UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE JALISCO

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1 TITULO DE LA PRACTICA: Ecuaciones limeales de Primer grado. ASIGNATURA: Matemáticas I HOJA: 1 DE: 6 UNIDAD TEMÁTICA: 2 FECHA DE REALIZACIÓN: Junio de 2007 NUMERO DE PARTICIPANTES RECOMENDABLE: 1 ELABORO: LAE. MARTHA F. PARRA S. Y EDGAR I. SÁNCHEZ DURACIÓN : 2 HORAS LUGAR: AULA DE CLASE Y CASA REVISO: FRANCISCO CHÁVEZ. CARRERA: ADMINISTRACIÓN OBJETIVO: El alumno aplicará las reglas y procedimientos para realizar las ecuaciones de primer REVISIÓN: grado X Descripción de la Práctica: El alumno enunciará las bases que permiten plantear, interpretar y resolver las ecuaciones lineales. Material: Cuaderno, lápiz, borrador y bibliografía. Objetivo: Resolver ecuaciones lineales de una ecuación con una incógnita, y su aplicación en el mundo de los negocios. Prerrequisitos: Conocimientos de aritmética y lenguaje algebraico básico, así como distribución y factorización. Marco Teórico: Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita Ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas. Las incógnitas se representan por las últimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v Así 5 x + 20 = 17 Es una ecuación porque es una igualdad en la que hay una incógnita, la x, y esta igualdad sólo se verifica para el valor x = 3. Identidad es una igualdad que se verifica para cualesquiera valores de las letras que entran en ella 2 Así ( a b ) = ( a b )( a b ) a 2 m 2 = ( a + m )( a m ) son identidades porque se verifican para cualesquiera valores de las letras a y b. Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que está a la izquierda del signo de igualdad y segundo miembro, a la expresión que está a la derecha. Así en la ecuación 3x 5 = 2x 3 El primer miembro es 3x 5 y el segundo es 2 3 x.

2 Términos son cada una de las cantidades que están conectadas con otra por el signo + o -, o la cantidad que está sola en un miembro. Así en la ecuación 3x 5 = 2x 3 Los términos son 3x, --5, 2x y - 3 PROPIEDADES DE LAS IGUALDADES. Si a los dos miembros de una igualdad se les suma o resta la misma cantidad la igualdad subsiste. Se pueden sumar o restar miembro a miembro varias igualdades y la igualdad subsiste. Si los dos miembros de una igualdad se multiplican o dividen por la misma cantidad, excepto cero en el caso de la división, la igualdad subsiste. Si se multiplican o dividen miembro a miembro dos igualdades, excepto cero en el caso de la división, la igualdad subsiste. LA TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS Consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro. Regla: Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo. 5 x = 2a b En efecto: Sea la ecuación Sumando b a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste (propiedad 1) y tendremos: 5 x + b = 2a b + b b + b =, queda: 3 x + b = 2a y como 0 Restando b a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste y tendremos: 3 x + b b = 2a b y como b b = 0, queda: 3 x = 2a b Regla: Términos iguales con signos iguales en distintos miembros se una ecuación, pueden suprimirse. x + b = 2 a + b Así, en la ecuación Tenemos el término b con signo positivo en los dos miembros. Este término puede suprimirse, quedando x = 2a CAMBIO DE SIGNO: Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación varíe, porque equivale a multiplicar los dos miembros de la ecuación por -1, con lo cual la igualdad no varía. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Ejemplo 1: Resuelva la ecuación 5x = 8x Pasos a seguir: Desarrollo de la solución de 5x = 8x 1. Se realizan las operaciones indicadas si las hay o bien, se suprimen signos de agrupación No hay operaciones indicadas en la ecuación 2 Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas. Quiere decir que el término 8 x pasa al primer miembro: 5x 8x =

3 3. Se reduce términos semejantes en cada miembro. 3x = 4. Cambio de signo. Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación varié. (solo + 3 x = +15 cuando es necesario) 5. Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita. 15 x = 3 La raíz de la ecuación es. x = 5 Así, el valor para el cual se satisface la ecuación 5x = 8x es x = 5 Ejemplo N 2 Pasos a seguir: Desarrollo de la solución de 3 z (2z 1) = 7z (3 5z) + ( z + 24) 1. Se realizan las operaciones indicadas si las hay o bien, se suprimen signos de agrupación. 3 z 2z + 1 = 7z 3 + 5z z Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y 3z 2z 7z 5z + z = en el otro miembro todas las cantidades conocidas. 3. Se reduce términos semejantes en cada miembro. 10 z = Cambio de signo. Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación varié. 10z = 20 (solo cuando es necesario) 4. Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita. 20 z = 10 z = La raíz de la ecuación es. 2 Así, el valor para el cual se satisface la ecuación 3 (2z 1) = 7z (3 5z) + ( z + 24) z es z = 2 Ejemplo N 3: Resuelva la ecuación y + 3 ( y 1) = 6 4(2y + 3) Desarrollo de la solución de Pasos a seguir: 1. Se realizan las operaciones indicadas si las hay o bien, se suprimen signos de agrupación 2 Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el y y + otro miembro todas las cantidades conocidas. 3. Se reduce términos semejantes en cada miembro. 12 y = 3 4. Cambio de signo. Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación varié. (solo cuando es necesario) 5. Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita. La raíz de la ecuación es. y + 3 ( y 1) = 6 4(2y + 3) y + 3y 3 = 6 8y y = No necesitamos cambiar los signos. 3 y = 12 1 y = 4

4 COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA En el primer ejemplo de esta práctica se resolvió la ecuación 5x = 8x y se encontró que el valor que satisface a dicha ecuación es x = 5. Para comprobar que este resultado es el correcto se sustituye el resultado encontrado en la ecuación y se verifica que se obtenga una IGUALDAD. Así, se tiene la ecuación 5x = 8x. Sustituyendo x = 5 en la ecuación se llega a: 5x = 8x 5( 5 ) = 8( 5 ) 25 = = 25 Y como se llega a una IGUALDAD, entonces el resultado que se obtuvo es el correcto. PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA En los ejemplos siguientes nos referiremos a algunos términos de negocios relativos a una compañía manufacturera. Costo fijo (o gastos generales) es la suma de todos los costos que son independientes del nivel de producción, tales como renta, seguros, etc. Este costo debe ser pagado independientemente de que se produzca o no. Costo Variable es la suma de todos los costos dependientes del nivel de producción tales como salarios y materiales. Costo total es la suma de los costos variables y fijos. Costo total = costo variable + costo fijo. Ingreso total es el dinero que un fabricante recibe por la venta de su producto. Esta dado por: Ingreso total = (precio por unidad)(número de unidades vendidas.) Utilidad = ingreso total costo total. Ejemplo N 1 La compañía Anderson hace un producto para el que el costo variable por unidad sea de $6 y el costo fijo de $80,000. Cada unidad tiene un precio de venta de $10. Determine el número de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de $60,000. Solución: Sea q el número de unidades que deben ser vendidas (En muchos problemas de negocios, q representa cantidad.) Entonces, si el costo variable (en dólares) es 6q, el costo total será 6 q + 80, 000 y el ingreso total por la venta de q unidades resultará en 10q. Ya que Utilidad = ingreso total costo total. Nuestro modelo para este problema es: 60, 000 = 10q ( 6q + 80, 000 ) Resolviendo se obtiene: 60, 000 = 10q 6q 80, , 000 = 4q 35, 000 = q

5 Por lo tanto se deben vender 35,000 unidades para obtener una ganancia de $60,000 Ejemplo N 2 Una fábrica produce ropa para damas y está planeando vender su nueva línea de conjuntos deportivos con un costo para el detallista de 33 dólares por conjunto. Por conveniencia del detallista la fábrica colocará la etiqueta con el precio a cada conjunto. Qué cantidad debe ser marcada en las etiquetas de todo que el detallista pueda reducir este precio en un 20% durante una liquidación y aún así obtener una ganancia de 15% sobre el costo?. Solución: Aquí se usa la relación: Precio de venta = costo + utilidad. Sea p el precio por conjunto en la etiqueta. Durante la liquidación el detallista realmente recibe igual al costo, 33 dólares, más la utilidad, ( 15)( 33) 0.. De aquí que: p 0. 2 p Esto debe ser Precio de venta = costo + utilidad. p 0. 2 p = p = ( )( ) p = Desde un punto de vista práctico, el fabricante debe marcar las etiquetas con un precio de $47.44 Procedimiento: 1. En una hoja de papel transcribe los problemas que se te presentan y resuélvelos de acuerdo a la teoría que se te presentó en el marco teórico y los ejemplos que se te han resuelto en clase. 2. Es importante que hagas tu trabajo con limpieza, orden y cuidado porque de ello depende tu perfecta comprensión del problema y parte de tu calificación. 3. Sigue un camino lógico y escribe cada paso que requieras para la solución del problema en orden de importancia, es decir, desde el paso más general hasta el más específico donde encontraras el resultado de las operaciones que se te piden. 4. Una vez que resuelvas tus ejercicios verifica que tus respuestas sean las correctas con el resultado que se te presenta. De no ser así, inténtalo de nuevo y vuelve a verificar. Práctica: I Resuelve las siguientes ecuaciones: = 2 x R. x = 1/ z 1 = 65z 36 z R. z = 5/ y 9 12y = 4y 13 5y + R. y = 22 / = 6y ( y + 2) + ( y + 3) y R. y = [ 5x ( x + 3)] = 8x + ( 5x 9) x R. x = 1

6 (2 + 5) = ( t 1) 6 t R. t = (3 + 3) 4(5x 3) = x( x 3) x( x + 5) x R. x = 3 II. Encuentra el valor de la variable y comprueba cada ecuación. 1) 4 = 10 x 6) x ( 5 x 9) + 2x = 9x + 5x( 5 + x) 2) 3 y = 0 7) 2 + 2x = 3( 4x 3x) 3) 7 x + 7 = 2( x + 1) 8) 8 x = 2 3x z 9) 5x = ) 6 + 5z 3 = ) x = x 10) x + x = III: Problemas. 1. Utilidad. La compañía Geometric Products fabrica un producto a un costo variable de $2.20 por unidad. Si los costos fijos son de $95,000 y cada unidad se vende a $3 cuántas unidades deben ser vendidas para que la compañía tenga una utilidad de $50,000? 2. Ventas. La directiva de una compañía quiere saben cuántas unidades de su producto necesita vender para obtener una utilidad de $ Esta disponible la siguiente información, precio de venta por unidad $20, costo variable por unidad $15, costo fijo total $600,000. A partir de estos datos determine las unidades que deben ser vendidas. 3. Precios. El costo de un producto al menudeo es de $3.40. Si se desea obtener una ganancia del 20% sobre el precio de venta, a qué precio debe venderse el producto? 4. Punto de equilibrio. Un fabricante de cartuchos de juegos de video vende cada cartucho a $ El costo de fabricación de cada cartucho es de $ Los costos fijos mensuales son de $8,000. Durante el primer mes de ventas de un nuevo juego, cuántos cartuchos deben venderse para llegar al punto de equilibrio (esto es, que el ingreso total sea igual al costo total)? 5. Alternativas en los negocios. El inventor de un juguete nuevo ofrece a una compañía los derechos de exclusividad para fabricar y vender el juguete por una suma total de $25,000. Después de estimar que las posibles ventas futuras pasado un año sean nulas, la compañía esta revisando la siguiente propuesta alternativa: dar un pago total de $2000 más una regalía de $0.50 por cada unidad vendida. Cuántas unidades deben venderse el primer año para hacer esta alternativa tan atractiva al inventor como la petición original? (sugerencia: Determine cuándo los ingresos bajo ambas propuestas son iguales) Bibliografía: Baldor, Aurelio. Álgebra. Publicaciones Cultural, México, 1995, pp. Haeussler, Jr. Ernest y Paul Richard S. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la Vida. Editorial Prentice Hall., México 2000, pp.