Flujo Eléctrico. Hemos aprendido a calcular el E establecido por un sistema de cargas puntuales o una distribución de carga uniforme o continua.

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1 Ley de Gauss Presentación basada en el material contenido en: R. Serway,; Physics for Scientists and Engineers, Saunders College Publishers, 3 rd edition.

2 Flujo Eléctrico Hemos aprendido a calcular el E establecido por un sistema de cargas puntuales o una distribución de carga uniforme o continua. La descripción cualitativa del campo eléctrico mediante líneas de fuerza está relacionada con una ecuación matemática llamada ley de Gauss. Las cargas eléctricas producen un campo eléctrico, y el flujo de dicho campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es proporcional a la carga total contenida dentro de dicha superficie.

3 Superficies cerradas y abiertas Una superficie cerrada se define como una superficie que divide al espacio en dos regiones, una interior ( adentro ) y otra exterior ( afuera ), de tal manera que uno no puede moverse de una región a otra sin tener que cruzar a través de la superficie. Una superficie abierta se define como cualquier superficie para la cual es posible ir de un lado a otro sin tener que pasar o cruzar a través de ella.

4 Flujo Eléctrico y líneas de campo El número de líneas que salen de la carga positiva y cruzan la superficie, saliendo del espacio limitado por ésta, depende de dónde se establezca la superficie, pero el número es exactamente igual al número de líneas que entran en el mismo espacio y terminan en la carga negativa Superficies de forma arbitraria rodeando un dipolo eléctrico

5 Flujo Eléctrico y líneas de campo Enunciado cualitativo de la ley de Gauss En las figuras en las que se muestran las líneas de fuerza para distribuciones de carga, el número neto de líneas que sale por cualquier superficie que encierra todas las cargas es proporcional a la carga encerrada dentro de dicha superficie Superficies de forma arbitraria rodeando un dipolo eléctrico

6 Flujo Eléctrico (Φ E ) La ley de Gauss relaciona el comportamiento espacial del campo eléctrico sobre una superficie cerrada con la carga neta incluida dentro de la superficie. Aunque es consecuencia de la ley de Coulomb, la ley de Gauss es más útil para calcular los campos eléctricos de distribuciones de carga simétricas (v. gr. una corteza esférica o una línea infinita) Es decir, hace posible el utilizar un razonamiento cualitativo al enfrentar problemas difíciles.

7 Flujo Eléctrico (Φ E ) Concepto cuantitativo de las líneas de campo eléctrico. Consideren un campo eléctrico E que es uniforme tanto en magnitud como en dirección (ver figura) Las líneas de campo atraviesan una superficie rectangular de área A, cuyo plano es perpendicular al E.

8 Flujo Eléctrico (Φ E ) Deben recordar que el número de líneas por unidad de área (la densidad de líneas) es proporcional a la magnitud del campo eléctrico. Por lo tanto, el número total de líneas que pasan a través de la superficie es proporcional al producto EA (magnitud del E y área de la superficie perpendicular).

9 Flujo Eléctrico (Φ E ) La magnitud matemática relacionada con el número de líneas de fuerza que atraviesa una superficie recibe el nombre de flujo. El flujo eléctrico (el flujo del vector campo eléctrico) es el producto de la magnitud del campo eléctrico, E, y el área superficial, A, que es perpendicular a dicho E.

10 Flujo Eléctrico (Φ E ) Φ E = EA Unidades SI: N m 2 /C Como el campo eléctrico es proporcional al número de líneas de campo eléctrico por unidad de área, el flujo eléctrico es proporcional al número de líneas de campo eléctrico que pasan a través de una superficie.

11 Flujo Eléctrico (Φ E ) Si la superficie que se toma en cuenta no es perpendicular al campo eléctrico E (ver figura), el flujo eléctrico debe ser menor que el dado por Φ E = EA. En la figura la superficie de área A no es perpendicular al campo eléctrico uniforme E. En la figura, el vector normal o perpendicular a la superficie de área A forma un ángulo θ respecto al E uniforme. A

12 Flujo Eléctrico (Φ E ) Se debe observar que el número de líneas de campo eléctrico que atraviesan la superficie de área A es igual al número de líneas de campo eléctrico que atraviesan la superficie de área A. La superficie de área A es la proyección de la superficie de área A sobre un plano perpendicular al campo eléctrico E. La relación entre las áreas de estas dos superficies es: A A = A cos θ

13 Flujo Eléctrico (Φ E ) El flujo (de líneas de campo eléctrico) a través de la superficie de área A es igual al flujo (de líneas de campo eléctrico) a través de la superficie de área A. Entonces, el flujo eléctrico a través de la superficie de área A es: θ es el ángulo existente entre el vector campo eléctrico E y el vector normal a la superficie de área A, n.

14 Flujo Eléctrico (Φ E ) Con θ = 0º, Superficie de área A, perpendicular al campo eléctrico E (valor máximo EA del Φ E ) Vector normal a la superficie n, paralelo al campo eléctrico E. Con θ = 90º, Superficie de área A, paralela al campo eléctrico E (valor mínimo del flujo eléctrico; Φ E = 0) Vector normal a la superficie n, perpendicular al campo eléctrico E (el campo eléctrico no tiene ninguna componente en la dirección del vector normal de la superficie).

15 El vector normal unitario: La palabra normal significa, en este contexto, perpendicular. Definición de un vector normal a una superficie Considerar una superficie S. Definir dos vectores no colineales u y v, tangentes a S en un punto P. Un vector N que es perpendicular a u y a v en el punto P es, por definición, normal a S en el punto P. El producto vectorial (o producto cruz) de u y v tiene esta propiedad: su resultado es un vector perpendicular al plano que forman u y v.

16 El vector normal unitario: Entonces, se puede establecer que: N = u v Para hacerlo un vector unitario (i.e. de longitud 1): dividir N entre su magnitud N donde es un vector unitario normal a S en el punto P.

17 Flujo Eléctrico (Φ E ) Considerando la definición del vector normal unitario ( ) y del producto escalar (o producto punto) de dos vectores A B = ABcosθ se puede establecer que el flujo eléctrico (Φ E ) a través de una superficie no perpendicular al campo eléctrico E es: en donde E n = E = Ecosθ es la componente del vector campo eléctrico perpendicular, o normal, a la superficie

18 Ley de Gauss: Flujo Eléctrico (Φ E ) Hasta ahora se ha considerado un campo eléctrico uniforme. Sin embargo, el campo eléctrico puede variar sobre una superficie, la cual además por lo general no es un plano sino un superficie curvada. Se puede generalizar la definición de flujo eléctrico a superficies curvadas, en las cuales el campo eléctrico puede variar tanto de magnitud (módulo) como de dirección, o ambos a la vez. Cómo? Dividiendo la superficie en un gran número de elementos superficiales muy pequeños.

19 Ley de Gauss: Flujo Eléctrico (Φ E ) Es decir, si el E varía sobre una superficie, Φ E = EAcosθ, sólo es válido para un pequeño elemento de la superficie. Consideren un superficie general (curvada) dividida en un gran número de pequeños elementos de superficie. Si cada elemento es suficientemente pequeño, puede considerarse como un plano y puede despreciarse la variación del campo eléctrico en todo el elemento.

20 Ley de Gauss: Flujo Eléctrico (Φ E ) Sea el vector normal (perpendicular) unitario de dicho elemento de la superficie, y ΔA i su área. es un vector cuya magnitud representa el área del i-ésimo elemento de superficie y cuya dirección se define como perpendicular a dicho elemento de superficie. Si la superficie es curvada, los vectores normales unitarios tendrán direcciones diferentes para elementos de superficie distintos

21 Ley de Gauss: Flujo Eléctrico (Φ E ) El campo eléctrico E i en la posición del i-ésimo elemento hace un ángulo θ i con el vector Por lo tanto, el flujo eléctrico ΔΦ E a través de dicho elemento de superficie es

22 Flujo Eléctrico (Φ E ) El flujo eléctrico total a través de la superficie es la suma de ΔΦ i extendida a todos los elementos de superficie:

23 Flujo Eléctrico (Φ E ): Definición General DEFINICIÓN GENERAL DEL FLUJO ELÉCTRICO En el límite en que el número de elementos se aproxima a infinito y, por lo tanto, el área de cada elemento se aproxima a cero, esta suma se reemplaza por una integral.

24 Flujo Eléctrico (Φ E ): Definición General Esta ecuación es una integral de superficie, lo cual significa que debe ser evaluada sobre la superficie en cuestión. En general, el valor del Φ E dependerá tanto del comportamiento espacial del E (i.e. del patrón de las líneas de campo) como de la superficie sobre la cual se evalúa. Las unidades del flujo eléctrico son N. m 2 /C 2

25 Flujo Eléctrico (Φ E ): Superficies Cerradas Evaluación del flujo eléctrico a través de una superficie cerrada. Consideren una superficie cerrada (ver figura) Los vectores normales unitarios (o ΔA i ) apuntan en diferentes direcciones para los diferentes elementos de superficie; en cada punto son perpendiculares a la superficie y, por convención, siempre apuntan hacia fuera de la superficie cerrada.

26 Flujo Eléctrico (Φ E ): Superficies Cerradas Para el elemento (1), las líneas de campo cruzan la superficie de dentro hacia fuera, θ < 90º y ΔΦ E = E > 0 (el flujo eléctrico es positivo). Para el elemento (2), las líneas de campo rozan la superficie (i.e. son perpendiculares al vector ), θ = 90º y ΔΦ E = E = 0. Para elementos como (3), en el cual las líneas de campo cruzan la superficie de fuera hacia dentro, 180º > θ > 90º y ΔΦ E = E < 0 (el flujo eléctrico es negativo, pues cosθ es negativo).

27 Flujo Eléctrico (Φ E ): Superficies Cerradas El flujo eléctrico neto a través de la superficie es proporcional al número neto de líneas de campo eléctrico que salen de la superficie. El número neto de líneas de campo eléctrico es el número de líneas de campo eléctrico que salen de la superficie menos el número de líneas de campo eléctrico que entran por la superficie. Si salen más líneas de campo de las que entran, el flujo eléctrico es positivo. Si entran más líneas de campo de las que salen, el flujo eléctrico es negativo

28 Flujo Eléctrico (Φ E ): Superficies Cerradas Se utiliza el símbolo para indicar una integral sobre una superficie cerrada. FLUJO ELÉCTRICO NETO Φ E ATRAVÉSDEUNASUPERFICIE CERRADA donde E n = Ecosθ, es la componente del vector campo eléctrico E normal (perpendicular) a la superficie.

29 Ley de Gauss: Introducción Expresión matemática para la relación general entre el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada y la carga encerrada dentro de dicha superficie. A la superficie cerrada se le llama frecuentemente superficie gausiana. La ley de Gauss tiene una importancia fundamental para el estudio de los campos eléctricos.

30 Ley de Gauss: General Consideren una carga puntual positiva q que se localiza en el centro de un esfera de radio r (ver figura). La magnitud del campo eléctrico en cualquier punto sobre la superficie de la esfera es: y las líneas de campo eléctrico apuntan radialmente hacia afuera de la esfera; son perpendiculares a la superficie en cualquier punto sobre ésta.

31 Ley de Gauss: General Así, en cualquier punto superficial, E es paralelo al vector que representa un elemento local de área ΔA i que rodea al punto superficial. Entonces: y el flujo eléctrico neto a través de esta superficie gausiana es:

32 Ley de Gauss: General E sale de la integral pues, por simetría, es constante sobre toda la superficie: Además, si la superficie es esférica A = 4πr 2 y da = 8πr. Consecuentemente, el flujo eléctrico neto a través de la superficie de la esfera es:

33 Ley de Gauss: General Si Entonces

34 Ley de Gauss: General Nótese que el flujo eléctrico neto a través de la superficie de la esfera es proporcional a la carga que dicha superficie encierra. El Φ E es independiente del radio r pues el área de la superficie esférica es proporcional a r 2, mientras que el campo eléctrico es proporcional a 1/r 2. En el producto de las magnitudes del área y del campo eléctrico, la dependencia respecto a r se cancela.

35 Ley de Gauss: General Para S 1, Φ E = q/ 0 Φ E es proporcional al número de líneas de campo eléctrico que pasan a través de la superficie # líneas por S 1 = # líneas por S 2 # líneas por S 1 = # líneas por S 3 para S 2 y S 3, Φ E = q/ 0

36 Ley de Gauss: General El flujo eléctrico neto Φ E a través de cualquier superficie cerrada que rodea una carga puntual q es q/ 0, y es independiente de la forma de la superficie.

37 Ley de Gauss: General Cualquier línea de campo eléctrico que entra en la superficie cerrada (la cual tiene una forma arbitraria) sale de dicha superficie por algún otro punto. # líneas que entran = # líneas que salen

38 Ley de Gauss: General El flujo eléctrico neto Φ E a través de una superficie cerrada que NO rodea a una carga es cero.

39 Ley de Gauss: General Para casos generalizados: (1) muchas cargas puntuales; (2) distribuciones continuas de carga PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN el campo eléctrico debido a muchas cargas es la suma vectorial de los campos eléctricos producidos por las cargas individuales

40 Ley de Gauss: General donde E es el campo eléctrico total en cualquier punto sobre la superficie obtenido mediante la suma vectorial de los campo eléctricos en dicho punto debidos a las cargas individuales.

41 Ley de Gauss: General Φ E / S = q 1 / 0 Φ E / S = (q 2 + q 3 )/ 0 Φ E / S = 0

42 LEY DE GAUSS El flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie cerrada es q dentro es la carga neta (total) dentro de la superficie E es el campo eléctrico en cualquier punto sobre la superficie (NOTA: se debe de considerar la contribución de las cargas DENTRO y FUERA de la superficie cerrada)

43 LEY DE GAUSS En principio, la ley de Gauss se puede resolver para E y así determinar el campo eléctrico debido a cualquier sistema de cargas o distribución continua de carga. Sin embargo, este tipo de solución sólo se pude aplicar en un número limitado de sistemas altamente simétricos (v. gr. distribuciones de carga con simetría esférica, cilíndrica o plana) Si uno elige cuidadosamente la superficie gausiana que rodea la distribución de carga, la integral de la ley de Gauss se puede simplificar.

44 Ley de Gauss: Ejemplo conceptual Una superficie esférica (i.e. cerrada o gausiana) rodea una carga puntual q. Describan que le ocurre a flujo eléctrico total Φ E a través de la superficie si: A. la carga se triplica, B. el radio de la esfera se duplica, C. la superficie esférica se cambia por un cubo, D. la carga se mueve a otro punto dentro de la superficie.

45 Ley de Gauss: Ejemplo conceptual Una superficie esférica (i.e. cerrada o gausiana) rodea una carga puntual q. Describan que le ocurre a flujo eléctrico total Φ E a través de la superficie si: A. la carga se triplica, El flujo eléctrico a través de la superficie se triplica debido a que Φ E es proporcional a la cantidad de carga dentro de la superficie.

46 Ley de Gauss: Ejemplo conceptual Una superficie esférica (i.e. cerrada o gausiana) rodea una carga puntual q. Describan que le ocurre a flujo eléctrico total Φ E a través de la superficie si: B. el radio de la esfera se duplica, El flujo eléctrico no cambia debido a que todas las líneas de campo eléctrico que provienen de la carga pasan a través de la esfera, independientemente de su radio.

47 Ley de Gauss: Ejemplo conceptual Una superficie esférica (i.e. cerrada o gausiana) rodea una carga puntual q. Describan que le ocurre a flujo eléctrico total Φ E a través de la superficie si: C. la superficie esférica se cambia por un cubo, El flujo eléctrico no cambia cuando la forma de la superficie gausiana cambia debido a que todas las líneas de campo eléctrico que provienen de la carga pasan a través de la superficie, independientemente de su forma.

48 Ley de Gauss: Ejemplo conceptual Una superficie esférica (i.e. cerrada o gausiana) rodea una carga puntual q. Describan que le ocurre a flujo eléctrico total Φ E a través de la superficie si: D. la carga se mueve a otro punto dentro de la superficie. El flujo eléctrico no cambia cuando la carga se mueve a otro punto dentro de la superficie debido a que la ley de Gauss se refiere a la carga total.

49 Ley de Gauss: Aplicaciones Distribuciones de carga con un alto grado de simetría. Se elige una superficie gausiana sobre la cual se pueda simplificar la integral de superficie y así determinar el campo eléctrico La simetría de la distribución de carga permite sacar la magnitud del campo eléctrico E de la integral (siempre y cuando ésta sea constante sobre toda la superficie).

50 Ley de Gauss: Condiciones La meta en este tipo de cálculos es determinar la superficie gausiana que satisfaga una o más de las siguientes condiciones: 1. El valor del campo eléctrico se puede establecer, mediante argumentos de simetría, como constante sobre toda la superficie. 2. El producto punto se puede expresar como un simple producto algebraico E da debido a que E y da son paralelos. 3. El producto punto es cero debido a que E y da son perpendiculares. 4. El valor del campo eléctrico se puede establecer como cero sobre la superficie.

51 Ley de Gauss: Problemas (Carga puntual) El campo eléctrico debido a una carga puntual q positiva y aislada. Una sola carga representa la distribución de carga más simple a partir de la cual es posible resolver la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico. Conceptualización del sistema físico: el espacio alrededor de la carga tiene simetría esférica, suficiente simetría para aplicar la ley de Gauss.

52 Ley de Gauss: Problemas (Carga puntual) Para analizar cualquier problema con la ley de Gauss: se debe de considerar la naturaleza y las características del campo eléctrico; se debe de elegir una superficie gausiana que satisfaga una o todas las condiciones señaladas anteriormente. Debido a la simetría de este problema (carga puntual aislada) se elige una superficie gausiana esférica de radio r centrada en la carga puntual.

53 Ley de Gauss: Problemas (Carga puntual) El campo eléctrico debido a una carga puntual positiva está dirigido radialmente hacia fuera y, por lo tanto, es perpendicular (normal) a la superficie en cualquier punto. Entonces E es paralelo a da en todos los puntos sobre la superficie gausiana (condición 2)

54 Ley de Gauss: Problemas (Carga puntual) La ley de Gauss se puede escribir como: Por simetría, E es constante sobre toda la superficie (condición 1), por lo cual puede salir de la integral.

55 Ley de Gauss: Problemas (Carga puntual) Entonces: donde se ha utilizado el hecho de que el área de una esfera es 4πr 2. Despejando el campo eléctrico se obtiene: Expresión para el campo eléctrico debido a un carga puntual que se estableció a partir de la ley de Coulomb.

56 Ley de Gauss: Problemas (Carga puntual) Qué pasaría si la carga puntual q no se encontrara en el centro de la superficie gausiana esférica? En este caso, aunque la ley de Gauss seguiría siendo válida, el sistema no tendría suficiente simetría como para evaluar el campo eléctrico. Es decir, si la carga no está en el centro, la magnitud de E variaría sobre la superficie de la esfera y el vector E no sería perpendicular a la superficie en todos los puntos.

57 Ley de Gauss: Problemas (Esfera sólida) Una distribución de carga esféricamente simétrica: una esfera sólida (de un material aislante) de radio a tienen una densidad de carga volumétrica uniforme ρ y tiene una carga total positiva Q. A. Calcula la magnitud del campo eléctrico en un punto fuera de la esfera. Como la distribución de carga es esféricamente simétrica, se elige una superficie gausiana esférica de radio r, concéntrica respecto de la esfera sólida.

58 Ley de Gauss: Problemas (Esfera sólida) Tal y como ocurre para una carga puntual, con esta superficie gausiana se satisfacen las condiciones 1 y 2. Aplicando el mismo razonamiento, se obtiene que:

59 Ley de Gauss: Problemas (Esfera sólida) Nótese que este resultado es idéntico al obtenido para una carga puntual. para una esfera cargada uniformemente, el campo eléctrico en la región externa de la esfera es equivalente al campo eléctrico de una carga puntual localizada en el centro de la esfera.

60 Ley de Gauss: Problemas (Esfera sólida) B. Determina la magnitud del campo eléctrico en un punto dentro de la esfera. En este caso se elige una superficie gausiana esférica de radio r < a, concéntrica respecto de la esfera sólida. Se indica el volumen de la esfera más pequeña (superficie gausiana) como V. Para aplicar la ley de Gauss, es importante reconocer que la carga q dentro de la superficie gausiana de volumen V es menor que Q.

61 Ley de Gauss: Problemas (Esfera sólida) Para calcular q dentro, se utiliza la relación q dentro = ρv : Por simetría, la magnitud del campo eléctrico, E, es constante sobre toda la superficie gausiana esférica y su dirección es normal respecto de la superficie en cualquier punto (condiciones 1 y 2). Entonces, la ley de Gauss en la región r < a es:

62 Ley de Gauss: Problemas (Esfera sólida) Despejando la magnitud del campo eléctrico E: Debido a que por definición la expresión para E puede escribirse como:

63 Ley de Gauss: Problemas (Esfera sólida) Nótese que este resultado para E (región r < a) difiere del obtenido para la región r > a. Esto indica que E 0 conforme r 0. Por lo tanto, el resultado elimina el problema que existiría en r = 0 si E variara como 1/r 2 dentro de la esfera, tal y como lo hace fuera de ella. Es decir, si E 1/r 2 para r < a, el campo eléctrico sería infinito en r = 0, lo cual es físicamente imposible.

64 Ley de Gauss: Problemas (Esfera sólida) Qué pasaría si se aproximara a la posición radial r = a desde dentro de la esfera y desde fuera de ella? Se obtendría el mismo valor para el campo eléctrico aproximándose desde ambas direcciones? Desde fuera de la esfera, E tiende a un valor dado por: Desde dentro de la esfera, E tiende a un valor dado por:

65 Ley de Gauss: Problemas (Esfera sólida) Entonces, el valor del campo eléctrico es el mismo si nos aproximamos a la superficie de la esfera desde cualquiera de las dos direcciones. Una gráfica de E vs r, i.e. E = f (r), muestra que la magnitud del campo eléctrico es continua, pero la derivada de la magnitud del campo eléctrico (respecto de r) no lo es.

66 Ley de Gauss: Problemas (Carga lineal) Una distribución de carga cilíndricamente simétrica: determina el campo eléctrico a una distancia r de una carga lineal positiva de longitud infinita y una carga constante por unidad de longitud λ. La simetría de la distribución de carga implica que el E sea perpendicular a la carga lineal y que su dirección sea hacia fuera. Para reflejar la simetría de la distribución de carga, se elige una superficie gausiana cilíndrica de radio r y longitud l, que sea coaxial (mismo eje) respecto de la carga lineal.

67 Ley de Gauss: Problemas (Carga lineal) Para la parte curva de esta superficie, E es constante en magnitud y perpendicular a la superficie en todos los puntos (i.e. se satisfacen las condiciones 1 y 2). Además, el flujo eléctrico a través de las caras planas (o finales) del cilindro gausiano es cero debido a que el E es paralelo a dichas superficies, o bien, es perpendicular a da (condición 3)

68 Ley de Gauss: Problemas (Carga lineal) Se debe de tomar la integral de superficie de la ley de Gauss sobre toda la superficie gausiana. Sin embargo, debido a que E da = 0 para las caras planas y finales del cilindro, se puede restringir el análisis únicamente a la superficie curvada del cilindro. La carga total dentro de la superficie gausiana es Q = λl, pues

69 Ley de Gauss: Problemas (Carga lineal) Aplicando la ley de Gauss para la superficie curvada se puede establecer que El área de la superficie curvada de un cilindro es A = 2πrl

70 Ley de Gauss: Problemas (Carga lineal) Se puede establecer que el campo eléctrico debido a una distribución de carga cilíndricamente simétrica varía como 1/r. Por otro lado, el campo eléctrico en un punto externo a una distribución de carga esféricamente simétrica varía como 1/r 2.

71 Ley de Gauss: Problemas (Carga lineal) Qué pasaría si el segmento de carga lineal en este ejemplo no fuese infinitamente largo? Si la carga lineal en este ejemplo fuese de longitud finita, el resultado para E no sería el obtenido anteriormente. Una carga lineal finita no posee la simetría suficiente para utilizar la ley de Gauss Esto se debe a que la magnitud del campo eléctrico E no sería constante sobre la superficie del cilindro (E en puntos cercanos a los extremos finales de la carga lineal sería diferente de E en puntos lejanos a dichos extremos).

72 Ley de Gauss: Problemas (Carga lineal) Además, E no sería perpendicular a la superficie cilíndrica en todos los puntos, es decir, los vectores de campo eléctrico cercanos a los extremos finales tendrían una componente paralela a la carga lineal finita, incumpliéndose la condición 2. Para puntos cercanos a la carga lineal finita y lejanos de los extremos finales, la ecuación para la magnitud del campo eléctrico E obtenida a partir de una carga lineal infinita representa una buena aproximación al valor del campo eléctrico.

73 Conductores en Equilibrio Electrostático Un buen conductor eléctrico contiene cargas (electrones) que no están unidos a ningún átomo y, por lo tanto, son libres de moverse dentro del material. Cuando no hay un movimiento neto de carga dentro del conductor, éste está en equilibrio electrostático.

74 Conductores en Equilibrio Electrostático Propiedades de un conductor en equilibrio electrostático: 1. El campo eléctrico es cero en cualquier punto dentro del conductor. 2. Si un conductor aislado está cargado, la carga se localiza en su superficie. 3. El campo eléctrico justo fuera de un conductor cargado es perpendicular a la superficie del conductor y tiene una magnitud σ/ 0, donde σ es la densidad de carga superficial en ese punto. 4. Sobre conductores de formas irregulares, la densidad de carga superficial es mayor en aquellas posiciones donde el radio de curvatura de la superficie es más pequeño.

75 Propiedad 1: E dentro = 0 Consideren una tabla conductora colocada dentro de un campo eléctrico E externo. Si E dentro 0, los electrones libres dentro del conductor experimentarían una fuerza eléctrica F = qe y se acelerarían debido a esta fuerza F = ma

76 Propiedad 1: E dentro = 0 Sin embargo, este movimiento de los electrones supondría que el conductor no está en equilibrio electrostático. Entonces, la existencia de un equilibrio electrostático sólo es consistente con un campo eléctrico de cero, E = 0, dentro del conductor.

77 Propiedad 1: E dentro = 0 Análisis: Antes de que se aplique el E externo, los electrones libres están distribuidos uniformemente sobre todo el conductor. Cuando se aplica el E externo, los electrones se aceleran hacia la izquierda en la figura, estableciéndose un plano de carga negativa sobre la superficie izquierda.

78 Propiedad 1: E dentro = 0 El movimiento de los electrones hacia la izquierda establece un plano de carga positiva sobre la superficie derecha. Estos planos de carga establecen un campo eléctrico adicional dentro del conductor que se opone al campo eléctrico externo.

79 Propiedad 1: E dentro = 0 Conforme los electrones se mueven, las densidades de carga superficiales sobre las superficies izquierda y derecha del conductor aumentan hasta que la magnitud del campo eléctrico interno es igual a la magnitud del campo eléctrico externo E externo, provocando que el campo eléctrico neto dentro del conductor sea cero ( s).

80 Propiedad 2: Carga sobre la superficie Conductor de forma arbitraria. Se elige una superficie gausiana dentro de dicho conductor cuya forma sea muy parecida a la del conductor (lo más parecida posible). E dentro del conductor = 0 cuando está en equilibrio electrostático. Entonces, el campo eléctrico debe ser cero en cualquier punto sobre la superficie gausiana.

81 Propiedad 2: Carga sobre la superficie Consecuentemente, Φ E = 0.(a través de la superficie gausiana) A partir de la ley de Gauss podemos concluir que la carga neta dentro de la superficie gausiana es cero. Φ E = q dentro / 0 si Φ E = 0 como 0 es contante y diferente de cero, entonces q dentro = 0

82 Propiedad 2: Carga sobre la superficie Debido a que no puede haber una carga neta dentro de la superficie gausiana (la cual está arbitrariamente cercana a la superficie del conductor), cualquier carga neta en el conductor debe encontrarse sobre su superficie. Nota: la ley de Gauss no indica como este exceso de carga esta distribuido sobre la superficie del conductor, sólo establece que se encuentra exclusivamente sobre la superficie.

83 Propiedad 3: Dirección y magnitud del E Dirección del E. Primero, se debe de tener en cuenta que si el vector campo eléctrico E tiene una componente paralela a la superficie del conductor, los electrones libres experimentarían una fuerza eléctrica y se moverían a lo largo de la superficie; en tal caso, el conductor no estaría en equilibrio. Por lo tanto, para poder estar en equilibrio electrostático, el vector campo eléctrico E debido a un conductor cargado debe ser perpendicular a su superficie.

84 Propiedad 3: Dirección y magnitud del E Para determinar la magnitud del E, se dibuja una superficie gausiana con forma de un pequeño cilindro, cuyas caras finales sean paralelas a la superficie del conductor. Así, una parte del cilindro está fuera del conductor, y la parte restante está dentro, en equilibrio electrostático. E es perpendicular a la superficie del conductor.

85 Propiedad 3: Dirección y magnitud del E No hay Φ E a través de la parte curveada de una superficie gausiana cilíndrica debido a que el E es paralelo a la dicha región de la superficie. No hay Φ E a través de la cara plana del cilindro que está dentro del conductor, pues en esta región E = 0.

86 Propiedad 3: Dirección y magnitud del E Entonces, el Φ E a través de la superficie gausiana cilíndrica corresponde únicamente al Φ E a través de la cara plana del cilindro que está fuera del conductor. Para dicha cara plana, el campo eléctrico E es perpendicular a la superficie gausiana.

87 Propiedad 3: Dirección y magnitud del E De esta manera Φ E = EA donde E es el campo eléctrico justo fuera del conductor y A es el área de la cara del cilindro. Aplicando la ley de Gauss para esta cara del cilindro, se obtiene:

88 Propiedad 3: Dirección y magnitud del E Despejando E, se obtiene el campo eléctrico justo fuera de un conductor cargado:

89 Ejemplo Visual La figura muestra líneas de campo eléctrico visibles mediante pedazos de hilo flotando en aceite. Las líneas de campo eléctrico son perpendiculares tanto para un conductor cilíndrico como para una placa conductora. No hay líneas de campo eléctrico dentro del cilindro.

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