MEDICIÓN Y PROPAGACIÓN DE ERRORES. Comprender el proceso de medición y expresar correctamente el resultado de una medida realizada.

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1 LABORATORIO Nº 1 MEDICIÓN Y PROPAGACIÓN DE ERRORES I. LOGROS Comprender el proceso de medición y expresar correctamente el resultado de una medida realizada. Aprender a calcular el error propagado e incertidumbre de una medición. II. PRINCIPIOS TEÓRICOS Medir Medir es comparar una magnitud desconocida con una magnitud conocida o patrón. Tipo de medición Medición directa: Se obtiene directamente por observación al hacer la comparación de la cantidad desconocida (objeto) con el instrumento de medición o patrón. Por ejemplo: Medir la longitud de una barra de acero con una regla (alcance máximo: 1 m). Medición indirecta: Es aquella que se obtiene como resultado de usar fórmulas matemáticas y cantidades físicas derivadas que son función de una serie de medidas directas. Por ejemplo: El cálculo de volumen de un cilindro conociendo su diámetro y su altura. Exactitud y precisión de una medición Exactitud: Indica el grado de concordancia entre un valor medido y un valor considerado verdadero. El único tipo de medición totalmente exacta es el contar objetos, las demás mediciones contienen errores. Precisión: Es el grado de concordancia entre los valores medidos obtenidos en mediciones repetidas de un mismo objeto, bajo condiciones específicas. Laboratorio Nº 1: Medición y propagación de errores Página 1

2 Nota: La precisión no necesariamente se relaciona con el valor verdadero, en cambio, la exactitud sí se relaciona con el valor verdadero (ver figura 1). Figura. 1: Los puntos representan las lecturas del instrumento siendo el centro el valor verdadero. a) Dispersados del centro. b) Convergen en una zona alejada del centro. c) Convergen en el centro. Teoría de errores En una medición se cometen imperfecciones que dan lugar a un error en el resultado de medida. Tradicionalmente, el error está constituido por dos componentes, una componente aleatoria y una componente sistemática. Error aleatorio: Es fruto del azar, debido a causas difíciles de controlar como las condiciones ambientales. En mediciones repetidas varía de manera impredecible. Error sistemático: Varía de manera predecible y en mediciones repetidas permanece constante. Entre los principales errores sistemáticos se encuentran las aproximaciones de ecuaciones, redondeo de cifras, errores instrumentales (ajuste en cero) y de observación. Los errores descritos pueden cuantificarse y expresarse mediante: Error absoluto: Se define como el valor medido experimentalmente menos el valor referencial. (1) Error relativo: Se define como el cociente entre el error absoluto y el valor referencial (2) Laboratorio Nº 1: Medición y propagación de errores Página 2

3 Error relativo porcentual : Representa el producto del error relativo por 100. (3) El error relativo porcentual debe de ser Incertidumbre La incertidumbre de una medición es el parámetro que cuantifica el margen de duda de la medición. Incertidumbre combinada para una medición directa En la mayoría de los casos una medición es afectada por varias fuentes de incertidumbre, estas pueden ser: La resolución del instrumento, la dispersión de los datos obtenidos por mediciones repetidas, etc. Para la incertidumbre combinada de esta práctica de laboratorio sólo se calculará la incertidumbre por resolución del instrumento e incertidumbre por imperfecta repetitividad (dispersión de los valores medidos). Incertidumbre por división de escala o resolución del instrumento.- Para el caso de instrumentos donde se aprecia su división de escala, por ejemplo: Una regla milimetrada, un cronometro analógico, etc. (4) donde LM es la lectura mínima o división de escala del instrumento. Incertidumbre por imperfecta repetitividad.- Cuando se hacen varias mediciones repetidas de una variable directa como x, la incertidumbre asociada será: ( ) donde es el valor promedio, es el valor de cada medición, es el número de mediciones y la desviación estándar. (5) Luego, la incertidumbre total de una medición se obtiene mediante: (6) Laboratorio Nº 1: Medición y propagación de errores Página 3

4 Finalmente, el resultado de una medición se expresa de la siguiente manera: (7) Cálculo de la incertidumbre combinada para una medición indirecta Si se tiene las siguientes mediciones directas y sus incertidumbres: La incertidumbre asociada a la medición indirecta dependerá de la operación a efectuar: a) Suma y/o diferencia (8) b) Multiplicación y/o división ó ó, etc (9) c) Potencia (10) Laboratorio Nº 1: Medición y propagación de errores Página 4

5 Cálculo de incertidumbre de la superficie, volumen y densidad de una esfera a) Superficie de la esfera b) Volumen de la esfera c) Densidad de la esfera Cálculo de incertidumbre del volumen y densidad del paralelepípedo a) Volumen del paralelepípedo donde b) Densidad del paralelepípedo Laboratorio Nº 1: Medición y propagación de errores Página 5

6 Cálculo de incertidumbre del área, volumen y densidad del cilindro. a) Área de la base del cilindro, b) Volumen del cilindro c) Densidad del cilindro III. PARTE EXPERIMENTAL a) Materiales e instrumentos: - Un (01) cilindro de aluminio - Un (01) paralelepípedo de aluminio - Una (01) cuerpo esférico (canica) - Un (01) pie de rey o vernier (Alcance máx.: 150 mm / Lectura mín.: 0.05 mm). - Un (01) pie de rey o vernier (Alcance máx.: 150 mm / Lectura mín.: 0.02 mm). - Un (01) micrómetro de exteriores (Alcance máx.: 25 mm / Lectura mín.: 0.01 mm). - Una (01) balanza de tres brazos (Alcance máx: 610 g / Lectura mín.: 0.1 g). Laboratorio Nº 1: Medición y propagación de errores Página 6

7 b) Procedimiento: 1. Haga un reconocimiento de los instrumentos de medición que el grupo recibe. Registre en la tabla 1; la lectura mínima e incertidumbre por resolución de cada instrumento. 2. Mida el diámetro y la masa de la canica (esfera). Calcule el promedio de las medidas del diámetro y la masa, calcule la desviación estándar y la incertidumbre por imperfecta repetitividad. Registrar los valores en la tabla Calcule y registre en la tabla 3 lo siguiente: a) Superficie esférica total y su respectiva incertidumbre. b) Volumen de la esfera y su respectiva incertidumbre. c) Densidad de la esfera y su respectiva incertidumbre. 4. Mida los tres lados (a, b y c) y la masa de un paralelepípedo de aluminio. Calcule el promedio, desviación estándar e incertidumbre por imperfecta repetitividad; de cada uno de los lados y la masa del paralelepípedo. Registre los valores en la tabla Calcule y registre en la tabla 5 lo siguiente: a) El volumen del paralelepípedo y su respectiva incertidumbre. b) La densidad del paralelepípedo y su respectiva incertidumbre. 6. Mida el diámetro de la base, altura y masa de un cilindro de aluminio. Calcule el promedio de las medidas del diámetro, altura y la masa. Calcule la desviación estándar y la incertidumbre por imperfecta repetitividad. Registrar los valores en la tabla Calcule y registre en la tabla 7 lo siguiente: a) Área de la base del cilindro y su respectiva incertidumbre. b) Volumen del cilindro y su respectiva incertidumbre. c) Densidad del cilindro y su respectiva incertidumbre. 8. Calcule el error absoluto y el error relativo porcentual, referente a la densidad del cilindro y densidad del paralelepípedo de aluminio. Registre los valores en la tabla 8 y 9. Laboratorio Nº 1: Medición y propagación de errores Página 7

8 IV. RESULTADOS Tabla 1: Lectura mínima e incertidumbre por resolución del instrumento Instrumentos para medir la longitud Lectura mínima (mm) Lectura mínima (m) Incertidumbre por resolución x 1 (m) Pie de Rey o vernier (marca: Stainless Hardened) Pie de Rey o vernier (marca: Caliper USA) Micrómetro de exteriores Instrumento para medir masa Lectura mínima (g) Lectura mínima (kg) Incertidumbre por resolución x 1 (kg) Balanza de tres brazos Tabla 2: Esfera Medida Diámetro d (m) Masa (kg) X1 X2 X3 X4 X5 Promedio ( ) Desviación estándar (σ) Incertidumbre por imperfecta repetitividad Tabla 3: Superficie, volumen y densidad de la esfera Esfera (canica) Valor x Incertidumbre x Resultado X Superficie (m 2 ) Volumen (m 3 ) Densidad (kg/m 3 ) Laboratorio Nº 1: Medición y propagación de errores Página 8

9 Tabla 4: Paralelepípedo Medida Lado a (m) Lado b (m) Lado c (m) Masa (kg) X1 X2 X3 X4 X5 Promedio ( ) Desviación estándar (σ) Incertidumbre por imperfecta repetitividad Tabla 5: Volumen y densidad del paralelepípedo Paralelepípedo Valor x Incertidumbre x Resultado X Volumen (m 3 ) Densidad (kg/m 3 ) Tabla 6: Cilindro Medida Diámetro d (m) Altura h (m) Masa (kg) X1 X2 X3 X4 X5 Promedio ( ) Desviación estándar (σ) Incertidumbre por imperfecta repetitividad Tabla 7: Área, volumen y densidad de un cilindro Cilindro Valor x Incertidumbre x Resultado X Área (m 2 ) Volumen (m 3 ) Densidad (kg/m 3 ) Laboratorio Nº 1: Medición y propagación de errores Página 9

10 Tabla 8: Error absoluto y error relativo porcentual de la densidad del cilindro Magnitud Valor Densidad referencial del aluminio V ref Densidad experimental del aluminio V exp Error absoluto Error relativo porcentual E rel % Tabla 9: Error absoluto y error relativo porcentual de la densidad del paralelepípedo Magnitud Valor Densidad referencial del aluminio V ref Densidad experimental del aluminio V exp Error absoluto Error relativo porcentual E rel % Referencias: Edwin Guillen. Diapositivas: Incertidumbre en la Medición U. II Seminario de Metrología: La ciencia de la medición, sus principios y aplicaciones (SNM-INDECOPI) Autores: Fís. Amilcar Gómez Salvatierra Fís. Jeffery Sánchez Burgos Laboratorio Nº 1: Medición y propagación de errores Página 10

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