (1i ) i J (a 1,d) m i (m)

61 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. e) Rentas perpetuas y fraccionadas Ejemplo 5: Calcular el valor actual de una renta mensual y perpetua, si los términos del primer año son de cuantía euros, se incrementan cada año1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5% (12) J(12) J 1i 1 1 0, J (12) (1 0,015) 112 0,

62 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. e) Rentas perpetuas y fraccionadas Ejemplo 5: Calcular el valor actual de una renta mensual y perpetua, si los términos del primer año son de cuantía euros, se incrementan cada año1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%. A 0,015 A (12) ( , ) ( ,12.000) J(12) 0,015 0,015 0, , ,015 0, ,55

63 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. e) Rentas perpetuas y fraccionadas Ejemplo 6: Calcular el valor actual de una renta mensual, perpetua y prepagable, si los términos del primer año son de cuantía euros, se incrementan cada año1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%. 12 (12) J(12) 1i 1 10, i 12 i (1 0, 015) 1 0, J i 12 0, ,

64 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. e) Rentas perpetuas y fraccionadas Ejemplo 6: Calcular el valor actual de una renta mensual, perpetua y prepagable, si los términos del primer año son de cuantía euros, se incrementan cada año1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%... (12) 0,015 A( , ) A 0,015 ( ,12.000) (1i 12 ) 0,015 J (12) 0, (1 0, ) 0, , 015 0, ,24

65 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables a 1 a 2 a 3... a n n a 1 a a q 2 1 a a qa q a a qa q k k a a qa q n n1 1 2 k1 n1 0q1 Progresión geométrica decreciente q1 Progresión geométrica creciente

66 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables a 1 a 2 a 3... a n n Valor actual =

67 a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables n1 a1 a2 an a1 a1q a1q A (a 1,q) ni 2 n 2 n 1 i (1 i) (1 i) 1 i (1 i) (1 i) n1 1 q q n1 n 1 q q 1i (1i) 1i a 1... a 2 n 1 1 i (1 i) (1 i) q 1 1 i a 1 n 1 q 1i (1i) 1iq 1 i 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. n1 A (a,q) 1 1 ni n n 1q (1i) a 1iq

68 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables = Valor final a 1 a 2 a 3... a n n n n n n n 1 q (1 i) n (1 i) q S(a 1,q) A (a ni 1,q) (1i) a 1 (1i) a1 ni 1iq 1iq

69 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables Ejemplo 1: Calcular el valor actual de una renta anual, con una duración de 12 años, si su primer término es euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5% , Valor actual =

70 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables Ejemplo 1: Calcular el valor actual de una renta anual, con una duración de 12 años, si su primer término es euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5%. n n 1q (1i) A(a 1,q) a1 ni 1iq ,10 (10,015) , 25 10, 015 1,10

71 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables Ejemplo 2: Calcular el valor final de una renta anual, con una duración de 12 años, si su primer término es euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5%. = Valor final ,

72 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables Ejemplo 2: Calcular el valor final de una renta anual, con una duración de 12 años, si su primer término es euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5%. n n (1 i) q S(a 1,q) S(50.000;1,10) a1 n i 12 0,015 1iq (1 0,015) 1, ,53 1 0, 015 1,10

73 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables a 1 a 2 a 3... a n n-1 n Valor actual =.. n n 1q (1i) A(a 1,q) A ni (a 1,q) (1i) a ni 1 (1i) 1iq

74 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables = Valor final a 1 a 2 a 3... a n n-1 n.. n n (1 i) q S S (1i) a (a 1,q) ni (a 1,q) ni 1 (1i) 1iq

75 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables Ejemplo 3: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable y con una duración de 12 años, si su primer término es euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5% , Valor actual =

76 6.2. Rentas variables en progresión geométrica... b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables Ejemplo 3: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable y con una duración de 12 años, si su primer término es euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5%. A A (1 0,015) ( a 1,q ) n i ( ;1,10 ) 12 0, ,10 (1 0, 015) (1 0,015) 10,015 1, , 97

77 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables Ejemplo 4: Calcular el valor final de una renta anual, prepagable y con una duración de 12 años, si su primer término es euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5%. = Valor final ,

78 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables Ejemplo 4: Calcular el valor final de una renta anual, prepagable y con una duración de 12 años, si su primer término es euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5%... S S (1 0, 015) ( a 1,q ) ni ( ;1,10) 120, (1 0,015) 1, (1 0, 015) 10,0151, ,98

79 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables a 1 a 2... a n-1 a n d n-1 n Valor actual = n n 1q (1i) d/a(a 1,q) a 1 (1i) ni 1iq d

80 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables a 1 a 2 a 3... a n = Valor final d n d/s S a (a,q) (a,q) 1 1 ni 1 ni n n (1 i) q 1iq

81 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables Ejemplo 5: Calcular el valor actual de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años, su cuantía es de euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5% , Valor actual =

82 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables Ejemplo 5: Calcular el valor actual de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años, su cuantía es de euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. d/a A (1i) A (10,015) d 2 (a,q) (a,q) (50.000;1,10) 1 n i 1 n i 10 0,015 11,10 (10,015) 10,015 1, , (1 0,015)

83 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables Ejemplo 6: Calcular el valor final de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años, su cuantía es de euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. = Valor final ,

84 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables Ejemplo 6: Calcular el valor final de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años, su cuantía es de euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. n n (1 i) q 2/S(a 1,q) S(50.000;1,10) a1 ni 100,015 1iq (1 0, 015) 1, ,79 1 0,015 1,10

85 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables a 1 a 2... a n d n-1 n Valor actual =.... n n d 1 q (1 i) d d/a A (1i) a (1i) (1i) (a 1,q) (a ni 1,d) ni 1 1iq

86 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables = Valor final a 1 a 2 a 3... a n d n-1 n n n (1 i) q.... d/s(a 1,d) S(a ni 1,d) a ni 1 (1i) 1iq

87 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables Ejemplo 7: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años, su cuantía es de euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5% , Valor actual =

88 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables Ejemplo 7: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años, su cuantía es de euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5% d (50.000;1,10) d/a A (1i) 2/A (a 1,q) ni (a 1,q) ni 10 0, ,10 (1 0, 015) 10,0151, , (1 0,015) (1 0,015)

89 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables Ejemplo 8: Calcular el valor final de una renta anual, prepagable, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años, su cuantía es de euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. = Valor final ,

90 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables Ejemplo 8: Calcular el valor final de una renta anual, prepagable, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años, su cuantía es de euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5% (50.000;1,10) (50.000;1,10) d/s S 2/S S (a 1,q) ni (a 1,q) ni 10 0, , (1 0, 015) 1, (1 0,015) 10,0151, ,69

91 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables a 1 a 2... a n n n+p Valor actual = n n 1q (1i) p/a(a 1,q) A(a ni 1,q) a1 ni 1iq

92 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables a 1 a 2... a n n n+p = Valor final n n p (1 i) q p/s(a 1,q) S (a ni 1,q) (1i) a 1 (1i) ni 1iq p

93 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables Ejemplo 9: Calcular el valor actual de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los seis meses y su cuantía es de euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5% ,84 0 0,5 1, ,5 12 Valor actual =

94 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables Ejemplo 9: Calcular el valor actual de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los seis meses y su cuantía es de euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. p/a 0,5/A A (1 0,015) 0,5 (a,d) (50.000;1,10) (50.000;1,10) 1 n i 12 0, ,015 1 (1,10) (1 0,015) 1 0, 015 1, , , (1 0,015)

95 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables Ejemplo 10: Calcular el valor final de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los seis meses y su cuantía es de euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. = Valor final ,84 0 0,5 1, ,5 12

96 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables Ejemplo 10: Calcular el valor final de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los seis meses y su cuantía es de euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. 0,5 (a,d) (50.000,1.000) (50.000,1.000) d/s 0,5/S S (1 0,015) 1 n i 12 0, ,015 (1 0,015) 1, , 015 1,10 (1 0,015) , ,5

97 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. f) Rentas temporales, anticipadas y prepagables a 1 a 2 a 3... a n n-1 n n+p Valor actual =.... n n 1q (1i) p/a(a 1,q) A(a ni 1,q) a ni 1 (1i) 1iq

98 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. f) Rentas temporales, anticipadas y prepagables = Valor final a 1 a 2 a 3... a n n n+p.... n n p (1 i) q p/s(a 1,q) S (a ni 1,q) (1i) a ni 1 (1i) (1i) 1iq p

99 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. f) Rentas temporales, anticipadas y prepagables Ejemplo 11: Calcular el valor actual de una renta anual de 10 términos, prepagable, anticipada seis meses, si su primer término es de cuantía euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5% (50.000;1,10) p/a A A (a 1,q) ni (a 1,q) ni 10 0, (1,10) (1 0,015) (1 0,015) 10,015 1, ,55

100 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. f) Rentas temporales, anticipadas y prepagables Ejemplo 12: Calcular el valor final de una renta anual de 10 términos, prepagable, anticipada seis meses, si su primer término es de cuantía euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5% p p/s S (1i) 0,5/S ( a 1,q ) ni ( a 1,q ) ni ( ;1,10 ) 100, ,5 S (1 0,015) (50.000;1,10) 10 0,015 (1 0, 015) (1,10) 1 0,015 1, , (1 0,015) ,59

101 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. g) Rentas temporales y fraccionadas A (m) (a 1,q) (a ni 1,q) J(m) i (m) A.. (m) i A(a 1,q) A ni (a 1,q) (1i m) ni J S (m) (a 1,q) (a ni 1,q) J(m) i (m) S.. (m) i S(a 1,q) S ni (a 1,q) (1i m) ni J ni ni

102 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. g) Rentas temporales y fraccionadas Ejemplo 13: Calcular el valor actual de una renta mensual de 10 años, si los términos del primer año son de cuantía euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5% (12) J(12) J 1i 1 10, J (12) (1 0,015) 112 0,

103 A TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. g) Rentas temporales y fraccionadas Ejemplo 13: Calcular el valor actual de una renta mensual de 10 años, si los términos del primer año son de cuantía euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5%. 0,015 A (12) ( ;1,10) (60.000;1,10) J(12) 10 0, , , (1 0, 015) (1,10) , , 015 1, , 36

104 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. g) Rentas temporales y fraccionadas Ejemplo 14: Calcular el valor final de una renta mensual de 10 años, si los términos del primer año son de cuantía euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5%. S 0,015 S (12) ( ;1,10) (60.000;1,10) J(12) 10 0, , , 015 (1 0, 015) (1,10) , , 015 1, , 26

105 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables a 1 a 2 a Valor actual =

106 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables Caso a) q 1 i A lima (a 1,q 1 i) i (a 1,q 1 i) i n 2 n1 a1 a 1(1i) a 1(1i) a 1(1i) lim... n 2 3 n 1 i (1 i) (1 i) (1 i) a 1 i 1 lim n n

107 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. b) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables Caso b) q 1i A lima (a 1,q) i (a 1,q) i n n q 1 (1 i) n lima1 n 1iq

108 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables Caso c) q 1 i A lim A (a 1,q) i (a 1,q) i n n q 1 n (1 i) 1 lima1 a1 n 1 iq 1iq 1 A(a 1,q) a1 i 1 i q

109 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables Ejemplo 1: Calcular el valor actual de una renta anual y perpetua, si su primer término es euros, se incrementa acumulativamente un 1% y el tipo de interés es el 1,5% Valor actual =

110 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables Ejemplo 1: Calcular el valor actual de una renta anual y perpetua, si su primer término es euros, se incrementa acumulativamente un 1% y el tipo de interés es el 1,5%. 1 A(a 1,q) A(50.000;1,01) i 0, ,015 1,

111 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. b) Rentas perpetuas, inmediatas y prepagables a 1 a 2 a Valor actual =

112 .... A TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. lim A (a 1,q) i (a 1,q) i n b) Rentas perpetuas, inmediatas y prepagables n n 1 (1i) q 1 lima 1 (1 i) a 1 (1 i) n 1iq 1iq.. 1 A a (1i) (a 1,q) i 1 1iq

113 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. b) Rentas perpetuas, inmediatas y prepagables Ejemplo 2: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable y perpetua, si su primer término es euros, se incrementa acumulativamente un 1% y el tipo de interés es el 1,5% Valor actual =

114 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. b) Rentas perpetuas, inmediatas y prepagables Ejemplo 2: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable y perpetua, si su primer término es euros, se incrementa acumulativamente un 1% y el tipo de interés es el 1,5%... 1 A ( ;1,01) (1 0,015) 0,015 10,0151,

115 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. c) Rentas perpetuas, diferidas y pospagables a 1 a 2... d Valor actual = d 1 d/a(a 1,q) A (a i 1,q) (1i) a 1 (1i) i 1iq d

116 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. c) Rentas perpetuas, diferidas y pospagables Ejemplo 3: Calcular el valor actual de una renta anual y perpetua, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de euros, se incrementa acumulativamente un 1% y el tipo de interés el 1,5% Valor actual =

117 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. c) Rentas perpetuas, diferidas y pospagables Ejemplo 3: Calcular el valor actual de una renta anual y perpetua, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de euros, se incrementa acumulativamente un 1% y el tipo de interés el 1,5%. d/a A (1 i) d (a,q) (a,q) 1 i 1 i i 2 2 / A(50.000;1,01) A (50.000;1,01) (1 0,015) 1 10,0151, (1 0,015) ,49 i

118 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. d) Rentas perpetuas, diferidas y prepagables a 1 a 2... d Valor actual =.... d d d/a A (1i) a (1i) (1i) (a 1,q) (a i 1,q) i 1 1 1iq

119 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. d) Rentas perpetuas, diferidas y prepagables Ejemplo 4: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable y perpetua, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de euros, se incrementa acumulativamente un 1% y el tipo de interés el 1,5% Valor actual =

120 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. d) Rentas perpetuas, diferidas y prepagables Ejemplo 4: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable y perpetua, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de euros, se incrementa acumulativamente un 1% y el tipo de interés el 1,5% (50.000;1,01) (50.000;1,01) 2/A A (1 0,015) i (1 0,015) (1 0,015) 10,0151, ,75 2 i

121 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. e) Rentas perpetuas y fraccionadas A (m) A (a 1,q) (a i J 1,q) (m) i i.. i (m) A(a 1,q) A (1i ) i J (a 1,q) m i (m)

122 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. e) Rentas perpetuas y fraccionadas Ejemplo 5: Calcular el valor actual de una renta mensual y perpetua, si los términos del primer año son de cuantía euros, se incrementan acumulativamente un 1% y el tipo de interés es el 1,5% (12) J(12) J 1i 1 1 0, J (12) (1 0,015) 112 0,

123 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. e) Rentas perpetuas y fraccionadas Ejemplo 5: Calcular el valor actual de una renta mensual y perpetua, si los términos del primer año son de cuantía euros, se incrementan acumulativamente un 1% y el tipo de interés es el 1,5%. A 0,015 A (12) ( ;1,01) (60.000;1,01) J(12) 0,015 0,015 0, , , 015 1, ,89

124 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. e) Rentas perpetuas y fraccionadas Ejemplo 6: Calcular el valor actual de una renta mensual, perpetua y prepagable, si los términos del primer año son de cuantía euros, se incrementan acumulativamente un 1% y el tipo de interés es el 1,5%. 12 (12) J(12) 1i 1 10, i 12 i (1 0, 015) 1 0, J i 12 0, ,

125 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. e) Rentas perpetuas y fraccionadas Ejemplo 6: Calcular el valor actual de una renta mensual, perpetua y prepagable, si los términos del primer año son de cuantía euros, se incrementan acumulativamente un 1% y el tipo de interés es el 1,5%... (12) 0,015 A ( ;1,01) A 0,015 (60.000;1,01) (1 0, ) 0,015 J (12) 0, (1 0, ) 0, , 015 1, ,89

126 6.3. Rentas variables en general. Ejemplo 1: Calcular los términos amortizativos de una renta si su valor actual es de euros y los dos primeros años son de cuantía a ; los dos segundos, el doble; y los dos últimos, el triple. El tipo de interés es el 2% los tres primeros años y el 3% los tres últimos. a a 2 a 2 a 3 a 3 a i = 0,02 i = 0,03

127 6.3. Rentas variables en general. Ejemplo 1: Calcular los términos amortizativos de una renta si su valor actual es de euros y los dos primeros años son de cuantía a ; los dos segundos, el doble; y los dos últimos, el triple. El tipo de interés es el 2% los tres primeros años y el 3% los tres últimos. 2a 2a 3aa 20, aa 20, (1,02) 1,03 (1,02) 1,03 (1,02) 2 2 3a aa 20,02 1, 02 1, 03 (1,02) 1,03 (1,02) 20,03 3 3

128 6.3. Rentas variables en general. Ejemplo 1: Calcular los términos amortizativos de una renta si su valor actual es de euros y los dos primeros años son de cuantía a ; los dos segundos, el doble; y los dos últimos, el triple. El tipo de interés es el 2% los tres primeros años y el 3% los tres últimos. Cuantía de los términos: a a a , a a 2a , a a 3a ,